引 言
函数论与测度(实变函数论)是一门什么样的课程，它研究的是什么样的问题，这是初学者首先想要知道的事情。
1902年，法国数学家Lebesgue 发表了题为《积分，长度与面积》的博士论文，利用以集合论为基础的“测度”概念建立了所谓的“Lebesgue 积分”，从而形成了一个新的数学分支—实变函数论。因此实变函数论的核心内容是Lebesgue 积分。
Lebesgue 积分是什么样的积分，它是怎么定义的，它与数学分析课程研究的Riemann 积分有什么不同。我们先回顾一下Riemann 积分的定义。
定义 设():[,]f x a b R →（实数集），011:i i n T a x x x x x b -=<<
<<<<=（区
间[,]a b 的一个分割）。f 关于T 的Riemann 和1
(,)()n
i
i
i R f T f x
ξ==
?∑。其中1[,]i i i x x ξ-∈，
1,1,2,,i i i x x x i n -?=-=.设1max{}i i n
T x ≤≤=?
若存在常数A ，使对[,]a b 的任意分割T ，及任意的1[,]i i i x x ξ-∈1,2,
,i n =.有
1
lim ()n
i i T i f x A ξ→=?=∑,
则称()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，A 称为()f x 在[,]a b 上的Riemann 积分。记为
()()b a
A R f x dx =?或()b
a
A f x dx =?.
总而言之，Lebesgue 积分比较Riemann 积分有许多优越之处。
那么，Lebesgue 积分是怎样定义的，下面给出有界函数Lebesgue 积分概念的描述： 设:[,]f a b R →是有界函数，即()A f x B ≤≤，[,]x a b ∈。设D 是区间[,]A B 的一个分割，
011:i i n D A y y y y y B -=<<
<<<<=，
f 关于D 的Lebesgue 和11
(,){:()}n
i i i i L f D m x y f x y η-==<≤∑，其中1[,]i i i y y η-∈，
1{:()}i i m x y f x y -<≤是点集1{:()}i i x y f x y -<≤的“长度”（在实变函数课程中称为测
度）。设11max{}i i i n
D y y -≤≤=-，若存在常数A ，使对[,]A B 的任意分割D 以及任意的
1[,]i i i y y η-∈，1,2,
,i n =。有
1
1
lim
{:()}n
i i i D i m x y
f x y A η-→=<≤=∑。
则称A 为()f x 在[,]a b 上的Lebesgue 积分，记为
[,]
()()a b A L f x dx =?
或[,]
()a b A f x dx =?
。
这样，需要研究的问题就出现了。
（1）对于一般点集来说，什么是“长度”，也就是什么是测度，什么样的点集有测度。 （2）什么样的函数()f x ，使得对任何实数,c d ，点集{:()}x c f x d <≤都有测度。
（3）什么样的函数使得极限1
1
lim
{:()}n
i i i D i m x y
f x y η-→=<≤∑存在且与分割D 及i η的取
法无关。
因此，实变函数课程的学习主线是集合—测度—可测函数—Lebesgue 积分。
第一章 集 合
在现代数学中，集合的概念已被普遍地运用. 我们学过的数学课程在开始都要或多或少地介绍一些有关集合方面的知识. 学习实变函数课程，掌握必要的集合论知识是必须的，因为集合论是实变函数论的基础.
集合论的重要文献首先是德国数学家康托（Georg Cantor ，1845-1918）在十九世纪末发表的，后来逐步发展成为数学的一个分支，集合论中的某些概念和结果已渗透到几乎所有的数学科目中，成为学习现代数学不可缺少的工具.
§1 集合概念
教学目的：集合论是本课程的基础. 本节将引入集合的概念, 使学生掌握集合的基本概念。 本节重点：证明两个集合的相等以后经常要遇到，应通过例子使学生掌握其基本方法.
1．集合与元素
集合或集是数学中的一个原始概念，即它不能用别的，更简单的概念加以定义，对于什么是集合或者说集合的概念，就目前来说，学习本课程，只要求掌握以下朴素的说法：
在一定范围内具有某种特定性质的对象的全体称作集合，集合中的每一个对象称为该集合中的元素.
我们常用大写英文字母A 、B 、C 、D 、……代表集合，而用小写英文字母a 、b 、c 、d 、……表示集合中的元素，如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于A ，记作x A ∈；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于A ，记作x A ∈（有的文献也把x A ∈记成x A ?）.
需要指出的是，包括实变函数在内的一般数学课程所讨论的集合是确定性的，就是说给定一个集合A 后，对于一个对象x ，“x 属于A ”或“x 不属于A ”这两者必居且仅居其一. 或者说，当我们使用集合的概念时，哪些对象是这个集合中的元素必须是明确的. 例如，“比1大得多的数的全体”虽然也是一个在一定范围内具有特定性质“比1大得多的数”的对象的全体，就不是我们在实变函数这门课程所讨论的集合，因为这个集合不具有确定性，这是一个模糊集合，是模糊数学课程讨论的内容.
集合的表示方法一般有两种，一种是将集合中的元素按任意顺序逐一列在花括号内，并用逗号分开，称为列举法. 例如，{,,}A a b c =，{0,1,2,
,,}N n =，{2,3}C =.
另一种是利用集合中的元素满足某种条件或具有某种性质，将条件或性质用文字或符号在花括号内冒号后面表示出来，称为描述法. 例如，2
{:560}A x x x =-+=，{:N x =x 是自然数}，{:B x x =是实数，()}f x c ≥.
不含任何元素的集合称为空集，用记号φ表示，例如，2
{:20,x x x +=是实数}和
{:x ||0}x <都是空集.
若集合中的元素只有有限个，称其为有限集，约定把空集也归属为有限集，不是有限集的集合称为无限集.
在没有作特定说明的情况下，常见的集合用以下符号表示：
N ：自然数集，{0,1,2,}N =；
Z ：整数集，{,2,1,0,1,2,}Z =--；
Q ：有理数集合，{:Q x x =是有理数}；
R ：实数集，{:R x x =是实数}；
C ：复数集，:{:,,,C x x a bi a b R i =+∈=.
以后还用N +
表示正的自然数，即正整数集，R +表示正的实数集，等等.
2．集合的包含关系 设A 、B 是两个集合，若A 中的元素都是B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A B ?或B A ?，读作A 包含于B 或B 包含A .
按照这种说法，A 不是B 的子集，就是有A 中的元素不属于B ，A 不是B 的子集，记作A B ?，或B A ?/.即A B ?，当且仅当存在x A ∈而x B ∈.如果A B ?，而且又有B A ?，这时A ，B 由相同的元素组成，就是同一集合，称A 等于B ，记作A B =. 如果A B ?，而B 中确有元素b 不属于A ，则称A 是B 的真子集.
例1 设{}A a =，{,}B a b =，{:||0}C x x =≤，{0}D =，(,]()E a b a b =<，
[,)()F a b a b =<，[,]{():()C a b f x f x =是[,]a b 上的连续函数}，[,]{():()
R a b f x f x =是[,]a b 上的Riemann 可积函数}，则
A B ?，C D =，E F ?，F E ?，[,][,]C a b R a b ?.
定理1 对于任意集合A 、B 、C ，恒有 （1）A A ?；
（2）,A B B A ??，则A B =； （3）若A B ?，B C ?，则A C ?. 注：证明两个集合相等，总是利用（2）.
§2 集合的运算
教学目的：本节将引入集合的运算, 使学生掌握集合运算的基本概念。
本节重点：任意多个集合的交集与并集的概念，集合列的极限集的概念。
1. 集合的基本运算
从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓集合的运算作出一些新的集合，最常用的运算有并、交、差三种，在这里称为集合的基本运算.
设A 、B 是两个集合，由集合A 同集合B 的一切元素所组成的集合称为A 与B 的并集或和集，简称为并，记作A B ，即
A B {:x x A =∈或}x B ∈.
所有既属于集合A 又属于集合B 的元素所组成的集合，称为A 与B 的交集，简称为交，记作A B ，即
{:A B x x A =∈且}x B ∈.
由属于集合A 而不属于集合B 的那些元素所组成的集合称为A 与B 的差集，记作A B -或\A B ，即
{:A B x x A -=∈且}x B ∈.
当B A ?时，称差集A B -为B 关于A 的余集，记作A C B .
关于基本集的余集（设A 是基本集）A B -常简记为CB 或c B . 并简称它是B 的余集. 并与交的运算可以推广到任意多个集合的情形，设{:}A I αα∈是任意集族，其中α是指标，I 是指标集. 则由一切:()A I αα∈的所有元素所组成的集合称为这集族的并集，记为
I
A αα∈，即
I
A αα∈{:x =存在某个I α∈，使}x A α∈.
而由一切同时属于每个()A I αα∈的元素所组成的集合，称为这集族的交集，记为
I
A αα∈，即
I
A αα∈{:x =对一切I α∈，有}x A α∈.
当指标集I 是正整数集N +
时，
I
A αα∈或
I
A αα∈可记为
1
n n A ∞
=或
1
n n A ∞
=.
定理3 德摩根（De Morgan ，1806-1871，英国数学家）对偶公式 （1）(
)I
I
C A CA αααα∈∈=
；
（2）I I
C A CA αααα∈∈?
?
=
???. 证明 只证（1），（2）留给读者证明. 设(
)I
x C A αα∈∈，则I
x A αα∈∈
?对一切I α∈，x A α∈?对一切I α∈，x CA α∈I
x CA αα∈?∈
(
)I
I
C A CA αααα∈∈??
.
又设x ∈
I
CA αα∈，则对一切I α∈，
x CA α∈?对一切I α∈，x A α∈
x ?∈
I
A αα∈ ?(
)I
x C A αα∈∈
?
I
CA αα∈?(
)I
C A αα∈
综上(
)I
C A αα∈=
I
CA αα∈.
集合的并、交、差运算具有许多性质，下面列出这些性质中常用的几条，它们是集合运算的基本定律.
设S 是基本集，其余是S 的子集.
（1）交换律：A B B A =；A B B A =.
（2）结合律：()()A B C A B C =；()()A B C A B C =. （3）分配律：(
)()I
I
A B A B αααα∈∈=
；(
)()I
I
A B A B αααα∈∈=
.
（4）等幂律：A
A A =；A A A =.
（5）互补律：A CA S =；A CA φ=.
（6）对合律：()C CA A =. （7）吸收律：()A A B A =；()A A B A =.
此外，还有
（8）CS φ=；C S φ=. （9）A B A
CB -=.
（10）若A B ?，则CB CA ?.
（11）()()A
B A A B ??.
（12）若A B αα?，I α∈，则
I
I
A B αααα∈∈?
；
I
I
A B αααα∈∈?
.
以上关于集合运算的恒等式，都能由定义加以证明. 2. 集合列的极限运算
就像数列未必有极限，集合序列当然也可能没有极限，类似数列的上下极限概念，我们可以定义集合的上下限集.
定义 设{}n A 是一列集合，由属于该集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限，记为lim n n A →∞
或limsup n n A →∞
；而除有限个集外，属于该集列中
每个集的那种元素全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极限，记为lim n n A →∞
或
liminf n n A →∞
. 由定义，{}n A 的上限集和下限集还是一个集合. 并且
lim {:n n A x →∞
=存在无穷多个n A ，使}n x A ∈.
lim {:n n A x →∞
=存在N N +∈，当n N ≥时，}n x A ∈.
显然有如下包含关系
1
1
lim lim n n n n n n n n A A A A ∞
∞
→∞
→∞
==???
.
例7 设有集列{}n A ，其中211
0,221m A m +??=-??+?
?
，0,1,2,
m =.
210,12m A m ??
=+????，0,1,2,
m =.
求lim n n A →∞
和lim n n A →∞
.
解 考察[0,1]，当[0,1]x ∈，则n x A ∈，1,2,
n =.
考察(1,2)，当(1,2)x ∈，存在1()N x ，使得1()n N x >时，有1
12x n
>+
，也存在2()N x ，使得2()n N x >时，有1
221
x n <-
+. 取12()max{(),()}N x N x N x =，则当()n N x >时，有1112221
x n n +
<<-+，即当()n N x >时，2n x A ∈，但21lim n n n x A x A +→∞
∈?∈，lim n n x A →∞
∈，而对于[0,2)以外的点x ，x 不属于任何n A ，所以
lim [0,2)n n A →∞
=，lim [0,1]n n A →∞
=.
例8 设10,1n A n
??=+???
?
，1,2,
n =，求lim n n A →∞
及lim n n A →∞
.
解 当0x <时，x 不属于任何n A .
当1x >时，存在()N x N +
∈，使当()n N x >时，1
1x n
>+
，即当()n N x >时，n x A ∈.
当[0,1]x ∈时，n x A ∈，1,2,n =.
所以lim n n A →∞
[0,1]=，lim n n A →∞
[0,1]=.
例9 设有集列{}n A ，其中
21(,):02,02n A x y x n y n ?
?=≤≤≤≤???
?，1,2,
n =；
211(,):0,02121n A x y x y n n +??
=≤≤≤≤+??+??
，1,2,
n =.
则
lim n n A →∞
{(0,0)}=，lim n n A →∞
{(,0):0}{(0,):0}x x y y =≥≥.
证明 对于(,)x y ，作以下分析讨论：
（1）若0x <或0y <，则(,)x y 不属于任何一个,1,2,n A n =；
（2）若0x >，则存在()N x N +
∈，当()n N x >时，1
21
x n >+21(,)n x y A +?∈，即{}n A 中有无限多个集不含(,)x y .
若0y >，则存在()N y N +
∈，当()n N y >时，1
2y n
>2(,)n x y A ?∈，即{}n A 中有无限多个集不含(,)x y ，所以lim {(0,0)}n n A →∞
=.
（3）若0x >且0y >，由（2）的讨论，当max{(),()}n K N x N y >=时，(,)x y 不属于n A ，即{}n A 中含(,)x y 的集合不会是无穷多个，因此(,)lim n n x y A →∞
∈.
（4）若0x =且0y ≥，则有0n ，使0021y n ≤≤+，这样当0n n ≥时，
21(,)(0,)n x y y A +=∈.
若0y =且0x ≥，则有1n ，使102x n ≤≤，这样当1n n ≥时，2(,)(,0)n x y x A =∈. 综上，lim n n A →∞
{(,0):0}{(0,):0}x x y y =≥≥；lim {(0,0)}n n A →∞
=.
集列{}n A 的上限集与下限集都可以用集列{}n A 的并和交来表示，它们的表达式是：
lim n n A →∞
1m n m n A ∞
∞
===
，
1lim n m n n m n
A A ∞
∞
→∞
===
.
定义 设{}n A 是一集列，如果lim lim n n n n A A →∞
→∞
=，则称集列{}n A 收敛，将lim n n A →∞
或lim n
n A →∞
称为集列{}n A 的极限，记为lim n n A →∞
.
定义 如果集列{}n A 满足11(),1,2,n n n n A A A A n ++??=，则称{}n A 是单调增加（减
少）集列. 单调增加与单调减少集列统称为单调集列. 单调集列是收敛的.
定理 如果{}n A 是单调增加集列，则1
lim n n n n A A ∞
→∞
==
；如果{}n A 是单调减少集列，则
1
lim n n n n A A ∞
→∞
==
.
证明 由（1.2.3），有
1
1
lim lim n n n n n n n n A A A A ∞
∞
→∞
→∞
==???
.
若{}n A 单调增加，如果1
n n x A ∞
=∈
，则有0n N +∈，使001n n x A A +∈??
，所以
lim n n x A →∞
∈，因此，
1n n A ∞
=?lim n n A →∞
lim n n A →∞?.
这样，lim n n A →∞
1
n n A ∞
==
且lim n n A →∞
1
n n A ∞
==
，于是lim n n A →∞1
n n A ∞
==
.
若{}n A 单调减少，如果lim n n x A →∞
∈，则有N N +
∈，当n N >时，n x A ∈，即1,N x A +∈
2,N A +，而{}n A 单调减少1121N N N x A A A A A +-?∈???
??，这样1
n n x A ∞
=∈
，因
此1
lim n n n n A A ∞
→∞
=?
，于是1
lim n n n n A A ∞
→∞
==
.
又因为{}n A 单调减少，所以
m n m n
A A ∞
==?11
lim n m n n n m n
n A A A ∞
∞
∞
→∞
====
=
，从而，有
1
lim n n n n A A ∞
→∞
==
且lim n n A →∞
1
n n A ∞
==
，于是lim n n A →∞
1
n n A ∞
==
.
§3 对等与基数
教学目的：继续介绍集合论的基础内容, 如映射、基数. 本节重点: 理解对等与基数的概念.
在现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然地会涉及到这一组对象的个数. 讨论集合问题时也是这样，当我们不考虑集合中元素的性质而抽象地研究集合时，集合中所含元素的多少或者说元素的个数则是一个最基本的概念. 比如一个由50名学生组成的集合与一个教室里由50个座位组成的集合，这是两个不同的集合. 当我们不考虑他们的元素的具体属性时，则有一点却是共同的，即他们的元素个数相同，都是由50个元素组成的集合. 而一个由50名学生组成的集合与另一个由30名学生组成的集合，虽然他们都是由学生组成的集合，但他们的元素个数却不相同. 可见抽象地研究集合时，集合中所含元素的多少是一个集合的非常值得重视的属性.
怎样表示集合所含元素的多少以及怎样比较两个集合所含元素的多少，这是本节要讨论的问题. 为此先明确有限集和无限集的概念，我们把空集与只含有有限多个元素的集合称为有限集，而把不是有限集的集合称为无限集或无穷集. 集合所含元素多少的问题，对有限集来说，只要把它的元素一个一个数出来就行了，而对于无限集来说，问题就很复杂了，在这里，“个数”一词尽管实际上没有直观的意义，然而，由于不同的无限集之间有着明显的差别，它们所含元素的多少是可以比较的，比如自然数全体和实数全体，它们都是无穷集，但它们在元素“个数”的“数量级”上是不同的，在直觉上我们也能感觉到. 那么对于自然数全体和有理数全体，如果凭直觉认为有理数比自然数多，那就错了，事实上，自然数全体与有理数全体之间元素“个数”的“数量级”是相同. 因此，在无限集元素“个数”的问题上，直觉是不可靠的，有必要对无限集元素“个数”问题进行研究，使得我们得以分清有哪些集有相同的“个数”，哪些则不同.
现在我们回过头来看看有限集元素的个数是怎样确定的，对确定一个教室中的学生全体这个有限集（记为A ）的人数来说，方法就是一个一个地“数”，从1开始数到n ，我们就说这个教室有n 个人. 这个问题的解决实质上是把这个教室中的学生全体的集合A 与正整数
集N +
的子集{1,2,
,}n 一对一地对应起来，为叙述方便，我们称{1,2,,}n 为正整数列的
某一截段. 并记{1,2,
,}n M n =，对于有限集之间元素个数的比较也是这样，当我们比较一
个教室的学生和座位是否相等，若不相等哪个多时，我们也可以把学生和座位对应起来，如
果是一对一地对应，则学生数和座位数相同，如果学生都坐下来还有剩余的座位，则座位比学生多，如果每个座位都坐下一名学生，还有没坐下的学生，则学生比座位多. 从这里我们看到，用一对一的对应方法能解决有限集元素个数和两个集合元素个数比较的问题，这启发我们解决无限集元素“个数”的比较问题也可以用这种一对一的对应方法.
1．映射和一一对应
定义1 设A 、B 是两个非空集合，如果存在一个法则?，使得对于A 中任何一个元素
x ，按照法则?，在B 中有唯一确定的元素y 与x 对应，记为
:x y ?→，
那么称这个法则?是从A 到B （中）的映射，记为
:A B ?→.
当映射?使y 和x 对应时，y 称为x 在映射?下的像，记作()y x ?=.
对于任何固定的y B ∈，称适合关系()y x ?=的x A ∈的全体为元素y 在?之下的原像，记为1
()y ?-，集合A 称为映射?的定义域，记为()D ?. 设C 是A 的子集，C 中所有元素的像的全体，记为()C ?，称它是集C 在?之下的像. 称()A ?为映射?的值域，记为()R ?.
定义2 设?是A 到B 的一个映射.
（1）若对任意的12,x x A ∈，当12x x ≠时，有12()()x x ??≠，则称?是A 到B 的单射. （2）若()A B ?=，则称?是A 到B 的满射，或称?是A 到B 上的映射.
（3）若?既是A 到B 的单射，又是A 到B 的满射，则称?是A 到B 的双射，或称?是A 到B 的一一对应（或一一映射）
，记作： :A B ??.
定义3 设?为A 到B 的一一映射，作B 到A 的映射ψ如下：对每一个y B ∈，由?是一一映射，则y 在?之下有唯一的原像x ，令:y x ψ→，则ψ是映射，称ψ是?的逆映射，记ψ为1
?-. 并且1
:B A ?
-→也是一一映射.
2．集合的对等和基数（势）
定义4 设A 、B 是两个集合，如果存在一个A 到B 的一一对应?，那么称集合A 与集合B 对等（或相似），记为A
B . 规定空集φ和自身对等.
例2 正奇数集{1,3,5,
,21,}O n +
=-和正偶数集(2,4,6,
2,)E n +=对等.
证明 作映射:O E ?+
+
→，使对任意的x O +∈，令()1x x ?=+，则?是O +
到E +的
一一对应，所以O
E +
+.
例3 正整数集(1,2,
,,)N n +
=和正偶数集(2,4,6,
,2,)E n +=对等.
证明 作映射:N E ?++→，使对任意的n N +∈，令()2n n ?=，则?是N +到E +
的
一一对应，所以N
E +
+.
例4 区间(0,1)和实数全体R 对等.
证明 作映射:(0,1)R ?→，使对任意的(0,1)x ∈，令()tan()2
x x π
?π=-
. 则?是
(0,1)到R 的一一对应，所以(0,1)R .
例5 区间(0,1)和区间(0,)+∞对等.
证明 作映射:(0,1)(0,)?→+∞. 使对任意的(0,1)x ∈，令()tan
2
x x π
?=. 则?是
(0,1)到(0,)+∞的一一对应，所以(0,1)和(0,)+∞对等.
例6 区间[0,1)和区间(0,1]对等.
证明 作映射:[0,1)(0,1]?→，令1()x x ??=??
001x x =<<，则?是[0,1)到(0,1]的一一
对应，所以[0,1)
(0,1].
例3、例4和例5说明，一个无限集可以和它的一个真子集对等，这一性质正是无限集
的特征，对有限集来说，这一性质是不能成立的，这样我们可以看到无限集与有限集之间的深刻差异.
对等关系有以下性质：
定理1 对任意集合A 、B 、C ，恒有 （1）自反性：A A ；
（2）对称性：若A B ，则B A ；
（3）传递性：若A B ，B C ，则A C .
该定理可由定义直接得到. 由此可知，对等是等价关系.
定理2 设{}n A 和{}n B 为两个集列. {}n A 中任何两个集不相交，{}n B 中的集也是两两不相交的，即
i j A A φ=，i j B A φ=（i j ≠），如果(1,2,)n
n A B n =，则
1
1
n
n n n A B ∞
∞
==.
证明 对任意的n N +
∈，由n
n A B ，存在n A 到n B 的一一对应:n n n A B ??.
作
1
n n A ∞
=到
1
n n B ∞
=的一个映射?如下：对任意的1
n n x A ∞
=∈
，必有唯一的i N +∈，使
i x A ∈，令1
()()(())i i i n n x x x B B ???∞
==∈?
,则?是
1
n n A ∞
=到
1
n n B ∞
=的映射，容易验证?是
1
n n A ∞
=到
1
n n B ∞
=的一一对应，因此
1
n
n A ∞
=1
n n B ∞
=.
定义5 设A 、B 是两个集合.
（1）如果A 和B 对等，那么称A 和B 具有相同的基数（或势），记集合A 的基数为A ，
A 和
B 具有相同基数时，记为A B =；
（2）如果A 对等于B 的某个子集1B ，那么称A 的基数小于或等于B 的基数，或称B 的基数大于或等于A 的基数，记为A B ≤，或A B ≥；如果A B ≤，并且A B ≠，那么称A 的基数小于B 的基数，或B 的基数大于A 的基数. 记为A B <，或B A >.
集合的基数的概念可以看作有限集合中所含元素个数的推广.
3．伯恩斯坦定理（F.Bernstein ，1878-1956，德国数学家）
是否所有的无限集都有相同的基数呢？在本节引言中已提到凭直觉自然数全体N 和实
数全体R ，它们的基数应该是不同的. 关于这个结论在后面会给出证明的. 既然两个无限集可能有不同的基数，如何进行比较呢？下面的定理给出了一个十分有效的方法.
定理3（伯恩斯坦定理） 设A 、B 是两个集合，如果A 与B 的某个子集对等，B 又与
A 的某个子集对等，则A
B =.
.
如果从基数的观点来看伯恩斯坦定理，它可改述如下：
伯恩斯坦（F.Bernstein ）定理 设A 、B 是两个集合，如果A B ≤，B A ≤，那么，A B =. 结论 若C B A ??，且A
C ，则A B C .
证明 A C A ?与B 的子集C 对等，而B 与A 的子集B 对等（自反性）A B
?（Bernstein 定理）B A ?（对称性）.
又由A C B C ?（传递性），从而A B C .
§4 可数集合
教学目的：让学生理解可数集的概念及性质, 记住常见的可数集. 本节重点: 判断一个集合是否是可数集的方法.
本节难点: 证明一个集是可数集, 有时需要一定的技巧, 因而具有一定的难度, 通
过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握其方法和技巧.
提到无限集，有两种基数是最常见的，也是最重要的，一是正整数集的基数，记为a ， 另一个是实数集的基数，记为c . 本节讨论和正整数集对等的那一类集合.
定义1 凡和全体正整数所成之集N +
对等的集合都称为可数集合或可列集合.
可数集是最简单的无穷集，意思是说它是基数最小的无限集，这由下面的定理可以得到说明.
定理1 任何无限集合都至少包含一个可数子集.
证明 设M 是一个无限集，因M φ≠，可以从M 中取一元素，记它为1e ，由M 是无限集，则1{}M e φ-≠，于是又可以从1{}M e -中取一元素，记它为2e ，显然2e M ∈且
12e e ≠，设已从M 中取出n 个这样的互异元素12,,,n e e e ，由于M 是无限集，故
12{,,
,}n M e e e -φ≠，于是又可以从12{,,
,}n M e e e -中取一元素，记它为1n e +，显然
1n e M +∈且与12,,,n e e e 都不相同，这样，由归纳法，我们就找到M 的一个无限子集
12{,,,,}n e e e ，它是一个可数集.
定理2 可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.
证明 设A 是可数集，*
A 是A 的一个无限子集，那么*
*A
A A ?，所以*A A ≤. 又由于*
A 是无限集，由定理1.4.1知有可数子集*
B A ?，这样*A B A ?，所以*A A ≤. 由
Bernstein 定理*A A =. 即*
A 也是可数集.
以后为叙述方便，有限集和可数集一起称为至多可数集.
由可数集的定义，一个集合A 是可数集当且仅当A 的元素能排列成无穷序列
12{,,,,}n a a a （i j ≠时i j a a ≠）的形式.
定理3 设A 为可数集，B 为至多可数集，则A
B 为可数集.
证明 （1）先设A B φ=，因A 是可数集，设12{,,,,}n A a a a =，若B 是有限集，
设12{,,
,}k B b b b =，此时
1212{,,
,,,,
,,}k n A B b b b a a a =1212{,,
,,,,
,,}k k k kn b b b b b b ++=
其中(1,2,
)k n n b a n +==. 这是一个可数集.
若B 是无限集，设12{,,
,,}n B b b b =，此时， 112233{,,,,,,,,,}n n A B a b a b a b a b =
123456
212
{,,,,,
,,,
,}
k k c c c c c c c c -=. 其中212,,1,2,
k k k k c a c b k -===，这是一个可数集.
（2）一般情形，即A
B φ≠，此时，令*B B A =-，则*
A B A
B =，并且
*A B φ=，因为*B B ?，B 是至多可数集，因而*B 是至多可数集. 由（1）知，*A B 是
可数集，于是A
B 是可数集.
推论 有限个至多可数集(1,2,
,)i A i n =的并集
1
n
i i A =是至多可数集，但如果至少有一
个(1)i A i n ≤≤是可数集，则
1
n
i i A =必是可数集.
定理4 设(1,2,)i A i =都是至多可数集，则
1
i i A ∞
=是可数集.
证明 （1）先设i
j A A φ=()i j ≠，设
11112131415{,,,,,}A a a a a a =， 22122232425{,,,,,}A a a a a a =， 33132333435{,,,,,}A a a a a a =， 44142434445{,,,,,}A a a a a a =， 55152535455{,,,,,}A a a a a a =，
…… …… …… …… …….
称p q h +=为元素(,1,2,
)pq a p q =的高度，按高度从小到大编号，在同一高度中按q
的值由小到大编号，这样就可以把并集
1
i i A ∞
=中所有的元素排成一列（即上图箭头所指顺序）：
11211231221311,22,31;,;,,;
;,,
,;
n n n n a a a a a a a a a a --
因此，
1
i i A ∞
=是可数集.
（2）一般情形 令1*
*111
,(2)i i
i j j A A A A A i -===-
≥，则由例1知，
1
i i A ∞=*1
i i A ∞
==
且**i j A A φ≠()i j ≠.
现在各*
i A 都是至多可数集，若这些*
i A 中只有有限个不为空集，则由定理1.4.3之推论1
知
*1
i i A ∞
=是可数集（因为*11A A =是可数集）.
如果有无限多个*
i A 不为空集，这时，也就是有可数多个*
i A 是至多可数集，由情形（1）
1
i i A ∞==
*1
i i A ∞
=是可数集.
定理5 有理数全体是一可数集.
证明 我们用Q +
、Q -
分别表示正有理数集和负有理数集.
设 123
,
,,,
,m n A m m m
m ??=????(1,2,)m =，则m A 是可数集，而Q +1
m m A ∞
==，由定理 1.4.4知Q +
是可数集. 而Q
+
Q -()()r r
Q Q ?+-=-????→一 一对应
，因而，Q -是可数集. 因此{0}Q Q Q +-
=是可数集.（定理1.4.3推论1）
定理6 若A 中每个元素可由n 个互相独立的记号一对一地加以决定，各记号跑遍一个可数集，即12,,
,{}n
x x x A a =，k k x I ∈，k I 是可数集，1,2,
,k n =. (1)(2)
(,,,k k
k x x x =
()
,
,1,2,,)j k x k n =则A 是可数集.
证明 用数学归纳法，当1n =时，即A 中元素只由一个记号决定，设
(1)(2)()1
1
1
{,,
,,}j x x x A a a a =，这是一个可数集.
设n m =时定理成立，则当1n m =+时，设121
,,
,,{}m m x x x x A a +=，又设A 中满足
()
11j m m x x ++=的元素全体为j A ，则12()
,,
,,1
{}(1,2,)m j j x x x m A a x j +==.
因为j A 中每个元素的第1m +个记号已经明确固定下来，所以j A 中每个元素只由m 个互相独立的记号一对一地加以决定，而由归纳法假设，j A 是可数集(1,2,
)j =，而
1
j j A A ∞
==
.
由定理1.4.4知A 是可数集.
例1 平面上坐标为有理数的点的全体所成的集为一可数集.
证明 设该集合为A ，平面上坐标为有理数的点形式为12(,)ξξ，其中1ξ和2ξ互相独立，
各自跑遍有理数集Q . 于是A 中每个元素由2个互相独立的记号一对一地加以决定，且各记号跑遍一个可数集. 因此，由定理1.4.6知，A 是可数集.
例2 设12{(,,
,):,1}k i A n n n n N i k +=∈≤≤，则A 是可数集.
证明 A 中每个元素12(,,
,)k n n n 由k 个互相独立的记号一对一地加以决定，各记号跑
遍一个可数集N +
，由定理1.4.6知，A 是可数集.
例3 有理系数多项式1011n n n n a x a x a x a --++
++的全体是一可数集.
证明 对于每个n N ∈，把n 次有理系数多项式全体记为n A ，则n A 中每一个元素
1011n n n n a x a x a x a --++
++由1n +个互相独立的记号一对一地加以决定，每一个记号跑遍
一个可数集Q ，由定理1.4.6，n A 是可数集. 而有理系数多项式的全体所成之集是
1
n n A ∞
=，由
定理1.4.4知，
1
n n A ∞
=是可数集.
同理可证整系数多项式的全体是一可数集，进而代数数（整系数多项式的根）的全体是
一可数集.
例4 凡无限集必与它的一个真子集对等.
证明 设A 是无限集，则由定理1.4.1，A 存在一个可数子集{}n n N a +∈，令1{}B A a =-，
且
则B 是A 的真子集. 作映射:A
B ?. 1
()k a a a ?+?=?
? ,{};{}(1,2,).n n N n k n N a A a a a a a k ++∈∈∈-∈==则?是A 与B 之间的一一对应，因而A 与它的一个真子集B 对等.
§5 不可数集合
教学目的：让学生理解不可数集的概念, 熟悉常见的不可数集.
本节难点: 无最大基数集合存在定理，通过与理发师悖论对比更容易理解一些.
在上一节提到在无限集中有两种基数是最常见且最重要的，那就是正整数集N +
的基数
a 和实数集R 的基数c ，一般地称a 为可数基数，c 为连续基数. 对于可数基数，我们已经作了比较详尽的讨论. 本节讨论连续基数c .
在无限集中，有没有不是可数集的无限集，如果没有，那么所有的无限集都是可数集，这种讨论就没有必要了. 事实上，不但有不是可数集的无限集，而且对于无限集来说，不存在最大的基数.
我们把不是可数集合的无限集合称为不可数集合.
把与实数集R 对等的那一类集合称为具有连续基数的集合. 定理1 全体实数所成之集合R 是一个不可数集合.
证明 由§1.3例4知(0,1)与R 对等，因而，只须证明(0,1)是不可数集就行了. 对于每一个(0,1)a ∈，都可以唯一地表示为10进位无穷小数：
12345
0.a a a a a a =110
n
n
n a ∞
==∑
. （1.5.1） 的形式. 其中各n a 是0,1,
,9中的一个数字，且不以0为循环节，称(0,1)中实数的这种表
示为正规表示. 反之，每一个如（1.5.1）表示的无穷小数都是(0,1)中某一实数的正规表示. （如
0.57的正规表示为0.56999
）.
以下用反证法证明. 如果(0,1)中的实数全体是可数集，即(0,1)(1)
(2)
(3){,,,}a a a =.
将每个()
n a
表示成正规的无穷小数：
(1)(1)(1)(1)
123
0.a a a a =，
(2)(2)(2)(2)
1230.a a a a =， (3)(3)(3)(3)123
0.a a a a =，
…… …….
现在设法在(0,1)中找出一个与(1)(2)
(3){,,,}a a
a 中所有的实数都不同的实数.
考察对角线上的数字()
(1,2,
)n n a n =. 作一个无穷小数如下：123
0.a a a a =，其中
1,2,n a ?=?? ()
()
1;
1.
n n n n a a ≠=若若 这个无穷小数是(0,1)中某一实数的正规表示，它与(1)(2)
(3){,,,}a a
a 中的每一个
()(1,2,)n a n =的正规表示都不相同，即(),1,2,n a a n ≠=. 从而
(0,1
(1
)(
2
)
{,,,}a a
a
≠，与假设矛盾. 因此(0,1)是不可数集，因而R 是不可数集.
推论1 c a >
定理2 任意区间(,),[,),(,],[,],(,),[,),(,),(,]a b a b a b a b a a a a +∞+∞-∞-∞均具有连续基数()c a b <
证明 作映射:(,)(0,1)a b ?→，对任意的(,)x a b ∈，令()x a
x b a
?-=
-，则?是(,)a b 到(0,1)的一一对应. 所以(,)a b (0,1)R . 对于其它的区间可用如下的方法证明：以(,)a +∞为例.
因为(,)(,)a b a R ?+∞?，而(,)
a b R . 由§1.3例7知(,)a R +∞.
定理3 设12,,,,
n A A A 是一列互不相交的集合，它们的基数都是c ，则
1
n n A ∞
=的基
数也是c .
证明 设[1,)n I n n =-，则()n
m I I m n φ=≠，而(1,2,)n I c n ==，所以
(1,2,)
n n I A n =. 从而1
1
[0,)n
n n n A I ∞
∞
===+∞，而[0,)c +∞=，因此
1
n n A ∞
=的基数是c .
定理4 实数列全体E ∞
的基数是c .
证明 记B 为E ∞中适合01(1,2,)n x n <<=的点12{,,,,}n x x x 的全体. 设
x B ∈，12{,,,,}n x x x x =，其中n x 是实数. 作映射:?
12111
()tan(),tan(),
,tan(),
222
n x x x x ?πππ??=---???
?
， 则?是B 到E ∞的一一对应. 我们只须证明B 的基数是c .
事实上，将(0,1)中每个x 与B 中的点{,,}x x x =对应，就知道(0,1)对等于B 的一个
子集. 即(0,1)B c ≥=.
反之，对B 中的任何12{,,
,,}n x x x x =，按10进位无限小数正规表示
n x (1,2,)n =，有
1111210.n x x x x =， 22122
20.n
x x x x =，
…… ……
120.n n n nn
x x x x =，
…… …….
由{}n x x B =∈，作小数()x ψ：
()x ψ11211211,210.n n n
x x x x x x -=，
显然()(0,1)x ψ∈，而且当x y ≠时，()()x y ψψ≠，所以由映射ψ，B 也对等于(0,1)的一个子集，从而(0,1)B c ≤=. 由Bernstein 定理，(0,1)B =，因此E c ∞=.
定理5 n 维欧几里得空间n
R 的基数为c .
证明 将n
R 中的点12(,,
,)n x x x 对应于E ∞中点12{,,,,0,0,}n x x x ，则n R 对等于
E ∞的一个子集，即n R E c ∞≤=. 再将R 中的点x 对应于n R 中的点(,0,
,0)x ，则R 对等
于n
R 的一个子集，即n c R R =≤. 由此n R c =.
基数的大小既然可以比较，是否存在最大的基数呢. 下面的定理回答了这个问题，没有最大的基数.
《实验心理学》作业 1. 有人为了研究光强对视敏度（视力）的影响，选取了两种强度的光，一种是弱光，一种是强光，结果发现两种光强下视敏度没有差异。于是该人得出结论，光强对视敏度没有影响。请问： a 该项实验研究中自变量和因变量是什么？自变量的不同水平是什么？ b 作出这个结论有无问题？为什么？ a．自变量是光强，因变量是视敏度。自变量的不同水平是弱光和强光。 b．有问题。在选取被试上实验者没有说清楚，要在实验开始前选取视力相同的被试做实验。而且自变量是强光弱光的需要一段时间后才会有作用。 2. 某电视台编出一套历时两个月的适合儿童的科技节目。电视台想了解儿童看了节目后有关科技知识是否有明显提高。于是有人为电视台设计了如下方案： 实验组测验收看电视节目实验组再测验 如果后一次测验好于前一次测验，就说明收看科技节目对提高儿童的科技知识是有帮助的。请问该设计是否合理？为什么？ 不合理，因为在这两个月内不能肯定儿童的智力没有发展，而且也有可能在生活中学到一些科技知识。所以，应该选两组年龄类似的儿童，一组实验组测试→收看电视节目→实验组再测试，而另一组实验组测试→→实验组再测试，再来比较结果。 3．某项研究探讨学习遍数对记忆成绩的影响。随机选取一批被试，要求他们学习10个英语新单词。将这批被试随机分成3组，每组随机接受一种学习遍数（一遍、两遍或三遍，每遍30分钟）。测验表明，三组的回忆正确率都在95%以上，没有显著性差异。 请问： a 因变量具体采用了什么指标？ b 根据统计结果是否可以得出学习遍数对记忆没有影响的结论？为什么？ a．因变量指标是单词回忆的正确率。 b．不能得出学习遍数对记忆没有影响的结论。因为十个单词每遍学习30分钟太长了，应该缩短每次的时间。 4. 在一项“疲劳对记忆”影响的研究中，研究者事先规定“疲劳”是从事某种体力运动的时间。结果表明从事某项体力运动的时间和记忆成绩没有什么关系。于是该研究者得出结论：疲劳是不影响人的记忆的。请问作出这种结论有没有问题？为什么？ 有问题。在此问题中，“疲劳”是自变量，但是研究者自变量的定义有点问题，引起疲劳是应该根据不同的体质和从事体力运动的时间共同确定的。不是某一种可以说明的，所以得出这样的结论是不妥的。 5.为了探讨三种不同的学习方法对记忆的影响，要求被试按随机的顺序在所有三种不同的方法下学习。第一种方法是对单字死记硬背，第二种是把要学习的单字造句，第三种是对单字所代表的实物进行想象。 请问该方案是否合理？给出理由。 不合理，实验要求被试按随机的顺序在所有三种不同的方式在学习，一，这样会因为学习效应第一次学过的对后面都有影响。二，不能统计，不好比较。应该将被试随机分成三组，然后分别按这三种方式学习，最后统一进行统计比较分析。 6. 某个心理学系的学生想验证一种新的记忆英语单词的方法是否有效。他先贴出布告征得
第一章 一、单项选择题： ( D )1 、弗洛伊德的精神分析理论建立在 ______ 的基础之上。 C. 调查法 D. 个案研究法 。 C ．马斯洛 D ．弗洛伊德 。 B. 弗洛伊德是精神分析学派的代表 C. 魏特海墨是机能心理学派的代表 D. 华生是行为主义心理学派 的代表 ( B )4 、在控制的条件下， 系统的操作某种变量， 研究该变量对其他变量所产生的影响， 这种心理研究的方法是 。 A. 观察法 B. 实验法 C. 调查法 D. 个案研究法 ( C )5 、认为心理学的目的是研究有机体适应环境过程中心理的功能的心理学流派 是。 A. 结构主义 B. 精神分析 C. 机能主义 D. 行为主义 ( B )6 、被称作心理学的第三势力的是 学派。 A. 行为主义 B. 人本主义 C. 精神分析 D. 认知心理学 ( C )7 、能揭示变量之间因果关系的研究方法是 。 A. 观察法 B. 实验法 C. 相关法 D. 访谈法 ( C )8 、创建第一个心理科学体系的心理学家是 。 A. 弗洛伊德 B. 詹姆斯 C. 冯特 D. 铁钦纳 ( B )9 、操纵和控制变量的心理学研究方法是 。 A 观察法 B 实验法 C 个案法 D 调查法 ( A )10 、由实验者操纵的， 被假定为可影响行为的可能原因的变量是 A ．自变量 B. 因变量 C. 中介变量 D. 无关变量 ( C )11 、用实验内省的方法分析各种经验是指，研究者操纵刺激(视觉的、听觉的、 皮肤觉的等) ，使之有系统地变化，让被试根据自己的主观判断作出反应(如按键)或报告 自己对于某种刺激的感受。这种“内省法”属于现代心理学的哪个流派？ A 、功能主义 B 、行为主义 C 、结构主义 D 、精神分析 ( C )12 、认为“男性和女性的基本择偶标准(如年龄)在世界各种不同文化中具有明 显的普遍性， 根源在于早期人类男性和女性在繁殖和抚养方面所面临的不同的适应性问题。 这一观点属于当代心理学取向中的哪一个分支？ A 、生理心理学 B 、行为遗传学 C 、进化心理学 D 、认知神经科学 ( A )13 、由研究者直接观察记录研究对象的行为，从而了解事物的特征或规律性的方 法是 _____ 。 A 、观察法 B 、调查法 C 、个案法 D 、相关法 ( A )14 、在心理学的研究方法中，若研究者希望了解两变量之间关联到什么程度，则 应该选用 ___ 。 A 、相关法 B 、实验法 C 、个案法 D 、调查法 ( B )15 、认为心理学的目的是揭示刺激和反应之间的确立关系的派别是 ____ A 、功能主义 B 、行为主义 C 、完形主义 D 、人本主义 ( B )16 、詹姆 斯是 学派的代表人物。 A. 结构主义 B. 功能主义 C. 行为主义 D. 人本主义 A. 观察法 B. 实验法 ( A )2 、科学心理学之父是 A ．冯特 B ．华生 ( C )3 、以下说法中错误的是 A. 冯特、铁钦纳是结构主义的代表
心理学实验设计方案 一，实验题目：人类在背诵英语单词时，英语单词的长度和被试背诵的时间是否影响背诵者的记忆效果 1假设 1.1选用短的英语单词背诵时，背诵者的记忆效果比选用长的英语单词好； 1.2背诵英语单词的时间长的比背诵时间短的记忆效果好 2变量及额外变量的操纵方法 2.1自变量：单词的长度，背诵时间 2.2因变量：背诵者的记忆效果（在分析中，选取单词默写正确个数为 2.3额外变量：被试的性别、智商水平，疲劳效应等 2.3.1额外变量的操控方法： 2.3.1.1选择性别数量上相等的被试（男10女10） 2.3.1.2选择在同一智商水平（按韦克斯勒智力量表）的被试 2.3.1.3让被试在实验中休息 3被试的选择及分组 选取男女被试各10名，每位被试接受四种水平(长单词—长时间、长单词—短时间、短单词—长时间、短单词—短时间)的实验处理 4实验实施过程及方法 4.1选择100个英语单词（其中，长短单词各50个）作为实验材料，20名被试把他们随机分配到四个处理水平上，每个处理水平上分配5名被试。 4.2让每组被试记忆单词，短单词选取CET四级词汇中含5-6个字母的单词，长单词选取CET四级词汇中含9-11个字母的单词；记忆的短时间为5分钟，长时间为10分钟。 4.3记忆时间到时，让被试默写自己记忆的单词；批改被试默写的单词 二、计算机键盘与水平面可有三种倾斜度：0度、10度和15度，试设计一项实验来证明，哪一种倾斜度最有利于输入字符。 单因素被试间设计
1. 提出假设：在计算机和水平面之间的三种倾斜度中，0度，10度和15度中，打一段相同的材料（使用相同的语言），在完成任务以后，比较一下哪种任务完成的时间是最少的，假设倾斜10度所需要的时间是最少的。 2. 被试 筛选被试：筛选被试：在对被试进行选择的过程中，需要进行严格的筛选。在进行最后的测试之前，要对每个被试进行测试。让所有被试在同一个房间里进行，给他们500字的中文文字，在最后的结果中筛选出在3-4分钟内完成的被试，这样能够排除掉打字技术对成绩的干扰。其中选出被试45名。每个被试分别接受三个水平的实验处理（0度，10度和15度）。 单因素被试间设计 3. 实验材料 3台配置一样的电脑，分别是：0度，10度和15度。 分别给被试呈现不熟悉的材料，避免对材料有熟悉度，每段文字500字。 4. 实验程序 (1) 把被试统一安排在指定教室进行，事先不需要太多的交流。 (2) 指导语：大家好，今天我们要进行一项文字输入的测试。在屏幕中央将会出现一篇文字，请您以最快的速度输入文字。在我说开始后，大家可以开始了。 (3)电脑自动记录被试完成的时间。 (4)进行数据分析。 三、研究者要探讨灯光强度与颜色对反应时的影响，试设计一个2×2实验研究范式。(要求说明实验中自变量、因变量与控制变量，是组间设计还是组内设计，被试如何分组，实验结果如何整理等) 参考答案： 实验设计：采用2×2多因素实验设计。 该实验研究的自变量有两个：灯光强度：分为强、弱两个水平，灯光的颜色：可分为红、绿两种不同颜色的灯光。这样，共有四种实验处理：红色的强光、红色的弱光、绿色的强光、绿色的弱光。 因变量：记录每个被试在不同实验条件下的反应时间。 控制变量：所有被试的练习次数、准备状态、额外动机、年龄以及其他个别差异应保持相等。
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
一、填空题 1. 实验，是指通过______、________操作环境，导致某些行为发生变化，并对之进行____、_____、_____的科学方法。 2. 实验心理学的主要先驱之一费希纳，在1860年发表了巨著_____________，他在这部著作中探讨了心理量和物理量之间的_____________。 3. 在心理学研究中，常用的观察法主要有三种：___________、__________、__________。 4. 相关研究法和观察法一样，是一种基于___________科学研究方法，因此它从理论上或也是无法确定 ____________的。 5. 美国哲学家皮尔斯（C. S. Pierce）指出，除科学方法外，还有另外三种确立信念的方法：___________、_____________和______________。 6. 确立信念的科学方法，是在____________的基础上寻求现象解释的可重复性，并进行_____________。 7. 实验心理学已经成为科学心理学研究的代表和主力，这一地位的取得离不开实验心理学创始之时众多研究者的工作和贡献。其中又尤其以三位学者 的工作最具里程碑意义。他们是：___________首次提出心理学必须用实验的方法进行研究；______________开创性地提出了量化研究“心灵”的思想；____________则首开用实证方法研究_____________等高级心理过程之先河。 8. 实验室研究有其优势：对于_____的行为进行了严格的控制；更好地控制___________；实验可在其他实验室中_______________。 9. 心理学研究所能收集到的资料大致分为_________、_________、____________、_____________四类。 二、选择题 1. 涉及人类被试的实验心理学研究必循遵循以下伦理道德，除了： (A) 保障被试的知情同意权 (B) 保障被试的退出自由 (C) 保密原则 (D) 给被试一定的被试费用 2. 冯特（W.Wundt）对心理学的最深远贡献是： (A) 对感觉元素的描述 (B) 建立了作为实验科学的心理学 (C) 对神经传导速度的测量 (D) 发展了最小可觉差的方法 三、名词解释 1. 观察法 2. 相关法 3. 实验法 四、简单题 1、费希纳对心理学有哪些贡献？ 2、冯特对实验心理学的贡献。 3、艾宾浩斯对实验心理学的贡献 4、科学方法的本质特征是什么？ 5、试评观察法的优缺点。 6、试评相关法的优缺点。 7、简评实验法的优缺点。 五、分析题 “一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃。”该故事说明了什么心理现象？请参照心理学研究的整个程序（查阅文献——实验研究——形成理论——深入研究——实际应用及理论校正），概述对此现象进行深入分析的步骤。 六、论述题
实验心理学考试选择 及名解
第一章 一、单项选择题 1.下列说法错误的是（）。 A. 科学研究从观察开始 B. 观察不总是可靠的 C. 研究者具有主观性 D. 实验法总是可靠的 2.“实验心理学”一词是（）年德国著名心理学家冯特提出来的。 A. 1860 B. 1862 C. 1879 D. 1917 3.“实验心理学”一词是冯特在他的（）中首先提出来的。 A. 《感官知觉理论贡献》 B. 《心理物理学纲要》 C. 《实验心理学纲要》 D. 《民族心理学》 4.“O”变量又称为（）变量。 A. 无关变量 B. 额外变量 C. 干扰变量 D.机体变量 5.广义的实验心理学也叫做（）。 A. 人文心理学 B. 科学心理学 C. 实验心理学 D. 实证心理学 6.在实验心理学研究中，（）技术是核心技术。 A. 观察 B. 相关 C. 实验 D. 测量 7.主试选择、控制的变量称为（）。 A. 自变量 B. 因变量 C. 额外变量 D. 机体变量 8.以温度、噪音、光线等作为自变量称为（）自变量。 A. 刺激特点 B. 环境特点 C. 被试特点 D. 实验特点 9.从某种角度看，（）研究正成为心理学研究中最有前途和最有应用价值的实验方法。 A. 真实验 B. 非实验 C. 实验室实验 D. 准实验
10.为了直接探明某种心理现象与其他心理现象或内外因素的因果关系，这叫做（）。 A. 测验式实验 B. 相关型实验 C. 因素型实验 D. 生态化实验 11.心理学实验的基本方程式是（）。 A. R=f(S) B. R=f(S,O) C. S=f(R) D. R=f(O) 12.关于实验研究信度和效度的关系，下列表述正确的是（）。 A. 信度高，效度也高 B. 信度高，效度低 C. 效度低，信度也低 D. 效度高，信度也高 13.有效地控制额外变量，主要目的是为了提高研究的（）。 A. 外部效度 B. 内部效度 C. 外部效度和内部效度 D. 学术价值 14.实验设计中主要应该根据（）和实验要求的操作来选择合适的被试。 A. 实验者的工作精力 B. 实验设备的台套数 C. 实验最终目的 D. 时间限制 15.实验要求的精确性越高，样本数要求（）。 A. 越少 B. 越多 C. 尽可能小 D. 无所谓 16.在暗室或隔音室中进行心理实验，是采用了（）控制额外变量。 A. 恒定法 B. 平衡法 C. 消除法 D. 匹配法 17.实验组与控制组的主要区别在于（）。 A.实验组参加实验，控制组不参加实验 B.实验组接受实验处理，控制组 不接受 C.实验组不接受自变量处理，控制组接受 D.控制组无关变量被控制，实 验组不控制
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
课程名称实用心理学授课班级人力资源 授课类型理论课授课时间2015/03/15 课时 2 授课题目（章、节）第一章心理学的历史发展 教学目标 知识目标了解心理学发展的历史能力目标语言表达能力、归纳能力、应变能力情感目标激发学生学习心理学的兴趣 教学重点、难点 及处理措施心理学的起源及相关代表人物 教学用具与器材无 教学内容和过程 教学方法和时间分配 讲解提问（45分钟） 清点人数，组织学生准备开始上课，填写工作手册新课导入： 心理学这个起源于西方的学科，在中国成了新奇的玩意。有人觉得它很神，几个问题就能窥探别人藏匿多年的秘密；有人觉得它很深奥，不是谁都能明白；有人觉得它很假，就是一些所谓的专家瞎掰蒙人的；有人觉得它很远，只是那些精神不正常的人才需要它……其实，心理学就是一门研究心理现象和心理学规律的科学。这个学期，我就要和大家一起进入神秘的心理学世界。 讲授新课： 很显然，与科学知识的产生相比，人类对人性的了解要晚得多。在西方文明史中，最古老的论述心理学的著作却是荷马的诗集《伊利亚特》和《奥德赛》。这些故事讲述的是爱情和真诚、激情与战争，因此，它必然包含着对人类行为的解释，并间接第反映了最古老的民族心理学知识。 在过去的几个世纪中，心理学的历史也就与哲学的历史紧紧地联系在一起。哲学家对三个问题很感兴趣，这些问题世纪上也是心理学家要回答的问题。 提问：哲学家关注的三个哲学问题是什么？ 明确：一是关于灵魂的研究。二是认识论问题。三是人性与伦理的问教学内容和过程 教学方 法和时间分配 讨论法讲授法（25分钟） 提问：哲学家对这三个问题是如何回答的呢？请举例说明。 明确：普罗泰戈拉——人是万物的尺度。（联系贝克莱：存在即为感知）苏格拉底——美德与善行。柏拉图——《理想国》，灵魂的分类亚里士多德——心理学是对灵魂的研究。 古希腊哲学中涉及心理学的人性思想还有很多，比如伊壁鸠鲁的幸福哲学学说，犬儒主义，以及受此影响的斯多葛主义；皮浪的怀疑论（联系休谟——世界不可知）等。 当历史的车轮驶向公元四世纪的时候，人类在各个领域的思想被基督教的教义束缚起来。提问：中世纪有哪些心理学观念？请举例。 明确：第一，基督教哲学。古典哲学家和基督教哲学家奥古斯丁认为，认识灵魂与身体的结合，灵魂指挥身体的一切活动，身体的生长也依赖灵魂。经院哲学的代表人物托马斯阿奎那，继承了亚里士多德的学说，但又抛弃了其中与教义冲突的观念。第二，大众心理观念。女性
第一节各种变量 主试就是实验者即主持实验的人，他发出刺激给被试，通过实验收集心理学的资料。被试就是实验对象，接受主试发出的刺激并作出反应。 一、自变量即刺激变量，它是由主试选择，控制的变量，它决定着行为或心理的变化。 自变量的种类： 1、刺激特点自变量：刺激的不同特性会引起被试不同的反应。 2、环境特点自变量：进行实验时环境的各种特点如温度、是否有观众在场、是否有噪音、白天或夜晚等等，都可以作为自变量。时间这个自变量在记忆研究中是如此重要和无时不在，你甚至可以说，几乎没有不用时间作自变量的记忆实验。 3、被试特点自变量：一个人的各种特点，如年龄、性别、职业、文化程度、内外倾个性特征、左手或右手为利手、自我评价高或低等等，都可以作为自变量。 4、被试的暂时差别：通常是由主试给予不同的指示语造成的。 二、因变量即被试的反应变量，它是自变量造成的结果，是主试观察或测量的行为变量。 1、信度指一致性，同一被试在相同的实验条件下应该得到相近的结果。 2、效度当自变量的确造成了因变量的变化，而不是其他的各种因素造成变量的变化，我们就说这种因变量是有效的。 3、敏感性：自变量发生可以引起相应的因变量的变化，这样的因变量是敏感的。 ▲高限效应：当要求被试完成的任务过于容易，所有不同水平（数量）的自变量都获得很好的结果，并且没有什么差别时，我们就说实验中出现了高限效应。 ▲低限效应：当要求被试完成的任务过于困难，所有不同水平的自变量都获得很差的结果，并且没有什么差别时，我们就说实验中出现了低限效应。 三、控制变量就是在实验中应该保持恒定的变量。 如果应该控制的变量没有控制好，那么它就会造成困变量的变化，在这种情况下，研究者选定的自变量与一些未控。制好的因素共同造成了因变量的变化，这就叫自变量的混淆。 四、多于一个自变量的实验 ▲做一项有三个自变量的实验比分别做三个实验的效率要高。第二，做一项实验比分别做三项实验易于保持控制变量恒定。第三，也是最重要的，在几个自变量同时并存的情形下所概托的实验结果比从几个单独实验所概括的结果更有价值，更接近生活实际。 ▲一项实验中有两个或两个以上自变量，当一个自变量的效果在另外一个自变量的每一水平上不一样时，我们就说存在着（自变量的）交互作用。 ▲补充几点： 1、自变量至少是两种水平存在的。 2、当把实验结果作图表示时，只有一个自变量的实验，自变量总是用横坐标表示，因变量永远用纵坐标表示。其余自变量画在图上， 3、交互作用反映在图中，表现为图中的线是交叉的。如果图中的线是平行的，就说明该实验不存在交互作用。
《实验心理学（修订版）》张学民北 京师范大学出版社 《实验心理学（修订版）》张学民北京师范大学出版社 2007 内容简介 基于目前心理学实验方法与技术的发展趋势，在教育部心理学理科人才培养基地“实验心理学”名牌课程和国家心理学课程体系教学改革项目的支持下，本书作者在近六年的教学改革过程中，对实验心理学理论、方法和实验技术等方面进行了探索和创新。 本书编写过程中，在保证传统的实验心理学理论与实验设计方法的基础上，突出了学习内容的易学性、实用性和可操作性。全书增加了大量关于心理学各研究领域的前沿性的实验内容，并将基础理论教学、实验教学与实验设计能力的培养有机地结合起来。学习者可以通过实验心理学理论与实验操作的学习，掌握心理学实验研究的过程、实验的基本要求、课题选择与文献查阅方法、实验设计方法、实验实施过程中的变量控制、数据的整理与统计分析方法以及实验（研究）报告的撰写格式与基本要求等，并利用计算机技术进行心理实验研究。 目录 第一章绪论 第一节实验心理学的产生与发展 一、近代哲学与实验生理学的发展对实验心理学的贡献 二、1800—1850年生理学与心理学史上的重大事件 三、科学心理学与实验心理学的产生与发展 四、科学心理学产生初期实验心理学的发展 五、现代实验心理学的发展 六、实验心理学理论、方法与技术的新发展 第二节实验法与其他心理学研究方法的比较 一、观察法 二、访谈法 三、问卷法 四、测验法 五、实验法 六、实验法与其他研究方法的比较 第三节心理学实验研究的基本过程 一、课题选择与文献查阅 二、提出问题与研究假设 三、实验设计与实施 四、数据整理与统计分析 五、研究报告的撰写与交流 第四节数据整理与统计分析
书籍目录： 第一篇实变函数 第一章集合 1 集合的表示 2 集合的运算 3 对等与基数 4 可数集合 5 不可数集合 第一章习题 第二章点集 1 度量空间，n维欧氏空间 2 聚点，内点，界点 3 开集，闭集，完备集 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5 康托尔三分集 第二章习题 第三章测度论 1 外测度 2 可测集 3 可测集类 4 不可测集 .第三章习题 第四章可测函数 1 可测函数及其性质 2 叶果洛夫(EropoB)定理 3 可测函数的构造 4 依测度收敛 第四章习题 第五章积分论 1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2 非负简单函数的勒贝格积分 3 非负可测函数的勒贝格积分 4 一般可测函数的勒贝格积分 5 黎曼积分和勒贝格积分 6 勒贝格积分的几何意义·富比尼(Fubini)定理第五章习题 第六章微分与不定积分 1 维它利(Vitali)定理 2 单调函数的可微性 3 有界变差函数 4 不定积分 5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分 7 L-S测度与积分
第六章习题 第二篇泛函分析 第七章度量空间和赋范线性空间 1 度量空间的进一步例子 2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3 连续映射” 4 柯西(CaHcLy)点列和完备度量空间 5 度量空间的完备化 6 压缩映射原理及其应用 7 线性空间 8 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间第七章习题 第八章有界线性算子和连续线性泛函 1 有界线性算子和连续线性泛函 2 有界线性算子空间和共轭空间 3 广义函数 第八章习题 第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 1 内积空间的基本概念 2 投影定理 3 希尔伯特空间中的规范正交系 4 希尔伯特空间上的连续线性泛函 5 自伴算子、酉算子和正常算子 第九章习题 第十章巴拿赫空间中的基本定理 l 泛函延拓定理 2 C[a,b)的共轭空间 3 共轭算子 4 纲定理和一致有界性定理 5 强收敛、弱收敛和一致收敛 6 逆算子定理 7 闭图像定理 第十章习题 第十一章线性算子的谱 1 谱的概念 2 有界线性算子谱的基本性质 3 紧集和全连续算子 4 自伴全连续算子的谱论 5 具对称核的积分方程 第十一章习题 附录一内测度，L测度的另一定义 附录二半序集和佐恩引理 附录三实变函数增补例题
第一章引论 一、实验心理学：定义、内容及简要历史回顾 实验心理学是应用科学的实验方法研究心理现象和行为规律的科学，是心理学中关于实验方法的一个分支。 实验心理学作为教科书始于19世纪铁钦纳（Titchener, E. B.）的著作（《实验心理学》4卷，1901——1905），之后武德沃斯（Woodworth, R. S.）于1938年发表了《实验心理学》。 无论是古代对心理学思想的探讨，还是现代心理学的科学研究，在探讨的“内容”上都是基本相同的，两者最主要的区别是研究“方法”和“手段”的不同。 早期：“思辩”——内省、推理和知觉； 现代：观察、调查、相关研究、实验等科学方法。 二、实验心理学和普通心理学、认知心理学的区别 普通心理学→注重结果 实验心理学→注重方法 认知心理学→注重理论 【举例】 艾宾浩斯遗忘曲线（《教材》P317-318 ） 艾宾浩斯创造了两个工具： –无意义音节，他用两个辅音（consonant）字母和一个元音（vowel）字母形成一个无意义音节（CVC）。无意义音节作为识记的单位大致是相同的，这样便于控制学习材料的数量，并且使学习少受个人有关经验的影响。 –节省法（重学法）。
三、实验方法与非实验方法 实验方法是心理学研究的主要方法。 实验方法可以“产生”新的现象； 实验方法可以发现事物之间的因果关系； 实验是随时随地都可以进行的。 ?非实验方法的特点： –我们不能操纵自变量； –在收集资料的过程中我们不得不面对现实。 自然观察法（naturalistic observation） 调查法（survey methods） 个案法（case study） 相关研究法（the correlational approach） 四、实验范式 实验方法在各种心理过程以及各个心理学分之的研究中，具体表现为各种不同的实验范式（the experimental paradigms）。 范式是指按照某一比较公认的路线或观点所采取的研究方向或研究步骤。 范式的另一种解释是哲学家T. S. 孔恩提出的，是指科学发展的某一时期，在一个领域内某一理论为大家所公认，成为占主导地位的理论，它指导着这一时代该领域的研究方向，这个理论便称为范式。 加工水平效应（the level effect of processing） 在非随意学习中（incidental learning），要求被试回答有关单字的各种问题： 这个单字是用大写字母写的吗？（字型加工） 这个单字是否与另外一个单字押韵？（语音加工） 这个单字能否归为动物一类？（语义加工） 某种实验范式实际上就是相对固定的实验程序，它的设计一般有两种用途或目的。 第一，为了使某种心理现象得到更清晰准确的描述和表达。 第二，为了检验某种假设、新提出来的概念。 五、实验中的各种变量 变量（variable）指的是可以在数量上或性质上改变的事物的属性。 主试（experimenter）：实验者，即主持实验的人。他发出刺激给被试，通过实验收集心理学资料。 被试（subject）：就是实验对象，接受主试发出的刺激并做出反应。 ?自变量（independent variable） 定义：即刺激变量，它是由主试选择、控制的变量，它决定着行为或心理的变化。 自变量的种类： –刺激特点自变量 –环境特点自变量 –被试特点自变量 –暂时造成的被试差别
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I 、 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、 综合上两个包含式得c A B A B -=I 、 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、 综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、 证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、 证毕 定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、 证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知
附件1： 《……》课程教学大纲 （黑体二号加粗居中） 课程中文名称：课程英文名称： 课程代码：课程性质：总学时：学时总学分：开课学期：适用专业： 先修课程：后续课程：大纲执笔人： 参加人：审核人：编写时间：年月编写依据：专业人才培养方案（）年版（宋体五号，无缩进，段前段后0行，行距20） 一、本课程的类型、性质和任务（宋体四号加粗，无缩进，单倍行距，段前段后0.5行，下标题同） 示例： 认知心理学是应用心理学本科专业开设的一门专业必修课， 它是一门新兴学科，起始于上世纪50年代中期。狭义的认知心理学，也就是所谓的信息加工心理学，它是指用信息加工的观点和术语，通过与计算机相类比，模拟、验证等方法来研究人的认知过程。认知心理学以其崭新的理论和丰富的试验成果改变了心理学的整个 面貌，并给心理学的各个分支以巨大的影响。 认知心理学是在普通心理学的基础上开设的专业性很强的深化 课程，主要探讨信息加工的机制和知识的表征方式。模式识别、选择性注意、记忆、思维和言语等高级心理活动是其主要研究内容。
（宋体四号，首行缩进2字符，段前段后0行，单倍行距）二、本课程教学在专业人才培养中的地位和作用 示例： 认知心理学是应用心理专业一门重要的专业课，目前心理学的多数分支都受到认知心理学的影响，被称为心理学“认知化”的倾向。该课程的学习将有助于学生形成良好的研究素养、培养实验设计能力，加深对人类心理过程的认识。因此学好该门课程，打下扎实的理论基础将对学生学习后继课程、将来从事心理学专业工作产生很大帮助。 （宋体四号，首行缩进2字符，段前段后0行，单倍行距）二、本课程教学所要达到的基本目标 示例： 认知心理学既是一门专业课，也是一门方法论课程。通过本课程的学习，一方面使学生系统掌握认知心理学的基本概念和基本理论，特别是要学生掌握信息加工的内部机制和知识的表征方式。另一方面使学生掌握认知心理学的基本研究范式，学会认知心理学的几种主要的实验设计。 （宋体四号，首行缩进2字符，段前段后0行，单倍行距）三、本课程与其他课程的联系与分工 示例：
实变函数论课后答案第三版
1. 证明：()B A A B -=U 的充要条件是A B ?. 证明：若()B A A B -=U ，则()A B A A B ?-?U ，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?U U ，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-U ，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-U .总有()x B A A ∈-U .故 ()B B A A ?-U ，从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I . 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?I . 另一方面，c x A B ?∈I ，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-I . 综合上两个包含式得c A B A B -=I . 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I . 证：若x A λλ∈∧ ∈I ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧） 成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈I ，这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I . 定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U . 证：若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ，则有'λ∈∧，使 ' ' ()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U . 反过来，若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U . 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ，则有'λ∈∧使' ' ' ()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U . 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U .
实验心理学[第一章绪论]山东大学期末考试知识点复习
第一章绪论 第一节心理学的科学性 一、什么是科学? 科学就是通过客观的观察和严密的论证来获取知识。 科学研究是人们获得正确知识的一个重要来源。科学具有客观性和严密性。所谓客观性，就是科学只承认和研究客观存在的事物；所谓严密性，就是科学家采用严密的思想方法和研究方法。 二、科学的五大前提假设 (一)世界是真实的 对于大多数科学家来说，人们面临的世界是客观存在的、不以人们的意志而转移的。 (二)世界是有规律的 物质的运动是有规律的。只要条件满足，就会出现过去出现过的事件。 (三)世界是有因果关系的 科学家认为，任何事物的发生都有其原因，而不是毫无理由地独自产生的。 (四)世界是可以认识的 任何一个科学家都会在不同程度上承认：世界是可知的。 (五)世界是可以用理性加以理解的 推理一逻辑思维是理解一切事物和解决一切问题的基础。对科学家来说，世界上任何事物都可以通过推理加以解释，任何问题都可以通过推理而得到解决。 三、心理学是不是科学 学科的科学性是一个连续体，在学科发展的同时，其科学性也在发展。
在冯特时代，心理学研究的主要方法是所谓的“内省”，它直接违反了科学研究的客观性原则。行为主义认为，只有那些可以观察到的行为才是心理学研究的对象。当代认知心理学则是一个典型的研究从被试身上直接观测到的客观事实、寻找其中因果关系的学术流派。而与之同时代的人本主义心理学则重视意识、情感、价值等行为主义心理学比较忽视的内容，它不甚强调客观观察(事实上也很难做到这一点)。另外，心理学的不少分支(例如教育心理学、社会心理学和管理心理学等)比较偏重高级统计分析，而这些方法并不一定能直接得出因果关系，对分析结果的解释也可以各不相同，这也降低了它们的科学性。综合考虑心理学上述方面的情况，可以得出这样一个结论：心理学既不是一门纯粹的科学，也不是毫无科学性，它的科学性介于全和无之间，并向比较纯粹、完全的科学性发展。 第二节科学与实验 一、科学家的工作 科学家的主要工作就是发现和理解世界上存在着的因果关系，从而帮助人们理解这个世界。探索因果关系的工作可以分两个方面：发现规则和建构理论。 (一)发现规则 规则是指人们常说的规律、定理和定律等，它说明事物之间的必然联系。 发现规则要分两步走：描述事物、发现事物之间的联系。 (二)建构理论 理论的任务是解释事物之间的联系。理论往往是一系列论断，用以解释一个或多个规则。为了作出解释，它往往包括一些规则中没有直接包含的概念。二、实验 实验就是精密地控制各种因素，排除无关因素对观察结果的干扰，探究有关因素之间相互联系的过程。