函数及其表示2 一、选择题 1 设函数
()23,(2)()f x x g x f x =++=,则()g x 的表
达式是( )
A
21x + B 21x - C 23x - D 27x +
2 函数)2
3
(,32)(-≠+=
x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于( ) A
3 B 3- C 33-或 D 35-或
3 已知)0(1)]([,21)(2
2
≠-=-=x x
x x g f x x g ,那么)2
1
(f 等于( ) A 15 B 1 C 3 D 30
4 已知函数
y f x =+()1定义域是[]-23,,则
y f x =-()21的定义域是( )
A []052
, B
[]-14, C []-55, D []-37,
5
函数
2y =的值域是( )
A
[2,2]- B [1,2] C [0,2] D
[]
6 已知2
211()11x x f x x
--=++,则()f x 的解析式为( ) A
2
1x x + B
2
12x x +-
C
2
12x x + D
2
1x x +-
二、填空题 1 若函数234(0)
()(0)0(0)x x f x x x π?->?==?
?
,则((0))f f =
2 若函数
x x x f 2)12(2-=+,则)3(f =
3
函数
()f x =的值域是
4 已知
??
?<-≥=0
,10
,1)(x x x f ,则不等式(2)(2)5x x f x ++?+≤的解集是
5 设函数
21y ax a =++,当11x -≤≤时,y 的值有正有
负,则实数a 的范围
三、解答题
1 设,αβ是方程2
4420,()x
mx m x R -++=∈的两实
根,当m 为何值时, 22αβ+有最小值?求出这个最小值
2
求下列函数的定义域
(1)y
(2)
1
112
2--+-=
x x x y
(3)
x
x y --
-
=
11111
3 求下列函数的值域
(1)x x y -+=43 (2)3
425
2+-=x x y
(3)x x y --=21
4 作出函数
(]6,3,762∈+-=x x x y 的图象
(数学1必修)第一章(中) [综合训练B 组]
参考答案
一、选择题 1 B
∵(2)232(2)1,g x x x +=+=+-∴()21g x x =-;
2 B
()3,(),32()3223
cf x x cx
x f x c f x c x x ====-+-+得
3 A 令[]2
2
11111(),12,,()()152242x g x x x f f g x x -=-=====
4 A 523,114,1214,02
x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤;
5C 2
24(2)44,
x
x x -+=--+
≤02,20-≤
022,02y ≤≤≤;
6 C 令
2211()
1121,,()1111()1t x t t t t x f t t x t t
----+====
-++++则 二、填空题 1
234π- (0)f π=; 2
1- 令
2213,1
,(3)(21)21x x f f x x x +===
+=-=-;
3
2223(1)2x x x -+=-+≥
0()f x <≤
3(,]2-∞ 当
3
20,2,(2)1,25,2,2x x f x x x x +≥≥-+=++≤-≤≤即则
当20,2,(2)1,x x f x +<<-+=-即
25,2x x x --≤<-则恒成立,即∴32
x <
;
5
1(1,)3
--
(),(1)31,(1)1,y f x f a f a ==+-=+令则
(1)(1)(31)(1)0f f a a ?-=++<
得1
13
a -<<- 三、解答题 1.
解:
21616(2)0,21,m m m m ?=-+≥≥≤-或 222222min 1
()21
2
1
1,()2
m m m αβαβαβαβ+=+-=--=-+=
当时
解:(1)∵80
83,30
x x x +≥?-≤≤?
-≥?得∴定义域为[]8,3-
(2)∵22210
1011,110x x x x x x ?-≥?-≥=≠=-?
?-≠?
得且即 ∴定义域为
{}1-
(3)∵001110211
0101
1x x x x x x x x x x ??
??
?-≠??
??
-
≠≠-??-????≠-
≠??-??-?-?
得∴定义域为11,,022?
???-∞-- ? ?
?
??? 2.
3 . 解:(1)
∵343
,43,,141
x y y
y xy x x y x y +-=
-=+=≠--+得, ∴值域为
{}|1y y ≠-
(2)∵2
22432(1)11,x x x -+=-+≥
∴2
1
01,05243
y x x <
≤<≤-+∴值域为(]
0,5 (3)1
120,,2
x x y x -≥≤且是的减函数, 当min 11,22x y ==-时,∴值域为1[,)2-+∞
4 .解:(五点法:顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点以及该点
关于对称轴对称的点)
一、 函数的单调性 1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 (2)减函数:如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >,那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 (3)单调性:如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 (1)定义法: 判断下列函数的单调区间:2 1x y = (2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断: 设)(x f y =,)(x g u =,],[b a x ∈,],[n m u ∈都是单调函数,则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数,则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数,则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 练习:(1)函数24x y -=的单调递减区间是 ,单调递增区间 为 . (2)5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 . 3、函数单调性应注意的问题: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上 是增(或减)函数 4.例题分析
3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型 如: ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 常针对根号,举例: 令 ,原式转化为: ,再利用配方法。 ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: )0(>+ =k x k x y ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1
高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除
第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数: 非连续函数: 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点:对于函数,若使=0,则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理: ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ??????①=在上连续不断;函数=在内有零点② p q 说明:是充分不必要条件. ()()4,y f x a b 、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点? ()()()[]()()()(),:,:,. 0.y f x a b p y f x a b q y f x a b f a f b ??????①=在区间内单调;②=在上连续不断;函数=在内有唯一一个零点③
()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤: ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?<-<1、寻找使、令求、,用重复,,用重复; 4、直到 ()()()()()()()()1122334455665600103,3,0.5 =3,2; 3,4; 0,1; 1.5,0.5; 0.75,0.25; 1.125,0.125; 0.3250.5, 1.125,0.75, = 1.125x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x +=--=-=====-=-=-==-=--=<∈--∴-例:用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取 ()()0f x g x x 四、方程=的跟
高中函数大题专练 2、对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥; ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 (1)试问函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值; (3)在(2)的条件下,讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. (1)若2)(=x f ,求x 的值; (2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时,11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= (1)求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. (2)请你作出函数)(x f 的大致图像. (3)当0a b <<时,若()()f a f b =,求ab 的取值范围. (4)若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,求,b c 满足的条件. 5.已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 (1)若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数,求实数b 的取值范围; (2)当2b =时,若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <,使[,]x m n ∈时,函数()g x 的值域也是 [,]m n ,则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数,试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(,求满足下列条件的实数a 的值:至少有一个正实数b ,使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7.对于函数)(x f ,若存在R x ∈0 ,使00)(x x f =成立,则称点00(,)x x 为函数的不动点。
高中函数大题专练 1、已知关于x 的不等式2 (4)(4)0kx k x --->,其中k R ∈。 ⑴试求不等式的解集A ; ⑵对于不等式的解集A ,若满足A Z B =I (其中Z 为整数集)。试探究集合B 能否为有限集?若能,求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值,并用列举法表示集合 B ;若不能,请说明理由。 2、对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈,总有()0f x ≥; ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时,总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2 ()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 (1)试问函数()g x 是否为G 函数?并说明理由; (2)若函数()h x 是G 函数,求实数a 的值; (3)在(2)的条件下,讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. (1)若2)(=x f ,求x 的值; (2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时,11,()0,f x x ?-? =??? 0;0.x x >= (1)求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. (2)请你作出函数)(x f 的大致图像. (3)当0a b <<时,若()()f a f b =,求ab 的取值范围. (4)若关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解,求,b c 满足的条件. 5.已知函数()(0)|| b f x a x x =- ≠。 (1)若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数,求实数b 的取值范围; (2)当2b =时,若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (3)对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <,使[,]x m n ∈时,函数()g x 的值域也是 [,]m n ,则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数,试探 求,a b 应满足的条件。
高中数学必修1函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。 注意: ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○ 3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数; 若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称; ②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇?奇=偶,偶+偶=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数: 非连续函数: 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点:对于函数,若使=0,则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理: ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ??????①=在上连续不断;函数=在内有零点② p q 说明:是充分不必要条件. ()()4,y f x a b 、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点? ()()()[]()()()(),:,:,. 0.y f x a b p y f x a b q y f x a b f a f b ??????①=在区间内单调;②=在上连续不断;函数=在内有唯一一个零点③ ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤: ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?<-<1、寻找使、令求、,用重复,,用重复; 4、直到 ()()()()()()()()1122334455665600103,3,0.5 =3,2; 3,4; 0,1; 1.5,0.5; 0.75,0.25; 1.125,0.125; 0.3250.5, 1.125,0.75, = 1.125x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x +=--=-=====-=-=-==-=--=<∈--∴-例:用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取 ()()0f x g x x 四、方程=的跟 1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念,明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2、理解函数符号的含义,能根据函数表达式求出定义域、值域; 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号; 4、使学生明白静与动的辩证关系,激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数,并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1:y =1(x ∈R )是函数吗? 问题2:y =x 与y = x x 2 是同一函数吗? 〖投影〗观察对应: 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系? 二、讲授新课 函数的概念 (一)函数与映射 〖投影〗函数:设A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个 数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =)(x f ,x ∈A 。其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{)(x f |x ∈A},叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”,有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素:对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。 映射:设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f :A →B 。这里A ,B 为非空的数集。 (2)A :定义域,原象的集合;{)(x f |x ∈A}:值域,象的集合,其中{)(x f |x ∈A}?B ;f :对应法则,x ∈A ,y ∈B (3)函数符号:y =)(x f ,y 是x 的函数,简记) (x f 〖回顾〗(二)已学函数的定义域和值域: 1、一次函数)(x f =ax +b (a ≠0):定义域R ,值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0):定义域{x |x ≠0},值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 +bx +c (a ≠0):定义域R ,值域:当a >0时,{y |y ≥a b a c 442 -}; 高中数学必修1函数知识总结 一、函数的有关概念 1.函数的概念:设A 、B 是非空的 ,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有 的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .函数的三要素为 找错误:①其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域; ②与x 的值相对应的y 值叫做函数值,所以集合B 为值域。 注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 专项练习1.求函数的定义域: 类型1.⑴22153x x y x --= + ⑵0 (21)y x =- ⑶2214log (1) y x x = +-+ 总结: 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域: 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 方法总结 练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域为 练习2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,求函数()f x 的定义域. 练习2. 已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03,,求函数()f x 的定义域. 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域方法总结 练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 练习2、已知函数的定义域为,则y=f(3x-5)的定义域为________。 高中数学必修一函数知识点总结 同学们,今天开始讲解函数章节学习,函数这章极其重要,因为函数是高中数学重要的枢纽章节,高中数学除了立体几何和概率统计和函数没有关系之外,所有章节多多少少和函数有关系,所以函数学不好高中数学很难突破100以上,那么从第一堂开始往下面讲,认真往下听把所有题目听懂按照肖老师的要求掌握函数,学好函数是没有问题。函数这章我们应该讲什么内容呢? 函数先看他的树枝图,第一个点要了解函数定义讲完,讲解函数三要素(定义域、解析式、值域) 接下来讲解函数四性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性) 接下来讲解函数类型主要讲解二次函数、指数、对数、幂函数、反函数这些内容讲完后,这个就是函数基础内容。 函数基础内容讲完后,准备了函数专题一:讲解函数零点问题分为了四个题型格外重要,一出题就是高考压轴题 那么第二个专题讲到恒成立问题 第三个专题总结一下函数压轴小题不能常规做,如果常规做,极有可能时间浪费掉正确答案也做不出来,有技巧的,有三个技巧方法非常高效。 第一种题型:三次函数的单调性、极值、最值及其应用,其实这个点,我们在六类不等式提到过。 第二种题型:差异取值验证法在解决函数选择难题中的妙用,全国卷做完百分之八十压轴选择题,除了一点函数题之外,其他章节题目也能用这个思想去做,同学可能或多或少有了解,带着大家把这种方法彻底让你掌握,高效去做压轴选择题 第三种题型:已知函数不等式求解抽象不等式这种题型是构造函数这些内容全部讲完相信你对函数这章体系特别完整,那么后续学习其他章节就不会因为函数这章没有学好而影响后面的学习。 那么开始进入第一个点函数三要素,一个点定义域,给大家讲解三个 数学必修1函数概念及性质(知识点总结) (一)函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象. C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质; 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况 ①若 f(x) 是整式,则函数的定义域是实数集 R ; ②若 f(x) 是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若 f(x) 是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合; ④若 f(x) 是对数函数,真数应大于零。 ⑤. 因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若 f(x) 是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 m Card(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为 n 。简单说成“前指后底” 。 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法 1.(2009 江西卷文)函数 y x 2 3x 4 的定义域为 ( ) x A . [ 4,1] B . [ 4, 0) C . (0,1] D . [ 4, 0) (0,1] 解析 由 x 0 得 4 x 0 或 0 x 1,故选 D. 3x 4 x 2 2.(2009 江西卷理)函数 y ln( x 1) 的定义域为 () x 2 3x 4 A . ( 4, 1) B . ( 4,1) C . ( 1,1) D . ( 1,1] x 1 0 x 1 1 x 1 .故选 C 解析 由 3x 4 0 4 x 1 x 2 3.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y 1 ( ) 有相同定义域的是 x A . f (x) ln x B. f ( x) 1 C. f ( x) | x | D. f ( x) e x x 1 x 0. f ( x ) ln x 的定义域 x 1 x ≠ 0; f ( x) | x |的定义域是 解析 由 y 可得定义域是 0 ; f (x) 的定义域是 x x x R; f (x) e x 定义域是 x R 。故选 A. lg( 4 x ) .答案 4.(2007 年上海) 函数 y 的定义域是 x 3 2 x x 4 且 x 3 5.求下列函数的定义域。① y= x 2 x 1 x 1 1 x x 2 .② y= .③y= x x 6.已知函数 f(x) 的定义域为 1,5 ,求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1) 的定义域。 方法二 函数概念的考察 高中数学必修一函数专项练习 1、函数定义:设A 、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数和它对应,那么称 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作:. 其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域,与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合叫值域. 函数的三要素:定义域A 、对应关系f 和值域。 2、函数相同的判别: ① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数); ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关. 3、区间及其写法:设a 、b 是两个实数,且aa}=;{x|x ≤b}=;{x|x或()f x =(3)f 2(1)f a - 函数 ,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义:设,是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素, 在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应:为从集合到集合的一个映射 传统定义:如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值,定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作函数及其表示函数{ [][][][][]().,,()()(),,1212()()(),,12f x a b a x x b f x f x f x a b a b f x f x f x a b a b a =≤<≤<>???????????????近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 定义域函数的三要素值域对应法则 解析法函数的表示方法列表法 图象法 单调性函数的基本性质传统定义:在区间上,若如,则在上递增,是 递增区间;如,则在上递减,是的递减区间。导数定义:在区间[][][][][]()1()2()()00,()0(),,()0(),,y f x I M x I f x M x I f x M M y f x b f x f x a b a b f x f x a b a b =∈≤∈==????> ??最大值:设函数的定义域为,如果存在实数满足:()对于任意的,都有; ()存在,使得。则称是函数的最大值最值最上,若,则在上递增,是递增区间;如 则在上递减,是的递减区间。 ()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()y f x I N x I f x N x I f x N N y f x f x f x x D f x f x f x x D f x =∈≥∈==-=-∈-=∈?????小值:设函数的定义域为,如果存在实数满足:()对于任意的,都有; ()存在,使得。则称是函数的最小值定义域,则叫做奇函数,其图象关于原点对称。奇偶性定义域,则叫做偶函数,其图()()()(0)()()1,() 112y f x f x T f x T f x T T f x y y x a x y f x a a α+=≠=-=?=+?? ????? ???? ?? ???????????象关于轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称 周期性:在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数,为周期; 的最小正值叫做的最小正周期,简称周期 ()描点连线法:列表、描点、连线向左平移个单位:向右平移个平移变换函数图象的画法()变换法,() 11,() 11,() 1110111/() 11)01)1y y x a x y f x a b x x y b y y b f x b x x y b y y b f x x w w w x wx y f wx y A A =+=?=-=+=?-==-=?+=><<=?=><????单位:向上平移个单位:向下平移个单位:横坐标变换:把各点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时) 到原来的倍(纵坐标不变),即伸缩变换纵坐标变换:把各点的纵坐标伸长(或缩短(到{{{{{{/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010A y y A y f x x x x x x x x y y y f x x y y y y y y x x x x x x x x y f x x y y y y x x x x y y y y f y y y y y y =?=+==-??-=-+==-+==-=??=-=====??-=+==-?????原来的倍 (横坐标不变), 即关于点对称:关于直线对称:对称变换关于直线对称:{)11()1x x x y x y f x y y =-=?==??????????????????????????????????????? ???????????????? ???? ??? ? ????????????????????????? 关于直线对称: 一、函数的定义域的常用求法: 函数单元测试 一、选择题:(本题共12题,每小题5分,满分60分) 1.若a 、b 、c ∈R + ,则3a =4b =6c ,则 ( ) A . b a c 111+= B . b a c 1 22+= C .b a c 221+= D .b a c 212+= 2.集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ,映射N M f →:,使任意M x ∈,都有 )()(x xf x f x ++是奇数,则这样的映射共有 ( ) A .60个 B .45个 C .27个 D .11个 3.已知()1 a x f x x a -=--的反函数...f -1 (x )的图像的对称中心是(—1,3),则实数a 等于 ( ) A .2 B .3 C .-2 D .-4 4.已知()|log |a f x x =,其中01a <<,则下列不等式成立的是 ( ) A .11()(2)()43f f f >> B .11 (2)()()34f f f >> C .11()()(2)43f f f >> D .11()(2)()34 f f f >> 5.函数f (x )=1-x +2 (x ≥1)的反函数是 ( ) A .y =(x -2)2 +1 (x ∈R) B .x =(y -2)2 +1 (x ∈R) C .y =(x -2)2+1 (x ≥2) D .y =(x -2)2 +1 (x ≥1) 6.函数y =lg(x 2 -3x +2)的定义域为F ,y =lg(x -1)+lg(x -2)的定义域为G ,那么 ( ) A .F ∩G=? B .F=G C .F G D .G F 7.已知函数y =f (2x )的定义域是[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域是 ( ) A .(0,+∞) B .(0,1) C .[1,2] D .[2,4] 8.若()()25log 3log 3x x -≥()()25log 3log 3y y ---,则 ( ) A .x y -≥0 B .x y +≥0 C .x y -≤0 D .x y +≤0 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、描点法: B、图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)→B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; 函数知识点总结 第一章函数概念 一、函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有 意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ◆相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ◆②定义域一致 (两点必须同时具备) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵 坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A.描点法 B.图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)→B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。高中数学必修1《 函数的应用》知识点
高一数学必修一函数及其表示-函数的概念
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高中数学必修1函数概念及性质知识点总结
高中数学必修1函数及其表示题型总结
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