龙文教育
个性化辅导教案讲义任教科目：
授课题目：
年级：
任课教师：
授课对象：
武汉龙文个性化教育
常青二校区
教研组组长签字：
教学主任签名：
日期：
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象授课教师
授课时间授课题目
课型使用教具
教学目标
教学重点和难点
参考教材 2000-2011武汉元调试卷
教学流程及授课详案
一例题剖析
时间分配及备注1. （2009元调）(题10分)在元旦联欢会上，有一个开盒有奖的游戏，两只外观一样的
盒子，一只内有奖品，另一只空的，游戏规则为：每次游戏时混合后拿出这两只盒子，
参加游戏的同学随即打开其中一只，调若有奖品，就获得该奖品，若是空盒子，就表演
一个节目.
（1）一个人参加游戏，获奖的概率为，两个人参加游戏，都获奖的概率
为；
（2）归纳：（直接写出结果）n个人参加游戏，全部获奖的概率为.
（3）应用：运用以上结论回答，一次游戏，取三只外观一样的盒子，一只内有奖品，
另两只空盒子，游戏规则不变.２个人参加游戏，至少有一个人表演节目的概率
为.并用树状图验证你的结果.
2(2009.。7分)如图，A，B是两个转盘，每个转盘分成3个相同的扇形.指针的位置固定，
转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个
扇形的交线时，重转一次）.用列表法（或树状图）分别求出“两个指针所指的数字都是方程x 2-4x+3=0的解”的概率和“两个指针所指的数字都不是方程x 2-4x+3=0的解” 的概率.
3.(6分)已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． (1)求从中随机取出一个黑球的概率是多少？
(2)若往口袋中再放入x 个白球和y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是
4
1
求y 与x 之间的函数关系式．
4．(2012.元8分)有两个可以自由转动的质地均匀转盘A 、B 都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，如图所示．转动转盘A 、B ，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上，当作指向下方的扇形)． (1)小明同学转动转盘A ，小华同学转动转盘B ，他们都转了30次，结果如下： 调
(i)求出表中x 的值．
(ii)计算A 盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率；
(2)小明转动A 盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为十位数字，小华转动B 盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为个位数字，用列表或画树状图的方法求出“所得的两位数为5的倍数”（记为事件A)的概率．
B
A
4
3
2
3
2
1
5．（7分）某校有A.B 两个餐厅，甲、乙两名学生各自随机选择其中一个餐厅用餐． (1)甲、乙两名学生在同一餐厅用餐的概率为___________
(2)如果有A 、B 、C 三个餐厅，甲、乙两名学生各自随机选择其中一个餐厅用餐，用树状图或列表法，求甲、乙两名学生在同一餐厅用餐的概率．
(3)若有m 个餐厅，10名学生各自随机选择其中一个餐厅用餐，请直接写出10名学生在同一餐厅用餐的概率为________
5(2011zk)（本题满分7分） 甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示. 游戏规定，转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转。
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）若指针所指的两个数字都是方程x 2
-4x+3=0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x 2
-4x+3=0的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明。
6．（2012武汉）一个口袋中有4个相同的小球，分别与写有字母A ，B ，C ，D ，随机地抽出一个小球后放回，再随机地抽出一个小球．
（1）使用列表法或树形法中的一种，列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果； （2）求两次抽出的球上字母相同的概率．
3
4
24
3
21
二练一练
1（2012武汉）从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（ ）
A ． 标号小于6
B ． 标号大于6
C ． 标号是奇数
D ． 标号是3 2（2012元调）．有两个事件，事件A ：掷一次骰子，向上的一面是3；事件B ：篮球队员在罚球线上投篮一次，投中．则
A ．只有事件S 是随机事件．
B ．只有事件B 是随机事件．
C ．声件A 和B 都是随机事件．
D ．事件A 和B 都不是随机事件．
3(2012元调)．从1，－2，3三个数中随机抽取一个数，这个数是正数的概率是 A ．0 B ．
13
C ．
23
D ．1
4．下列事件中，必然事件是( )
A ．掷一枚硬币，正面朝上
B ．抛出的篮球会下落
C ．买电影票正好座位号是偶数
D ．没有水种子发芽
5、下列事件中必然事件的个数（ ）. ①如果a 、b 都是实数，那么a b b a +=+；②从一副扑克牌中任意抽出一张，得到“黑桃”；
③有水分种子发芽； ④某电话在一分钟内接到至少15次呼叫. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
6、把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1，2，3，将这两组卡分别放入两盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为（ ）. （A ）12
（B ）
49
（C ）5
9
（D ）3
8
7．下列事件中，必然事件是( )
A ．抛掷两枚硬币，同时正面朝上
B ．哈尔滨六月飞雪 c ．若xy>0，则x>O,y>0 D ．今天星期二，明天是星期三 8．如图，圆心角∠AOB=80°，则∠ACB 的度数为( ) A.80°B.40°C.60°D.45°
8.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会(翻过的牌不能再翻)，某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是
( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 二、耐心填一填(每空4分，共40分) 9.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是
.
10.下列事件中：①太阳从西边出来；②树上的苹果飞到月球上；③普通玻璃从三楼摔到一楼的水泥地面上碎了；④小颖的数学测试可得100分.其中随机事件为
必然发生的事件为 ；不可能发生的事件为
1 4 1 5
1 6 3 20
(只填序号).
11.在四张相同的卡片上标有1、2、3、4四个数字，从中任意抽出两张：①两张都是偶数的概率是 ；②第一张为奇数第二张为偶数的概率是
；③总是出现一奇一偶的概率是
.
12在一个不透明的袋中装有5个除颜色外都相同的小球，其中1个红球，2个黄球，2个白球，且摸出后不再放回，那么第一次和第二次均摸到黄球的概率是 。.
13. 某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.24、0.28、0.19，
那么，这个射手在这次射击中，射中10环或9环的概率为________；不够8环的概率为________．
三、解答题(共40分)
14. 一张圆桌旁有四个座位，A 先生在如图所示的座位上，B 、C 、D 三人随机坐到其他三个座位 上，求A 与B 相邻而坐的概率.（12分）
15.一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每球除了颜色以外没有任何区别.（14分） (1)小王通过大量反复的实验(每次取一个球，放回搅匀后再取第二个)发现，取出黑球的频率稳定在 左右，请你估计袋中黑球的个数. (2)若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取出一个球，取出红球的概率是多少?
16．（本题7分）在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它完全相同的A 、B 、C 三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A 球，则表演唱歌；如果摸到的是B 球，则表演跳舞；如果摸到的是C 球，则表演朗诵. (1) 请用列表或画树形图表示两次摸球的所有可能的结果；
（2）若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的概率是多少？
1
4
第十二章选修2 第十二章概率与统计综合能力测试（n） 本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 答案：C 解析：高一、高二、高三三个年级人数比为？？22 2!,按分层抽样的要求，抽取的样 又知样本容量为70 ,故三个年级分别应抽取27人、22人、21人. 3. 已知样本： 10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 那么频率为0.25的范围是 A.5.5 ?7.5 C. 9.5 ?11.5 答案：D 解析：统计结果为：5.5?7.5,2个数据；7.5?9.5,6个数据；9.5?11.5,7个数据；11.5? 13.5,5个数据.因此频率为0.25的范围是D. 4. 在样本的频率分布直方图中，一共有m（m》3）个小矩形，第3个小矩形的面积等于其 余m- 1个小矩形面积和的￡且样本容量为100,则第3组的频数是（） 4 A.0.2 C.20 答案： B.25 D.以上都不正确C 解析：第3组的频率是￡样本容量为100,故第3组的频数是100 X4= 20.选C. 5 5 1.（2019成都市高中毕业班第一次诊断性检测题）某学校有教职工100人，其中教师80人, 职员20人.现从中随机抽取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰有8名教师 的概率为 A. C. 2 8 A80A20 A100 8 2 C80C20 0 B. D. 8 2 A80A20 A100 2 8 C80C20 解析：依题意得从100名教职工中随机抽取10人的选法种数是人中恰有8名教师的选法种数是C8o c2c种，因此所求的概率等于c：0 0种，其中所选的 选C. 10 2?新华中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有方法，抽取容量为70的样本，则高一、高二、高三三个年级应分别抽取420人，用分层抽样的 （） A. 28 人，24 人，18 人C.26 人，24 人，20 人答案：B B. 27 人，22 人，21 人D.25 人，24 人，21 人 本中三个年级人数比应保持不变, B.7.5 ?9.5 D.11.5 ?13.5 C：00，
1．满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样称为随机抽样．共有三种经常采用的随机抽样方法： 简单随机抽样； 系统抽样（适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样）； 分层抽样（总体由有明显差别的几部分组成）． 2．一般地，设样本的元素为1x ，2x ，…，n x ， 样本的平均数12n x x x x n ++= ， 样本方差222 2 12()()()n x x x x x x s n -+-+ +-= ， 方差正的平方根称为标准差s ． <教师备案> 本讲分成两小节，第一节是统计，第二节是概率初步，各三道例题．例1涉及到随机抽样、频率分布直方图；例2是茎叶图的题，以及利用茎叶图求数据或比较数据的均值与方差，这是统计这一块的热点．例3是样本数据的数字特征．本节没有涉及到线性回归的内容，这部分内容考查非常少，可以结合知识点提及一下即可． 知识网络 知识结构图 14.1统计 第14讲 概率 与统计初步
尖子班学案1 【铺1】 ⑴（东城二模文11）将容量为n 的样本中的数据分成6组．若第一组至第六组数据的频 率之比为234641∶∶∶∶∶，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于_____ ⑵（西城一模文10）某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[)13,14，[)14,15，[)15,16，[)16,17，[]17,18，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[]16,18的学生人数是_____． 【解析】 ⑴ 60 ⑵ 54 考点：随机抽样、频率分布直方图 【例1】 ⑴（四川文3） 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ） A ．101 B ．808 C ．1212 D ．2012 ⑵ 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1~5号，6~10号…，196~200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人． ⑶ 某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率 分布直方图，其中产品净重的范围是[96106]，，样本数据分组为[)9698，，[)98100，，[)100102，，[)102104， ，[104106]，．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ） A ．90 B ．75 C ．60 D ．45 经典精讲
第十讲 Ch.2 随机变量及其分布 §2.4 常用离散型分布 Remark 讨论常用分布的目的及常用分布的类型 §2.4§2.5???常用离散型分布（中讨论)常用分布常用连续型分布（中讨论） 2.4.1 二项分布(以n 重伯努利试验为背景的分布) 1. 二项分布的定义与记号 记 =X “n 重伯努利试验中A 发生(即‘成功’)的次数”， 则X 为离散型..V R ，其可能值为n ,,2,1,0???.且由事件的独立性可得 n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(???=-==-. 其中)(A P p =,满足10<
☆检查不合格品率为p 的一批产品中的10件，其中不合格品数~X b ),10(p ； ☆随机调查色盲率为p 的任意50个人中的色盲人数 ~Y b ),50(p ； ☆命中率为p 的射手5次射击中命中次数~Z b ),5(p . 2. 利用二项分布的分布列计算概率 例2.4.1 (题目叙述没有区分患者与健康者！换讲 .101.P 习题的第2题) 一条自动化生产线上产品一级品率为0.8，检查5件，求至少有2件一级品的概率. 解 记 X =“抽检5件产品中一级品的件数”， 则依题意可知~X b )8.0,5(，于是 (P 抽检5件中至少有2件是一级品) ()()()() ()() 5 4 11 5 5 21210110.810.80.810.80.99328 P X P X P X P X C C =≥=-<=-=-==-??--??-= 例 2.4.2 已知~X b ),2(p ，~Y b ),3(p ，若 ()5 19 P X ≥= ，求()1P Y ≥.
第2讲 概率、随机变量及其分布 考情解读 1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n 次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题． 1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率 P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数. (3)几何概型的概率 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . 2．条件概率 在A 发生的条件下B 发生的概率： P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) . 3．相互独立事件同时发生的概率 P (AB )＝P (A )P (B )． 4．独立重复试验 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为 P n (k )＝C k n p k (1－p ) n － k ，k ＝0,1,2，…，n . 5．超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝ 0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n . 6．离散型随机变量的分布列
第一讲 概率论概述 1． 概率空间 定义 （概率空间）称一个三元组(,,)P ΩF 是概率空间，其中，Ω是样本空间，F 是Ω 上的一个σ代数，而P 是?上的一个概率测度。 关于σ代数 定义 （代数和σ代数）集合Ω的一个子集类?被称为代数，如果满足条件， (1) ?∈φΩ,；(2) ?∈21B B ，?∈-21B B ，?∈?i B ，2,1=i 。 如果一个代数对可列并运算封闭，则称其为σ代数。 为什么要引入σ代数？ 以掷骰子为例：{1,2,3,4,5,6}Ω=，所有子集构成一个σ代数。但是，如感兴趣的问题是出现的点数是偶数还是奇数，那么考虑的事件集只有两个：{1,3,5},{2,4,6}A B ==，包含它们的最小σ代数为{,,,}A B ΩΦ?=。因此，只要限制在?上研究问题。 关于概率测度 定义 （σ代数上的概率测度）一个概率测度是满足如下条件的映射]]1,0[:→?P ： (1) 可列可加性：∑∞ =∞ == 1 1)()(n n n n A P A P ，n m A A A n m n ≠=?∈?,,φ ； (2) 规一性：1)(=ΩP 。 概率测度一般化的意义：涵盖了可能出现的各种问题。 以抛硬币为例：{0,1}S =，那么直观上的概率1 ({0})({1})2 P P ==只是可能出现的情况中的一个：硬币是均匀的。硬币不均匀，则完全可能有其它选择。 例 古典概率模型。 关于可列可加性 可列的含义。 可列可加不能用于任意个集合的并：例如[0,1]Ω=，均匀投点，取每一点的概率为0，但其总和仍为1。 概率函数的一些性质 概率函数P 显然可视为可测空间上的一个测度，所以测度的许多性质也可用于概率。 序列极限意义下的连续性：可列可加性蕴涵了概率函数的连续性。 定理 若}1,{≥n A n 是单调增加序列（或减小序列），则 )lim ()(lim n n n n A P A P ∞ →∞ →=。 关于集合序列极限的定义 单调上升序列的极限：1 lim n n n n A A ∞→∞ == ；
明士教育格式化备课 课题:第五讲统计初步与概率初步 课型： 备课人： 备课时间: 科目： 本备课适合学生： 教学目标： 教学内容：考点一、平均数 考点二、统计学中的几个基本概念 考点三、众数、中位数 考点五、频率分布 考点六、确定事件和随机事件 考点八、概率的意义与表示方法 考点十、古典概型 考点十一、列表法求概率 考点十二、树状图法求概率 考点十三、利用频率估计概率 重点难点： 教学策略与方法： 教学过程设计： 第五章 统计初步与概率初步 考点一、平均数 （3分） 1、平均数的概念 （1）平均数：一般地，如果有n 个数,,,,21n x x x 那么，)(1 21n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 （2）加权平均数：如果n 个数中， 1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里 n f f f k =++ 21），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++= 2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 2、平均数的计算方法 （1）定义法 当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时，一般选用定义公式：)(1 21n x x x n x +++= （2）加权平均数法： 本备课改进：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：n f x f x f x x k k ++= 2211，其中 n f f f k =++ 21。 （3）新数据法： 当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。 其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…， a x x n n -='。)'''(1 '21n x x x n x +++= 是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。 考点二、统计学中的几个基本概念 （4分） 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 考点三、众数、中位数 （3~5分） 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 考点四、方差 （3分） 1、方差的概念 在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“2s ”表示，即 本备课改进：
专题十 概率与统计 第二十八讲 统计初步 答案部分 1．A 【解析】通解 设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设 前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a ．建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A ． 优解 因为0.60.372
第十二章 概率与统计 1、[文] 一个容量为20的样本，数据的分组与几个组的频数如下：[10，20]，2；[20，30]， 3；[30，40]，4；[40，50]，5；[50，60]，4；[60，70]，2. 则样本在区间[10，50]上的频率为 . 1．[文] 0.7 2. (文)某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 A. 15，5，25 B. 15，15，15 C. 10，5，30 D. 15，10，20 2. (文)D 【思路分析】： 每20人中抽取1人 【命题分析】：考察抽样方法。 3、(理)同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 A ．20 B ．25 C ．30 D ．40 3、(理)Ｂ【思路分析】： 抛掷－次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为1652 525=C ， 2516 5 80=?=ξE 【命题分析】：考察等可能事件的概率的求法及数学期望的求法。 4．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：),40,30[;3),30,20[;2),20,10[ 3),70,60[;3),60,50[;5),50,40[;4，则样本在区间)50,10[内的频率是（ ） A ．0.05 B ．0.25 C ．0.50 D ．0.70 4．D 【思路分析】：7.020 5 432=+++= P ，故选D. 【命题分析】：考查频率的计算方法. 5、(理)随机变量ξ的分布列为120 1 )(-= =ξk k P (*N k ∈ ， )162≤≤k ，则=ξE _______ . 5、(理) 3 34 1201360= +?+?= ξ3221(120 1 E …)1615?+ 3 346068060120)(23172162322===+?++=C C C C . 6．对甲乙两学生的成绩进行抽样分析，各抽取5门功课，得到的观测值如下： 甲：70 80 60 70 90 乙：80 60 70 84 76 那么，两人中各门功课发展较平稳的是 ． 【思路分析】：7474S 104S 70.4x x ====甲乙甲乙，，，，故S S >甲乙. 【命题分析】：考察抽样分析、期望（平均数）的应用 7、（12分） [理]甲、乙两人玩轮流抛掷一对骰子的游戏，由甲先掷，乙后掷，然后甲再掷，…. 规定先得到两颗骰子点数之和等于7的一方获胜，一旦决出胜负游戏便结束. （Ⅰ）若限定每人最多掷两次，求游戏结束时抛掷次数ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）若不限定两人抛掷的次数，求甲获胜的概率. 7[理]、【思路分析】 (Ⅰ) 抛掷一次出现的点数共有6×6 = 36种不同结果，其中“点数之和为7”包含了 (1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) , (4 , 3) , (5 , 2) , (6 , 1)共6个结果，
2007年中考试题分类汇编（统计初步与概率问题） 一、选择题 1、（2007安徽）下列调查工作需采用的普查方式的是………………【】D A.环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查 B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查 C.质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D.企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查 2、（2007福建晋江）要了解一个城市的气温变化情况，下列观测方法最可靠的一种方法是（）C A．一年中随机选中20天进行观测；B．一年中随机选中一个月进行连续观测； C．一年四季各随机选中一个月进行连续观测；D．一年四季各随机选中一个星期进行连续观测。 3．（2007安徽芜湖）筹建中的安徽芜湖核电站芭茅山厂址位于长江南岸繁昌县狄港镇，距离繁昌县县城约17km，距离芜湖市区约35km，距离无为县城约18km，距离巢湖市区约50km，距离铜陵市区约36km，距离合肥市区约99km．以上这组数据17、35、18、50、36、99的中位数为（）．D A．18 B．50 C．35 D． 4、92007广东韶关）2007年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31 35 31 34 30 32 31，这组数据的中位数、众数分别是（）C ，31 ，32 ，31 ，35 5、（2007 最高气温（℃）25 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数与众数分别是（）A A．27，28 B．，28 C．28，27 D．，27 6、（2007贵州贵阳）小明五次跳远的成绩（单位：米）是：，，，，，这组数据的中位数是（）A A．米B．米C．米D．米 7、（2007广东梅州）下列事件中，必然事件是（） A．中秋节晚上能看到月亮B．今天考试小明能得满分 C．早晨的太阳从东方升起D．明天气温会升高 8、（2007福建福州）随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（）D A．1B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 9、（2007福建龙岩）如图，转动转盘，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是（）B A．5 8 B． 1 2 C． 3 4 D． 7 8 10、（2007河北省）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通 （第4题图）
第二讲概率 1．事件的相关概念 2．事件的关系与运算 定义符号表示包含如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B B?A
3. (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． 例1．(2019·山东曲阜检测)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与都是红球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球 【答案】D [对于A ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，∴A 不正确；对于B ，事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B 不正确；对于C ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确；对于D ，事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D 正确．] 4．概率和频率 (1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n 为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )． 5. (1)概率与频率的关系
第十二章概率与统计 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列. 2.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差. 3.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本. 4.会用样本频率分布估计总体分布. 5.了解正态分布的意义及主要性质. 6.了解线性回归的方法和简单应用. 7.实习作业以抽样方法为内容，培养学生解决实际问题的能力. ●复习方略指南 在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用. 1.把握基本题型 应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视. 2.强化双基训练 主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力. 3.强化方法选择 特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系. 4.培养应用意识 要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.
概率与统计初步 §9.1 计数原理 (1) 某人到S 城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有 种不同的选择； 解：共有212964=+++不同的选择；(分析：只需要订一间房，“一步可以做完”，应该用加法计数原理) (2) 一家人到S 城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有 种不同的选择； 解：共有：96812=?种不同选择；(分析：要订两间房，可以分成两步完成：第一步，先订一间单人房，有12种不同选择；第二步，再订一间双人房，有8种不同选择；用乘法计数原理，共有96812=?种不同选择；) (3) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 分析：“投递的是信件”，从信件入手考虑问题；本题没有其它限制条件，一共有四封信，分成四步完成：第一步，投递第一封信，投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第二步考虑第二封信的投递方法，同样是投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第三步考虑第三封信、第四步考虑第四封信，同样都有3种不同的投递方法,所以完成这件事情共有：81333334==???种不同的投递方法； (4) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有 种； 分析：（捆绑法）分两步：第一步在四封信中抽出两封，有42C 种不同的方法；第二步把这两封信捆绑，看成一封信，和剩下的另外两封信构成三封信，按排列的方法放入三个邮箱（即：三个位置），有33A 种不同的方法；所以完成这件事情共有： 361231 2343342=?????=?A C 种不同的投递方法； (5) 3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 分析：从信件入手考虑问题；共3封信，每封信都可以投入4个信箱中的任意一个，即每封信均有4种不同的投递方法，分四步投递四封信，方法同题3，，所以共有6444443==??种不同的投递方法； (6) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 种； 解：共有：21687=++种不同的选法；（只选一本书，“一步可完成”，用加法原理）
概率与统计初步测试题 姓 名: 一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是 Ａ．这100个铜板两面是一样的 Ｂ．这100个铜板两面是不同的 Ｃ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的 Ｄ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的 2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0,28，那么摸出黒球的概率是 A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.7 3．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )． A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ．分层抽样 D ．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样 4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，4．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )． A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>a>b D ．c>b>a 5．下列说法错误的是( )． A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体 B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 6．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S12= 13.2，S22=26．26，则( )． A ．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐 B ．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐 C ．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐 D ．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度 7．下列说法正确的是( )． A ．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关 B ．方差和标准差具有相同的单位 C ．从总体中可以抽取不同的几个样本 D ．如果容量相同的两个样本的方差满足21S < 22S ，那么推得总体也满足21S < 22S 是错的 8．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 87 9．在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2，3，-3，-5，12，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，那么这个小组的平均分是( ) A ．97.2 B ．87.29 C ．92.32 D ．82.86 10．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )． A ．平均数不变，方差不变 B ．平均数改变，方差改变 C ．平均数不变，方差改变 D ．平均数改变，方差不变 二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题纸上） 11.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这20瓶墨水中任意选出1瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为________. 12. 从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全不同的概率是_________. 13. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字.（1）2个数字都是奇数的概率为_____； 14.一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是 。 15．常用的抽样方法有：________________________________________________。 三、解答题：（本题共5小题，共75分） 16．用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a 、b 、c 、d 四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少？
第九章 概率与统计初步 一、计数原理 1、 (分类计数)加法原理:完成一件事情,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事情,共有:n m m m N +++=ΛΛ21种不同的方法; 2、 (分步计数)分步乘法原理:完成一件事情,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事情,共有:n m m m N ???=ΛΛ21种不同的方法; 3、 区分做事情的方法就是“分类”还就是“分步”主要瞧能否一步做完,能够一步做完的就就是分类(用加法原理),不能一步做完的,就就是分步(用乘法原理); 二、排列与组合 1、 排列数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数,叫 做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n m A 表示,且: 2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,记作:!n ,且: 3、 组合数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数,用符号n m C 表示,且: 组合数公式也可写为: 4、 组合数的两个性质:()()n m n m n n m n m n n m C C C C C 1121--+-+== 5、 排列与组合的区别:排列与顺序有关;组合与顺序无关。 三、概率 1、 基本概念 （1） 随机现象:在相同的条件下,具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种 结果的现象; （2） 随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行;试验的所有可能结果就是可以 明确知道的,并且这些可能结果不止一个;每次试验之前不能准确预言哪一个结果会 ()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121Λ()()10,1221!=?--=！ 规定：Λn n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤?--+---==n n m n m C n m m m m m n n n n m A C 规定：ΛΛ()!!!m n m n C n m -?=()!!m n n A n m -=为：易知排列数公式也可写
事件类型 定义 概率 确定事件 必然事件 一定会发生的事件 1 不可能事件 一定不会发生的事件 0 随机事件 可能发生也有可能不发生 0~1 2、求概率的方法： ①一般的，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为n m A P ）（ ②几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A ，然后计算阴影区域的面积在总面积中所占的比例，这个比例即事件A 发生的概率 3、运用列表法或画树状图法求概率的一般步骤： ①把所有可能发生的实验结果一一列举出来（用表格或者树状图的形式） ②把所求事件可能发生的结果都找出来 ③代入概率的计算公式 【方法技巧】 第二节 概率 【知识梳理】
4、判断游戏公平的步骤： ①画出树状图 ②根据概率公式求出事件的概率 ③比较是否相等，相等就公平，否则就不公平 【考点突破】 考点1、概率 例1、转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（） A．B．C．D． 变式1、如图是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘后，转出（）色的可能性最小． A．红B．黄C．绿D．不确定 变式2、布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，下列判断正确的是（） A．摸出的球一定是白球B．摸出的球一定是黑球 C．摸出的球是白球的可能性大 D．摸出的球是黑球的可能性大 例2、如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张牌，点数是偶数的可能性大小是（） A．B．C．D． 变式1、一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是（）
第2章随机变量及其分布 §1 随机变量 定义1（随机变量）设是一个概率空间，称可测函数为该空间上的一个随机变量。 例1 在箱中编号为1到20的球中不放回随机取出3个球。那么球的最大号码 是一个随机变量，其值域空间为。并且，给定值域空间中的一点，其原像对应于一个随机事件。例如，，对应于事件，，以及其所有可能的轮换。因此，可以认为本身是样本空间上的一个随机事件。以后我们经常需要讨论的是类似事件的概率。 例2考虑等候公共汽车的时间，显然。 这里必须强调，对任意的，。 定义2（分布函数）设是概率空间上的一个随机变量。对任意，称函数为分布函数。 分布函数满足如下性质 （1）是非降右连续函数；（2），。 §2 离散型随机变量及其分布律 1．离散型随机变量 离散型随机变量是一个比较特殊的情形。 定义1（离散型随机变量）如果随机变量的值域空间是一个由有限或可列个值构成的集合，就称之为离散型随机变量。 例伯努利试验；泊松分布等。 2．离散随机变量的分布律 对离散随机变量，由于其值域空间是离散的，因此其分布函数是一个阶梯函数，我们也可用另一种等价方式来刻画。 定义2 （分布律）设随机变量的值域本空间为，那么称为其分布律。 显然分布律和分布函数是相互唯一确定的。 分布律显然满足。 3. 常见的离散随机变量 （1）分布 如果，且其分布律为，，其中。 例1 抛掷硬币，出现反面时令，正面时，则其服从分布。 （2）几何分布 连续不断抛掷硬币，令是首次出现正面时已抛掷的次数。那么，其值域空间为，而分布律。 （3）二项分布 连续抛掷硬币（可以解释为伯努利试验）次。成功的次数记为，那么其值域空间为，而其分布律。 （4）泊松分布 设分布律为的随机变量。 例2如果内，某事件的发生次数。那么下面的假设是合理的： （1）在时间内，发生一次事件的概率为； （2）发生两次或两次以上事件的概率为； （3）事件发生具有独立性。 下面证明此时。 把等份，，。 那么，在假定发生事件的总数是时，其中是每个区间至多只发生一次事件的事件组成，是至少有一个区间事件发生的次数有两次或两次以上的事件组成。那么 。
课时作业(六十七) 一、选择题 1．(2011·沧州七校联考)若ξ～B (n ，p )且Eξ＝6，Dξ＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－ 2 B ．3·2 －10 C ．2－4 D ．2－ 8 答案 B 解析 Eξ＝np ＝6，Dξ＝np (1－p )＝3?p ＝12，n ＝12，P (ξ＝1)＝C 121(1 2)12＝3·2－10. 2．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，则a ×b ＝( ) A.0.2 C ．0.15 D ．0.4 答案 C 解析 由分布列的性质得0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，∴a ＋b ＝0.8 ① 又由Eξ＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3 ② 由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5， ∴a ×b ＝0.3×0.5＝0.15. 3．已知离散型随机变量ξ，η，满足ξ＋η＝8，且ξ～B (10,0.6)，则Eη，Dη分别是( ) A ．6、2.4 B ．2、2.4 C ．2、5.6 D ．6、5.6 答案 B 解析 由均值、方差的性质，ξ＋η＝8，得η＝8－ξ， Eη＝8－Eξ＝8－10×0.6＝2， Dη＝D (8－ξ)＝(－1)2Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4. 4．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( ) A ．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52 B ．Eξ＝3.5，Dξ＝3512 C ．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5 D ．Eξ＝3.5，Dξ＝35 16 答案 B 5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中
后的剩余子弹数目ξ的期望为( ) A ．2.44 B ．3.376 C ．2.376 D ．2.4 答案 C 6．随机变量ξ的分布列如下： 其中a ，b ，c 成等差数列，若Eξ＝1 3，则Dξ的值是( ) A.13 B.23 C.59 D.79 答案 C 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且Eξ＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13.联立三式得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴Dξ＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59 . 二、填空题 7．若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝m )＝1 3，P (ξ＝n )＝a .若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于 ________． 答案 0 解析 依题意有a ＝1－13＝23，所以Eξ＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6，又Dξ＝1 3(m －2)2 ＋2 3 (n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，Dξ取最小值为0. 8．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________． 答案 1 2 ，25 解析 Dξ＝100P (1－P ) ≤100·(P ＋1－P 2)2 ＝25 当且仅当P ＝1－P .
第五章 统计初步与概率初步 考点一、平均数 （３分） 1、平均数的概念 （１）平均数：一般地,如果有n 个数,,,,21n x x x 那么,)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数,x 读作“x 拔”。 （２)加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里n f f f k =++ 21），那么,根据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中k f f f ,,,21 叫做权。 ２、平均数的计算方法 （1）定义法 当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时,一般选用定义公式:)(121n x x x n x +++= （2）加权平均数法： 当所给数据重复出现时,一般选用加权平均数公式：n f x f x f x x k k ++=2211,其中n f f f k =++ 21。 （3）新数据法: 当所给数据都在某一常数a 的上下波动时,一般选用简化公式:a x x +='。 其中,常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,a x x -=11'，a x x -=22',…，a x x n n -='。)'''(1'21n x x x n x +++= 是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。 考点二、统计学中的几个基本概念 （4分) １、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 ３、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 ４、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,在统计中,通常用样本平均数估计总体平均数。 考点三、众数、中位数 (3～5分) １、众数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 考点四、方差 （3分)