北京市高考文科数学试卷逐题解析
数 学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷的答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题
1. 已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或2}x >，则U C A = A. ()2,2- B. ()(),22,-∞-+∞U
C. []2,2-
D. (][),22,-∞-+∞U
【答案】C
【解析】{|2A x x =<-Q 或}()()2=,22,x >-∞+∞U ，
[]2,2U C A ∴=-，故选C .
2. 若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A. (),1-∞ B. (),1-∞-
C. ()1,+∞
D. ()1,+-∞
【答案】B
【解析】(1)()1(1)i a i a a i -+=++-Q 在第二象限.
10
10a a +?
得1a <-.故选B .
3. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A. 2
B. 32
C. 53 D .85
【答案】C
【解析】0,1k S ==. 3k <成立，1k =，2
S =21
=.
3k <成立，2k =，2+13S =22
=. 3k <成立，3k =，3
+152S =332
=. 3k <不成立，输出5S 3
=.故选C .
4.若,x y 满足32x x y y x ≤??
+≥??≤?
，则2x y +的最大值为
A. 1
B. 3
C. 5
D. 9
【答案】D
【解析】设2z x y =+，则122
z y x =-+，当该直线过()3,3时，z 最
大. ∴当3,3x y ==时，z 取得最大值9，故选D .
5.已知函数1()3()3
x
x
f x =-，则()f x
A. 是偶函数，且在R 上是增函数
B. 是奇函数，且在R 上是增函数
C. 是偶函数，且在R 上是减函数
D. 是奇函数，且在R 上是减函数 【答案】B
【解析】11()3()()3()33x
x x x f x f x ---=-=-=- 且定义域为R .
()f x ∴为奇函数. 3x
y =Q 在R 上单调递增，
1()3
x
y =在R 上单调递减1
()3
x y ∴=-在R 上单调递增.
1
()3()3
x x f x ∴=-在R 上单调递增，故选B .
6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A. 60
B. 30
C. 20
D. 10
【答案】D
【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：S ABC
-11
3541032
S ABC V -∴=????=，故选D .
7.设,m n u r r 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=u r r
”是“0m n ?
”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】Q 存在负数λ，使得m n λ=u r r ，且,m n u r r
为非零向量. ∴m u r 与n r 方向相反. ∴||||cos ||||0m n m n m n π?=??=-?
∴“存在负数λ，使得m n λ=u r r ”是“0m n ?
”的充分条件. 若0m n ?
，则cos 0θ<. ∴(,]2
π
θπ∈，∴m u r 与n r
不一定反向.
∴不一定存在负数λ，使m n λ=u r r
.故选A
8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测
宇宙中普通物质的原子总数N 约为80
10.则下列各数中与M
N
最接近的
是
（参考数据：lg30.48≈） A. 3310 B. 5310
C. 7310
D. 9310
【答案】D
【解析】3613M ≈，8010N ≈，361
803
10
M N ≈，两边取对数
36136180803lg lg lg3lg10361lg3809310M N ≈=-=?-≈ 9310M
N
∴≈ 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边
关于y 轴对称.若1sin 3
α=，则sin β=
.
【答案】13
【解析】根据题意得2,k k Z αβππ+=+∈
所以1
sin sin 3
βα==
10.若双曲线2
2
1y x m
-=
，则实数m =
.
【答案】2
【解析】根据题意得221,a b m ==
且222a b c c e a
?+=??==??，解得2m =
11.已知0,0x y ≥≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是 .
【答案】1,12??
????
【解析】0,0,1x y x y ≥≥+=Q
[]0,1x ∴∈
2
2222211(1)221222x y x x x x x ?
?∴+=+-=-+=-+ ??
?
∴当12x =
时，22
x y +取得最小值为12
当0x =或1x =时，22x y +取得最大值为1
∴22x y +的取值范围为1,12??
????
12.已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为()2,0-，O 为原点，则
AO AP ?u u u r u u u r
的最大值为_______.
【答案】 6
【解析】Q 点P 在圆221x y +=上
设点P 坐标()00,x y ，满足22001x y +=
()2,0AO =u u u r ，()002,AP x y =+u u u r ，()002224AO AP x x ?=+=+u u u r u u u r
011x -≤≤Q ，26AO AP ≤?≤u u u r u u u r
AO AP ∴?u u u r u u u r
的最大值为6
13.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_______. 【答案】 1,2,3---
【解析】取,,a b c 分别为1,2,3---不满足a b c +>，故此命题为假命题 （此题答案不唯一）
14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ( i ) 男学生人数多于女学生人数； (ii ) 女学生人数多于教师人数； (iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.
① 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_______； ② 该小组人数的最小值为_______. 【答案】 6,12
【解析】 ①若教师人数为4人，则男生人数小于8人，则男生人数最
多为7人，女生最多为6人。
②若教师人数为1人，则男生人数少于2人，与已知矛盾 若教师人数为2人，则男生人数少于4人，与已知矛盾 若教师人数为3人，则男生人数少于6人，则男生为5 人，女生4人。
所以小组人数最小值为34512++=人
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题13分）
已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，
245b b a =.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++L .
【解析】（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q .
则243210a a a +==，即35a =. 故312514a a d -==-=，即2d =.
()*1212(1)n n N a n n ∴=+-=∈-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知59a =，即249b b =，则24
19b q =，23q =.
{}n b Q 为公比为q 的等比数列.
13521,,n b b b b -∴,,L 构成首项为1，公比为23q =的等比数列. ()135211133113
2
n n n b b b b -?--∴++++=
=
-L *()
n N ∈.
16.（本小题13分）
已知函数(
)22sin cos 3f x x x x π?
?=-- ???
. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当,44x ππ??∈-????时，()1
2
f x ≥-. 【解析】（Ⅰ）
(
)22sin cos 31cos 2sin 2sin 221
2sin 22
sin 23f x x x x
x x x
x x x ππ?
?=-- ??
?=?+-?=
+?
?=+ ?
??
所以最小正周期222
T π
π
πω
==
=. （Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知()sin 23f x x π??
=+ ??
?
.
,4452,366x x πππππ??∈-??
??
??∴+∈-??
??
Q
当23
6
x ππ+=-，即4
x π
=-时，()f x 取得最小值12
-.
()1
2
f x ∴≥-得证.
17．（本小题13分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，…，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：
（I ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （II ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数；
（III ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于
70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
【解析】
（I ）由频率分布直方图得： 分数大于等于70的频率为分数在[)70,80和[]80,90的频率之和， 即0.40.20.6+=，由频率估计概率
∴分数小于70的概率为10.60.4-=
（II ）设样本中分数在区间[)40,50内的人数为x ，则由频率和为1得
50.10.20.40.21100100
x +++++= 解之得5x =
∴总体中分数在区间[)40,50内的人数为5
40020100
?
=（人） （III ）设样本中男生人数为a ，女生人数为b Q 样本中分数不小于70的人数共有()0.40.210060+?=（人） ∴分数不小于70的人中男生，女生各占30人 ∴样本中男生人数为303060a =+=（人）
女生人数为1006040b =-=（人）
∴总体中男生和女生的比例为32
a b
=
18．（本小题14分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，
2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.
（I ）求证：PA BD ⊥；
（II ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（III ）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积. 【解析】
（I ）PA AB ⊥Q ，PA BC ⊥，AB BC B =I 又AB ?平面ABC ，BC ?平面ABC PA ∴⊥平面ABC
又BD ?平面ABC
PA BD ∴⊥
（II ）在ABC ?中，D 为AC 中点 又AB BC =
BD AC ∴⊥
由（I ）知PA BD ⊥，而AC PA A =I ，PA ，AC ?平面PAC
BD ∴⊥平面PAC
又BD ⊥Q 平面PAC 且BD ?平面BDE
∴平面BDE ⊥平面PAC
（III ）由题知//PA 平面BDE PA ?Q 平面PAC ，平面PAC I 平面BDE DE = //PA DE ∴
PA ⊥Q 平面ABC DE ∴⊥平面ABC
又D Q 为AC 中点 E ∴为PC 中点
1
1
2DE PA ∴==，AC ==
在ABC ?中，12
DC AC == BC BA =Q 且90ABC ∠=o
45ACB ∴∠=o
DB DC ∴== 1
12BCD
S DB DC ?∴=??= 11
33
E BCD BCD
V S DE -?∴=??=
20．（本小题13分）
已知函数()cos x f x e x x =-．
（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （II ）求函数()f x 在区间0,2π??
????
上的最大值和最小值. 【解析】
（I ）()cos x f x e x x =- '()cos sin 1x x f x e x e x =-- ∴ 00'(0)cos 0sin 010f e e =--=
又Q 0(0)cos 00=1f e =-
∴()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =
（II ）令()'()cos sin 1x
x
g x f x e x e x ==--， 0,2x π??∈????
'()cos sin (cos sin )2sin x
x
x
x
x
g x e x e x e x e x e x =--+=-
Q 0,2x π??
∈????
∴sin 0x ≥
而0x e >
∴'()0g x ≤
∴()g x 在区间0,2π??
????
上单调递减
∴()(0)0g x g ≤= ∴'()0f x ≤
∴()f x 在区间0,2π??
????
上单调递减
∴当2
x π
=
时，()f x 有最小值2()cos 2
2
2
2
f e π
π
ππ
π
=-
=-
当0x =时，()f x 有最大值0(0)cos 001f e =-=
19．（本小题14分）
已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x 轴上，
离心率为
2
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点
M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：BDE ?与BDN ?的面积之比为4:5.
【解析】（Ⅰ）Q 焦点在x 轴上且顶点为()2,0±
2a ∴=
c e a =
=Q
c ∴=222a b c =+Q 2221b a c ∴=-=
∴椭圆的方程为：2
214
x y +=
（Ⅱ）设()0,0D x 且022x -<<，0M y y =，则
()()0000,,M x y N x y -，
02
AM y k x ∴=
+ AM DE ⊥Q 1AM DE k k ∴?=-
2DE x k y +∴=-
∴直线DE :0
00
2()x y x x y +=-
- 0
02
BN y k x =-
-Q ∴直线BN :()0
022
y y x x =-
-- 由000002
2
002()(2)214
x y x x y y y x x x y +?=--???=--?
-???+=? 得
000
04
24,5
551
||
21
2
1
212445
5
BDE E BDN N
E
BDE BDN N
E x y S BD y S BD y BD y S S BD y
y y ??????+- ?
??=?=??∴=
?-==-Q ∴得证