高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析
1．定义运算??
????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??????=?????????????1514543021.已知πβα=+，2πβα=
-，则=?????????????ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00??
???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11??????
2．定义运算a b ad bc c d =-,则符合条件120121z i i i +=--的复数z 对应的点在
( )
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
3．矩阵E =???
? ??1001的特征值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 任意实数
4． 若行列式21241013
9x x =-，则
=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-??????
，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ???
，则
x y -=_______． 7．矩阵1141??????
的特征值为 ． 8．已知变换100M b ??=????
，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ；
10．已知，，则y= ．
11．若2
211x x
x y y y =--，则______x y +=
12．计算矩阵的乘积=???
? ??-???? ??0110n m y x ______________ 13．已知矩阵A
－1 =???? ??1201，B －1 =???? ??1011，则 (AB)－1 = ；
七、解答题
14．已知矩阵1252M x -????=????
的一个特征值为2-，求2M . 15．已知直线1=+y x l ：在矩阵??
????=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .
16．[选修4—2：矩阵与变换]
已知矩阵1214A ??=??-??
，求矩阵A 的特征值和特征向量． 17．已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111??=????
e ，并且矩阵M 对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵M ．
18．（选修4—2：矩阵与变换）
设矩阵
02 1a ??=????M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程．
19．已知矩阵A ＝?????? 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝????
??11，属于特征值1的一个特征向
量为α2＝????
?? 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 20．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝12b c ??????有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e 1＝23??????
．
（1）求矩阵M ；
（2）求曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程．
21．求直线x ＋y ＝5在矩阵0011??????
对应的变换作用下得到的图形． 22．已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．
23．求点A(2，0)在矩阵1002????-??
对应的变换作用下得到的点的坐标． 24．已知N=0110-?? ???
,计算N 2.
25．已知矩阵M ＝1234???
???，N ＝0113-??????． （1）求矩阵MN ；
（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P 的坐标．
26．已知矩阵20 01??=????
A ，11 25-??=????
B ，求矩阵1-A B 27．已知矩阵A =10-??? 02???，B =
01??? 26???
，求矩阵1A B -. 28．求使等式 2 4 2 03 50 1M ????=????????
成立的矩阵M ． 29．已知矩阵A =???
??b a 12有一个属于特征值1的特征向量???? ??-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ；
(Ⅱ) 若矩阵B =??
? ??-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下的像的方程.
30．已知矩阵A 的逆矩阵113441122-??-??=????-????
A ,求矩阵A 的特征值.
参考答案
1．A
【来源】2012-2013学年湖南省浏阳一中高一6月阶段性考试理科数学试题（带解析）
【解析】
试题分析：根据题意，由于根据新定义可知??
????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，那么由2π
βα=-,π
βα=+sin cos cos sin cos cos sin s ()cos sin sin cos cos sin sin cos()in ααβαβαβαβααβαβαβαβ++?????????==????????+-????????=00??????
，故选A. 考点：矩阵的乘法
点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，属于基础题．考查知识点比较多有一定的计算量
2．D
【来源】2012-2013学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题（带解析）
【解析】
试题分析： 按照所给法则直接进行运算，利用复数相等，可求得复数对应点所在象限．根据题意，由于120121z i i i +=--，即可知z （1-i ）-（1-2i ）
（1+2i ）=0，∴z （1-i ）=5
考点：复数点评：主要是考查了复数的基本概念和代数形式的混合运算，是高考常考点，也是创新题，属于基础题。
3．A
【来源】2012-2013学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析）
【解析】
试题分析：解：矩阵M 的特征多项式f （λ）=00-1-1λλ?? ? ???
=（λ-1）
（λ-1）0所以（λ-1）（λ-1）=0,可知λ-=1，故即为所求的特征值，因此选A.
考点：矩阵的特征值
点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
4．2或3-
【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：由题意得0|3
11|4|911|2|93|2
2=-?+?+-x x x x
，所以062=+-x x ，解得
=x 2或3-．
考点：三阶行列式的应用．
5．2
【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：因为2021310x y -??????= ??? ?-??????
，所以???=+--=10322y x x 解得???=-=31y x ，所以x y +=2 考点：矩阵的含义．
6．2
【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：由二元线性方程组的增广矩阵可得到
二元线性方程组的表达式 ???=+=-2
02y y x 解得 x=4，y=2，故答案为：2．
考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义．
7．3或－1.
【来源】2013-2014学年江苏省连云港高二下学期期末数学试卷（选修物理）（带解析）
【解析】
试题分析：矩阵1141??????的特征多项式为41--λ4)1(112--=--λλ.令04)1(2=--λ，可得3=λ或1-=λ.故应填3或－1.
考点：矩阵特征值的定义.
8．1
【来源】2013-2014学年江苏省阜宁中学高二下学期期中考试理科数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：由102011a b ??????=??????-?
?????得2,1, 1.a b a b =-=+= 考点：矩阵运算
9．33.6ml
【来源】2013届湖南省株洲市二中高三第五次月考文科数学试题（带解析）
【解析】 试题分析：根据公式x 1=小+0.618（大-小）=10+0.618（110-10）=71.8， x 2=小+大-x 1=10+110-71.8=48.2，
此时差点将区间分成两部分，一部分是[10，71.8]，另一部分是[71.8，110]将不包含好点的那部分去掉得存优部分为[10，71.8]，
根据公式x 3=小+大-x 2=10+71.8-48.2=33.6，
所以第三次实验时葡萄糖的加入量为33.6mL ，
故答案为33.6
ml 。 考点：黄金分割法--0.618法
点评：简单题，熟练掌握黄金分割法的基本概念及步骤是解答的关键。
10．1
【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷带解析）
【解析】 试题分析：由已知，，
所以x ﹣2=0，x ﹣y=1
所以x=2，y=1．
考点：二阶行列式的定义
点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题
【答案】0
【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析）
【解析】2220x y xy x y +=-?+=．
【考点定位】考查矩阵的运算，属容易题。
12．y x n m -?? ?-??
【来源】2012-2013学年江苏淮安市涟水县第一中学高一下学期期末考试数学题（带解析）
【解析】
试题分析：根据矩阵乘法法则得，0110x y y x m n n m --??????= ??? ?-??????。
考点：矩阵乘法法则。
点评：简单题，应用矩阵乘法法则直接计算，属于基础题。
13．???
? ??3211 【来源】2012-2013学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析）
【解析】
试题分析：设A=a b c d ???????? ，则可知a b c d ???????????? ??1201=1001????????，可知得到A=1201??-??????
，同理可知B=1110??-??????
，则可知(AB)－1 =???? ??3211 考点：矩阵的乘法，逆矩阵
点评：利用矩阵的乘法法则及逆矩阵的求解，即可得到答案．属于基础题。
14．
264514M ??=???? 【来源】2016届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：由矩阵特征多项式得
2(1)(5)0x x λλ---+=一个解为2-，因此3x =，再根据矩阵运算得2
64514M ??=???? 试题解析：解：2λ=-代入
21
2(1)(5)052x x x λλλλ+-=---+=--，得3x = 矩阵12532M -????=???? ∴
264514M ??=???? 考点：特征多项式
15．
1201A ??=???? 【来源】2016届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线:1l x y +=上任意一
点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，则有x mx ny y y '=+??'=?
，因为1x y ''-=所以()1mx ny y +-=与1=+y x l ：重合，因此111m n =??-=?．
试题解析：解：设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．
由''01x m n x mx ny y y y +????????==????????????????,得x mx ny y y '=+??'=?
又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=
依题意111m n =??-=?,解得12m n =??=?，
1201A ??∴=???? 考点：矩阵变换
16．属于特征值12λ=的一个特征向量121α??=????属于特征值23λ=的一个特征向量211α??=????
【来源】2016届江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：由特征多项式为()2125614f λλλλλ--=
=--+=0解得两个特征值12λ=，23λ=．再代入得对应特征方程组，因此属于特征值12λ=的一个特征向量121α??=????，属于特征值23λ=的一个特征向量211α??=????．
试题解析：矩阵A 的特征多项式为
()21
25614f λλλλλ--==--+， 由()0f λ=，解得12λ=，23λ=．
当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=??-=?
故属于特征值12λ=的一个特征向量121α??=????；
当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=??-=?
故属于特征值23λ=的一个特征向量
211α??=????．
考点：特征值及特征向量 17．1436-????-?
? 【来源】2016届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：列方程组1133113a b c d ????????==????????????????，19215a b c d -??????=????????????解得
1,4,3,a b c d =-==-=
试题解析：解：设a b c d ??=????M ,则1133113a b c d ????????==????????????????,故3,3a b c d =??=?++．
19215a b c d -??????=????????????,故29,215a b c d -=??-=?++．
联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=,故M =1436-????-?
?． 考点：矩阵特征值及特征向量
18．
22841x xy y ++= 【来源】2016届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：实质利用转移法求轨迹方程：先确定矩阵M ，由矩阵M 有一个特征值为2，得矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--有一个解2，所以2a =．再设曲线C 在矩阵M
变换下点(,)x y 变换为点(,)x y ''，由 2 0M 2 1x x x y y y '????????==????????'????????得22x x y x y '=??'=+?，代入
221x y ''+=得22841x xy y ++=
试题解析：由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，
因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =．
所以 2 0M 2 1x x x y y y '????????==????????'???
?????，即22x x y x y '=??'=+?， 代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为
22841x xy y ++=．…10分
考点：矩阵特征值
19．A ＝?????? 3 3 2 4， A 的逆矩阵是?????
??? 23 －12 －13 12 ． 【来源】【百强校】2016届江苏省扬州中学高三12月月考数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：由矩阵特征值的特征向量定义知??
???? 3 3 c d ??????11＝6??????11，?????? 3 3 c d ?????? 3－2＝????
?? 3－2，解得关于,c d 方程组，联立即可． 试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝??????11可得，?????? 3 3 c d ??????11＝6????
??11，
即c ＋d ＝6；
由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝?????? 3－2，可得?????? 3 3 c d ?????? 3－2＝????
?? 3－2， 即3c －2d ＝－2．
解得???c ＝2，d ＝4．即A ＝?????? 3 3 2 4， A 的逆矩阵是?????
??? 23 －12 －13 12 ． 考点：矩阵的运算．
20．（1）1232??????
（2）x 2＋y 2＝2． 【来源】【百强校】2016届江苏省苏州中学高三上学期初考试数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：（1）由特征值与对应特征向量关系得：12b c ??????23??????＝812??????
，即2＋3b ＝8,2c ＋6＝12，b ＝2，c ＝3，所以M ＝1232??????
．（2）由转移法求轨迹得，先设曲线上任一点P （x ，y ）在M 作用下对应点P′（x′，y′），则
x y '????'??＝1232??????
x y ??????，解之得234y x x x y y ''-?=???''-?=??代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x′2＋y′2＝2，即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2．
试题解析：解：（1）由已知12b c ??????23??????＝812??????
，即2＋3b ＝8,2c ＋6＝12，b ＝2，c ＝3， 所以M ＝1232??????
．（4分） （2）设曲线上任一点P （x ，y ），P 在M 作用下对应点P′（x′，y′），则x y '????'??＝1232??????x y ??????
， 解之得234
y x x x y y ''-?=???''
-?=??代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x′2＋y′2＝2，
即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2
＝2．（10分）
考点：特征值，特征向量，矩阵变换
21．点(0，5)
【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析）
【解析】设点(x，y)是直线x＋y＝5上任意一点，在矩阵
00
11
??
??
??
的作用下点变换成(x′，
y′)，则
00
11
??
??
??
x
y
??
??
??
＝
'
'
x
y
??
??
??
，所以
'0
'
x
y x y
=
?
?
=+
?
.因为点(x，y)在直线x＋y＝5上，所以y′
＝x＋y＝5，故得到的图形是点(0，5)．
22．
10 20??????
【来源】2014届高考数学总复习考点引领技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析）【解析】将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用
变换为(x，2x)，则有
a
b
??
??
??
x
y
??
??
??
＝
2
x
x
??
??
??
，解得
1
2.
a
b
?
?
?
＝，
＝
∴T＝
10
20
??
??
??
.
23．A′(2，0)
【来源】2014届高考数学总复习考点引领技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析）
【解析】矩阵
10
02
??
??
-
??
表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸
压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)
24．
10 01 -
?? ?
-??
【来源】2014年高考数学全程总复习课时提升作业七十五选修4-2第二节练习卷（带解析）
【解析】N2=
01
10
-
??
?
??
01
10
-
??
?
??
=
10
01
-
??
?
-
??
25．（1）MN＝
12
34
??
??
??
01
13
-
??
??
??
＝
25
49
??
??
??
；（2）P(
5
2
， 1).
【来源】2014届江苏南京金陵中学高三第一学期期中考试理科数学试卷（带解析）【解析】
试题分析：（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用
25
49
??
??
??
x
y
??
??
??
＝
1
??
??
??
，
转化为关于,x y的二元一次方程，解出,x y，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算,x y.
试题解析：（1）MN＝
12
34
??
??
??
01
13
-
??
??
??
＝
25
49
??
??
??
； 5分
（2）设P(x，y)，则解法一：
2549??????x y ??????＝01??????，即250
491x y x y +=?
?+=? 解得5
21x y ?=???=-?即P(52
， 1)． 10分
解法二：
因为12549-??????＝9
52221??-????-??．所以x y ??????＝952
221??
-??
??-??01?
?????＝
52
1????
??-??
．
即P(5
2， 1)． 10分
考点：矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.
26．11 2225??
-??????
【来源】2014届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：先用待定系数法求出1A -，再求出1-A B .
试题解析：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ??????，则2010 0101a b c d ??????
=????????????
， 1
分
即221
0 01a
b c d ??
??
=????????
， 4分 故1,0,0,12a b c d ====，从而A 的逆矩阵为11
0 210A -??
?=???
?．
7分 所以111
1011 222125025A B -???
--
??????==????????????
． 10分
考点：矩阵的乘法、逆矩阵.
27． 10-??? 23-?
??
【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析）
【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a c ??? b d ?
??，则10-??? 02???a c ??? b d ?=??10??? 01???，即2a c -??? 120b d -??=????
01???
， ∴1a =，0b =，0c =，12d =，从而，A 的逆矩阵为110A --??=??? 012????
， ∴110A B --??=??? 012????10???26?=??10-???
23-???.
【考点定位】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力.
28．1235M ??=????
【来源】2012届江苏省涟水中学高三上学期期中考试数学试题（带解析）
【解析】
试题分析：解：设m n M p q ??=????，则由 2 4 2 03 50 1M ????=????????
22m n p q ??=????
（5分） 则222435m n p q =??=??=??=?123
5
m n p q =??=???=??=?，即1235M ??=????. （10分） 考点：矩阵
点评：主要是考查了矩阵的求解的运用，属于基础题。
29．（1）A =??
? ??3122.（2）20x y ++= 【来源】2013届福建省福建师大附中高三5月高考三轮模拟理科数学试卷（带解析）
【解析】
试题分析：(Ⅰ)由已知得???
? ??-?=???? ??-???? ??1211212b a ，所以???-=-=-，，12222b a 2分 解得???==，
，32b a 故A =??? ??3122. ……………………………………………………3分
(Ⅱ) BA =??? ??-1011??? ??3122=1113-?? ???
，因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线10x y ++=上的两点（0，1），（-1，2）， 4分
11011313-??????= ??? ?-??????，11011311--??????= ??? ?-??????
，由得：
（0，1），（-1，2）在矩阵A 所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） 6分
从而直线10x y ++=在矩阵BA 所对应的线性变换下的像的方程为20x y ++=. 7分 考点：矩阵的概念和变换
点评：主要是考查了矩阵的计算以及变换的运用，属于基础题。
30．（1）()22 3==342 1 f λλλλλ--??--??--??
. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，.
【来源】2013届福建省高三高考压轴理科数学试题（带解析）
【解析】
试题分析：（1）解:∵1-A A =E ,∴()11--A =A . ∵113441122-??-??=????-????
A ,∴()11 2 32 1--??=????A =A . ∴矩阵A 的特征多项式为()22 3==342 1 f λλλλλ--??--??--??
. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，.
考点：本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵特征值的概念。
点评：简单题，作为选考内容，难度不大，关键是掌握基本的概念及计算方法。
行列式跟矩阵的关系 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。就是m×n 矩阵就是mn个数排成m个横行n个竖列的阵式。n×n矩阵的行列式是通过一个定义，得到跟这个矩阵对应的一个数，具体定义可以去看书。注意，矩阵是一个阵式，方阵的行列式是跟一个方阵对应一个数。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。 也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
专题八、矩阵与行列式 1.矩阵：n m ?个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1,ΛΛ==排成m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn n m n n a a a a a a a a a A ΛM M ΛΛ212221211211叫做矩阵。记作n m A ?，n m ?叫做矩阵的维数。 矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。 2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。 ?? ?=+=+222 1 11c y b x a c y b x a 3.线性方程组矩阵的三种变换： ①互换矩阵的两行； ②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个数加到另一行。 变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。 4.矩阵运算：加法、减法及乘法 （1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A -B ）. 运算律：加法交换律：A+B=B+A ；加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ） （2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数 α的乘积矩阵，记作：αA.
运算律：分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(； 结合律：()()()A A A γλλγγλ==； （3）矩阵的乘积：设A 是k m ?阶矩阵，B 是n k ?阶矩阵，设C 为n m ?矩阵。如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积，记作：C m ×n =A m ×k B k ×n . 运算律：分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(； 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB =； 注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BA AB ≠。 5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法： 设二元一次方程组（*）???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数 且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）: 当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：??? ? ??? --=--=1221122 112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ， 引入记号 2 1a a 2 1b b 表示算式1221b a b a -，即 2 1a a 2 1b b 1221b a b a -=． 从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。 记= D 2 1a a 2 1b b ，= x D 2 1c c 2 1b b ，= y D 2 1a a 2 1c c ，则： ①当= D 2 1a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解， 可用二阶行列式表示为??? ? ?? ? ==D D y D D x y x . ②当D =0时，0x y D D ==，方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0,0x y D or D ≠≠，方程组（*）无解。 系数行列式112 2 a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数
矩阵、行列式和算法（20131224） 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x ”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值围是 ． 5.若方程组111 222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 .
9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下 变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必 要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- =
【课堂例题】 例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=?? ++=??-+=? 例2.已知行列式2 40 2 101 01 D -=--，写出第一列元素的代数余子式.
【知识再现】 1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223 333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、 c 2、c 3不全为零. 若记1 11 2 223 3 3 a b c D a b c a b c =， x D = ， y D = ， z D = 当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 . 【基础训练】 1.方程组273514223x y z x y x y -+=?? -=??-=? 的系数行列式为 ，系数行列式的值为 . 2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-?? -+=??++=? ， (1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 . 3.关于,,x y z 的方程组1111 22223 333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?中，若记111 2 2233 3 a b c D a b c a b c =，则“0D =” 是“方程组(1)有无穷多组解”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解. ， .
行列式及矩阵的计算（课堂练习） 、填空 1 ?已知三阶方阵A 的行列式为3,贝U 2A = -24 1 2 ,g(x) 0 1 3 .设， ,为3维列向量， 记矩阵 A ( , , ),B ( A 3, 则B 3 = ,,丨 6 1 1 1 4?行列式 1 1 x 的展开式中，X 的系数是 2 . 1 1 1 1 0 1 0 5.设A 则A k 。（k 为正整数）. 2 1 2k 1 7.已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1 , 3 , 别为3, 2, 1 , 1，则行列式D =二3 24 4 (1) 1 , 2, 3, 2 16m n 2.设A 则 g(A )= n ，则 1 , 2, 3,2 1 2 16m n 2, 2，它们对应的余子式分
(X ) 解：D = 1 X 3+ 3X(— 2) + (— 2)X 1 + 2X 1 = — 3 二、判断题 1. 设A 、B 均为n 阶方阵, |AB | [AB AB A|B. (V ) 二、行列式计算 3 3 3 3 4 3 3 4 (1) D n 3 3 4 3 3 3 3 4 3n 1 3 Cl C 2 3n 1 4 解: Ci C 3 D n 3n 1 3 G C n 3n 1 3 1 1 1 1 1 2 3 1 (2 D 1 4 9 1 1 8 27 1 2. 设A 、B 均为n 阶方阵, 解：（范得蒙行列式）=（— 3 3 3 1 =3n 1 1 0 0 0 1 3 3 3n 1 3 3 D n 0 「3 A 4 3 ——0 3 4 r n r 1 ax 1 X 2 X 3 2 五、 a 为何值时， 线性方程组： X 1 ax 2 X 3 2 有唯一解？ X 1 X 2 ax 3 3 a a 1 1 解: det A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 a 2且a 1时，有唯一解 1 1 a 1)=— 240 1 — 3) (— 1 + 2) (— 1— 1) (3+ 2) ( 3— 1) ( — 2—
矩阵与行列式的相似与不同 学校：长江大学 院系：信息与数学学院 专业：信息与计算科学 姓名：郑洲 辅导老师：谢老师
【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。 【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别 矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。 行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。行列式是一个函数，值是一个标量。其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。 我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。 1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和 矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从 上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。 2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。 3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。可以表示为 D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3) A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即 D1D2D3=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C (3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说 D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1 A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。 1.先从概念上可以看出:（1）n阶行列式D n是n2个数按一定顺序排列成的n行n列的方阵，其实际上是一个数，行列式在数表两端加||；而矩阵是m ×n个数按一定方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表，矩阵在数表两端加（）或[]。行列式是方形数表中定义，对不上方形的数表，不能讨论任何行列式的问题，而矩阵无此限制（2）行列式和矩阵行列之间存在差
沪教版(上海) 高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行 列式初步本章复习题 一、填空题 (★) 1. 二元一次方程组的增广矩阵是___________． (★) 2. 方程的实数解是________． (★★) 3. 若的三个顶点坐标为，其面积为________． (★★) 4. 设，计算：________． (★★) 5. 若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ______ ． (★★) 6. 将表示成一个三阶行列式为________． (★★) 7. 函数的最大值是_________． (★★) 8. 计算：__________． 二、双空题 (★★) 9. 若，，，，则______，______． (★★)10. 已知矩阵，矩阵，向量经过矩阵A变换为向量_______，变换后的向量与原向量关于直线__________对称． 三、单选题 (★★★) 11. 三阶行列式的两行成比例的是这个行列式的值为零的（） A．充分条件B．充要条件C．必要条件D．非充分非必要条件(★★) 12. 若，则 x的值是（）． A．1B．C．D．
(★) 13. 已知，则（）． A．B．C．D． (★) 14. 已知是阶矩阵，，则下列结论中错误的是（）． A．B． C．D． 四、解答题 (★★) 15. 已知矩阵，，，计算： （1）； （2）； （3）． (★★★) 16. 关于的二元一次方程组有唯一一组正解，求实数 a的取值范围．(★★) 17. 用矩阵变换的方法解方程组：. (★★) 18. 已知矩阵，定义其转置矩阵．若 ，写出 A的转置矩阵，并求行列式与．说明两者有什么关系． (★★★) 19. 已知．求证：三点共线的充要条件是 ．
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+， 2 π βα=-，则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式21 24 1 013 9x x =-，则=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则 x y -=_______． 7．矩阵1141?? ???? 的特征值为 ． 8．已知变换100M b ?? =? ??? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618 法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知 ， ，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y +=
矩阵与行列式知识梳理 一、矩阵的概念 1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)： ?? ? ? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵，用______表示. 简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素. 几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组?? ?=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵??? ? ??2211 b a b a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵??? ? ??22 2 111 c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换： (1) (2) (3) 4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解. 二、二阶行列式 1 定义：我们用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -，即 12212 2 11b a b a b a b a -=，记号 2 2 11b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式 2 2 11b a b a 的展开式，其计算结果叫做 2 2 11b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式 2 2 11b a b a 的元素. 2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积. 3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、 1b 、2b 不全为零，行列式2 2 11b a b a D = 叫做方程组①的系数行列式. 设2 2 11b c b c D x = ，
第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 第一课时 9.1 矩阵的概念（1） [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题； 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念； 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念； 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念； 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入： 引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13?? ??? ； 引例2：2008 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 引例3：将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为 2332441m n ?? ?- ? ? -?? ；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-??。 二、概念讲解：
1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -? ?这样的矩形数表 叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵， m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列）， 可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余 元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
第9章 矩阵和行列式初步 一、 矩阵 9.1 矩阵的概念 矩阵及其相关的概念 1、矩形数表叫做矩阵 矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 由个数排成的行列的数表 n m ?m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn m m n n a a a a a a a a a 21 2222111211称为矩阵. n m ?记作?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221 11211n m ij a ?=)( 2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。? ?? ? ??-1321它是2行2列的矩阵，记为 2 2?A ，矩阵 可简记为A n m A ?注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”. 列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 。 等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ???)(,
说明： 通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有 下列三种： （1）互换矩阵的两行 （2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数 （3）某行乘以一个数加到另一行 通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
9.2 矩阵的运算 矩阵 列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ?==?) ,,2,1;,2,1( 11 12121 2221 2 .....................n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 记为列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 ,()m n m n ij A B a ??必要时可记为等，或者A=。 0m n O O ?所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习 定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对 应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。记为：A=B n m ij n m ij b B a A ??==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,) ij ij a b i m j n ===且则A=B 。 ...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算 （一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法 3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。A-B A B +记为或（）。 A B ±即 ()()ij m n ij m n a b ??=±()ij ij m n a b ?=± 定义4以实数乘矩阵A 中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A 的乘积矩阵．记做A A α即 ()ij m n a α?=()ij m n a α?=的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与A A A 1-A -记作n m ij a A ?-=-)(即 α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B αααααα=+=+注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）
【最新整理，下载后即可编辑】 矩阵和行列式复习 知识梳理 9.1矩阵的概念： 矩阵：像[27]，[ 4202]，[945 354 ]的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、B 、C…表示 三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵； ① 矩阵行的个数在前。 ② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 行向量、列向量 单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。 9.2矩阵的运算 【矩阵加法】 不同阶的矩阵不可以相加； 记11122122A A A A A =?? ????，11122122B B B B B =??????，那么 ??? ???++++=+22222121 12121111B A B A B A B A B A ， 【矩阵乘法】， [A 1A 2]×[A 1A 2]=11122122A B A B A B A B ?????? ； ?? ? ? ??++++=2222122121 2211212212121121 121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB 【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka == 【矩阵变换】
相似变换的变换矩阵特点：k [10 01]等 轴对称变换的变换矩阵：[?1001]、[100?1]、[01 10]等 旋转变换的变换矩阵：[0?1 10 ]等 9.3二阶行列式 【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。 二阶行列式的值a d D ac bd b c = =- 展开式ac - bd 【二元线性方程组】 对于二元一次方程组111 222 a x b y c a x b y c +=?? +=?，通过加减消元法转化为方程组 x y D x D D y D ?=??? ?=?? 其中1 11 11 1 2 22 222 ,,x y a b c b a c D D D a b c b a c = == 方程的解为{A = A A A A = A A A 用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。 （I ）0D ≠，方程组（*）有唯一解； （II ）0D = ○1 ,x y D D 中至少有一个不为零，方程组（*）无解； ○2 0x y D D ==，方程组（*）有无穷多解。 系数行列式1122 a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。 9.4三阶行列式
矩阵与行列式习题 本试卷共18题，时间60分钟，满分100分） 班级： 姓名： 一、填空选择题：（每题3分，共36分） 1、已知46x A y ??= ???，13u B v ?? = ??? ，且A B =，那么A+AB= 。 2、设231001252437A B -???? ? ? ==- ? ? ? ?-?? ?? ，则3A –4B 为 。 3、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+，i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那 么矩阵 A= . 4、设2442,1221A B -???? == ? ?-???? 則32A B - = ,=AB ， =BA 5、若点A 在矩阵1222-????-?? 对应的变换作用下得到的点为（3，- 4），那么点A 的坐标 为 . 6、若202137x y -?????? = ??? ?-?????? ，则x y +=___________. 7、 121 2 a a b b =1,则 1 2 12 2233b b a a =-- _____ 。 8、（1）行列式z kc c y kb b x ka a = ；（2）211 121__________11 2 -= 9、已知1 242 2 1342 D -=---，则21a 的代数余子式21A = 。 10、已知2 4132 01x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A
11、设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=______________ 12、如果方程组???=++=++010 1dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为 二、简答题（每题8分，共64分） 1、已知? ??? ??-=533201A ? ??? ? ??-=013164245B 求()AB . 2. 已知1011A ??= ??? ，分别计算23A A 、，猜测* (2)n A n n ≥∈N ，； 3. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解: ⑴ 32110250x y x y --=??+-=? ； ⑵111612102113x y z ?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-?????? . 4、已知函数f(x)=x a x +1111 1 1 1 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的最小值。
矩阵和行列式复习 知识梳理 9.1矩阵的概念： 矩阵：像 ， ， 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、 B 、C…表示 三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵； ① 矩阵行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 行向量、列向量 单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。 9.2矩阵的运算 【矩阵加法】 不同阶的矩阵不可以相加； 记11 1221 22A A A A A =?? ? ???，11 1221 22B B B B B =?? ???? ，那么 ?? ? ???++++=+22222121121211 11B A B A B A B A B A ， 【矩阵乘法】， =11122122A B A B A B A B ?? ???? ； ?? ? ???++++=22221221212211212212121121 1211 11B A B A B A B A B A B A B A B A AB 【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka == 【矩阵变换】 相似变换的变换矩阵特点：k 等 轴对称变换的变换矩阵： 、 、 等 旋转变换的变换矩阵： 等 9.3二阶行列式 【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。
行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。 二阶行列式的值a d D ac bd b c ==- 展开式ac -bd 【二元线性方程组】 对于二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=??+=?，通过加减消元法转化为方程组x y D x D D y D ?=????=?? 其中1 11 11 12 22222 ,,x y a b c b a c D D D a b c b a c = == 方程的解为 用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。 （I ）0D ≠，方程组（*）有唯一解； （II ）0D = ○ 1,x y D D 中至少有一个不为零，方程组（*）无解； ○ 20x y D D ==，方程组（*）有无穷多解。 系数行列式11 2 2 a b D a b = 也为二元一次方程组解的判别式。 9.4三阶行列式 三阶行列式展开式及化简12 3 1 231232313121 2 3 a a a D b b b a b c a b c a b c c c c ==++321213132() a b c a b c a b c -++（对角线法则） 三阶行列式的几何意义：直角坐标系中A 、B 、C 三点共线的充要条件(沪教P95) 【余子式】把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式；添上符号（-1）i+j 后为代数余子式。
矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ? ?????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式; 算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的 对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解
附录I 矩阵代数基本知识 矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。 一、 向量矩阵的定义 将n p ?个实数111212122212,,,,,,,,,,,,p p n n np a a a a a a a a a 排成如下形式的矩形数表，记为A 111212122212p p n n np a a a a a a a a a ?? ??? ?=???????? A 则称A 为n p ?阶矩阵，一般记为()ij n p a ?=A ，称ij a 为矩阵A 的元素。当 n p =时，称A 为n 阶方阵；若1p =，A 只有一列，称其为n 维列向量， 记为 1121 1n a a a ???????????? 若1n =，A 只有一行，称其为 p 维行向量，记为 () 11121,,,p a a a
当A 为n 阶方阵，称1122,,,nn a a a 为A 的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵A 的非对角元素全为0，称A 为对角阵，记为 11221122(,,,)nn nn a a diag a a a a ??????==???????? A 进一步，若11221nn a a a ==== ，称A 为n 阶单位阵，记为n I 或 =A I 。 如果将n p ?阶矩阵A 的行与列彼此交换，得到的新矩阵是p n ?的矩阵，记为 112111222212n n p p np a a a a a a a a a ????? ?'=???????? A 称其为矩阵A 的转置矩阵。 若A 是方阵，且'= A A ，则称A 为对称阵； 若方阵()ij n n A a ?=，当 对一切i j <元素0ij a =，则称 112122 12 n n nn a a a a a a ???? ??=??????A 为下三角阵；若'A 为下三角阵，则称A 为上三角阵。