2009届一轮复习概率与统计
高考要求:
概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法. 重难点归纳:
本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.
涉及的思维方法:观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有:逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. 典型题例示范讲解:
例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下: ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.
命题意图:本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法. 知识依托:频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法. 错解分析:解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别. 技巧与方法:本题关键在于掌握三种表格的区别与联系. 解
(2)
例2袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3
1
，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ)从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i )求恰好摸5次停止的概率；
(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ． (Ⅱ)若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
2
5
，求p 的值． 命题意图:本题考查利用概率知识和期望的计算方法. 知识依托:概率的计算及期望的概念的有关知识.
错解分析:在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误. 技巧与方法:可借助n 次独立重复试验概率公式计算概率.
解:(Ⅰ)（i ）22
24
1218
33381
C ???????= ? ?????
(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；
由n 次独立重复试验概率公式()()
1n k
k k
n n P k C p p -=-，得
()5
05
132013243
P C ξ??
==?-=
???； ()4
1511801133243P C ξ??==??-=
??? ()2
3
25
11802133243
P C ξ????
==??-=
? ????? ()32
3511173133243
P C ξ????==??-=
? ????? （或()3280217
31243243
P ξ+?==-
=）
随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望是:
32808017131012324324324324381
E ξ=
?+?+?+?=. (Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球.
由1
22335
m mp m +=，得1330p =.
例3如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工
作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N 1，N 2正常工作的概率P 1、P 2.
(N 2)
A
B C
(N 1)C
B A
解:记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ， 由已知条件P (A )=0.80,.P (B )=0.90,P (C )=0.90.
(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A )P (B )P (C )=0.648,故系统N 1正常工作的概率为0.648.
(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A )·［1－P (C B ?)］ =P (A )·［1－P (B )P (C )］
=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792 故系统N 2正常工作的概率为0.792. 学生巩固练习:
1.甲射击命中目标的概率是
21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是4
1
.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )
10
7
D. 54C. 32 B. 43A. 2.已知随机变量ζ的分布列为:P (ζ=k )=3
1
,k =1,2,3,则P (3ζ+5)等于
A 6
B 9
C 3
D 4
3.1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望E ζ=_________.
4.某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.
5.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算: (1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率.
6.已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f (x )=??
?
??≥<≤-≤2 021 1
0x x a x x
(1)求常数a 的值，并画出ζ的概率密度曲线；
(2)求P (1＜ζ＜
2
3＝. 7.设P 在［0,5］上随机地取值，求方程x 2+px +
2
1
4+p =0有实根的概率. 8.设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？
参考答案:
1.解析:设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生.
.
4
1)411)(311)(211()](1[)](1[)](1[)()()()(=---=-?-?-=??=??∴C P B P A P C P B P A P C B A P
故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )=1－4
3
41= 答案:A
2.解析:E ξ=(1+2+3)·31=2，E ξ2=(12+22+32)·31=314 ∴D ξ=E ξ2－(E ξ)2=3
14－22=32
.
∴D (3ξ+5)=9E ξ=6.
答案:A
3.解析:由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P (ξ=0)=4
3
C C 11219=,
1121313939
39234
121212C C C C C C 991(1),(2),(3)44220220
2C 2C 2C P P P ξξξ?========= 3991
01230.3444220220
E ξ∴=?
+?+?+?=答案:0.3 4.解析:因为每组人数为13，因此，每组选1人有C 113种方法，所以所求概率为
P =452
4
113C )C (. 答案:452
4
113C )C ( 5.解:(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A ，“乙射击一次击中目标”叫做事件B .显然事件A 、B 相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.6×0.6=0.36
答:两人都击中目标的概率是0.36
(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是 P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24
甲未击中、乙击中的概率是P (A ·B)=P (A )P (B )=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A ·B 与A ·B 互斥，所以恰有一人击中目标的概率是
P (A ·B )+P (A ·B )=0.24+0.24=0.48 答:其中恰有一人击中目标的概率是0.48.
(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P =P (A ·B )+［P (A ·B )+P (A )·B ］=0.36+0.48=0.84
答:至少有一人击中目标的概率是0.84.
6.解:(1)因为ξ所在区间上的概率总和为1，
所以
21
(1－a +2－a )·1=1, ∴a =2
1
概率密度曲线如图: (2)P (1＜ξ＜
23＝=9
323)121(21=?+? 7.解:一元二次方程有实数根?Δ≥0而Δ=P 2－4(
2
1
4+P )=P 2－P －2=(P +1)(P －2) 解得P ≤－1或P ≥2
故所求概率为P =
5
3
]5,0[)},2[]1,{(]5.0[=+∞--∞的长度的长度 8.解:以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X －B (5，0.2)，于是X 有概率分布
P (X =k )=C k
50.2k 0.85－
k ,k =0,1,2,3,4,5.
以Y 表示一周内所获利润，则
Y =g (X )=???
??
??≥-===3 22 01
50
10X X X X 若若若若
Y 的概率分布为:
P (Y =10)=P (X =0)=0.85=0.328
P (Y =5)=P (X =1)=C 150.2·0.84
=0.410
P (Y =0)=P (X =2)=C 25·0.22·0.83=0.205
P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057
故一周内的期望利润为:
EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元) 课前后备注:
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
新高考数学《不等式》练习题 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得 1 1322 a d a =--， 当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立； 当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】
高中数学概率统计知识万 能公式文科 The pony was revised in January 2021
第六部分 概率与统计万能知识点及经典题型Ⅰ 【考题分析】 1、考试题型：选择填空1个，解答题：18（必考） 2、考题分值：17分； 3、解答题考点：①频率直方图的应用，②线性回归直线的应用，③独立性检验和概率 4、难度系数：左右，（120分必须全对，100以上者全对） 【知识总结】 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数： 112212n n n x x x x ωωωωωω++???+= ++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n =-+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率
1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
【高三数学组备考计划】高三数学备课组计 划 高三是收获的季节，是拼搏的时刻，是痛并快乐着的生活;是生命中最美好最难忘的岁月。面对新高三。制定一个切实可行的复习备考计划是再重要不过的了。接下来X为你整理了高三数学组备考计划，一起来看看吧。 高三数学组备考计划(一) 一.目标:以面向高考,面向学生,面向新课标为指导,以课堂教学为主,课后辅导为辅,帮助学生夯实基础,培养能力,增强数学素质,优化思维结构,突出数学思想方法,努力争取在20XX年高考中取得优良的成绩。 二.备课组活动：每周三下午3：00～5：00，做到“四定一有”。 三.复习思路:将高三一年分成三个阶段.第一阶段全面复习,第二阶段专题复习。第三阶段模拟训练。 第一阶段:20XX年9月至20XX年3月15日. 全面复习,纵向为主,快步走,多回头。 1. 完成目标:完成高中数学所有内容的第一轮复习。力求做到复习得全面、扎实、到位。具体来说：概念(知识)的准确理解和实质性理解;基本技能、基本方法的熟练和初步应用;能理解或独立完成课本中的定理证明;能简要说出各
单元题目类型及主要解法。并将数学思想方法渗透到该轮复习中去。充分利用月考与小题限时训练实现对基础知识和基本方法的考查，同时注意加强对学生学习方法的指导，充分挖掘学生的数学潜力，努力提高学生的数学成绩。准备2月中旬的韶关市统考。 2. 课堂教学： (1) 把握每章节考点，知识点和课时安排;每堂课要把握基础知识，基本题型(题组教学)，重要公式，易错点，结论的，每节课典型例题规范板书(提高学生答题规范化)，注重方法优化，一题多解，多题一解。 (2) 主讲老师要注意的方面：针对复习用书哪些题必讲，精选例题的原因;归纳学习要点，归纳本节重点，难点，易错点，链接高考，关注配套的练习。 (3) 备好例题。备好例题是上好复习课的关键，例题一般为三类：基础类，思想方法类，能力类。基础类的例题用于复习数学概念，基础知识基本技能和基本方法：思想方法类的例题用于复习数学思想方法;能力类的例题用于提高学生应用数学知识解决问题的综合能力(除指定备考资料外，可适当选取一些高考题作为例题)。 (4) 讲好例题。分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径。分析典型例题的解题方法和技巧是进行解题方法和技巧的教学的有效方法。
全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1
高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-<
高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
文登一中高三数学备考方案 （一）指导思想 以加强双基教学为主线，以提高学生综合能力为目标，结合考点，紧扣教材，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力及应试能力。 （二）复习要求 一、深入研究教材和《考试说明》，务必明确考试方向 高考考试说明是高考法定的命题文件，而教材是命题的主要资源，也是数学复习之本。 对于课本的研究应主要从三个方面人手：准确掌握课本中出现的基本知识(主要概念、公式、法则)；基本知识产生的过程以及其蕴涵的研究方法和所运用的数学思想；用好教材中的例、习题，并注意延伸和拓展。特别注意从课本例题中引导学生学习解题规范。 特别应该重视的是教材中基本概念的深刻化理解。正确理解和应用数学概念，是数学高考考查的重点之一。因此，在复习时，基本训练一定要以课本中一些例题和习题为素材，不断总结规律，回归概念。对知识要进行分类、整理、综合加工，从而形成一个有序的知识体系。 如代数中的“四个二次”（二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时），以二次方程为基础、二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。 研究《考试说明》就要深入了解考试性质、考试要求、考试内容、考试形式与试卷结构、题型示例等五部分内容，探知命题走向。另外，还要研究近几年山东高考试题并关注教研中心对高考试题的评价报告等。进一步明确数学科试题的命题范围，知识要求、能力要求和个性品质要求等。 二、整体把握高中数学课程，突出重点知识及其联系 《考试说明》指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。 复习过程中，做到整体把握高中三年的数学课程，整体计划一轮、二轮复习计划，重点内容要注意反复训练，有联系的内容要注意交叉和整合不同的知识板块，切勿按教材顺序照本宣科。如导数与函数、方程、不等式的整合，三角与向量的整合等。阶段性测试也要从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题。 三、重视对数学思想方法的理解和掌握，注重通性通法 《考试说明》强调：对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的
统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
高中数学《概率与统计》教学设计 课题:1.3抽样方法 教学目的:1理解什么是系统抽样 2.会用系统抽样从总体中抽取样 教学重点:系统抽样的概念及如何用系统抽样获取样本 教学难点:与简单随机抽样一样,系统抽样也属于等概率抽样,这是本节课的一个难点;当总体中的个体数不能被样本容量整除时,可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,使剩下的个体数能被样本容量整除,然后再按系统抽样进行,这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的.这是本节课的又一难点授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.在统计学里,我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中的每一个考察对象叫做个体,从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本的容量.总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样 3.⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 N 1;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n;⑵简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;⑶简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础. 4.抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个编号(号码可从1到N,并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作,然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时
高三数学复习备考计划 高三数学复习备考计划(一) 一.指导思想： 高三数学备课组全体教师将以学校工作计划为指导，以学校大局为重，一切从学校和学生利益出发，一切为了学生，为了一切学生，为了学生一切，努力学习、刻苦研究，团结协作，因材施教，上优质课，上高效课，全力提高我校数学课堂教学效率，为学校全面发展而努力奋斗。 1.认真学习研究，提高自身素质。 作为教师我们一定要学习、不断思考、不断研究，努力提高自身的数学素养和数学教育素养。我们要继续研究高考，研究近三年全国高考试题尤其是江苏近三年命题的变化，二模后研究江苏各地调研试题，适当回避调研试题中难点的高频考试方向，重点巩固中档考点的命题方向。把握高考脉搏，我们要认真学习、研究教学要求的新变化、新动向，研究近几年《考试说明》，特别是样题的编排顺序的改变所体现的考试要求的变化;研究学生，把握学生的新变化，有的放矢，上有目的性的课、上有针对性的课、上高效率的课，提高学生对中档题的得分能力。 2.加强集体备课，优化课堂教学。 制定严密的教学计划，提出优化课堂教学，强化集体备课。即优化课堂教学目标，规范教学程序，提高课堂效率，全面发展、培养学生的能力，为其自身的进一步发展打下良好的基础。在集体备课中，注重充分发挥各位教师的长处，集体备课前，每位教师都要准备一周的课，集体备课时，每位教师都要进行说课，然后对每位教师的教学目标的制定，重点、难点的突破方法及课后作业的布置等逐一评价。集体备课后，各位教师根据自己班级学生的具体情况进行自我调整和重新精心备课。这样，总体上，集体备课把握住了正确的方向和统一了教学进度，对于各位教师来讲，又能发挥自己的特长，因材施教。
咼考数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ， 但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 2 2 2
⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4
抽样方法（月日） 421 教学目标：了解简单随机抽样与分层抽样的概念，要求会用简单随机抽样和分层抽样这两种 常用的抽样方法从总体中抽取样本。 教学重点：会用简单随机抽样和分层抽样两种方法从总体中抽取样本 教学难点：会用简单随机抽样和分层抽样两种方法从总体中抽取样本 教学过程： 复习： 1.在统计里，我们把＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫总体，其中的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿叫个体，从总体中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫一个样本，样 本中＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做样本容量。 2.从5万多名考生中随机抽取500名学生的成绩，用他们的平均成绩去估计所有考生的平均 成绩，指出：＿＿＿＿＿＿＿是总体，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是个体，＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是总体的一个样本，样本容量是＿＿＿＿＿＿。 3.我们在初中学习过一些统计知识，了解统计的基本思想方法是用样本估计总体，即通过不 是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本
的情况去估计总体的相应情 况，例如，我们通常用样本平均去估计总体平均数，这样，样本的抽取是否得当，对于研究 总体来说十分关键。 那么，怎样从总体中抽取样本呢？怎样使所抽取的样本能更充分地反映总体的情况呢？ 下面我们介绍两种常用的抽样方法：简单随机抽样和分层抽样。 二、新课讲授： 1.简单随机抽样： 假定一个小组有6个学生，要通过逐个抽取的方法从中取3个学生参加一项活动，第1 次抽取时每个被抽到的概率是＿＿＿，第2次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是＿＿， 第3次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是＿＿。 每次抽取时各个个体被抽到的概率是相等的，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的 概率是否确实相等？ 例如，从含有6个体的总体中抽取一个容量为2的样本，在整个抽样过程中，总体中的任意 一个个体，在第一次抽取时，它被抽到的概率是＿＿；若它第1次未被抽到而第2次被抽 a 到的概率是＿＿＿＿，由于个体第1次被抽到与第2次被抽到是＿＿＿（填互斥，独立） a 事件，根据＿＿＿事件的概率＿＿公式，在整个抽样过程中，个体被抽到的概率P＝＿＿ a ＿＿＿＿＿。又由于个体的任意性，说明在抽样过程中每个体被
【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
1．若数列{}{},n n a b 、的通项公式分别是a a n n ?-=+2007)1(，n b n n 2008 )1(2+-+=，且n n b a <，对任意n N *∈恒成立，则常数a 的取值范围是（ ） A.[)1,2- B. [)+∞-,2 C. []1,2- D. ()1,∞- 2．已知等差数列{a n }的前n 项和是n a n S n 2 2182--=，则使2006-
专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定
新课标普通高中高考数学备考策略2012年的高考是湖北省新课程高考的第一年，我们都在摸着石头过河。现在能够摸得着的石头，就是课程标准、考试大纲和先行进入课标高考的省市的高考试卷。纵观各省市的课标试卷，基本上都围绕《课程标准》的内容主线、核心能力、改革理念命题，关注必修与选修的比例。试卷除了新增内容适度考察外，对传统内容的考查平稳中求创新，重视考察主干内容体现的数学的科学价值、应用价值、文化价值，增强发现和提出问题、分析和解决问题能力的考查力度。达到落实课标、推进课程改革的目的。作为湖北省新课改高考的第一年，新增内容无疑是整张试卷的亮点，但考查力度应该不大，以考查基本概念的理解和基本方法的掌握为主。 作为新课改的第一年高考，对于如何高效的进行备考，心里确实是没有什么底。如今，新课改的首届高考备考战已轰轰烈烈的打响了，身为高三一线的数学老师，确实也做了许多思考。无论是新课标还是旧课标的备考，都应以学生作为主体。不管网上的，资料上的还是专家们的备考理论多么的完善，我们都应该针对自己的学生量身定制合适的备考方案。针对于我校学生基础普遍薄弱的实况。我确定了以下的备考方案，希望各位专家给以指导。 一、重视基础，注重基本功训练 “注重基础，回归教材”是高考命题不变的主题。重视课本回归课本，尤其是要重视重要概念、公式、法则的形成过程和例题的典型作用，只有透彻理解课本例题习题所覆盖的数学知识和解题方法才能以不变应万变，高考最重视的还是具有普遍意义的方法和相关的知识，也即注重数学中的通解通法，尤其是待定系数法、配方法、换元法、消元法等等。因此日常教学中应该注重基本概念和基本方法的教学。纵观近几年课改地区的大多数题目均属于“熟悉”题目，即用常规方法即可求解。其中一些基本概念、基本原理掌握不扎实成为失分的一个重要原因，这就要求我们在教学中加强对学生基本功的训练，夯实基础。注重回归课本、扎实基础，努力提高学生的能力，既要引导学生掌握好新教材中的新内容，又要引导学生掌握好旧的内容，在教学中要体现过程教学，精选习题，有效训练。 二、重视课堂教学的针对性 让学生熟练掌握主干知识、重点内容、热点焦点问题，培养学生解决专题问题能力。同时注重课堂，提高学生学习的有效性——高效的课堂模式。 单元复习课：诊断性预习——点拨式精讲——单元达标检测； 专题复习课：专题展示研讨——巩固拓展演练———专题过关检测； 试卷讲评课：针对性精讲——归类式点评——巩固性提升。 三、强化训练，提炼方法 注意学习方法、思维方法、解题方法的培养形成，培养学生良好的思维和解题习惯，
高考数学高频易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助.加强思维的严密性训练. ● 忽视等价性变形，导致错误. ??? x>0 y>0 ? ??? x + y>0 xy>0 ，但 ??? x>1 y>2 与 ??? x + y>3 xy>2 不等价. 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围. 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-622303b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 3 2 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的. 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[32 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+ =∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题. ●忽视隐含条件，导致结果错误. 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当. 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα . 4 49 )43(42)(22)(1 212)1()1(222222--=++--+=+-++-=-+-∴ k βααββαββααβα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和.这正是思维缺乏反思性的体现.如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案. Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=? ? .3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，2 2 )1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，2 2 )1()1(-+-βα的最小值是18. 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确. (2) 已知(x+2)2+ y2 4 =1, 求x 2+y 2的取值范围. 错解 由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+ 38)2+3 28 ， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 28 3 ].