江苏省2016届高三部分大市三模
填空题压轴题解析
江苏省棠张高级中学 史华锋
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2016-05-18
一、苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟
11.已知点,P Q 分别是曲线4
x y x
+=与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值为
解析1：设4
(,)x P x x
+，点P 到直线40x y +=的距离为d 得，则41
|4||4()1|1717
x x x x x PQ d ++
++≥=
= 因为
11
2x x x x +=+≥，所以当12x x +=-，即1x =-时，PQ 取得最小值为717.17
解析2：不难得到，当直线40x y +=平移到和曲线4
x y x
+=相切时，切点到直线的距离中较小的应是PQ 的最小值. 令24
4y x
'=-
=-，得1x =±，所以切点为(1,5)A 或(1,3)B --，点,A B 到直线40x y +=的距离分别为91717和71717，所以PQ 的最小值为
717
.17
12.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中,a b 是互相垂直的单位向量，且
()(3)1-?-a c b c = ，则|c |的最大值为
解析1：(坐标化，几何法)
设
(1,0),(1,0),(,)
x y =a b =c =，则
()(3)1-?-a c b c =
可化为2213()()222
x y -+-=，它表示以13
(,)22为圆心，以2为半径的圆，|c |表示原点到
此圆上动点的距离，所以|c |的最大值为12+ 解析2：（借用线性规划知识，几何法）
由解法1得2
213()()22
2
x y -+-
=，即22
310x y x y +---= 所以22|31x y x y =+=++2c |，转化为在约束条件2
2
13()()22
2
x y -+-
=下，求31x y ++的最大值问题，利用规划知识求解（设31x y t ++=，
当直线与圆相切时，
取得最值，下略）. 解析3：（判别式法）
由解法2，设31x y t ++=，代入圆方程，消y ，转化为关于x 的一元二次方程有实根（下略）.
解析3：（三角换元法） 由解法1得2
2
13()()22
2
x y -+-
=，实施三角换元， 12cos 2()32sin 2x R y ααα?=+??∈??=+??令其中
2213|=2cos +2sin =3+2cos +6sin =3+22sin()
22
αααααδ+++则（）（）2c |所以|c |的最大值为12+.
13.已知对满足42x y xy ++=任意正实数,x y ，都有2
2
210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为 . 解析：由
42x y xy
++=得
2
()42
x y x y +++≤
，解得
4x y +≥，
22210x xy y ax ay ++--+≥恒成立，由22210x xy y ax ay ++--+≥得
2()()10x y a x y +-++≥，等价于
1())
a x y x y ≤++
+恒成立
设1()(4)f t t t x y t
=+=+≥，则()f t 在[4,)+∞为增函数，所以min 17()(4)4
f t f ==
，
所以a 的取值范围为17(,
]4
-∞. 14.已知经过点3(1,)2P 的两个圆12,C C 都与直线121
:,22
l y x l y x ==相切，则这两个圆的圆心距12C C 等于 .
解析：设圆心坐标为,x y (
)，由于圆与直线2y x =、1
2
y x =都相切 根据点到直线距离公式得：
225
5
x y x y --=
，解之得y x =?，易知圆心只能在y x =上.
设12(,)(,)C a a C b b 、，
则圆12C C 、的方程分别为22
2
)()5a x a y a -+-=（、222
)()5
b x b y b -+-=
（ 将3(1,)2代入得22231)()25a a a -+-=（、222
31)()25
b b b -+-=
（， 所以a b 、方程22
2
31)()25x x x -+-=（，即29135054
x x -+=的两根，
221245
2()2[()4]9
C C a b a b ab =
-=+-=
.
二、南京市2016届高三年级第三次模拟考试
12.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ． 解析:由于圆N 与圆M 至多有一个公共点，故圆N 的半径不小于圆M 的直径2（两圆内含或内切），故只需圆M 上的点与坐标原点O 之间的距离的最小值大于等于2即可.
易知，圆上任意一点与圆外一点距离的最小值，是圆心与该点连线与圆的交点及圆心间距离为最小.
问题转化为圆M 的圆心M 与O 之间的距离的大于等于3，而圆心M 在射线x ＋y －3=0(x ＞0)上，故易求得a 的最小值为3．
考点：两圆的位置关系判断、轨迹方程、圆上任意一点与圆外一点距离的最小值何时取得等.
13．设函数f (x )＝?????x －1e x ，x ≥a ，
－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b ．若
存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a
的取值范围为 ．
解析：如右图，对于函数1
()x
x f x e
-= 在2x =处取得极大值，2()f x e -=极大值.
所以函数g (x )恰有3个零点，只需函数f (x )的图象与垂直于y 轴的直线有三个交点，故
21a e ---<，且2a <，即212e a ---<<.
考点：考察综合运用导数作函数图象的能力、 零点判断、逆向思维能力等.
变题1：(2015·北京理·14)：设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?-
=?--??
???≥
①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围
是
．
【答案】(1)1，(2)
≤<1
12
a 或1a ≥. 考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.
变题2：(2015·天津理·8)已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ）7,4??+∞
??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ???（D ）7,24??
???
【答案】D 【解析】
试题分析：由()()22,2,2,2,
x x f x x x -≤??=?->??得2
22,0
(2),0x x f x x x --≥??-=?
2
- 2
- 4
5
g x ( ) = - x - 1
f x ( ) =
x - 1
e
x
所以222,0()(2)42,
0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ?-+
=+-=---≤≤??--+->?
， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+
=+-=≤≤??-+>?
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图
象的4个公共点，由图象可知
7
24
b <<. 8642
2468
15105
51015
考点：求函数解析式、函数与方程、数形结合.
14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y
5x 2－2xy ＋2y 2
的最大值为
．
解析：因为2x 2＋xy －y 2=（2x －y ）(x +y ）， x －2y=（2x －y ）－(x +y ），5x 2－2xy +y 2=（2x －y ）2 +(x +y )2，设2x －y =u ，x +y = v. 问题转化为“已知1u v
?，求
22
u v
u v
-+的最大值”. 而
2221
122()24
2
()2()u v u v u v u v uv u v u v u v
u v
--==
?
+-+-+
-?
--， 所以x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为2
4，当且仅当2u v -=时，取得最大值.
考点：考察式子变形能力、数学感、基本不等式.
变题：（2015·盐城南京·一摸）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则
22
x y x y
+-的最小值为 ▲ . 答案：4
三、南通2016届高三三模
14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()2
21:12C x y -+=，圆()()2
2
2
2:C x m y m m -++=，
若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ?的面积为1，则正数m 的取值范围是 .
解析：由ABP ?的面积为1可求得：12PC =，问题转化为圆()()2
2
2
2:C x m y m m -++=上存在点P ，使12PC =，即圆()()2
2
22:C x m y m m -++=与()2
21:14C x y '-+=有交
点. 所以()
2
221()2m m m m -≤
-+-≤+，解之得1323m ≤≤+.
所以正数m 的取值范围是1,323??+?
?
.
四、苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
14.在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0)
,(0,1),(,),A B C a b D c d ，若不等式
2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA ≥-?+???
，
对任意实数,,,a b c d 都成立，则实数m 的最大值为
解析1：2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA ≥-?+???
任意实数,,,a b c d 都成立等价于2222()a b c d m ac bd bc +++≥++对任意,,,a b c d 都成立，由于求m 最大值，所以可只
考虑0m >的情形，
当0ac bd bc ++≤时，2222
()a b c d m ac bd bc +++≥++恒成立，
当0ac bd bc ++>时，则2222
a b c d m ac bd bc +++≤++恒成立，下面用待定系数法求
2222
a b c d ac bd bc
+++++的最小值
2222222222
()()(1)(1)a b c d a xc yb d y b x c ac bd bc ac bd bc
+++++++-+-=++++
222(1)(1)xac ybd x y bc
ac bd bc
++--≥
++
令(1)(1)x y x y ==--，其中,(0,1)x y ∈，解得352x -=
，51
2
x -=， 所以
222251a b c d ac bd bc +++≥-++，所以2222
min ()51a b c d m ac bd bc
+++≤=-++，故m 的最大值为51-
解析2：由题意得：22()()(2)()a c b d m ac bd mbc -+--++≥，
2222++()a c b d m ac bd bc +++≥
2222()+(+)a mc a c b d mbd mbc -+--≥0对任意实数a 都成立，因此
2222()4(+)mc c b d mbd mbc ?=-+--≤0，即2222444()()d mbd c b mbc mc -++--≥0对任意实数d 都成立，即222221(4)44(444)mb c b mbc m c ?=-?+--≥0，
22222(4)44m b mbc c m c -+-+≤0对任意实数b 都成立，即
222222240,(4)(4)(4)m mc m c m c -
变题1：已知x y 、都是正数，且满足x y
xy x y
+=
-，则x 的最小值是 . 答案：21+.
变题2（苏州市五市三区2013届高三期中考试试题第14题）
已知0,,>c b a ，则bc
ab c b a 22
22+++的最小值为 .
解析1：22222
222222141422+255555==2225
a b b c a b b c a b c ab bc ab bc ab bc ?+?++++≥+++（）（）
.
解法2：22222()1()=22a c a b c b
b a
c ab bc b b
++++++，设=,=a c x y b b ，222
=(>0)2a b c t t ab bc +++. 则满足等式22
1=2x y t x y +++的x ,y 存在，去分母后配方得： 2225()()=124t x y t t -+--，故
25104t -≥，解得25
5
t ≥.