答案： 第1次作业
1.A ；
2.A ；
3.A ；
4.C ；
5. tan α；
6.>；
7.8. C
9.（1）由题意知BE=DE ，∴∠BDE =∠DBC=45°，∴∠BED=90°，∴CE=1
2
(BC -AD)=3，BE=5.
（2）∵DE= BE=5，∠BED=90°， ∴在R t △CED 中，tan=
3
5
CE DE = 10.（1）作AB DE ⊥于E ，AB CF ⊥于F ，则2==CF DE ，
在Rt △ADE 中，∵?=45α，∴2==DE AE ． 在Rt △CFB 中，∵21tan =
β，∴2
1=BF CF ，∴42==CF BF ． 在梯形ABCD 中，又∵EF ＝CD ＝10， ∴AB ＝AE ＋EF ＋FB ＝16（米）．
（2）在梯形ABCD 中，∵AB ＝16，10=CD ，2=DE ，
∴面积为262)1610(2
1
)(21=?+=?+DE AB CD （平方米），
∴修筑1000米路基，需要土石方：26000100026=?（立方米）．
第2次作业
1.B ；
2.B ；
3.A ；
4.A ；
5.D ；
6.D ；
7.D ；
8. （1）如答图所示，过点A 作AE ⊥BC 与E ，则S △ABC =12BC 2AE =1
2
3142AE =84. 所以AE =12.
在Rt △AEB 中，BE
9=， 所以CE =BC -BE =14-9=5.
在Rt △ACE 中，tan ∠ACB =
12
5
AE CE =. （2）由（1）知CE =5，AE =12. 在Rt △ACE 中，AC
13=.
α
β
A
B
C
E
D
F （第10题）
E
B
A
C
D
过点C 作CD ⊥AB 于D ，则S △ABC =12AB 2CD ,即12×152CD =84，所以CD =565
. 在Rt △ADC 中，sin ∠CAB =
5665
CD AC =
.
9. (1)证明.∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC .∴∠ADB = 90°，∠ADC = 90°.在Rt △ABD 与Rt
△ADC 中，∵tan B =
AD BD ，cos ∠DAC =AD
AC
，又已知tan B = cos ∠DAC ，∴AD BD =AD AC .∴AC = BD .
(2)解：Rt △ADC 中，已知sin C =
12
13
，故可设AD = 12k ，AC = 13k (k ＞0).∴CD = 5k .∵BC = BD + CD ，又AC = BD ，∴BC = 13k + 5k = 18k .由已知BC = 12，∴18k = 12.∴k =2
3
.
∴AD = 12k = 123
2
3
= 8.
第3次作业
1. B ；
2.A ；
3.B ；
4.B ；
5.3250；
6.
7. 解：原式2(1)(2)13
(1)(1)1
a a a a a a a -++-=
=+-+
当1
tan 602sin 30212
a =-=?=°°时，
原式
=
=
8. (1)如图，圆锥的高DO = 2(m ).在Rt △DOB 中，BO = BE + EO = 4 + 2 = 6(m )，∴tan B
=
DO BO
==∴∠B = 30°. (2)过点A 作AF ⊥BP ，垂足为F .∵∠B = 30°,∴∠ACP = 2∠B = 60°.又∠ACP =∠B +∠
BAC ，∴∠B =∠BAC . ∴AC = BC = BE + EC = 4 + 4 = 8(m ).在Rt △ACF 中，AF = AC sin ∠ACF =
8sin60°m ).故灯源离地面的高度为m.
第4次作业 1.略；2.略；
3.因为△ABC 是等腰三角形，D 为AB 的中点，∴AB =2AD ，C D ⊥AB ，在Rt △ADC 中，tan CD
A AD
=
， ∴1
1.963tan tan 27CD AD A =
=≈?
.∴AB=2AD=2×1.963≈3.93. 答：跨度AB 的长为3.93米.
4. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ABC = 8°14′，∵AD = 43.74 m ，CD = 2.63 m ，
∴AC =AD -CD = 41.11(m ).∴BC =
tan AC
ABC
∠= 41.11÷0.1447≈284(m ).
即观察所A 到船只B 的水平距离约为284 m.
5. 解：由题意知：532330BAC ∠=-?=?° 232245C ∠=+?=?°
过点B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则CD BD = 10BC =
cos 45107.0CD BC ∴=?==·
5 1.4 1.711.9tan30BC AD =
===??š
11.97.018.919AC AD CD ∴=+=+=≈
答：小船到码头的距离约为19海里
6. 解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ． 在Rt ABD △中，20AB =，37B ∠=°，
∴sin 3720sin 3712AD AB
==·°°≈． cos3720cos3716BD AB ==·°°≈． 在Rt ADC △中，65ACD ∠=°， ∴12
5.61tan 65 2.14
AD CD =
≈≈°
5.611621.6121.6BC BD CD ∴=++=≈≈（海里） 答：B C ，之间的距离约为21.6海里．
第5次作业
1. （1）∠A =38°51′57″，∠B =3°8′8″．（2）∠A =51°18′11″，∠B =80°27′2″． （3）∠A =41°23′58″，∠B =20°20′5″．
2. 过D 作DE ⊥AB 于E ,过C 作CF ⊥AB 于F . 在Rt △ADE 中，∵11.5DE AE =
=tan A ,DE =4，∴AE =1.5DE =1.5×4=6，tan A =1
1.5
≈0.6667，∠A ≈33°69′．
在Rt △CFB 中，∵1
2.5
CF BF =
，∴BF =2.5CF =2.534=10， ∴AB =AE +EF +BF =AE +CD +BF =6+3+10=19(m). 答：坝底宽AB 为19m ，∠A 约为33°69′． 3. 由题意并结合图形可以知道：∠ACB =30°，CD =3234m ，AB =600m ，AB ⊥BC ． ∴tan ∠ACB =
AB
BC
=tan30°
∴BC
≈1039(m) ． ∴BD =BC +CD =1039+3234=4273(m) ． ∵tan D =
600
4273
AB BD =
≈0.1404，∴∠D ≈8°．
答：观察员在A 出测得D 舰的俯角约为8°． 4. 解：作DE ⊥AB 于点E
在Rt △ABC 中，∠ACB =β=43°
∵tan ∠ACB =
BC
AB
∴AB =BC ·tan ∠ACB =30·tan43° ≈28
在Rt △ADE 中，30==CB DE ，?==∠35αADE ∵tan ∠ADE =
DE
AE
∴AE ＝DE ·tan ∠ADE ＝30·tan35° ≈21
∴CD ＝BE =AB -AE =28-21=7
答：建筑物AB 的高约是28m ，建筑物CD 的高约是7m ． 5.设CD 为x ，
在Rt △BCD 中， 6.18==∠αBDC ， ∵CD
BC
BDC =
∠tan ， ∴x BDC CD BC 34.0tan =∠?=． 在Rt △ACD 中， 5.64==∠βADC ， ∵CD
AC
ADC =
∠tan ， ∴x ADC CD AC 1.2tan =∠?=．
∵BC AC AB -=， ∴x x 34.01.22-=． 答：CD 长约为1.14米．
第6次作业
1.B ；
2. C ；
3. 4；
4.10；
5.4；
6. 答案：解：由题意得306030CAB CBD ACB ∠=∠=∴∠=°
，°，°， BCA CAB ∴∠=∠，20240BC AB ∴==?=．
90sin CD
CDB CBD BC
∠=∴∠=
°，．
sin 60CD BC ∴=
=°40CD BC ∴===．
∴此时轮船与灯塔C 的距离为
7. 答案：（1）理由如下：
如图，过C 作CH AB ⊥于H ，设CH x =，
由已知有4560EAC FBC ∠=∠=°
，° 则4530CAH CBA ∠=∠=°
，°， 在Rt ACH △中，AH CH x ==，
在Rt HBC △中，tan CH
HBC HB
∠=
tan 30CH HB ∴=
==°，
AH HB AB +=
600x ∴+=
解得220x =
（米）>200（米）
． MN ∴不会穿过森林保护区．
8. 解：过P 作PC ⊥AB 于C 点，根据题意，得
AB =18×
20
60
=6，∠P AB =90°－60°=30°， ∠PBC =90°－45°=45°，∠PCB =90°， ∴PC =BC ． 在Rt △P AC 中， tan30°=6PC PC
AB BC PC =
++，
6PC PC
=+，解得PC
=3．
∵3＞6，∴海轮不改变方向继续前进无触礁危险．
第7次作业
1.A ；
2.
3.7；3.9.6；
4. 解：如图，由已知，可得60ACB ∠=
，45ADB ∠=
．
∴在Rt ABD △中，BD AB =．
又在Rt ABC △中，tan 60AB BC
=
，
AB BC ∴
=
3
BC AB =． BD BC CD =+
，3
AB AB CD ∴=
+．
180CD AB AB ∴==- C
H
F B
N
M
A
E 60° 45°
A P
60?
45?
北
东
A
B
C
D
180=-（米）
． 答：小岛C D ，
间的距离为180- 5. 解：延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF =BD ·sin15°≈50×0.26=13.0． ∴CE =BF =BD ·cos15°≈50×0.97=48.5． ∴AE =CE ·tan10°≈48.5×0.18=8.73． ∴AB =AE +CD +DF =8.73+1.5+13 =23.2． 答:树高约为23.2米．
6. 解：（1）在ACB △中，6036AB BC ACB BC ⊥∠==，°
，米，
tan60AB BC ∴==·°
1.732，
36 1.73262.35262.4AB ∴?≈≈≈（米）
答：塔AB 的高度约为62.4米．
（2）在BCD △中，tan BC CD BDC CD a BC a θθ⊥∠==∴=，，，．
在Rt ABC △
中，tan60tan AB BC θ=·°（米）． 答：塔AB
tan θ米．
第8次作业
1.C ；
2.D ；
3.2
2001(1)(1)y x x ??=++++??；4.23 3.6(0 2.4)2
S x x x =-+<<；
5.C ；
6.D ；
7.14
-，0或3；8.≠2，-1
9. (1)y = -1000x 2+6 000x (0＜x ＜6).(2)当x =3时，y 有最大值9000元. 10. 过点A 作AH ⊥BC 于H ，则MG = x - 15，BH = 25，BP = 40 - x .∴
AH BH =MP BP 即3025=40MP
x
-.∴MP =
65(40 - x ).矩形MNCP 的面积S = x 265(40 - x )= -6
5
x 2 + 48x .其中15＜x ＜40.
第9次作业
1.B ；
2.D ；
3.B ；
4.C ；
5.C ；
6.D ；
7. y 1＜y 2；
8.9m
9. (1)在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ，∴
AC AB =AD
AC
.∴AB 2AD = AC 2.∵AC = x ，AB = y ，AD = 1，∴y = x 2，且x ＞1，y 是x 的二次函数.
(2)图略.
F
10. (1)由题意，知OA = 2，y p= x2.又∵S△AOP =1
2
2OA2y p，∴S =
1
2
322x2，即S = x2.因此所
求函数关系式为S = x2.(2)∵x＞0，S＞0，∴其图象应为抛物线S = x2在第一象限内的一部分.图略.
第10次作业
1.抛物线，上，（0，0），增大，减少；
2. y=1
3
x2，慢；3.相同，不同，上，下，y轴；4.
1
2
；
5. y=1
2
x2；6.D；7.B；8. B；9.D；10. C；
11. 建立如答图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的解析式为y=ax2.
由题意知B，C两点坐标分别为B(9，-h)，C(8，1.7-h)，将B，C两点坐标代入抛物线的解
析式，得
81,
1.764.
h a
h a
-=
?
?
-=
?
解得
1
10
8.1
a
h
?
=-
?
?
?=
?
∴该大门的高h为8.1m..
12. （1）把(3，b)代入y=2x+3得b=9,即交点坐标为(3，9).
把（3，9）代入y=ax2可知9=a×32，∴a=1.
∴抛物线的解析式为y=x2.
（2）由（1）知抛物线的表达式为y=x2，其简图略，由图象可知，抛物线y=x2的开口向上，其对称轴是y轴，顶点坐标为(0，0).当x＞0时，y值随x值的增大而增大.
（3）在同一直角坐标系内画出y=x2和y=2x+3的图象，它们相交于A、B两点，故由
2
23 y x
y x
?=
?
=+?
可知，其交点坐标为A(3，9)，B(-1，1)，又直线y=2x+3与y轴交于点C，故C点坐标应为(0，3).
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=1139
31336
2222
??+??=+=，即△AOB得面积为6个平方单位.
第11次作业
1. y=-x2-1；
2. y=1
2
x2-3；3. y=4x2+3；4.-3，2，（0，2）；
5.相同，不同，y轴，增大，减少；
6.C；
7.B；
8. A；
9.B；10.D；
11. (1)由题意，知抛物线开口向下.∵点A、点B关于y轴对称，∴抛物线对称轴是y轴.
∴
，解得m =±6.又抛物线开口向下，且与x轴有两个交点，∴顶点(0，m - 3)在x
轴上方，∴m - 3＞0，∴m＞3，故m = 6.
(2)把m = 6代入抛物线函数表达式，得y = -1
2
x2 + 3.于是顶点坐标为(0，3).
12. (1)∵抛物线y = - mx 2 + 4m 的顶点坐标为(0，2)，∴4m =2，m =1
2
.∴二次函数的解析式为y =
-
12
x 2
+ 2. (2)如图，AD =BC =2|x |，∴AD + BC = 4|x |.AB =CD =|y |= y (∵y ＞0).
∴AB + CD = 2y = 2(-12x 2 + 2)，∴P = 2(-1
2
x 2 + 2)+ 4|x | = - x 2 + 4|x | + 4.
∵对于抛物线y = -12x 2 + 2，令y = 0，则-1
2
x 2 + 2 = 0，x =±2. ∴抛物线y = -
12
x 2
+ 2与x 轴的两个交点是(- 2，0)，(2，0). ∴关于x 的函数P 的自变量的取值范围是- 2＜x ＜2，且x ≠0.
(3)假设存在矩形ABCD ，其周长为9.当0＜x ＜2时，P = - x 2 + 4x + 4 = 9.即- x 2 + 4x - 5 = 0.∵42 - 43(- 1)3(- 5)＜0，故方程无实根.当- 2＜x ＜0时，P = - x 2 - 4x + 4 = 9，即x 2 + 4x + 5 = 0.∵42 - 43135＜0，∴方程无实根.由此可知，不存在周长为9的矩形ABCD .另解：P = - x 2 + 4|x | + 4 = -|x |2 + 4|x |+ 4 = -(|x |2 - 4|x |+ 4)+ 8 = -(|x |- 2)2 + 8.∵|x |＜2，∴-(|x |- 2)2＜0，∴P ＜8，∴P ≠9.即周长为9的矩形ABCD 不存在.
第12次作业 1.上，（-2，0），x =-2，>-2；2.下，（1，2），x =1，<1；3.C ；4.C ； 5.④；6.B ； 7.略；
8. （1）把点C (5，4)代入抛物线y =ax 2-5ax +4a 得， 252544a a a -+=， 解得1a =．
∴该二次函数的解析式为254y x x =-+． 2
2595424y x x x ?
?=-+=-- ??
?
∴顶点坐标为5924P ??- ??
?，． （2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位， 得到的二次函数解析式为
22
5917342424y x x ???
?=-+-+=++ ? ????
?，
即2
2y x x =++．
第13次作业
1.x =1；
2.（-1，-3）；
3.
4.9；4.A ；
5.B ；
6.A ；
7.B ；
8. B ；
9. （1）－3．
t =－6．
（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入2y ax bx =+，得 0164,
393.a b a b =-??-=-?
解得 1,
4.a b =??=?
向上．
（3）－1（答案不唯一）．
10. （1） 抛物线2
13
y x bx c =
++
经过(03A B -，）两点，
2
1(03
3.c c ?+=?∴??=-?，
解得 3.
b c ?
=???=-?
∴
此抛物线的解析式为：2133y x x =-．
（2）由（1）可得此抛物线的对称轴l
为x = 顶点C
的坐标为4)-．
（3）证明： 过A B 、
两点的直线解析式为3y =-，
∴
当x =6y =-．∴点D 的纵坐标为6-，642CD ∴=---=．
作BE l ⊥于点E
，则BE =
431CE =-=
，由勾股定理得2BC ==， .BC DC ∴=
第14次作业 1. 2y x x =+，211
33
y x x =-
+；2. 223y x x =-++；3. -4；
4. (1)设所求函数为y = ax 2 + bx + c .将点(0，0)、(1，1)、(2，5)代入上式，得：0142
5.c a b c a b c =??
++=??++=?
,,
解得32120.a b c ?=??
?
=-??
=???
,,∴所求函数为y =32x 2 -12x .
(2)设所求函数为y = a (x - h )2 + k .由顶点为(- 2，1)得y = a (x + 2)2 + 1，将点(1，- 2)代入上
式，得- 2 = a (1 + 2)2 + 1.∴a = -13，∴y = -1
3
(x + 2)2 + 1.
(3)设所求函数为y = a (x - x 1)(x - x 2).由题意得y = a (x + 2)(x - 3)= ax 2 - ax - 6a ，∵y 有最
小值- 3，∴2
464a a a a
(-)-(-)= - 3.∴a =1225，∴y =1225x 2 -1225x -7225.
5.（1）；22111
(6)(6)1818222
S t t t t =-+=-=-+；（2）06t ≤<；
（4）用图象表示如下：
6. （1）由题意得 2
3(2)(2)2
112a c a ?=---+???-?-=-??，，
解得 21-=a ，23=c ．
∴ 抛物线的解析式为23
212+--
=x x y ． （2）令 y = 0，即 02
3
212=+--x x ，整理得 x 2 + 2x －3 = 0．
变形为 （x + 3）（x －1）= 0， 解得 x 1 =－3，x 2 = 1．
∴ A （－3，0），B （1，0）． （3）将 x =
－l 代入2
3
212+--
=x x y 中，得 y = 2，即P （－1，2）． 设直线PB 的解析式为 y = kx + b ，于是 2 =－k + b ，且 0 = k + b ．解得 k =－1，b = 1．
即直线PB 的解析式为 y =－x + 1． 令 x = 0，则 y = 1， 即 OC = 1． 又 ∵ AB = 1－（－3）= 4， ∴ S △ABC =
213AB 3OC =2
1
3431 = 2，即△ABC 的面积为2．
第15次作业
1.<3，>3，=3，2；
2.10；
3. y = x 2 + 4x +4；
4.D ；
5.D ；
6.C ；
7. (1)y = - 3x + 240.(2)w = - 3x 2 + 360x - 9 600.(3)55，1 125.
8. (1)y =(x - 50)2w =(x - 50)2(- 2x + 240)= - 2x 2 + 340x - 12 000，
∴y 与x 的关系式为：y = -2x 2+340x -12 000.
(2)y = - 2x 2 + 340x - 12 000 = - 2(x - 85)2 + 2 450，∴当x = 85时，y 的值最大.
(3)当y = 2 250时，可得方程- 2(x - 85)2 + 2 450 = 2 250.解这个方程，得x 1 = 75，x 2 = 95.根据题意，x 2 = 95不合题意应舍去.∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2 250元.
第16次作业
1.1
2.5，156.25cm 2；2. 8；
3.3；
4.
12034x -，-3
4
x 2 + 30x ，20，300； 5. 由题意得(322)S AB BC x x ==-
2232S x x ∴=-+
20a =-< ，S ∴有最大值．
32
822(2)
b x a ∴=-
=-=?-． 2243212844(2)
ac b S a --===?-最大值
8x ∴=时，S 有最大值是128．
6. S 1 = x (30 - 2x )= - 2x 2 + 30x = - 2(x -152)2 +2252.当x =15
2
米时，S 1取大值2252平方米.由30
=πx ，得x = 10米. S 2 =12πx 2 =1
2
333100 = 150平方米.∵2252＜150，∴S 1＜S 2.∴应选择第二个方案.
7. (1)y = -3
2
x + 6(0≤x ＜4).(2)x = 2，S 最大值= 6.
8. (1)证明略.
(2)由(1)得DG 为△DEF 中EF 边上的高，在Rt △BFE 中，∠B = 60°，EF = BE sin B x ，在Rt △CEG 中，CE = 3 - x ，CG =(3 - x )cos60°=
32x -，∴DG = DC + CG =112x -，∴S =1
2
EF 2DG
x 2 x ，其中0＜x ≤3.
(3)＜0，对轴称x =11
2
，∴当0＜x ≤3时，S 随x 的增大而增大，∴当x = 3，即E 与
C 重合时，S 有最大值.S 最大值
第17次作业
1.（-3，0）和（4，0）；
2.13m >-且m ≠0；
3.12532；
4.343
8；5.B ；6.B ；7.C ；8.C ；
9.（1）因为a =2，b =-2，c =-4，2(2)43(4)520?=--??-=>，所以抛物线y =3x 2-2x -4与x 轴有两个交点；
（2）因为a =2，b =4，c =2，244220?=-??=，所以抛物线y =2x 2+4x +2与x 轴有一个交
点；
（3）因为a =6，b =2，c =1，224612000?=-??=-<，所以抛物线y =6x 2+2x +1与x 轴没有交点.
10. y =3x 2-6x -1，令y=0，则3x 2-6x -1=0，2(6)43(1)361248?=--??-=+=，
所以x =1 2.15x =≈，20.15x =≈-. 则交点坐标为（2.15，0），（-0.15，0）.
22
图象略.
11. （1）证明：2
2234144k k k ??
?=-??-= ???
， 2
040k k >∴?=> ． ∴此抛物线与x 轴总有两个交点. （2）解：方程2
2304x kx k +-=的解为12x k =或3
2
x k =-．
112
03
OM ON ON OM -=>∴>
，． 3100022k M k N k ????
>∴- ? ?????
，，，， 3122OM k ON k ∴=
=，． 11112
13322
ON OM k k ∴-=-=，
解得2k =．
第18次作业 1.B ；2.A ；
3.原方程变形为2x 2-4x =5，画函数y =2x 2-4x -5的图象.
由图象知方程有两个根，一个在-1和0之间，一个在2和3之间，先求-1和0之间的根，
求2和3之间的根， 因此，x =2.9是方程的近似根.
4. （1）13x -<<．
（2）解：设21y x =-，则y 是x 的二次函数．
10a =>∴ ，抛物线开口向上．
又 当0y =时，2
10x -=，解得1211x x =-=，．
∴由此得抛物线21y x =-的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当1x <-或1x >时，0y >．
210x ∴->的解集是：1x <-或1x >．
5. (1)由图可知，抛物线过点(1，0
)和(4，0)，故有0501620.a c a c =-+??
=-+?,解得14.a c =??=?
,
故所求抛物线
的表达式为y = x 2-5x +4.又∵在y =x 2-5x +4中，a =1，b =-5，c =4，故-
2b
a
=-52-=52，1-
244ac b a
-=1625
4-= -94 故抛物线y = x 2-5x +4的顶点坐标为(52，-94).
(2)由图可知，此抛物线的对称轴为x =
52.故当x ＜5
2
时，y 值随着x 值的增大而减小；当x ＞5
2
时，y 值随着x 值的增大而增大. (3)由(1)题知，抛物线的表达式可为y =(x -
52)2 -9
4
，若将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，则所得抛物线表达式可以是y =(x -
52+ 3)2 -94- 4，即y =(x +1
2
)2 -254. (4)设抛物线y =(x +1
2
)2 -254= x 2+x -6与x 轴交于A 、B ，则A 、B 两点坐标为(- 3，0)和(2，0)，故AB = 5.
∵抛物线y = x 2+x -6的开口向上，故抛物线的顶点是图象的最低点.∴在x 轴下方的抛物线上确定一点P ，使
△P AB 的面积最大，须P 点到x 轴距离最大，此时P 点只能是此抛物线的顶点了，即P 点的坐标为(-
12，254)，此时△P AB 的面积为1
2353254=1258
个平方单位.
解码专训三：思想方法荟萃 分类讨论思想 名师点金：在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的范围中化简二次根式． 1．已知a是实数，求（a＋2）2－（a－1）2的值． 数形结合思想 名师点金：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简． 2．已知实数m，n在数轴上的位置如图，化简：m2＋n2＋（m－n）2＋n2＋2n＋1－（m－1）2. (第2题) 类比思想 名师点金：类比是一种在不同对象之间，或者在事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算方法和顺算，运算公式和运算律同样适用．
3．计算：(72＋26－3)(26－72＋3)． 转化思想 名师点金：解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题获得解决，这就是转化思想． 4．计算：(3＋2)2 015·(3－2)2 016. 解码专训三 1．解：（a＋2）2－（a－1）2＝|a＋2|－|a－1|，分三种情况讨论： 当a≤－2时，原式＝(－a－2)－[－(a－1)]＝－a－2＋a－1＝－3； 当－2＜a≤1时，原式＝(a＋2)＋(a－1)＝2a＋1； 当a＞1时，原式＝(a＋2)－(a－1)＝3. 点拨：求含字母的两个绝对值的和或差时，要分类讨论．本题也可以通过解不等式来确定各分界点． 2．解：由m，n在数轴上的位置可知：m＞n，0＜m＜1，n＜－1. ∴m－n＞0，m－1＜0，n＋1＜0. ∴原式＝|m|＋|n|＋|m－n|＋|n＋1|－|m－1|＝m－n＋m－n－1－n－(1－m)＝m－n＋m－n－1－n－1＋m＝3m－3n－2. 方法点拨：在利用a2＝|a|化简时，一定要结合具体问题，先确定出绝对值号里面式子的符号，再进行化简． 3．解：(72＋26－3)(26－72＋3) ＝[26＋(72－3)][26－(72－3)] ＝(26)2－(72－3)2
九年级数学典中点训练 一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分） 1．－1的绝对值是（） A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） 3．一元二次方程2x(x－1)＝0的解是（） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1 4．下列判断正确的是（） A．掷一次骰子，向上的一面是6点 B．抛一枚硬币，落地后正面朝上 C．抛掷1枚硬币，掷得的结果不是正面朝上就是反面朝上 D．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上 5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB＝5，截面圆圆心为O，当水面宽AB＝8时，水位高是多少（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．等腰三角形的两边长分别为2和3，则周长为（） A．5 B．7 C．8 D．7或8 7．如图，直线y＝－33x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕 点A顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（） A．(4，23) B．(23，4) C．(3，3) D．(23＋2，23) 二、填空题（本大题有10小题，每题4分，共40分） 8．（1）计算：2a－a＝．（2）． 9．已知∠A＝110°，则∠A的补角的度数是． 10．用科学记数法表示：150000＝． 11．二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12．点P（a，-1）关于原点对称的点P'（b，1），则a+b=______． 13．方程x2－ax＋1＝0有且只有一个实根，则a的值． 14．如图，AB与CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数为_______．15．从分别标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是_________． 16．已知x＝－1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2－2mn＋n2的值为__________． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，…，那么第⑤个三角形离原点O最远距离的坐标是，第2012个三角形离原点O最远距离的坐标是． 三、解答题（本大题有9小题，共89分） 18．（本题满分18分) （1）计算：|－1|＋128＋(－3.14)0－(12)－1． （2）解方程：．
2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3.平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 ab S 2 1= 注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=1 （l -中位线长） 初三数学上册期末总复习（经典例题） 目录 第一章、图形与证明（二）1 （一）、知识框架1 (二)知识详解2 （三）典型例题4 第二章、数据的离散程度7 （一）知识点复习7 （二）经典例题8 第三章、二次根式9 （一）、知识框架9 （二）、典型例题10 第四章、一 元二次方程11 （一） 知识框架11 （二）、 知识详解12 （三）、典型例题13 第五章、中 心对称图形二（圆的有关知识）14 （一）、 知识框架14 （二） 知识点详解15 （三）、典型例题21 第一章、图形与证明（二） （一）、知识框架
(二)知识详解 2．1、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 （即“三线合一”） 2．2、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 2．3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
专训一：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解． 利用矩形的性质巧求折叠中的角 1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角： (1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E； (2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数． (第1题) 利用矩形的性质巧求折叠中线段的长 2．(2015·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②. (1)求证：EG＝CH； (2)已知AF＝2，求AD和AB的长． (第2题)
利用矩形的性质巧证线段的关系 3．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于F ，连接AE. 求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD. (第3题) 利用矩形的性质巧求线段的比 4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N. (1)求证：CM ＝CN ； (2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN 的值． (第4题)
x 21.1 一元二次方程 【学习目标】 1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．根的作用的理解． 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 【重点、难点】 重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。 难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定 【学习过程】 一、知识回顾 1．什么是整式方程？ 2.什么是—元一次方程？ 3.指出下列方程哪些是一元一次方程？ (1) 3x 十2＝5x —3 (2) x 2＝4 (3) (x 十3)(3x ?4)＝(x 十2)2； (4) (x —1)(x —2)＝x 2 十8； 二、探究新知 （一）建立方程 问题（1） 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________. 得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ① 问题（2） 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等
条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________ 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程 ____________________________ 化简整理得 ____________________________ ② (二)获得定义 观察下列各式： （1）.23520x x -+= （2）. 31022=-x x （3）. 0362=-x （4）. 04722=--x x 问题一：题目中含有 个未知数？ 问题二：按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 次？ 类比一元一次方程的定义，那么上面的方程叫做 一元二次方程的定义：方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程叫一元二次方程. 一元二次方程的一般形式:ax 2 +bx+c=0（a ≠0）． 其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________, _____是一次项系数；_____是常数项 注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号 二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉 强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x 的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0． 一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 三、新知应用 例1.将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项． 巩固练习：
阶段强化专训二：一元二次方程的解法名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 方法1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝2 5 B．x＝ 5 2 C．x＝±5 2 D．x＝± 2 5 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 方法2当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0.
5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y 的值． 方法3 能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解 6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( ) A ．－1 B ．0 C ．1和2 D ．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x 2－2x ＝0； (2)16x 2－9＝0； (3)4x 2＝4x －1. 方法4 如果一个一元二次方程易化为它的一般式，则用公式法求解
8．用公式法解一元二次方程x2－1 4 ＝2x，方程的解应是( ) A．x＝－2±5 2 B．x＝ 2±5 2 C．x＝1±5 2 D．x＝ 1±3 2 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0；(2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝2 7 B．x＝ 7 2 C．x1＝7 2 ，x2＝－ 7 2 D．x1＝ 2 7 ，x2＝－ 2 7 11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是( ) A．3 B．－4 C．3和－4 D．3和4 12．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是( ) A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2