2012年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线
一、选择题
1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线
C ：2
2
221x y a b
-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的
端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是
A.
B
D. 【答案】B
【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组???????
=-+=0
,b y a x b x c
b y 得点Q ),(a
c bc a c ac --，联立方程组???????
=++=0
,b y a x b x c
b y 得点P ),(a
c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b
c
a x
b
c b c y --=-，令0=y ，得)1(22
b a
c x +=，所以c b
a c 3)1(22=+，所以2222222a c
b a -==，即2223
c a =，所以
2
6
=
e 。故选B 2.【2012高考新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，
C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B
两点，AB =C 的实轴长为（ ）
()
A ()B
()C 4 ()D 8
【答案】C
【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由
34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得
412162
2
=-=-=y x m ，所以双曲线方程为42
2
=-y x ，即14
42
2=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.
3.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直
线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30
的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45
【答案】C
【解析】因为12PF F ?是底角为30
的等腰三角形，则有
P
F F F 212=,，因为
02130=∠F PF ，所以
0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==
，即c c c a =?=-22
1
23，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4
3
=e ，选C. 4.【2012高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点
0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）
A 、
B 、
C 、4
D 、
【答案】B
【解析】设抛物线方程为2
2y px =，则点(2,M ±Q 焦点,02p ??
???
，点M 到该抛物线
焦点的距离为3，∴ 2
2492p P ?
?-+= ??
?， 解得2p =，所以OM ==.
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d
为点M 到准线的距离).
5.【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为.双曲线
221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则
椭圆C 的方程为
（A ）
22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164
x y += （D ）22
1205x y += 【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为
23，所以2
3==a c e ，2243a c =，2
22243b a a c -==，
所以22
41a b =，即2
24b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+b
x a x ，即
14542
22222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，22
54b y =，b y 5
2±=，则第一象限的交点坐标为)5
2,
5
2(
b b ，所以四边形的面积为165
165
25
242
==
?
?
b b b ，所以52
=b ，所以椭圆方程为
15
202
2=+y x ，选D. 6.【2012高考湖南理5】已知双曲线C ：22x a -2
2y b
=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的
渐近线上，则C 的方程为
A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220
y =1 D.220x -280y =1【答案】A
【解析】设双曲线C ：22x a -2
2y b
=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.
又 C 的渐近线为b y x a =±
，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b
a
∴= ，即2a b =.
又2
2
2
c a b =+，a ∴==∴C 的方程为220x -2
5
y =1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.
7.【2012高考福建理8】已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A.
B. C.3 D.5
【答案】Ａ．
考点：双曲线的定义。 难度：中。
分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。
【解析】由抛物线方程x y 122=易知其焦点坐标为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知
2234=+b ，所以5=b ，从而可得渐进线方程为x y 2
5
±
=，即025=-±y x ，所以54
5|
0235|=+?-?±=
d ，故选Ａ．
8.【2012高考安徽理9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ?的面积为（ ）
()
A ()
B ()C
()D 【答案】C
【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。
【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3，
得：1323cos cos 3θθ=+?=
又23
2cos()1cos 2
m m m πθθ=+-?=
=+，
AOB ?的面积为113sin 1(3)22232
S OF AB θ=???=??+?=
9.【2012高考全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的
方程为
A 216x +212y =1
B 212x +28y =1
C 28x +24y =1
D 212x +24
y =1 【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。
【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，
且42
-=-c
a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a
b ，所以椭圆的方程为14
82
2=+y x ，选C. 10.【2012高考全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)
14 （B ）35 (C)34 (D)45
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】双曲线的方程为12
22
2=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得4
3
2
422214)24()22(cos 2221=
??-+=
PF F ,选C. 11.【2012高考北京理12】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇
物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。若直线l 的倾斜角为60o.则△OAF 的面积为 【答案】3
【解析】由x y 42
=可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为?60，所以直线的斜率为
360tan =?=k ，利用点斜式，直线方程为33-=x y ，将直线和曲线联立
???
??-??????=-=)332,3
1()
32,3(4332B A x
y x y ，因此33212121=??=??=?A
OAF y OF S ． 二、填空题
12.【2012高考湖北理14】如图，双曲线22
22 1 (,0)x y a b a b
-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端
点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则
（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；
（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值
1
2
S S = . 【答案】;215+=
e 2
5
221+=S S 考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积
计算.
【解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，因此点O 到直线22B F 的距离为a ，又由于虚轴两端点为1B ，2B ，因此2OB 的长为b ，那么在22OB F ?中，由三角形的面积公式知，
222)(2
1
||2121c b a F B a bc +==，又由双曲线中存在关系222b a c +=联立可得出2
2
2
)1(e e =-，根据),1(+∞∈e 解出;2
1
5+=
e （Ⅱ）设θ=∠22OB F ,很显然知道θ=∠=∠222AOB O A F ,因)2sin(222θa S =.在
22OB F ?中求得,cos ,sin 2
222c
b c
c b b +=+=θθ故2222
24cos sin 4c b bc
a a S +==θθ； 菱形1122F B F B 的面积bc S 21=，再根据第一问中求得的e 值可以解出
2
5221+=
S S . 13.【2012高考四川理15】椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是____________。
【答案】3
【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考
查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中. 【解析】当直线x m =过右焦点时FAB ?的周长最大，1m ∴=；
将1x =带入解得32y =±
；所以13
2322
FAB S ?=??=. 14.【2012高考陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽
4米，水位下降1米后，水面宽 米.
【答案】62.
【解析】设水面与桥的一个交点为A ，如图建立直角坐标系则，A
的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为py x 22
-=，带入点A 得1=p ，设水位下降1米后水
面与桥的交点坐标为)3,(0-x ，则6,3202
0±=-?-=x x ，所以水面宽度为62. 15.【2012高考重庆理14】过抛物线2
2y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若
25
,,12
AB AF BF =
<则AF = .
【答案】
6
5 【解析】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,2
1(，准线方程为2
1
-
=x ，设A,B 的坐标分别为的),(),,(2211y x y x ，则4
1
4221==p x x ，设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x ，
所以有???
????
=+=--1225
4
1)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF .
16.【2012高考辽宁理15】已知P ，Q 为抛物线2
2x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，
-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。
【答案】-4
【解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2.
由2
2
12,,,2
x y y x y x '==
∴=则所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,
x y ==-故点A 的纵坐标为-4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。
17.【2012高考江西理13】椭圆 )0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右
焦点分别是F 1，F 2。若1AF ，
21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________. 【答案】
5
5
【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。 【解析】椭圆的顶点)0,(),0,(A B a A -,焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -，所以
c a B F c a AF +=-=11,，c F F 221=,又因为1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，所以有222))((4c a c a c a c -=+-=，即225a c =，所以c a 5=，离心率为5
5
=
=
a c e . 18.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+的离心
m 的值为 ▲ ． 【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由
22
214
x y m m -=+得a b c
∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。
三、解答题
19.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)
x y a b a b +=>>
的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，
．已知(1)e ，和e ?
??
都在椭圆上，其中e 为椭圆
的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i
）若12AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【答案】解：（1）由题设知，222==
c
a b c e a
+，，由点(1)e ，
在椭圆上，得 222222222222
2
2
22
111=1===1
e c b c a b a a b b a b a a b +
=?
+
?+??，
∴22=1c a -。
由点e ? ??
在椭圆上，得
2
2
22242222
441311144=0=214e c a a a a a b a a
-????+=?+=?+=?-+?
∴椭圆的方程为2
212
x y +=。
（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，
，又∵1AF ∥2BF ， ∴设
1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，
()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。
∴(
)
2
2122
111111
1221=022=1
x y m y my y m my x ?+=??+--??+?+?。
∴
)21212
m AF m ++
+。①
同理，)22212
m BF m +-+。②
（i ）由①②得，12AF BF
-=
2
m =2。 ∵注意到
0m >，∴m 。 ∴直线1
AF 的斜率为
1m 。 （ii ）证明：∵
1AF ∥2BF ，∴
2
11
BF PB PF AF =，即
212
11111
11BF PB PF BF AF PB PF AF PF AF +++=+?=。 ∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。
由点B 在椭圆上知，12BF
BF +=()
1
1212
=AF PF
BF AF BF +
。
同理。()
2
2112
=BF PF AF AF BF +。
∴(
)()
122
1221121212
2+=
AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=++
+
由①②得，)2121=2
m AF BF m +++，2
21
=2
m
AF BF m ++
，
∴12+PF PF ∴12PF PF +是定值。
20.【2012高考浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C ：22
22+1x y a b
=(a ＞b ＞0)的离心率
为1
2
，其左焦点到点P (2，1)
O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 求?ABP 的面积取最大时直线l 的方程．
【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
【解析】(Ⅰ)由题：1
2
c e a =
=； (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)
的距离为：d =
(2) 由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，． ∴所求椭圆C 的方程为：22
+143
x y =．
(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝1
2
x 0．
∵A ，B 在椭圆上，
∴22
02
2
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ?=?-+??=
=-?=-?=-?-+?=??．
设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣3
2
x m +(m ≠0)，
代入椭圆：22
22+143
333032
x y x mx m y x m ?=???-+-=?
?+??＝-．
显然222(3)43(3)3(12)0m m m ?=-?-=->．
m
m ≠0．
由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝23
3
m -．
∴|AB |
A B x x -|
．
∵点P (2，1)到直线l
的距离表示为：d =
=
．
∴S ?ABP ＝12d |AB |＝1
2
|m ＋
当|m ＋2|
m ＝﹣3 或m ＝0(舍去)时，(S ?ABP )max ＝1
2
．
此时直线l 的方程y ＝﹣31
22
x +．
21.【2012高考辽宁理20】(本小题满分12分)
如图，椭圆0C ：22
221(0x y a b a b
+=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。
点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。 (Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆222
22:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点，其中2b t a <<， 12t t ≠。若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：22
12
t t +为定值。 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查
转化与化归能力、运算求解能力，是难题.
【解析】设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-,0,,0A a A a ，则 直线1A A 的方程为 ()1
1=++y y x a x a ① 直线2A B 的方程为
()11-=--y
y x a x a
②
由①②得 ()2
2
221221-=--y y x a x a
③
由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1-x y b a ?? ???
，代入③得
()22
22
-=1<-,<0x y x a y a b ……6分 （2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，得
2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以222222121
2221-=1-x x b x b x a a ???? ? ?????
由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a 。从而22212+=y y b ，因而222212+=+t t a b 为定值…
12分
【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点M 的轨迹方程时，要注意首先写出直线1AA 和直线B A 2的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。
22.【2012高考湖北理】（本小题满分13分）
设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴
上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，
可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01
||||y y m
=
. ①
因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为22
2 1 (0,1)y x m m m
+=>≠且.
因为(0,1)(1,)m ∈+∞ ，所以
当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0,，(0,
.
（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，
直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.
依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得
21122
244k x x x m k -+=-+，即21
222
4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以21
21222
224km x y kx kx m k -==+.
于是11(2,2)PQ x kx =-- ，2211
21212
222
42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++ . 而PQ PH ⊥等价于222
122
4(2)04m k x PQ PH m k -?=
=+ ，
即220m -=，又0m >，得m =
故存在m=使得在其对应的椭圆
2
21
2
y
x+=上，对任意的0
k>，都有PQ PH
⊥.
解法2：如图2、3，
1
(0,1)
x
?∈，设
11
(,)
P x y，
22
(,)
H x y，则
11
(,)
Q x y
--，
1
(0,)
N y，因为P，H两点在椭圆C上，所以
2222
11
2222
22
,
,
m x y m
m x y m
?+=
?
?
+=
??
两式相减可得
22222
1212
()()0
m x x y y
-+-=. ③
依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，
故
1212
()()0
x x x x
-+≠. 于是由③式可得
2
1212
1212
()()
()()
y y y y
m
x x x x
-+
=-
-+
. ④
又Q，N，H三点共线，所以
QN QH
k k
=，即112
112
2y y y
x x x
+
=
+
.
于是由④式可得
2
1121212
1121212
()()
1
2()()2
PQ PH
y y y y y y y m
k k
x x x x x x x
--+
?=?=?=-
--+
.
而PQ PH
⊥等价于1
PQ PH
k k?=-，即
2
1
2
m
-=-，又0
m>，得m=
故存在m=使得在其对应的椭圆
2
21
2
y
x+=上，对任意的0
k>，都有PQ PH
⊥.
23.【2012高考北京理19】（本小题共14分）
已知曲线()()()
22
:528
C m x m y m
-+-=∈R.
（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设4
m=，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线4
y kx
=+与曲线C交于不同的两点M，N，直线1
y=与直线BM交于点G，求证：A，G，N 三点共线.
图2 (01)
m
<<图3 (1)
m>
图1
第21题解答图
解：（1）原曲线方程可化简得：22
18852
x y m m +=--
由题意可得：88528058
02m m m
m ?>?--??>?-??>?-?
，解得：7
52m <<
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，
2=32(23)k ?-，解得：232
k >
由韦达定理得：21621M N k x x k +=
+①，2
24
21
M N x x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，
MB 方程为：6
2M M
kx y x x +=
-，则316M M x G kx ?? ?+??
，， ∴316M M x AG x k ??=- ?+??
，，()2N N AN x x k =+ ，，
欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN
共线
即
3(2)6
M
N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+
将①②代入易知等式成立，则A G N ，
，三点共线得证。 24.【2012高考广东理20】（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率
e=3
，且椭圆
C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。 【解析】（1
）设c =
由2223
c e c a a =
=?=，所以22221
3b a c a =-=
设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则
22
22
1x y a b +=，所以2
2
2
222(1)3y x a a y b
=-=-
||PQ ===
当1b ≥时，当1y =-时，||PQ 有最大值3=，可得a =
1,b c ==
当1b <时，3PQ <
= 不合题意
故椭圆C 的方程为：2
213
x y += （2）AOB ?中，1OA OB ==，11sin 22
AOB S OA OB AOB ?=???∠≤ 当且仅当90AOB ?
∠=时，AOB S ?有最大值12
，
90AOB ?
∠=时，点O 到直线AB 的距离为2
d =
22
2d m n =
?=?+=
又2
2
2
23133,22m n m n +=?=
=，此时点(M 。
25.【2012高考重庆理20】（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）
如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段 的中点分别为21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形. （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 做直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程
【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.
解：设所求椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，右焦点为()2,0F c 。
因12AB B 是直角三角形，又12AB AB =,故12B AB ∠为直角，因此2OA OB =,得2
c
b =
。
结合2
2
2
c a b =-得2
2
2
4b a b =-，故2222
5,4a b c b ==，所以离心率c e a =
=。 在12Rt AB B 中，12OA B B ⊥，故
122122122
AB B c S B B OA OB OA b b =
=== 由题设条件124AB B S = ，得2
4b =，从而2
2
520a b ==。 因此所求椭圆的标准方程为：
22
1204
x y += （2）由（1）知1(2,0),(2,0)
B B -，由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：
2x my =-，代入椭圆方程得()2254160m y my +--=，
设()()1222,,,P x y Q x y ，则12,y y 是上面方程的两根，因此
12245m y y m +=
+,122
16
5y y m =-+ 又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-
，所以 ()()22121222B P B Q x x y y =--+
()()121244my my y y =--+
()
()2
12121416m y y m y y =+-++
()222216116165
5
m m m m +=-
-+++ 22
1664
5
m m -=-+ 由21PB QB ⊥,得220B P B Q =
,即216640m -=，解得2m =±，
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：220x y ++=和220x y -+=。 26.【2012高考四川理21】(本小题满分12分)
如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ?，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。 （Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，
求
||
||
PR PQ 的取值范围。
【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 [解析]（1）设M 的坐标为（x,y ），显然有x>0,0≠y . 当∠MBA=90°时，点M 的坐标为（2，, ±3） 当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan ∠MBA=MAB MAB
∠-∠2
tan 1tan 2,即2)1
||(11|
|2
2||+-+=--x y x y x y 化简得：3x 2-y 2-3=0,而又经过（2，,±3）
综上可知，轨迹C 的方程为3x 2-y 2-3=0（x>1）…………………5分 (II)由方程
??=--+-=0
3322
2y x m x y 消去y ，可得0342
2=++-m mx x 。（*） 由题意，方程（*）有两根且均在（1，+∞）内，设34)(2
2
++-=m mx x x f
所以????
?
????>+--=?>++-=>--0)3(4)4(0341)1(1242222m m m m f m
解得，m>1,且m ≠2
设Q 、R 的坐标分别为),(),,(00R R y x y x ，由PR PQ <有
)1(32,)1(32202--=-+=m m x m m x R
所以)
1
1(3241)11(32)1
1(32)1(32)1(3222222m
m m m m m m x x PQ PR Q R --+-=---
+=---+==
由m>1，且m ≠2，有
.7m
1
1324
1,347)
1
1(3241122≠--+
-+<--+
-<）
（且m
所以
PQ
PR
的取值范围是())347,7(7,1+ ................................................ 12分 [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。 27.【2012高考新课标理20】（本小题满分12分）
设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若0
90=∠BFD ，ABD ?的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值.
【答案】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =
点A 到准线l
的距离d FA FB ===
1
22
ABD S BD d p ?=???=?=
圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p
>，则(0,)2p
F
点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --?-=-?=
得：3,
)2p A
，直线3:02p p p m y x -
=+?+=
22
22x x x py y y x p p p '=?=?==?=?
切点)6p
P
直线:06p n y x x p -
=?-= 坐标原点到,m n
3=. 28.【2012高考福建理19】如图，椭圆E ：的左焦点为F1，右焦点为F2，
离心率
.过F1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF2的周长为
8.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程.
（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
解答：
（Ⅰ）设c = 则221
2342
c e a c a b a =
=?=?= 2ABF ?
的周长为
22121288482,1
AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=?+++=?=?===
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（ ） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答： 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答： 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=.
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 （高考江西卷（理）） 过点引直线l 与曲线y A,B 两点,O 为坐标原 点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ） A ．y E B B C CD =+ +3 B ．3 C ．3 ± D ． B 2 （福建数学（理）试题）双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ． 25 B ． 45 C D C 3 （广东省数学（理）卷）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2, 在双曲线C 的方程是 （ ） A ．2214x = B ．221 45x y -= C ．22 125x y -= D ．22 12x =*B 4 （高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) 则C 的 渐近线方程为 （ ） A ．1 4y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =±*C 5 （高考湖北卷（理））已知04 π θ<<,则双曲线22 122: 1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等*D 6 （高考四川卷（理））抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是 （ ）
A ． 12 B C ．1 D B 7 （浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是 （ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 *D 8 （天津数学（理）试题）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线 22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △ AOB 则p = （ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3*C 9 （大纲版数学（理））椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ，*B 10（大纲版数学（理））已知抛物线2 :8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直 线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k = （ ） A ． 1 2 B ． 2 C D ．2*D 11（高考北京卷（理））若双曲线22 221x y a b -=,则其渐近线方程为 （ ）
年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余
精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月
1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2
集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 原创理科数学专题卷 专题 圆锥曲线与方程 考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（11,12题） 考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点40 易 椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（ ） A. 2212x += B. 22 12x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】 考点40 易 已知椭圆C ：22 2 21x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的 圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．13 3．【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考 考点40 中难 已知椭圆 2 21(0)1 x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ） A. 2 3 4．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点40 难 如图， 12,A A 为椭圆22 195 x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.142019-2020高考数学试题分类汇编
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