2.1.2 指数函数及其性质
教学目标
1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.
2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点
教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.
教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排 3课时
教学过程
第1课时 指数函数及其性质(1)
导入新课
思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的
4
3,写出存留污垢y 与漂洗次数x 的关系式,它是
函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的64
1,则至少要漂洗几次？教师
引导学生分析,列出关系式y=(
4
1
)x
,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位
置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.
思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2
,1641,2732
,492
1
.再提问怎样
画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, 4
1,2,9,
7
1,先建立平面直角坐标系,再
描点,最后连线.点出本节课题.
思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t 和碳14含量P 的对应关系P=［(
2
1)57301
］t ,如果我
们用x 表示时间,y 表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［(
2
1)57301
］x ,这是我们习惯上
的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题. 推进新课
新知探究 提出问题
1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经
过x 年后的剩留量y 与x 的关系式是_________.(y=0.84x
)
2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的关系式是_________.(y=2x ) 提出问题
(1)你能说出函数y=0.84x 与函数y=2x 的共同特征吗?
(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? (3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?
(4)为什么指数函数的定义域是实数集?
(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤. 活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.
问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值. 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.
问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.
问题(4)在(3)的规定下,我们可以把a x 看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.
问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.
讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x 都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x 和y .
(2)对于两个解析式y=0.84x
和y=2x
,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示,这样我们得到指数函数的定义:
一般地,函数y=a x (a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x 叫自变量,函数的定义域是实数集R. (3)a=0时,x>0时,a x 总为0;x≤0时,a x 没有意义. a<0时,如a=-2,x=
2
1,a x =(-2)21
=2-显然是没有意义的.
a=1时,a x
恒等于1,没有研究的必要.
因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.
(4)因为a>0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.
(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 提出问题
(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤. (3)利用上面的步骤,作函数y=2x 的图象. (4)利用上面的步骤,作函数y=(
2
1
)x 的图象.
(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特
点?
(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?
(7)把y=2x
和y=(2
1)x 的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?
(8)你能证明上述结论吗? (9)能否用y=2x 的图象画y=(
2
1
)x 的图象?请说明画法的理由.
活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,
强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.
讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质. (2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.
图2-1-2-1
(4)列表.
图2-1-2-2
(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x 轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y 值分布有以下特点,x<0时0
通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x 轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0 可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x ,y=6x ,y=(31 )x ,y=(6 1)x .重新观察函数图象的特点,推 广到一般的情形. （6）一般地,指数函数y=a x 在a>1和0 a ＞1 0＜a ＜1 （7）在同一坐标系中作出y=2x 和y=(2 1)x 两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现, 它们的图象关于y 轴对称. 图2-1-2-3 (8)证明:设点p(x 1,y 1)是y=2x 上的任意一点,它关于y 轴的对称点是p 1(-x 1,y 1),它满足方程y=( 2 1 )x =2-x ,即点p 1(-x 1,y 1)在y=( 2 1)x 的图象上,反之亦然,所以y=2x 和y=( 2 1)x 两个函数的图 象关于y 轴对称. (9)因为y=2x 和y=( 2 1 )x 两个函数的图象关于y 轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利 用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学 习非常有好处. 应用示例 思路1 例1判断下列函数是否是一个指数函数？ y=x 2,y=8x ,y=2·4x ,y=(2a-1)x (a> 2 1 ,a≠1),y=(-4)x ,y=πx ,y=6x 3 +2. 活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为 y=x 2,y=2·4x ,y=6x 3+2都不符合y=a x 的形式,教师强调y=a x 的形式的重要性,即a 前面的系数为 1,a 是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式. 解：y=8x ,y=(2a-1)x (a>2 1,a≠1),y=(-4)x ,y=πx 是指数函数;y=x 2,y=2·4x ,y=6x 3 +2不是指数函数. 变式训练 函数y=23x ,y=a x +k,y=a -x ,y=(a 2)-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些? 答案：y=23x =(23)x ,y=a -x =( a 1 )x ,y=(a 2 )-2 x=［( a 2 )-2］x 是指数函数. 例2比较下列各题中的两个值的大小: （1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1. 活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价. 解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x 的图象,如图2-1-2-4. 图2-1-2-4 在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法二：用计算器直接计算：1.72.5 ≈3.77,1.73 ≈4.91, 所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三：利用函数单调性, ①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x ,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x 在R 上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73； ②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x ,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x 在R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2； ③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1 . 点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值. 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用? 活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现. 变式训练 1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8 ,按大小顺序排列a,b,c. 答案：b 2.比较a 31 与a 21 的大小（a ＞0且a≠0）. 答案：分a ＞1和0 >a 21 ;当a>1时,a 31 . 例3求下列函数的定义域和值域: (1)y=241 -x ;(2)y=( 3 2) | |x -;(3)y=10 1 1 2-+x x . 活动：学生先思考,再回答,由于指数函数y=a x ,(a ＞0且a≠1)的定义域是R,所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有意义即可,转化为解不等式. 解：(1)令x-4≠0,则x≠4,所以函数y=24 1 -x 的定义域是｛x ∈R ∣x≠4｝, 又因为 4 1-x ≠0,所以241 -x ≠1,即函数y=241 -x 的值域是｛y|y>0且y ≠1｝. (2)因为-|x|≥0,所以只有x=0. 因此函数y=(3 2)| |x -的定义域是｛x ∣x=0｝. 而y=(3 2 ) | |x -=( 3 2)0=1,即函数y=(3 2) | |x -的值域是｛y ∣y=1｝. (3)令 12+x x ≥0,得1 2+x x ≥0, 即1 1+-x x ≥0,解得x<-1或x≥1, 因此函数y=101 1 2-+x x 的定义域是｛x ∣x<-1或x≥1｝. 由于 1 2+x x -1≥0,且 1 2+x x ≠2,所以 11 2-+x x ≥0且 11 2-+x x ≠1. 故函数y=10 1 1 2-+x x 的值域是｛y ∣y≥1,y≠10｝. 点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0. 变式训练 求下列函数的定义域和值域: (1)y=( 2 1) 2 2x x -;(2)y=9 13 1 2- -x ;(3)y=a x -1(a>0,a≠1). 答案：(1)函数y=( 2 1)2 2x x -的定义域是R ,值域是［ 2 1,+∞）;(2)函数y=9 13 1 2- -x 的定义域 是［2 1 - ,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0 值域是［0,+∞）. 思路2 例1一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量是原来的一半？（结果保留一个有效数字） 活动：师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学生回答,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过1年,2年,3年…,的剩留量,归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5的点,作纵轴的垂线交图象于一点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数. 解：设最初的质量为1,时间用变量x 表示,剩留量用y 表示,则经过1年,y=1×84%=0.841；经过2年,y=1×0.84×0.84=0.842;……这样,可归纳出,经过x 年,y=0.84x ,x ∈N *. 图2-1-2-5 答：约经过4年,剩留量是原来的一半. 点评：实际问题中要注意自变量的取值范围. 例2比较下列两个数的大小: (1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4)( 3 1) 3 2- ,2 5 3- . 活动：教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生. 解法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较: 对(1)因为30.8=2.408225,30.7=2.157669,所以30.8>30.7; 对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1; 对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6; 对(4)因为( 3 1) 3 2- =2.080084,2 5 3- =0.659754,所以( 3 1) 3 2- >2 5 3- . 解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较: 对(1)因为函数y=3x 在R 上是增函数,0.8＞0.7,所以30.8>30.7; 对(2)因为函数y=0.75x 在R 上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1; 对(3)由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6; 对(4)由指数函数的性质知( 3 1) 3 2- >( 3 1)0=1=20 >2 5 3- ,所以( 3 1) 3 2- >2 5 3- . 解法三:利用图象法来解,具体解法略. 点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“中间量法”. 变式训练 比较 1 -n n a 与n n a 1 +(a>0,a≠1,n ∈N *,n>2)的大小关系. 解：因为1 -n n a =a 1-n n , n n a 1 +=a 1+n n ,而n ∈N * ，n>2, 所以 n n n n 11 +--= ) 1(1 -n n >0,即 n n n n 11 +>-. 因此：当a>1时a 1-n n >a 1+n n ，即1 -n n a >n n a 1 +；当0 ,即 1 -n n a 1 +. 知能训练 课本P 58练习 1、2. 【补充练习】 1.下列关系中正确的是( ) A.(21 )32<(51)12<(21)31 B.(21)31<(2 1)32<(51 )32 C.(5 1)32 <( 2 1)31 <( 2 1)32 D.( 5 1)32 <( 2 1)32 <( 2 1)31 答案：D 2.函数y=a x (a>0,a≠1)对任意的实数x,y 都有( ) A.f(xy)=f(x)·f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案：C 3.函数y=a x +5+1(a>0,a≠1)恒过定点________. 答案：（-5,2） 拓展提升 探究一： 在同一坐标系中作出函数y=2x ,y=3x ,y=10x 的图象,比较这三个函数增长的快慢. 活动：学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数x x x 的图象,如图2-1-2-6. 图2-1-2-6 从表格或图象可以看出: (1)x<0时,有2x>3x>10x; (2)x>0时,有2x<3x<10x; (3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1 024,而函数y=3x的值从1增加到59 049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快. 因此得：一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有a x (2)x=0时,有a x=b x=1; (3)x>0时,有a x>b x>1; (4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快. 探究二： 分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=a x(0 图2-1-2-7 由此得：一般地,0 课堂小结 1.指数函数的定义. 2.指数函数的图象和性质. 3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法. 4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法. 作业 课本P59习题2.1A组5、6、8、10. 设计感想 本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于 0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务. .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质 教学目标 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念 （1）规定底数大于零且不等于1的理由： 如果=0， 如果等等时，在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量，对它就没有研究的必要 （2）形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数 （二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像 幂函数与指数函数得区别 1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0； 当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。 ? 幂函数得性质: 根据图象，幂函数性质归纳如下： （１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1); （2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。 指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。 思考讨论: (１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。 指数函数及其性质 【教学目标】 1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学 生观察问题，分析问题的能力。 3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。 【教学重难点】 重点：指数函数的概念和性质及其应用。 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 【学法与教具】 1．学法：观察法、讲授法及讨论法。 2．教具：多媒体。 【教学过程】 【第一课时】 一、情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征。 ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数， 即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。 二、讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R 。 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤?? x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如 1(2),,8 x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。 若a =1，11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合 ( 1)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数。 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象。 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 性质 （第一课时） 教学设计 教学设计 一、教材分析 指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数，是在初中学习了一次函数、二次函数、正（反）比例函数以后对函数学习的推进和加深，是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的第一个实例，指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。 二、学情分析 学生已有了对函数的概念及性质的认识，能够从理性的层面来理解指数函数，学生理解的难点是底数a对函数图像及性质的影响，应用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。 三、教学目标 1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像、性质及简单应用。 2、过程与方法：借助于几何画板画出具体指数函数，通过自主探索， 培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法。 3、情感态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探究问题。 四、教学重、难点 重点：指数函数的概念、图像及其性质，底数a对函数的影响。 难点：指数函数的图像及性质，底数a对函数的影响。 五、教学学法 教法：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。 学法：从学生原有的函数概念、性质等知识出发，组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。 六、教学过程 （一）创设情境 有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪5000；其二：工作一年，第一个月工资20元，以后每个月的工资是上个月的2倍，如果你是老板，你会如何选择呢？ 设计意图：从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入，激发学生的兴趣。 《指数函数》教学设计 连江二中柳殷 一、概述 ·本节课是高中新教材必修1模块； ·本篇课文所需课时为2课时，90分钟，本节课是第一课时； ·本节课是在学习了第一章函数的概念和性质之后，通过对《指数》三个课时的学习后安排的。也为下面的《对数》学习做准备。 ·这节课的价值在于理解指数函数的概念和意义，理解和掌握指数函数的性质。对今后进一步学习其它基本初等函数有重要意义。 二、教学目标分析 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．过程与方法 ①展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. ②在对不断引申的问题的思考、回答过程中,掌握联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力，并培养自身思维的深刻性、创造性、科学性和批判性； ③激发起学习数学的兴趣，在民主、开放的课堂氛围中；提高分析、解决问题的能力. 三、学习者特征分析 1、学生是福建连江第二中学高一年级学生，我所任教班级的学生是高一的一个差班； 2、学生已经基本掌握了函数的概念和性质，并对《指数》只是有较好的认识； 3、学生对生活中隐含数学问题的事件兴趣比较浓厚，对多媒体教学比较兴趣； 4、学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强。个别学生思维比 较敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解。 四、教学策略选择与设计 本节课教学重点：指数函数的概念和性质及其应用。 教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 先行组织者策略：通过情景设置的问题探究提示出指数函数的概念。 学法设计：教师讲授，学生探究，合作交流，组织学生对指数函数的图像和性质的学习。 教学方法上采用启发式教学，在课堂教学中坚持双主教学,注意思维训练和能力培养。 采用多媒体辅助教学，激发兴趣，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。 (一)指数函数的定义 一般地，函数y =a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8 指数函数及其性质教案 一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景： 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。 问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课： 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以0 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3 解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1． 例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性． ∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴． (2)，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B). 变式训练： 1、下列函数是幂函数的是（） A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y= 2、下列说法正确的是（） A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数 C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数 3、下列函数中，定义域为R的是（） A．y=B．y=C．y=D．y=x－1 4、函数的图象是（） A．B．C．D． 5、下列函数中，不是偶函数的是（） A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（） A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 （2）对数的重要公式： 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 指数函数及其性质 一 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 练1：指出下列函数那些是指数函数： ()x x x x x y y y y x y y ?? ? ??==-=-===-ππ1)6()5(4)4(4)3()2(4)1(4 练2：若函数是指数函数，则a=------ 2．指数函数的图像及性质 在同一平面直角坐标系内画出指数函数x y2 =与 x y? ? ? ? ? = 2 1 的图象（画图步骤： 列表、描点、连线）。由学生自己画出x y3 =与 x y? ? ? ? ? = 3 1 的函数图象 然后，通过两组图象教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。 特别地，函数值的分布情况如下： （四）巩固与练习 例1：比较下列各题中两值的大小 汇贤公学TM·精品讲义 姓名： 年级： 科目： 教师： 日期： 幂函数 教学目标 1.掌握幂函数的概念； 2.掌握幂函数的性质和图像； 3.通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像； 4.熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想. 导入 函数的生活实例： 问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w 千克，那么她需要付的钱数p w =元，这里p 是w 的函数 问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积是2 S a =，这里S 是a 的函数； 问题3：如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积是3 V a =，这里V 是a 的函数； 问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长12 a S =，这里a 是S 的函数； 问题5：如果某人t 秒内骑车行进了1千米，那么他骑车的平均速度1 /v t km s -=，这里v 是t 的函数. 若将它们的自变量全部用x 来表示，函数值用y 来表示，则它们的函数关系式将是： （1）y x =；（2）2 y x =；（3）3 y x =；（4）1 2 y x =；（5）1 y x -=. 这些关系式的共同特征是：都是以自变量x 为底数，指数为常数，自变量x 前的系数为1，只有一项。 由此，引入幂函数的定义. 知识梳理 1.幂函数的定义：一般地，形如k y x =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，k 是常数； 2.幂函数的定义域： 若( )* N n n k ∈=，其定义域是一切实数；例如：3 x y =、2 x y =. 若( ) 互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈=，则m n m n x x =，其定义域满足：奇次方根被开方数为实数，偶次方根被开方数为非负数；例如：3 2 3 2x x y = =、434 3x x y ==. 若( )* N n n k ∈-=，则n n x x 1= -；例如：5-=x y 、6 -=x y 若() 互质、、n m m N m n m n k ,2,*≥∈-=，则m n m n x x 1=-；例如：3232 1x x y ==-、 2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）教学目标：1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的性质 3、应用指数函数的单调性比较幂的大小 教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：底数a对函数值变化的影响 教学方法：学导式 （一）复习：（提问） 引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是：2x y=． 这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0 且不等于1的常量。 （二）新课讲解： 1．指数函数定义： 一般地，函数x y a =（0 a>且1 a≠）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R． 练习：判断下列函数是否为指数函数。 ①2 y x =②8x y=③(21)x y a =-（ 1 2 a>且1 a≠）④(4)x y=- ⑤x yπ =⑥1 22 5+ =x y⑦x y x =⑧10x y=-． 2.指数函数x y a =（0 a>且1 a≠）的图象： 例1．画2x y=的图象（图（1））． 解：列出,x y的对应表，用描点法画出图象 x…-3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 … 2x y=…0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 … 例2．画 1 () 2 x y=的图象（图（1））． x…-3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 … 1 () 2 x y=…8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 … 指出函数2x y=与() 2 x y=图象间的关系？ 说明：一般地，函数() y f x =与() y f x =-的图象关于y轴对称。 3．指数函数x y a =在底数1 a>及01 a <<这两种情况下的图象和性质： 图（1） 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>? ?≤??x x 时，a 恒等于，时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠? 且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=．(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc
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