第二章 贝叶斯推断
2.1 解:由题意可知 ()1,01πθθ=<<
设12,,...,n X X X 是从随机变量X 中抽取的随机样本,则
11
()()(1)n
i
i n x n
i i p x p x θθθθ==∑==-∏
从而有 ()()1()(1),01n
i
i x n
x p x πθθπθθθθ=∑∝?∝-<<
所以 1
(1,1)n
i i x Be n x θ=++∑
(1) 由题意可知 n=1,x=3
∴(2,4)x Be θ
∴21
?243
E
θ==+ (2) 由题意可知 1233,3,2,5n x x x ====
∴(4,11)x Be θ
∴44
?41115
E
θ==+ 2.2 解:设X 为银行为顾客服务的时间,则
()x p x e λλλ-=
设λ的先验分布为(,)Ga αβ,则
20.20.040.21
α
αβαββ
?=?=??
??
?=??=?? 由题意可知 3.8x =
从而有 ()()()x p x πλλπλ∝?
()11
111n n
i i
i i x x nx n n n e
e e
e λβλ
λβαλβααλλλ
λ==??
?-+- ?-+--+-+-??
∑
∑
∝?==
因此有 (,)(20.04,76.2)x Ga n nx Ga λαβ++=
所以有 20.04
?()0.2676.2
E x λ
λ=== ()()()1110?() 4.0021
n
nx n nx nx E x e d n n αλβαββθλλλλαα++∞
-+--+-++==?==Γ++-? 2.3 解:设X 为磁带的缺陷数,则()X p θ
∴3
133
3
1
1
()()!
i
i x i i i i e p x p x x θθθθ=-==∑==∏∏
由题意可知 ()21,02
e θπθθθ-=>
从而有 ()()3
132104()i i x x p x e e e θθθπθθπθθθθ=---∑∝?∝=
因此 (11,4)x Ga θ
11?()()16
E
MSE Var x θθ== 2.4 解:设X 为n 个产品中不合格数,则(,)X bin n θ 由题意可知 ()49(1),01πθθθθ∝-<< (1) 由题意可知(20,)X bin θ
∴317()(1)p x θθθ∝-
∴()()()x p x πθθπθ∝?
31749726(1)(1)(1)θθθθθθ∝-?-=- 因此 (8,27)x Be θ
又626725()7(1)26(1)0x πθθθθθ'∝---
所以 7
?33
MD θ=
(2) 由题意可知(20,)X bin θ 且()726(1)πθθθ=-
∴20()(1)p x θθ∝-
∴()()()x p x πθθπθ∝?
72620746(1)(1)(1)θθθθθ∝-?-=-
因此 (8,47)x Be θ
所以 78
??,5355
MD E θθ=
= 2.5 解:设2(,2)X N θ ,则222σ= 令2
2
04n
n
σσ=
=
设(,1)N u θ ,则1τ=,且211(,)x N u θτ
其中 22
01222200u x u στστστ
------=+++
2
22
101
1
1
τστ=
+
214
?()()0.14
E
MSE Var x n θθτ===≤+ 2.6 解:设X 为1000名成年人中投赞成票的人数,则(1000,)X bin θ
(1)由题意可知 710710
2901000(710)(1),01p C θθθθ=-<<
a.()()710290711290710(710)(1)(1)A p πθθπθθθθθθ∝?∝-?=-
∴710(712,291)Be θ
b.()()7102903713290710(710)(1)(1)B p πθθπθθθθθθ∝?∝-?=-
∴710(714,291)Be θ
(2)a.712
?(710)0.7098712291
E E θθ==
=+
b. 714
?(710)0.7104714291
E E θθ==
=+ (3)由题意可知10001000()(1),01x
x x p x C θθθθ-=-<<
a.()()100011000()(1)(1)x x x x A x p x πθθπθθθθθθ-+-∝?∝-?=-
∴(2,1001)x Be x x θ+-
∴2?()1003
EA
x E x θθ+== b.()()1000331000()(1)(1)x x x x B x p x πθθπθθθθθθ-+-∝?∝-?=-
∴(4,1001)x Be x x θ+-
∴4
?()1005
EB x E x θθ
+==
∴?EA θ-?EB θ=21003x +-41005
x +=
2.7 解:由题意可知 1
(),0p x x θθθ
=<<
1(),0,1,2,...,i n p x x i n θθθ
∴=<<=
令{}1012max ,,,...,n x x x θθ=,则
()1
01()()()n m x p x d n α
α
θαθθπθθαθ+∞+=?=
+?
从而有 ()()111
()(),()n n p x n x m x ααθπθαθπθθθθ
++++==>
1
111
1()1
?()(1)n E n n n E x d n α
ααθαθθθθθθ
αθ++∞+++-+===
+-?
1
2
2
11
2
1
()1
()(2)n n n n E x d n α
ααθαθθθθθ
αθ++∞+++-+==
+-?
22222(1)
11
11
?()()()()(2)(1)E
n n MSE Var x E x E x n n ααθθθθαθαθ+-+-==-=-+-+- 2.8 解:
(1)由题意可知 2
1221()2n x n p x x e θθθ--??∝ ???
()(1)
e β
αθπθθ--+∝
因此 ()22
1(1)(1)222
12x
n
x n
n x x e e e
ββ
ααθθ
θπθθθ
θ+
-
-
-
--++-+??
∝∝
???
所以 (,)22
n x
x IGa θαβ++
(2)2
2
2()1222x Var x n n βθαα?
?+ ?
??=????+-+- ? ?????
2()12
x E x n
βθα+
=+- (3) 由题意可知 2
2
21()n nx p x e
θ
θθ-??
∝ ???
()2
2
(
1)2
nx n
x e
βαθπθθ
+
-
-++∝
2(,)22
n nx
x IGa θαβ∴++
22?12MD
nx n βθα+
∴=++ 2
2?12
E nx
n βθα+
=+-
贝叶斯方法 贝叶斯分类器是一种比较有潜力的数据挖掘工具,它本质上是一种分类手段,但是它的优势不仅仅在于高分类准确率,更重要的是,它会通过训练集学习一个因果关系图(有向无环图)。如在医学领域,贝叶斯分类器可以辅助医生判断病情,并给出各症状影响关系,这样医生就可以有重点的分析病情给出更全面的诊断。进一步来说,在面对未知问题的情况下,可以从该因果关系图入手分析,而贝叶斯分类器此时充当的是一种辅助分析问题领域的工具。如果我们能够提出一种准确率很高的分类模型,那么无论是辅助诊疗还是辅助分析的作用都会非常大甚至起主导作用,可见贝叶斯分类器的研究是非常有意义的。 与五花八门的贝叶斯分类器构造方法相比,其工作原理就相对简单很多。我们甚至可以把它归结为一个如下所示的公式: 选取其中后验概率最大的c,即分类结果,可用如下公式表示
贝叶斯统计的应用范围很广,如计算机科学中的“统计模式识别”、勘探专家所采用的概率推理、计量经济中的贝叶斯推断、经济理论中的贝叶斯模型等。 上述公式本质上是由两部分构成的:贝叶斯分类模型和贝叶斯公式。下面介绍贝叶斯分类器工作流程: 1.学习训练集,存储计算条件概率所需的属性组合个数。 2.使用1 中存储的数据,计算构造模型所需的互信息和条件互信息。 3.使用2 种计算的互信息和条件互信息,按照定义的构造规则,逐步构建出贝叶斯分类模型。 4.传入测试实例 5.根据贝叶斯分类模型的结构和贝叶斯公式计算后验概率分布。 6.选取其中后验概率最大的类c,即预测结果。 一、第一部分中给出了7 个定义。 定义1 给定事件组,若其中一个事件发生,而其他事件不发生,则称这些事件互不相容。 定义2 若两个事件不能同时发生,且每次试验必有一个发生,则称这些事件相互对立。 定义3 若定某事件未发生,而其对立事件发生,则称该事件失败 定义4 若某事件发生或失败,则称该事件确定。 定义5 任何事件的概率等于其发生的期望价值与其发生所得到
第二章 贝叶斯状态估计与粒子滤波 视觉跟踪可视为状态估计问题[16,54],即根据视觉目标在先前帧的状态信息估计其在当前帧的状态,从而实现视觉跟踪。状态估计一直都是自动控制、通讯、航空与航天等领域的经典研究主题之一[69,70]。贝叶斯状态估计是处理不确定性条件下状态估计问题的有力理论工具[21,22,71]。为了有效处理非高斯、非线性状态估计问题,二十世纪九十年代人们提出了粒子滤波[19-22,71],粒子滤波是基于Monte Carlo 随机模拟的贝叶斯滤波方法。本章将简单介绍贝叶斯状态估计和粒子滤波相关理论问题。首先,通过介绍贝叶斯状态估计相关理论,引出贝叶斯状态滤波问题及实现贝叶斯状态滤波的两大理论工具:卡尔曼系滤波器和粒子滤波。然后,简单介绍了卡尔曼系滤波器的相关理论和算法。最后,详细介绍了粒子滤波理论框架、收敛性问题及经典采样策略。 2.1 贝叶斯状态估计 估计理论是概率论和数理统计的一个分支,所研究的对象是随机现象。它是根据受干扰的观测数据来估计关于随机变量、随机过程或系统的某些特性的一种数学方法[70]。所谓估计,就是从带随机噪声干扰的观测信号中提取有用信息,可定义如下: 定义 2.1 如果假设被估计量为n 维向量()t X ,而其观测量为m 维向量()t Z ,且观测量与被估计量之间具有如下关系 ()()(),t h t t =????Z X V (2.1) 其中,[]h ?是已知的m 维向量函数,由观测方法决定;()t V 是观测误差向量,通常为一个随机过程。那么,所谓估计问题,就是在时间区间[]0,t t 内对()t X 进行观测,从而在得到观测数据(){}0,t t ττ=≤≤Z Z 的情况下,要求构造一个观测数据的函数()?X Z 去估计()t X 的问题,并称()?X Z 是()t X 的一个估计量,或称()t X 的估计为()?X Z [69,70]。 一般地,估计问题可以分为两类:状态估计和参数估计。状态和参数的基本差别在于,前者是随时间变化的随机过程,后者是不随时间变化或随时间缓慢变化的随机变量。因此,
实用文档 选修2-2 第二章 推理与证明(B) 一、选择题 1、某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f (1) 种走法,从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法,……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶 时的走法f (n )等于( ) A .f (n -1)+1 B .f (n -2)+2 C .f (n -2)+1 D .f (n -1)+f (n -2) 2、已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式:S =底×高2 ,可推知扇形面 积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr 2 D .不可类比 3、设凸n 边形的内角和为f (n ),则f (n +1)-f (n )等于( ) A .n π B.(n -2)π
C.π D.2π 4、“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是 ( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 5、设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是( ) A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k) 实用文档 6、已知p =a +1 a -2 (a >2),q =2-a 2+4a -2 (a >2),则( ) A .p >q B .p 第四章贝叶斯分析 Bayesean Analysis §4.0引言 一、决策问题的表格表示——损失矩阵 对无观察(No-data)问题a=δ 可用表格(损失矩阵)替代决策树来描述决策问题的后果(损失): 或 损失矩阵直观、运算方便 二、决策原则 通常,要根据某种原则来选择决策规则δ,使结果最优(或满意),这种原则就叫决策原则,贝叶斯分析的决策原则是使期望效用极大。本章在介绍贝叶斯分 析以前先介绍芙他决策原则。 三、决策问题的分类: 1.不确定型(非确定型) 自然状态不确定,且各种状态的概率无法估计. 2.风险型 自然状态不确定,但各种状态的概率可以估计. 四、按状态优于: l ij ≤l ik ?I, 且至少对某个i严格不等式成立, 则称行动a j 按状态优于a k §4.1 不确定型决策问题 一、极小化极大(wald)原则(法则、准则) a 1a 2 a 4 min j max i l (θ i , a j ) 或max j min i u ij 例: 各行动最大损失: 13 16 12 14 其中损失最小的损失对应于行动a 3 . 采用该原则者极端保守, 是悲观主义者, 认为老天总跟自己作对. 二、极小化极小 min j min i l (θ i , a j ) 或max j max i u ij 例: 各行动最小损失: 4 1 7 2 其中损失最小的是行动a 2 . 采用该原则者极端冒险,是乐观主义者,认为总能撞大运。 三、Hurwitz准则 上两法的折衷,取乐观系数入 min j [λmin i l (θ i , a j )+(1-λ〕max i l (θ i , a j )] 例如λ=0.5时 λmin i l ij : 2 0.5 3.5 1 (1-λ〕max i l ij : 6.5 8 6 7 两者之和:8.5 8.5 9.5 8 其中损失最小的是:行动a 4 四、等概率准则(Laplace) 用 i ∑l ij来评价行动a j的优劣 选min j i ∑l ij 上例: i ∑l ij: 33 34 36 35 其中行动a1的损失最小五、后梅值极小化极大准则(svage-Niehans) 定义后梅值s ij =l ij -min k l ik 其中min k l ik 为自然状态为θ i 时采取不同行动时的最小损失. 高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A .①②③; B .②③④; C .②④⑤; D .①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 ( ). A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ (c ≠0) ” D.“n n a a b =n (b )” 类推出“n n a a b +=+n (b )” 3、 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ?/平面α,直线a ≠ ?平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的, 这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。 (A)假设三内角都不大于60度; (B) 假设三内角都大于60度; (C) 假设三内角至多有一个大于60度; (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?,那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1+a +a 2+…+a n +1=a a n --+112 , (a ≠1,n ∈N)”时,在验证n=1 成立时,左边应该是 ( ) (A)1 (B)1+a (C)1+a +a 2 (D)1+a +a 2+a 3 7、某个命题与正整数n 有关,如果当)(+∈=N k k n 时命题成立,那么可推得当1+=k n 时 贝叶斯算法原理分析 Bayes法是一种在已知先验概率与条件概率的情况下的模式分类方法,待分样本的分类结果取决于各类域中样本的全体。 Bayes方法的薄弱环节在于实际情况下,类别总体的概率分布和各类样本的概率分布函数(或密度函数)常常是不知道的。为了获得它们,就要求样本足够大。另外,Bayes法要求表达文本的主题词相互独立,这样的条件在实际文本中一般很难满足,因此该方法往往在效果上难以达到理论上的最大值。 1.贝叶斯法则 机器学习的任务:在给定训练数据D时,确定假设空间H中的最佳假设。 最佳假设:一种方法是把它定义为在给定数据D以及H中不同假设的先验概率的有关知识下的最可能假设。贝叶斯理论提供了一种计算假设概率的方法,基于假设的先验概率、给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身。 2.先验概率和后验概率 用P(h)表示在没有训练数据前假设h拥有的初始概率。P(h)被称为h的先验概率。先验概率反映了关于h是一正确假设的机会的背景知识,如果没有这一先验知识,可以简单地将每一候选假设赋予相同的先验概率。类似地,P(D)表示训练数据D的先验概率,P(D|h)表示假设h成立时D的概率。机器学习中,我们关心的是P(h|D),即给定D时h的成立的概率,称为h的后验概率。 3.贝叶斯公式 贝叶斯公式提供了从先验概率P(h)、P(D)和P(D|h)计算后验概率P(h|D)的方法:p(h|D)=P(D|H)*P(H)/P(D) ,P(h|D)随着P(h)和P(D|h)的增长而增长,随着P(D)的增长而减少,即如果D独立于h时被观察到的可能性越大,那么D对h的支持度越小。 4.极大后验假设 学习器在候选假设集合H中寻找给定数据D时可能性最大的假设h,h被称为极大后验假设(MAP),确定MAP的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率,计算式如下: h_map=argmax P(h|D)=argmax (P(D|h)*P(h))/P(D)=argmax P(D|h)*p(h) (h属于集合H)0,则1a +1b +1c 的值( ) A .一定是正数 B .一定是负数 C .可能是零 D .正、负不能确定 8、如果x >0,y >0,x +y +xy =2,则x +y 的最小值是( ) A.32 B .23-2 C .1+ 3 D .2-3 9、设f (n )=1n +1+1n +2+…+1 2n (n ∈N *),那么f (n +1)-f (n )等于( ) A.12n +1 B.1 2n +2
贝叶斯分析
高二数学选择进修2-2第二章推理与证明
贝叶斯算法原理分析
第二章 推理与证明(A)