概率论与数理统计_谢永钦版课后答案(1)

概率论与数理统计习题及答案

习题一

1.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C

（1）A发生，B，C都不发生；

（2）A与B发生，C

（3）A，B，C都发生；

（4）A，B，C

（5）A，B，C都不发生；

（6）A，B，C

（7）A，B，C至多有2个发生；

（8）A，B，C至少有2个发生.

【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC

（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC

(5) ABC=A B C(6) ABC

(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC

3..

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.

【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]

=1-[0.7-0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,

（1）在什么条件下P（AB

（2）在什么条件下P（AB

【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

=

14+14+13-112=34

7.

52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

【解】 p =5

3

3

2

13

1313131352C C C C /C 8.

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=

5

17

=（17）5

（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

P （A 2）=5567=(67

)5

(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}

P （A 3）=1-P (A 1)=1-(

17

)5

9..见教材习题参考答案.

10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n

. （1） n 件是同时取出的； （2）

n （3） n 件是有放回逐件取出的.

【解】（1） P （A ）=C C /C m n m n

M N M N --

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n

N 种，n 次抽取中有m

次为正品的组合数为C m

n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m

M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n m

N M --种，故

P （A ）=C P P

P m m n m

n M N M n N --

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

P （A ）=C C C m n m

M N M

n N

--

可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n

次抽取中有m 次为正品的组合数为C m

n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，

m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故

()C ()

/m m n m

n n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为M

N

，则取得m 件正品的概率为

()C 1m n m

m n M M P A N N -????

=- ? ?

???

?

11..见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太

弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}

133

103501

()C C /C 1960

P A ==

13.

7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.

21

343

4

233377C C C 184(),

()C 35

C 35

P A P A ====

故 232322()()()35

P A A P A P A =+=

14.

0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）

(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==?= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-?=

(3) 2

112()0.80.30.20.70.38P A A A A =?+?=

15.

3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

【解】（1） 223151115()()22232p C ==

(2) 1342111C ()()22245/325

p == 16.

0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球

数相等的概率.

【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则

3331212

3330

(

)(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+??+

222233

33C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)?

=0.32076

17

5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

【解】 41111522224

10C C C C C 131C 21

p =-= 18.

0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.

（1） ()0.1

()0.2()0.5

P AB p B A P A =

== （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=

19.

3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男

为女是等可能的）.

【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

()6/86

()()7/87

P AB P B A P A =

==

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

6()7

P B A =

20.

5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.50.0520

0.50.050.50.002521

?==

?+? 21.

9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.

如图阴影部分所示.

2

2

301

604

P==

22.0，1）中随机地取两个数，求：

（1）两个数之和小于

6

5

的概率；

（2）两个数之积小于

1

4

的概率.

【解】设两数为x,y，则0

（1）x+y<

6

5

.

1

144

17

255

10.68

125

p=-==

(2) xy=<

1

4

.

11

11

2

44

11

1d d ln2

42

x

p x y

??

=-=+

?

??

??

23.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）

【解】

()()()

()

()()()()

P AB P A P AB

P B A B

P A B P A P B P AB

-

==

+-

0.70.51

0.70.60.54

-==+-

24.

15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新

球}

由全概率公式，有

3

()()()i i i P B P B A P A ==∑

3312321

333699689679

6333333331515151515151515

C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+?0.089=

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知

（1）()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==

+ 0.20.11

0.027020.80.90.20.137

?=

==?+?

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()

()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.80.14

0.30770.80.10.20.913

?=

==?+?

即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而

B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？

【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }

C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得

()()

()()()()()

P A P C A P A C P A P C A P A P C A =

+

2/30.98

0.994922/30.981/30.01

?==?+?

27.

取出一球，若发现这球为白球，试求箱

【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=

1

3

,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知

11112

()()()

()()

()()

i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ==

=∑ 2/31/31

1/31/32/31/311/33

?=

=?+?+?

28.

96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.

【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.960.98

0.9980.960.980.040.05

?==?+?

29.

.统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，

C ={该客户是“冒失的”}，

D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

()()(|)

(|)()()(|)()(|)()(|)

P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=++

0.20.05

0.0570.20.050.50.150.30.3

?==?+?+?

30.

0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.

4

12341

()1()i i P A P A A A A ==-

12341()()()()P A P A P A P A =-

10.980.970.950.970.124=-???= 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行n 次独立射击.

1(0.8)0.9n -≥

即为 (0.8)0.1n

≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.

P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.

【证】 (|)(|)P A B P A B =即

()()

()()

P AB P AB P B P B =

亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =

()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-

因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立. 33.

15，13，1

4

，求将此密码破译出的概率.

【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则

3

1231231

()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-

423

10.6534

=-??= 34.

0.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

3

()(|)()i i i P A P A B P B ==∑

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

35.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 3

10110

C

(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -==

=∑

(2) 10

10210

4

C

(0.25)(0.75)0.2241k

k k k p -===∑

36.

6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

（1） 2466

C 9

()10P A =，也可由6重贝努里模型：

224

619()C ()()1010

P A =

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

610

6P ()10

P B =

（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有1

10C 种可能结果，再从

六人中选二人在该层离开，有2

6C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有1

3

1

948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有1

9C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有4

9P 种可能结果，故

12131146

10694899()C C (C C C C P )/10P C =++

（4） D=B .故

6

10

6P ()1()110

P D P B =-=-

37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111

p n =

-

(2) 23!(3)!

,3(1)!

n p n n -=>-

(3) 12(1)!13!(2)!

;,3!!

n n p p n n n n --''=

==≥ 38.[0，a ]

【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由

0

()()x y a x y x a x y y y a x y x

+>--??+-->??+-->? 构成的图形，即

02022a x a y a

x y a ?<

?<

如图阴影部分所示，故所求概率为1

4

p =

. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.

【证】 11P 1

,1,2,,

P k n k n p k n n

--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

01512384

()0.512,()0.38410001000P A P A =

===, 24968

()0.096,()0.00810001000P A P A ====.

41.对任意的随机事件A ，B ，

C

P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A

). 【证】 ()[()]()P A P A B

C P AB AC ≥=

()()()P AB P AC P ABC =+-

()()()P AB P AC P BC ≥+- 42.

3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.

【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

3413C 3!3

()48

P A ==

而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

14

33C 1()416

P A ==

因此 213319

()1()()181616

P A P A P A =--=-

-= 或 121433

23C C C 9()416

P A == 43.2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，

C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以

1()

()2

P C P A -=

由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为

211()()()22n n n

n P C C =

故 2211()[1C ]22

n

n n P A =-

44.n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P （A ）=P （B ）

（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）

=0.5

(2) 当n 为偶数时，由上题知

2

11()[1C ()]22

n

n n P A =-

45.n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

>正正（甲乙）

=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=12

46.

Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）

≥P (B ).

【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得

()()

,()()

P AC P BC P C P C ≥

即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥

故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则

12

1(1)1()(1)

2

()(1)1()(1)n k k

i k k

i j k

i i i n P A n n

P A A n n P A A A n

--==-=--=

-

其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是

2

1121111

2

21111111231

11()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0

()(1)n n n

k k

i n

i k

i j n i j n

n k

n i i i n i i i n

n n

n i n

i S P A n n n S P A A n n S P A A A n

S P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-

==-+-

+-∑∑

∑

1

2

1

121C (1)C (1)(1)C (1)k k

n n k

n n n n n

n

n

--=---++--

故所求概率为

12

1121()1C (1)C (1)n

k i i n n

i P A n n

=-=--+--+11

1(

1)C (1)n n k

n n n

+----

48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为

1(1)1()n n ε--→→∞

49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，

将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}

B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m n

P B P B m n m n

=

=

++ 1

(|),(|)12

r P A B P A B ==

则由贝叶斯公式知

()()(|)

(|)()()(|)()(|)

P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B =

=+ 1

21212r r

r m m m n m n m n

m n m n

+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又

【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121

()()2

P B P B ==

.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。把取2n -r 次火柴视作2n -r 重贝努里试验，则所求概率为

12211112C ()()C 2222

n n n r n

n r n r r r

p ----== 式中2反映B 1与B 2盒的对称性（即也可以是B 2盒先取空）.

（2） 前2n -r -1次取火柴，有n -1次取自B 1盒，n -r 次取自B 2盒，第2n -r 次取自B 1

盒，故概率为

111

2122121

11112C ()()C ()2222

n n n r n n r n r n r p ----------== 51.

n 重伯努利试验中A 出现奇数次的概率.

【解】 设在一次试验中A 出现的概率为p .则由

0011222

()C C C C 1n n n n n n n n n n q p p q pq p q p q --+=++++= 0011222n 0()C C C (1)C n n n n n n n n n n q p p q pq p q

p q ---=++-+-

以上两式相减得所求概率为

11333

1C C n n n n p pq p q

--=++

1

[1()]

2n q p =-- 1

[1(12)]2

n p =-- 若要求在n 重贝努里试验中A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

21

[1(12)]2

n p p =+-.

52.设A ，B 是任意两个随机事件，求P {（A +B ）（A +B ）（A +B ）（A +B ）}的值. 【解】因为（A ∪B ）∩（A ∪B ）=A B ∪A B

（A ∪B ）∩（A ∪B ）=AB ∪AB

所求 ()()()()A B A B A B A B ++++

[()()]AB

AB AB AB =+

=?

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A ，B 和C

ABC =Φ，P (A )=P (B )=P (C )< 1/2，且P （A ∪B ∪C ）=9/16，求P （A ）. 【解】由()()()()()()()()P A

B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+

2

93()3[()]16

P A P A =-=

故1()4P A =

或34

,按题设P （A ）<12,故P （A ）=14.

54.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A

不发生的概率相等，求P （A ）.

【解】 1

()()1()9

P A B P A B P A

B ==-= ① ()()P AB P AB = ②

故 ()()()()P A P AB P B P AB -=-

故 ()()P A P B = ③

由A ,B 的独立性，及①、③式有

1

1()()()()9

P A P B P A P B =--+ 2

12()[()]P A P A =-+ 2

[1()]P A =-

故 11()3

P A -=± 故 2()3P A =或4

()3

P A =（舍去） 即P （A ）=

2

3

. 55.随机地向半圆0

22x ax - (a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与

区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于π

/4

【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

1

2

πa 2.阴影部分面积为 22π142

a a + 故所求概率为

222π1114

212ππ2

a a

p a +==+ 56.

10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A ={两件中至少有一件是不合格品}，B ={另一件也是不合格品}

242102

62

10

C C ()1

(|)C ()51C P AB P B A P A ===- 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q . 【解】设A i ={报名表是取自第i 区的考生}，i =1,2,3.

B j ={第j 次取出的是女生表}，j =1,2.

则 1

(),1,2,33

i P A i =

= 111213375

(|),(|),(|)101525

P B A P B A P B A ===

(1) 3

11

1

137529

()(|)()310152590i

i p P B P B A ===

=++=∑

(2) 21212()

(|)()

P B B q P B B P B ==

而 3

22

1

()(|)()i i i P B P B

A P A ==

∑

1782061

()310152590

=

++=

3

21211()(|)()i i i P B B P B B A P A ==∑

137785202()3109151425249

=

?+?+?= 故 2122

()20

961()6190

P B B q P B ===

58. 设A ，B 为随机事件，且P （B ）>0,P (A |B )=1,试比较P (A ∪B )与P (A )的大小. (2006研考)

解：因为 ()()()()P A

B P A P B P AB =+-

()()()()P AB P B P A B P B =?=

所以 ()()()()()P A B P A P B P B P A =+-=.

59. 60.

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】

35

35

24

35

3,4,51

(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

==== 故所求分布律为

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；

（2） X 的分布函数并作图； (3)

133

{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.

【解】

3

1331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ==========

（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=

2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435

当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数

0,

022

,0135()34,12351,2x x F x x x

(3)

1122

()(),

2235333434

(1)()(1)0

223535

3312

(1)(1)(1)2235

341

(12)(2)(1)(2)10.

3535

P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=

<<=--==--=

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.

312

32

2

3

3(0)(0.2)0.008

(1)C 0.8(0.2)0.096

(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512

P X P X P X P X ============

故X 的分布律为

分布函数

0,

00.008,01()0.104,120.488,231,

3x x F x x x x

=≤

≥??

(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==

4.（1） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!

k a

k

λ，

其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .

（2） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知

1()e !

k

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

故 e

a λ

-=

(2) 由分布律的性质知

1

1

1()N

N

k k a

P X k a N

======∑∑

即 1a =.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)

(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+

(3,3)P X Y ==

331212

33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++

222233

33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+

0.32076=

(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==

123223

33C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 332212

33(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，

则有

()0.01P X N ><

即 200

2002001

C (0.02)(0.98)

0.01k k k

k N -=+<∑

利用泊松近似

2000.02 4.np λ==?=

41e 4()

0.01!

k

k N P X N k -∞

=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）

(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=

0.1

0.11e

0.1e --=--?

8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

14223

55C (1)C (1)p p p p -=-

故 1

3

p =

所以 4

451210

(4)C ()

33243

P X ===

. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）

5

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k

k k k P X -=≥==∑

(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）

7

773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑

10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

概率论与数理统计学1至7章课后答案

一、习题详解： 3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0, (,)0, x y x y x y F x y ----?--+≥≥=??其他 求}{ 12,35 P X Y <≤<≤. 解：因为 25 7(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F 5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F 所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤< == +--=----745672 3 22220.0234 3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1) 且 0)1,2(===Y X P ，6.053 )2,2(4 52 223=====C C C Y X P 4.052 )1,3(4 5 1 233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为 3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3) 且 81)2 1()3,0(3 = ===Y X P ，8 3)21()21()1,1(2 113====C Y X P 83)21()21()1,2(1 223====C Y X P ，8 1)21()3,3(3====Y X P

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章

第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率. 解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得 )2100|7300(|)94005200(<-=<

概率论与数理统计课后习题答案

习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -.

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8

{}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。

概率论与数理统计学1至7章课后答案

一、第六章习题详解 6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式. 证明： (1) ∑∑∑===+=+==n i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1 11)(1 )(11 b X a b X n a n i i +=+=∑=1 )1( (2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y b X a b aX n Y Y n S 1 212 2 )]()[(1)(11 221 2212)(1)]([1X n i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑== 6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。证明与2 (),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121 1 1 [()]()()n n E X X X E X X X n n n n μμ++ = ++== ()Var X =22 1212221 1 1[()]()()n n Var X X X E X X X n n n n n σσ++ =++ == 6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本,2 21 1()1n i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2 S =)(11 21 2X n X n n i i --= ∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 1 2212 2 )2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121 2X n X n n i i --=∑=

《概率论与数理统计》第三版-课后习题答案

习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207ππx x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??；