第1课时 24.1.1 圆
一、新知导学
1.圆的定义:把线段op 的一个端点O ，使线段OP 绕着点O 在 旋转 ，
另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做 ，线段OP 叫做 .以O 为圆心 的圆记作 .
2.圆的集合定义：圆是到 的点的集合. 3、从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于____ __；
②到定点的距离等于定长的点都在____ _.
4、圆的表示方法：以O 点为圆心的圆记作______，读作______.
5、要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____确定圆的位置，
______确定圆的大小.
6；如图1，弦有线段 ，直径是 ，
最长的弦是 ，优弧有 ；劣弧有
。
二、合作探究
1．判断下列说法是否正确，为什么？
（1）直径是弦.（ ） （2）弦是直径
.（ ） （3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )
(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( )
2．⊙O 的半径为2㎝，弦AB 所对的劣弧为圆周长的
6
1
，则∠AOB ＝ ，AB ＝
3．已知：如图2，OA
OB 、为O 的半径，C D 、分别为OA OB 、的中点，
求证：（1）;A B ∠=∠ (2)AE BE =
4.对角线互相垂直的四边形的各边的中点是否在同一个圆上？并说明理由.
三、自我检测
1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆.
2.正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上.
3.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是
4．下列说法正确的有（ ）
①半径相等的两个圆是等圆； ②半径相等的两个半圆是等弧；
③过圆心的线段是直径； ④ 分别在两个等圆上的两条弧是等弧. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如图3，点A O D 、、以及点B O C 、、分别在一条直线上，则圆中有 条弦. 6、下列说法正确的是 （填序号）
①直径是弦 ②弦是直径 ③半径是弦 ④半圆是弧，但弧不一定是半圆 ⑤半径相等的两个半圆是等弧 ⑥长度相等的两条弧是等弧 ⑦等弧的长度相等 7.圆O 的半径为3 cm ，则圆O 中最长的弦长为
8.如图4，在ABC ?中，90,40,ACB A ∠=?∠=?以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求
ACD ∠的度数.
9、已知：如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．
（图1）
（图2） （图4） （图3） （图5）
第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径
一、新知导学
1．阅读教材p80有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？
2. 阅读教材p80“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？ 归纳：圆是__ __对称图形， ____________ ________都是它的对称轴；
3. 阅读教材p80“思考”内容，自己动手操作： 按下面的步骤做一做：（如图1）
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，作⊙O 的一条弦AB ； 第二步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂足为E ； 第三步，将⊙O 沿着直径折叠. 你发现了什么？
归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .
（2）相等的线段有 ，相等的弧有 .
二、合作探究
活动1：（1）如图2，怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论. 叠合法证明：
(2)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧.
定理的几何语言：如图2 CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥
____________,____________,_____________∴
推论：___________________________________________________________________________． 活动2 ：垂径定理的应用
垂径定理的实际应用怎样求p80赵州桥主桥拱半径？
解：如图
3
小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
(2)如图4，根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦心距”构成
直角三角形，则r d a 、、
的关系为 ，知道其中任意两个量，可求出第三个量.
三、自我检测
1.圆的半径为5
cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则
_____AB cm =．
2.如图5，AB 是⊙O 的直径， CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立的是（ ）
A.COE DOE ∠=∠
B.CE DE =
C.OE BE =
D.弧BD=弧BC
3. 如图6，CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，DE =8cm ，CE =2cm ，则AB =______cm ．
4、已知：如图7，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE =1，AE =5，∠AEC =30°，求CD 的长．
5.如图8，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，如果20,16AB CD ==,那么线段OE 的长
为（ ）圆心O 到弦的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 . A. 10 B. 8 C. 6 D.4
6.如图9，在⊙O 中，若AB MN ⊥于点C ， AB 为直径,试填写出三个你认为正确的结论：
， ， .
7. P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为______；?最长弦长为______． 8. 如图10，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA =6，PB =2，⊙O 的半径为5，则OP =______．
9、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ，水深GF=2cm.若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？
（图1）
（4） （图2）
R B
A
O （图3）
（图5）
（图6） （图7）
（图8）
（图9）
A
（图10）
D
第3课时24.1.3 弧、弦、圆心角
教学目标：
1、结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。
2.发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。教学过程：
一．预习检测：
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．
二.合作探究：
1、如图所示的⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你
能发现哪些等量关系？为什么？
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的_____相等，所对的
相等．
2、?在⊙O和⊙O′中，?分别作相等的圆心角∠AOB和
∠
A
′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O
固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与
O
′A′重合．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？
因此，我们可以得到下面的定理：____________________________________________
_____________________________________。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___ _，?所对的弦也__ _ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角__ __，?所对的弧也__ _
探究：1、课本P83，例1.
2、如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？?为什么？∠AOB与∠COD呢？
三.达标测评
1．如果两个圆心角相等，那么（）
A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）
A．=2B．>C．<2D．不能确定．
3.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
4．如图4，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
5．如图，⊙O中，如果=2，那么（）．
A．AC
AB2
=B．AC
AB=C．AC
AB2
AB2 > 图4 5题图 6. 已知：如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和 C、D。求证：∠OBA=∠OCD。 7、已知：O是∠EPF的平分线上所在直线上一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边所在直线分别交于A、B和C、D（1）求证：AB=CD；（2）当P点在⊙O上时，上述结论成立吗？为什么？（3）当P点在⊙O内时，上述结论成立吗？为什么？ B' B ' A ' 四、课外作业： 一、填空题 1．如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且弧AD=弧BC，?那么与∠AOE?相等的角有_____， 与∠AOC相等的角有_________． 2．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________． 3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____． 4．如图，AB为圆O的直径，弧BD=弧BC，∠A=25°，则∠BOD=______． 5．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM，?AB=6，则CD=_______． 6．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），?则该圆弧所 在圆的圆心坐标为_________． 7．如图所示，已知C为弧AB的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA=r，ON=?a，?则CD=_______． 二、选择题 8．如果两条弦相等，那么（） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对 9．如图4，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是（） A．AC=BC B．弧AN=弧BN C．弧AM=弧BM D．OC=CN 10．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（） A． B． ．24 D．16 11．如图5，在半径为2cm的圆O内有长为 的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（?） A．60° B．90° C．120° D．150° 12．如图6，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立 ．．．．．的是（ ?） A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．弧BD=弧BC 13．如图7所示，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC?的三边所得的弦长相等，?则∠BOC=（） A．140° B．135° C．130° D．125° 图 三、解答题： 14．如图，在⊙O中，AB、CD是弦，点E、F是AB、CD 的中点，并且＝， （1）求证：∠AEF＝∠CFE；（2）若∠EOF＝120°，OE＝4cm，求：EF的长． 15．如图7－44，AB是⊙O的直径，弦CD和AB相交于P，且∠APC＝45°，OQ是弦CD的弦心距，（1） 求证：PC－PD＝2OQ；（2）若⊙O的半径为5cm，求2 2PD PC 的值． A 第4课时 圆周角（1） 一、 新知导学 1． 圆周角的定义 顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角. 2.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于该弧所对的圆心角的 . 二、合作探究 1.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长. 2.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长. 【自我检测】 一、选择题: 1.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 2.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110° 3.如图1,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200° 4.如图2,A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 5.如图3,D 是弧AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( )A.4个 B.3个C.2个 D.1个 6.如图4,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40° 7.如图⊙O 中弧AB 的度数为60°，AC 是⊙O 的直径，那么∠BOC 等于 ( ) A ．150° B ．130° C ．120° D ．60° 二、填空题: 8.如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是弧AC 上任一点(不与A 、C 重合), 则∠ADC 的度数是________. 9.如图,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中 有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形. 10.已知,如图,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度. 11.如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. 12.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 三、解答题: 13.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD. (1)P 是弧CAD 上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论. 14.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻.当甲带球部到A 点时,乙随后冲到B 点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素) 第5课时圆周角（2） 一、新知导学 1.直径（或半圆）所对的圆周角是 . 2.900的圆周角所对的弦是 . 二、合作探究 1．如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4， OD=3，求CD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，D、E在⊙O上．求证：BD=DE． 三、自我检测 一、填空题 1．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠ BCD=25°，则∠AOD= ． 2．如图，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ． 3．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ ABC=50°，则∠ 4．⊙O中，若弦AB cm，则此弦所对的圆周角等于． 5．如图，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径＝． 二、选择题 6．下列说法正确的是（） A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角 C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 7．下列说法错误的是（） A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等 C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等 8．在⊙O中，同弦所对的圆周角（） A．相等B．互补C．相等或互补 D．都不对 9．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（） A．5对 B．6对 C．7对D．8对 三、解答及证明题 10．如图，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB ，垂足为D， FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG． 11．如图，△ABC内接于⊙O，E为的中点．求证：AB·BE=AE·BD． 12．根据图中所给的条件，求△AOB的面积及圆的面积． 13．如图，在圆内接△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点． （1）求证：AB2=AD·AE； （2）当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明； 如果不成立，请说明理由． 14．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作 EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2， 求EC的长． 马家砭中学导学稿 学法指导 自主、合作、探究 一、自主先学 请同学们口答下面的问题． 1、圆的两种定义是什么？ 2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？ 二、自学新知 1、由上面的画图以及所学知识，我们可知： 设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为OP=d 则有：点P 在圆外?d____r 点P 在圆上?d_____r 点P 在圆内?d______r 反过来，也十分明显，如果d>r ?点P 在圆外；如果d=r ?点P 在圆上；如果d 圆 课题：第二十四章:小结与复习序号: 学习目标： 1、知识与技能 1、了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． 2、探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，?探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． 3、进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算． 4、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；?理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算． 2、过程与方法 通过小结与复习，使学生对本章的知识条理化.系统化，在复习巩固所学知识的同时，还要查漏补缺。提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识 3、情感.态度与价值观： 学生在应用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心。 学习过程： 课前预习： 结合课本的本章结构图，全面复习本章所学内容，并回答“回顾与思考中提出的问题 课堂导学： 1.情景导入 数学24章《圆》的学习内容全面结束，这节课我们共同回顾并整理本章学习的内容 2. 出示任务自主学习 （1）在同圆或等圆中的弧、弦、圆心角、有什么关系？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？ （2）垂径定理的内容是什么？推论是什么？ （3）点与圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？请你举出这些位置关系的实例？ （4）圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？ （5）正多边形和圆有什么关系？你能用正多边形和等分圆周设计一些图案吗？ （6）举例说明如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？ 3.合作探究 《导学》难点探究和展题设计 三、展示与反馈 检查自学情况，解决学生疑惑 四、课堂小结 1.圆的有关概念.基本性质和相关的定理及其运用 2.点和圆.直线和圆.圆和圆的位置关系及其所对应的数量关系 3.会进行正多边形.弧长.扇形.圆锥以及简单图形的有关计算。 4.体会并感悟数学思想和方法。 5.养成反思的学习习惯。 五、达标检测： 完成104页《导学案》.自主测评1—9题 课后作业： 教材120页复习题24 第二十四章圆单元测试 一、单选题（共10题；共30分） 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（） A、40° B、30° C、45° D、50° 2、下列说法： ①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线； ⑤三角形的内心到三条边的距离相等。 其中不正确的有（）个。 A、1 B、2 C、3 D、4 3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（） A、80° B、100° C、60° D、40° 4、已知Rt△ACB，∠ACB=90°，I为内心，CI交AB于D，BD=，AD=，则S△ACB=（） A、12 B、6 C、3 D、7.5 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（） A 、 B 、C、D 、6、如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，∠E=α，∠F=β，则∠A=（） A、α+βB 、C、180﹣α﹣βD 、 7、如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（） A、2 B、2+ C、2 D、2+ 8、如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB=50°，则∠D的度数为（） A、20° B、40° C、50° D、70° 9、已知A、B、C三点在⊙O上，且AB是⊙O内接正三角形的边长，AC是⊙O内接正方形的边长，则∠BAC的度数为（） A、15°或105° B、75°或15° C、75° D、105° 10、如图，在⊙O中，∠ABC=52°，则∠AOC等于（） A、52° B、80° C、90° D、104° 二、填空题（共8题；共25分） 11、如图，⊙O 是ABC 的外接圆，OCB=40°，则A的度数等于________°． 第2章圆 2.1 圆的对称性 学习目标： 1．了解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的概念． 2．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，探索圆的有关概念． 重点、难点 1、重点：圆的相关概念 2、难点：理解圆的相关概念 导学过程：阅读教材 , 完成课前预习 【课前预习】 1：知识准备Array（1）举出生活中的圆的例子． （2）圆既是对称图形， 又是对称图形。 （3）圆的周长公式C= 圆的面积公式S= 2：探究 （1）圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作“”，读作“” 决定圆的位置，决定圆的大小。 圆的定义○2：到的距离等于的点的集合． （2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦 直径：经过圆心的叫做直径 （3）弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆 优弧：半圆的弧叫做优弧。用个点表示，如图中叫做优弧 劣弧：半圆的弧叫做劣弧。用个点表示，如图中叫做劣弧 等圆：能够的两个圆叫做等圆 等弧：能够的弧叫做等弧 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题 例1 如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪 里？ AD//. 例2 已知：如图，在⊙O中，AB，CD为直径.求证：BC Array 活动3：随堂训练 1、如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。 2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚的看出树木生长的年轮。把树木的年轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树的半径平均每年增加多少? 活动4：课堂小结 圆的相关概念： 【课后巩固】 一．选择题： 1．以点O为圆心作圆，可以作（） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．确定一个圆的条件为（） A．圆心 B．半径 C．圆心和半径 D．以上都不对. 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知DE ， AB2 24.1测量 教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三 角形的边角关系。 教学重点：探索测量距离的几种方法。 教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学过程： 一、复习引入： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？ 二、新课探究： 例1如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1，用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方法吗？ 解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3， ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1 ∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m. 说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。 例2为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m ，OD=3.4m ，CD=1.7m 图(b)中CD=1m ，FD=0.6m ，EB=1.8m 图(c)中BD=9m ，EF=0.2；此人的臂长为0.6m 。 ⑴说明其中运用的主要知识；⑵分别计算出旗杆的高度。 （a ） （b ） （c ） 分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。 解：（a ）∵△AOB ∽△COD ，∴OD OB CD AB = 即4.36 7 .1= AB ∴AB=3(m). （b ）∵同一时刻物高与影长成正比，∴ DF CD BE AB = 即6.01 8 .1= AB ∴AB=3(m). E D C B A 1 1 1 C B A O D C B A F E D C B A F E B C D A 学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评 价_____ 27.1 圆的认识 第1课时 27.1.1 圆的基本元素 【学习目标】 1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、 等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别； 2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念； 3．能应用圆的有关概念解决问题. 【学习重难点】 重点：理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别； 难点：理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊 概念； 【学法指导】 通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概 念来解决问题． 【自学互助】 一、自学教材P36-37 （一）知识链接 1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？ （图1） 2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）根据以下题目自主学习并完成 1．理解圆的定义：（自己动手画圆） （1）描述性定义：____________________________________________________。 从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __； ②到定点的距离等于定长的点都在____ _. （2）集合性定义： __________________________________________________。 （3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______. （4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____ 确定圆的位置，______确定圆的大小. 2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。 如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧 第二十四章圆 测试1 圆 一、基础知识填空 1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______ 叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作 ______，读作______． 2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________． 3．由圆的定义可知： (1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长 的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于 ________的________组成的图形． (2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中， ________确定圆的位置，______确定圆的大小． 4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直 径是同一圆中__________的弦． 5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________， 读作________或________． 6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆． 7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧． 8．半径相等的两个圆叫做____________． 二、填空题 9．如图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段 ________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是 半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______． 10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：∠AOC=∠BOD； (2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论． 11．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长 线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数． 12．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C 三点的⊙O． 测试2 垂直于弦的直径 一、基础知识填空 1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形， 它的对称中心是____________________． 2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________． 3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________． 二、填空题 4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm． （第5题）（第6题）（第7题）（第8题）（第9题）（第10题） 5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm． 6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______． 7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______． 8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD 的距离是______． 9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm． 11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5， ∠AEC=30°，求CD的长． 12．已知：如图，试用尺规将它四等分． 圆的确定 教学目标 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学过程： 一、知识连接： 1、线段的垂直平分线有什么性质？ 2、如何用尺规做线段的垂直平分线？ 3、确定圆的两要素是什么？ 二、探索新知： 1、做一做： (1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ 友情提示：以点A以外的______点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)． (2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ 友情提示：在AB的_________上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ 友情提示：要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的________，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的_________，这两条垂 直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． 作法图示 1．连结AB、BC 2．分别作AB、BC的垂直 平分线DE和FG，DE和 FG相交于点O 3．以O为圆心，OA为半 径作圆 ⊙O就是所要求作的圆 回思：过已知一点可作_____个圆；过已知两点也可作______个圆，圆心在______；过不在同一条直线上的三点只能作____个圆，圆心在________________。 由此可得到定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2、有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． 巩固新知： 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？ 解：如下图． 初三数学第24章圆导学案 数学课题24.1.2垂直于弦的直径 课型新授班级九年级姓名 学习 目标1．理解圆的轴对称性； ２.了解拱高、弦心距等概念； ３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。； 沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！ 学法指导合作交流、讨论、 一、自主先学————相信自己，你最棒！ ⒈叙述：请同学叙述圆的集合定义？ ⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________， 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。 课本P80页有关“赵州桥”问题。 二、展示时刻——集体的智慧是无穷的，携手解决下面的问题吧！ ）、动手实践，发现新知 ⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试， 有方 法的同学请举手。 ⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______ ②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每 一条_________。 )、创设情境，探索垂径定理 ⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？ 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？ ⒉若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察 一下，还有与刚才相类似的结论吗？ ⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿cD折叠,实验后提出猜想。 ⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。 然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题： ①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE，还有什么方法？ ⒌垂径定理： 分析：给出定理的推理格式 圆的复习专题学案 学习目标： （1）理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系； （2）掌握垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理并会用它们进行计算； （3）掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。 （4）会计算弧长，扇形面积以及圆锥侧面展开图的相关计算 能力目标： 通过知识点和典型题的讲练，使学生熟练掌握本节课的知识点，再用题图变形与题组训练来培养学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性。 情感目标： 通过题图变形与题组训练来激发学生学习数学的兴趣；同时将课本的题目与中考题结合在教学当中以进一步向学生强调“依纲靠本”的复习指导思想，强化学生的中考意识。 教学过程： 考点一圆心角、弧、弦之间的关系 例1 (2018·青岛中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B 是的中点，则∠D的度数是( ) A．70° B．55° C．35.5° D．35° 跟踪练习 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知，弧AB,弧CD的度数分 别为88°，32°，则∠P的度数为( ) A．26° B．28° C．30° D．32° 考点二例2 (2015·泰安中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于( ) 跟踪练习(2019·德州中考)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E， CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为________________ ． 考点三圆周角定理及其推论(5年3考) 例3 (2017·泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于 ( ) A．180°－2αB．2α C．90°＋αD．90°－α 跟踪练习(2018·济宁中考)如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则 ∠BOD的度数是( ) A．50°B．60°C．80°D．100° 九年级数学第二十四章圆测试题（3） 时间：45分钟 分数：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．已知⊙O 的半径为4cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=7cm 时，点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 外 D ．不能确定 2．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 3．在△ABC 中，I 是内心，∠ BIC=130°，则∠A 的度数为（ ） A ．40° B ．50° C ．65° D ．80° 4．如图24—B —1，⊙O 的直径AB 与AC 的夹角为30°，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，若⊙O 的半径为3，则CD 的长为（ ） A ．6 B ．3 C ．3 D ．33 5．如图24—B —2，若等边△A 1B 1C 1内接于等边△ABC 的内切圆，则AB B A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．3 1 D ．33 6．如图24—B —3，⊙M 与x 轴相切于原点，平行于y 轴的直线交圆于P 、Q 两点，P 点在Q 点的下方，若P 点的坐标是（2，1），则圆心M 的坐标是（ ） A ．（0，3） B ．（0，25） C ．（0，2） D ．（0，2 3） 7．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2 ，母线长是5cm ，则圆锥的底面半径为（ ） A ．cm 2 3 B ．3cm C ．4cm D ．6cm 8．如图24—B —4，⊙O 1和⊙O 2内切，它们的半径分别为3和1，过O 1作⊙O 2的切线，切点为A ，则O 1A 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．5 9．如图24—B —5，⊙O 的直径为AB ，周长为P 1，在⊙O 内的n 个圆心在AB 上且依次相外切的等圆，且其中左、右两侧的等圆分别与⊙O 内切于A 、B ，若这n 个等圆的周 长之和为P 2，则P 1和P 2的大小关系是（ ） A ．P 1< P 2 B ．P 1= P 2 C ．P 1> P 2 D ．不能确定 10．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则下列关系成立的是（ ） A ．S 1=S 2=S 3 B ．S 1>S 2>S 3 C ．S 1 图2 O B Q A P R O R B Q A P 图1 x 第五章 中心对称图形（二） 小结与思考（二） 班级 姓名 学号 学习目标： 1、梳理本章所学的知识，复习直线和圆的位置关系． 2、了解切线的概念，会利用切线的性质与判定进行有关计算和证明，发展推理能力． 3、了解三角形的内切圆、切线长的概念，能利用切线长的性质解决有关问题． 基础练习: 1、⊙O 的半径为5㎝，点A 在直线l 上，如果OA=5㎝，那么直线l 与⊙O 的位置关系( ) A 、相切 B 、相交 C 、相离 D 、相切或相交 2、直角坐标系中，以P （2，1）为圆心，r 为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则r 的值为 ． 3、下列说法正确的是 （ ） A 、垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B 、经过半径外端的直线是圆的切线 C 、直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 D 、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 4、如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙O 的切线，切点为C ，若25A =∠，则D =∠______． 5、为了测量一个圆铁环的半径，某同学用了如下方法，将铁环平放在水平桌面上，用有一个角为30°的直角三角板和刻度尺按如图所示的方法得到相关数据，进而求出铁环半径，若测得PA=5cm ，则铁环的半径是 cm ． 6、如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D 、E 、F ．已知∠A=70°，连结DE 、DF 、BO 、CO ，，那么∠EDF = ；∠BOC= ． 典型例题: 问题一、在同一平面内,已知点O 到直线l 的距离为5．以O 为圆心,r 为半径画圆．探索、归纳： （1）当r = 时，⊙O 上有且只有1个点到直线l 的距离等于3； （2）当r = 时，⊙O 上有且只有3个点到直线l 的距离等于3； （3）随着r 的变化，⊙O 上到直线l 的距离等于3的点的个数有哪些变化？ 问题二、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与C D 是水平的，BC 与水平面的夹角为600，其中AB=60cm ，CD=40cm ， BC=40cm ，请你作出该小朋友将圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度． 问题三、有这样一道习题：如图1，已知OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点(不与O 、A 重合)，BP 的延长线交⊙O 于Q ，过Q 点作⊙O 的切线交OA 的延长线于R .说明：RP ＝RQ ． 请探究下列变化： 变化一：交换题设与结论. 已知：如图1，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点(不与O 、A 重合)，BP 的延长线交⊙O 于Q ，R 是OA 的延长线上一点，且RP ＝RQ ． 说明：RQ 为⊙O 的切线． 变化二：运动探求. 1．如图2，若OA 向上平移，变化一中的结论还成立吗？(只需交待判断) 2．如图3，如果P 在OA 的延长线上时，BP 交⊙O 于Q ，过点Q 作⊙O 的切线交OA 的延长线于R ，原题中的结论还成立吗？为什么？ 3．若OA 所在的直线向上平移且与⊙O 无公共点，请你根据原题中的条件完成图4，并判断结论是否还成立？ (只需交待判断) 问题四、如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴交于A B ，两点，A C 是⊙M 的直径，过点C 的直线交x 轴于点 D ，连结BC ，已知点M 的坐标为y =- + （1）求点D 的坐标和BC 的长； （2）求点C 的坐标和⊙M 的半径； （3）说明：CD 是⊙M 的切线． O P B Q A R 图3 ? O A 图4 A 第4题 第6题 第5题 A P 60° 30° C A Q P 九年级数学第24章 圆导学案 24．1.1圆（第1课时） 上课时间： 月 日 星期 第 节 编号：9sx000* 【自主学习】 另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做 ，线段OP 叫做 .以O 为圆心的圆记作 . 2.圆的集合定义：圆是到 的点的集合. 3．点与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么 点P 在圆内? ； 点P 在圆上? ； 点P 在圆外? . 【合作探究】 1.如图，已知：点P 、Q ，且PQ=4cm. （1）画出下列图形： ①到点P 的距离等于2cm 的点的集合； ②到点Q 的距离等于3cm 的点的集合； (2)在所画图中，到点P 的距离等于2cm ；且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们画出来. (3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ；且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来. 【自我检测】 1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆. 2.正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上. 3.矩形ABCD 边AB=6cm,AD=8cm ， (1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A______，点C 在⊙A_______，点D 在⊙A________，AC 与BD 的交点O 在⊙A_________； (2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_______. 4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是 5.如图，已知在⊿ABC 中，∠ACB=900,AC=12,AB=13,CD ⊥AB,以C 为圆心，5为半径作⊙C ，试判断A,D,B 三点与⊙C 的位置关系 6.如图，一根长4米的绳子，一端拴在树上，另一端拴着一只 小狗.请画出小狗的活动区域. 24．1.1 圆 学习目标： 1．了解圆的定义,理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的概念． 2．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,探索圆的有关概念． 重点、难点 1、重点：圆的相关概念 2、难点：理解圆的相关概念 导学过程：阅读教材P78 — 80 , 完成课前预习 【课前预习】 1：知识准备Array（1）举出生活中的圆的例子． （2）圆既是对称图形, 又是对称图形。 （3）圆的周长公式C= 圆的面积公式S= 2：探究 （1）圆的定义○1：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ,另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做 ,线段OA叫做．以点O为圆心的圆,记作“”,读作“” 决定圆的位置, 决定圆的大小。 圆的定义○2：到的距离等于的点的集合． （2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦 直径：经过圆心的叫做直径 （3）弧：任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧 半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧,每一条都叫做半圆 优弧：半圆的弧叫做优弧。用个点表示,如图中叫做优弧 劣弧：半圆的弧叫做劣弧。用个点表示,如图中叫做劣弧 等圆：能够的两个圆叫做等圆 等弧：能够的弧叫做等弧 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题 例1 如果四边形ABCD是矩形,它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在,这个圆的圆心在哪 里？ 例2 已知：如图,在⊙O中,AB,CD为直径 AD// 求证：BC Array 活动3：随堂训练 1、如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。 2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮,可以很清楚的看出树木生长的年轮。把树木的年轮看成是圆形的,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少? 活动4：课堂小结 圆的相关概念： 【课后巩固】 一．选择题： 1．以点O为圆心作圆,可以作（） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．确定一个圆的条件为（） A．圆心 B．半径 C．圆心和半径 D．以上都不对. 3．如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB、CD的延长线交于点E,已知DE AB2 =,若COD ∠的度数为（） ?为直角三角形,则E A．?5. 15 30 C．? 22 B．? 45 D．? 第二十四章圆章节知识点 思维导图： 一、圆的有关性质 （一）与圆有关的概念 1、定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。 3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。能够互相重合的弧叫等弧。圆 的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 4、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。注意：在圆中，同一条 弦所对的圆周角有无数个。 6、弦心距：从圆心到弦的距离叫弦心距。 7、同心圆、等圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆；能够重合的两个圆叫等圆。 8、点的轨迹： 1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5）到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 （二）圆的性质 1、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对 称中心的中心对称图形。 2、性质： ①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是 直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 ②圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）：在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等；圆心角的度数与它所对 的度数相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相 等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等 ③圆周角定理：一条弧所对圆周角度数等于它所对圆心角的一半 推论：圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （三）有关半径、弦、弦心距、弓形高的计算 弦长a、弦心距d、半径r、弓形高h（知道任意两个可以求其他两个） 二、与圆有关的位置关系 （一）点与圆的位置关系 （1）、点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内。 （2）、点到圆心的距离：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： ①d 第二十四章圆 测试1 圆 学习要求 理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质． 课堂学习检测 一、基础知识填空 1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______． 3．由圆的定义可知： (1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在 ________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形． (2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位 置，______确定圆的大小． 4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦． 5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________． 6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆． 7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧． 8．半径相等的两个圆叫做____________． 二、填空题 9．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______． 10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：∠AOC=∠BOD； (2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论． 九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 时间：45分钟 分数：100分 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为10，最小距离为4则此圆的半径为（ ） A ．14 B ．6 C ．14 或6 D ．7 或3 2．如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 图24—A — 5 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4 D C B 第五章 中心对称图形（二） 小结与思考（二） 班级 姓 名 学号 学习目标： 1、梳理本章所学的知识，复习直线和圆的位置关系． 2、了解切线的概念，会利用切线的性质与判定进行有关计算和证明，发展推理能力． 3、了解三角形的内切圆、切线长的概念，能利用切线长的性质解决有关问题． 基础练习: 1、⊙O 的半径为5㎝，点A 在直线l 上，如果5㎝，那么直线l 位置 关 系 ( A 、相切 B 、相交 C 、相离 D 、相切或相交 2、直角坐标系中，以P （2，1）为圆心，r 为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则r 的值为 ． 3、下列说法正确的是 （ ） A 、垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B 、经过半径外端的直线是圆的切线 C 、直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 D 、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 4、如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙ O 的切线，切点为C ，若25A =∠，则D =∠． 5、为了测量一个圆铁环的半径，某同学用了如下方法，将铁环平放在水平桌面上，用有一个角为30°的直角三角板和刻度尺 A 第4第6题 第5题 A P 60° 30° 图2 O B Q A P R O R B Q A P 图1 按如图所示的方法得到相关数据，进而求出铁环半径，若测得5，则铁环的半径是 ． 6、如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D 、E 、F ．已知∠70°，连结、、、，，那么∠ = ；∠ ． 典型例题: 问题一、在同一平面内,已知点O 到直线l 的距离为5．以O 为圆心,r 为半径画圆．探索、归纳： （1）当r = 时，⊙O 上有且只有1个点到直线l 的距离等于3； （2）当r = 时，⊙O 上有且只有3个点到直线l 的距离等于3； （3）随着r 的变化，⊙O 上到直线l 的距离等于3的点的个数有哪些变化？ 问题二、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”字形平面轨道上滚动一个半径为10的圆盘，如图所示，与C D 是水平的，与水平面的夹角为600，其中60，40，40，请你作出该小朋友将圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的 长度． 问题三、有这样一道习题：如图1，已知和是⊙O 的半径，并且⊥，P 是上任一点(不与O 、A 重合)，的延长线交⊙O 于Q ，过 Q 点作⊙O 的切线交的延长线于R .说明：＝． 请探究下列变化： 变化一：交换题设与结论. 已知：如图1，和是⊙O 的半径，并且⊥，P 是上任一点(不与O 、 A 重合)，的延长线交⊙O 于Q ，R 是的延长线上一点，且＝． 说明：为⊙O 的切线． O P B Q A R 图3 ? O A 图4第24章圆导学案[人教版初三九年级] 24.2.1点与圆的位置关系
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S 3>S 1 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图24—B —6，AB 是⊙O 的直径， BC=BD ，∠A=25°，则∠BOD= 。 12．如图24—B —7，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm. 13．如图24—B —8，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=CE ，则AC 与BC 弧长的大小关系是 。 14．如图24—B —9，OB 、OC 是⊙O 的 半径，A 是⊙O 上一点，若已知∠B=20°, ∠C=30°,则∠BOC= . 15．（2005·江苏南通）如图24—B —10，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AD 上，则 ∠BPC= . 16．（2005·山西）如图24—B —11，已知∠AOB=30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆 心，2cm 长为半径作⊙M ，若点M 在OB 边上运动，则当OM= cm 时，⊙M 与OA 相切。 17．如图24—B —12，在⊙O 中，弦AB=3cm ，圆周角∠ACB=60°，则⊙O 的直径 等于 cm 。 18．如图24—B —13，A 、B 、C 是⊙O 上三点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论： （任写一个）。 19．如图24—B —14，在⊙O 中，直径CD 与弦AB 相交于点E ，若BE=3，AE=4，DE=2，则⊙O 的半径是 。 ⌒ 图24—B —1 图24—B —2 图24—B —3 图24—B —4 图24—B —5 图24—B —6 图24—B —7 图24—B —8 图24—B —9 图24—B —10 图24—B —11 图24—B —12 图24—B —13 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒苏教版九年级数学圆复习学案
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苏教版九年级数学圆复习学案
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