接（上） 第六课时 例1．已知偶函数()cos sin sin()(tan 2)sin sin f x θx x θθx θ=--+--的最小值为0，求()f x 的最大值及此时x 的集合。
解：()cos sin sin()(tan 2)sin sin f x θx x θθx θ=--+--
s i n c o s (t a n 2)s i n θx θx θ=+--，因为()f x 为偶函数， 所以，对x R ∈，有()()f x f x -=，即
sin cos()(tan 2)sin()sin sin cos (tan 2)sin sin θx θx θθx θx θ-+---=+--， 亦即(tan 2)sin 0θx -=，所以tan 2θ=，由22sin cos 1sin tan 2cos θθθθθ?+=?
?==?
?，
解得sin sin 55cos cos 55θθθθ??==-??????
??
==-????
或，此时()sin (cos 1)f x θx =-，
当sin 5θ=
()(cos 1)5
f x x =
-，最大值为0，不合题意，
当sin 5
θ=-
时，()1)5f x x =-
-，最小值为0，
当cos 1x =-时，()f x
由最大值
5
x 的集合为：
{|2}x x k ππk Z =+∈，。
例2．已知函数()sin cos ()f x a b x c x x R =++∈的图像过点(01)(1)2
π
A B ，，，，且b >0，又()
f x
的最大值为1，(1)求函数()f x 的解析式；(2)由函数y =()f x 图像经过平移是否能得到一个奇函数y =()g x 的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。 解：
(1)()sin cos )(tan )c f x a b x c x a x φφb
=++=+
+=
，由题意，可
得
11
1a c a b a ?+=?+=??+=?
，解得122a b c =-??
=??=?，所以()12sin 2cos f x x x =-++；
(2) ()12sin 2cos )14
π
f x x x x =-++=+-，将()f x 的图像向上平移1个单位得到函
数)4πy x =+的图像，再向右平移4
π
单位得到y x =的图像，故将()f x 的图像
先向上平移1个单位，再向右平移4
π
单位就可以得到奇函数y =()g x 的图像。
例3
．已知函数()x f x =
，
(1)求函数()f x 的定义域、值域、最小正周期； (2)判断函数()f x 奇偶性。
解：
(1)tan (22)sin 22
()3|cos |tan (22)
22
ππx x k πk πx f x k Z ππx x x k πk π?
∈-+??===∈??-∈++??，，，，，
定义域：{|}2
π
x x k πk Z ≠+∈，，值域为：R ，最小正周期为2T π=；
(2) sin()sin ()()|cos()||cos |
x x
f x f x x x --==-=--，且定义域关于原点对称，
所以()f x 为奇函数。
例4
．已知a >(sin )(cos )y x a x a =++的最值。
解：2(sin )(cos )(sin cos )sin cos y x a x a a x x x x a =++=+++，
令sin cos [t x x =+∈，则有2
1sin cos 2
t x x -=，
所以2
2
11()(1)2
2
y t a a ==
++
-
，因为a >
当t =
2m in 12
y a =-
+
，当t =
时，2
m ax 12
y a =+
+
。
备用题1
．设函数()sin (01)()tan()(01)6
π
f x ax ax a
g x m x m =+
<<=+
<<，已知函
数()()f x g x ，的最小正周期相同，且(1)2(1)f g =，(1)试确定()()f x g x ，的解析式；(2)求函
数()f x 的单调增区间。
解：()sin 2sin()(01)3
πf x ax ax ax a =+=+
<<，由函数()()f x g x ，的最小正周期相
同，有
2ππa m
=，即a =2m ，又(1)2(1)f g =，即2sin()2tan()3
6
ππa m +
=+
，把a =2m 代入上
式，得sin(2)tan()3
6ππm m +
=+
，
所以有sin()62sin()cos()66
cos()
6
π
m π
π
m m πm +
++=+， 所以sin()06
πm +=
或cos()6
2
πm +
=±
，
若sin()06
πm +=，则有,6
πm k π+=这与01m <<矛盾，
若cos()6
2
πm +
=±
，则有6464
ππππm k πm k π+=+
+
=-
或，
于是有5()1212
ππm k πm k πk Z =+=-∈或，又01m <<，所以126
ππm a =
=
，，
所以()2sin()()tan(
)6
3
12
6ππππf x x g x x =+=+
，；
(2)由22[125121]2632
ππ
ππ
k πx k πx k k -
≤+
≤+
∈-+，即，，
所以，函数()f x 的单调递增区间为[125121]()x k k k Z ∈-+∈，。
备用题2．已知函数()4sin cos 2()f x m x x x R =-∈，若函数()f x 的最大值为3，求实数m 的值。
解：222()4sin cos 22sin 4sin 12(sin )(21)f x m x x x m x x m m =-=+-=+-+，
令sin [11]t x =∈-，，则函数变为22
2()(21)y t m m =+-+，分类讨论如下：
(1)当0m -≤时，在t =1时，m ax 11432
y m m =+==
，；
(2)当0m ->时，在t =－1时，m ax 11432
y m m =-==-，；
综上所述，12
m =±
。
作业1．已知函数21
()4sin(
)cos(
)1[]2222
22
παπαf x x x x =+--+∈-
，，，
[]22ππα∈-
，，求α得取值范围，使函数()f x 在区间1[]22
-，上是单调函数。 解：222
2
()4s i n ()c o s ()12s i n 1(s i n )c o s 2222
παπαf x x x x x αx αα=+--
+=++=++，所以
()f x 的图像的对称轴为s i n x α=-，因为函数()f x 在区间1
[]22
-，上是单调函数，所以
1sin sin 2
2
αα-≤-
-≥
，即1sin sin 2
2
αα≥
≤-
，
又因为[]22ππα∈-
，，所以α得取值范围是[][]2632
ππππ-- ，，。
作业2．已知函数()f x =
(1)判断函数的奇偶性；(2)证明π是函数的一个周期。
解：(1)定义域x R ∈，
()()f x f x -=
==，
所以函数为偶函数；
(2)2
()1sin 1sin 2|cos |f x x x x =++-+，所以()f x =，
所以()()f x πf x +=
=
=，
所以π是函数的一个周期。 作业3．已知1sin cos (0)5
x x x π+=∈，，，求cot x 的值。
解：由1
sin cos 5
x x +=
……(1)，所以12412sin cos 2sin cos 25
25
x x x x +==-
，，
因为(0)x π∈，，所以sin 0cos 0x x ><，， 2
2449(sin cos )12sin cos 125
25
x x x x -=-=+
=
，
所以7sin cos 5
x x -=……(2)，联立(1)(2)解得43sin cos 5
5
x x =
=-
，，
所以cos 3
cot sin 4
x
x x =
=-。
作业4．函数sin()(000)y A ωx φA ωφπ=+>><<，，的图像一部分如图所示，
(1)求此函数解析式；
(2)将(1)中的函数图像如何变化才能得到函数sin y x =图像。 解：(1) 依题意知，
6241648T π
A T ω==-===
，，，将
点
(2)代
入s i n ()
8
π
y x φ
=+
得2)8
πφ?+=
0φπ<<，所以4
πφ=
，所求函数解析式
为
)84
ππy x =+
；
(2)
先把函数s i n ()8
4
π
πy x =+
的图像横坐标缩短为原来的
8
π倍(纵坐标不变)，
得函数
s i n ()4
πy x =+
的图像，再把函数)4
πy x =+上所有点向右平移4
π
单位得到函数
y x =
的图像，最后将y x =
的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，
(横坐标不变)，得到函数sin y x =图像。
数 列
第一课时
1、 设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且2
3S ＝9S 2，S 4＝4S 2，求
数列的通项公式．
2、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n ．
（1） 写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ； （2） 求证数列?
??
???
-+
n n a )1(32
为等比数列，并求出{}n a 的通项公式．
3、 已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：.22,1175243=+=?a a a a （Ⅰ）求通项n a ；
（Ⅱ）若数列}{n b 是等差数列，且c
n S b n n +=
，求非零常数c ；
4、数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n +1=n
n 2+S n (n =1,2,3，…)．
证明：(i)数列{n
S n }是等比数列；(ii)S n +1=4a n .
答案：
1、设数列{}n a 的公差为d
由题意得：???+=++=+)2(464)2(9)33(1112
1d a d a d a d a
???==001d a 或 ???
????==98
9
41d a
因为0≠d 所以98,941==d a 9
4
98-=n a n
2、（1）在1,)1(2≥-+=n a S n n n 中分别令3,2,1=n 得： ?????-=+++=+-=1
212123321
2
2111a a a a a a a a a 解得：?????===201321a a a （2）由1,)1(2≥-+=n a S n
n n 得：2,)1(2111≥-+=---n a S n n n 两式相减得：2,)1(2)1(21
1≥----+=--n a a a n n n n n 即：2,)1(221≥--=-n a a n
n n
n
n n n
n
n n a a a )1(3
2)
1(3
42)
1(32
)1(3
421
11--
-+
=--
--=---
)2)()1(3
2(2)
1(321
1≥-+
=-+
--n a a n n n
n
故数列?
??
?
??
-+
n n a )1(32
是以31321=-a 为首项，公比为2的等比数列．
所以 1
2
3
1)
1(3
2-?=
-+
n n
n a n
n n a )1(3
22
3
11
-?-
?=
-
3、（1）设数列{}n a 的公差为d
由题意得：???=+=++2252117
)3)(2(1
11d a d a d a
???==411d a 或 ??
?-==4
21
1d a （舍去） 所以：34-=n a n
（2）n n n n S n -=-+=2
22
)
341(
由于
c n S n
+ 是一等差数列 故
b an
c n S n
+=+对一切自然数n 都成立
即：bc n b ac an b an c n n n +++=++=-)())((22
2
?????=-=+=012bc b ac a
???
????
-
===2102c b a 或 ???
??=-==012c b a （舍去）
所以2
1
-=c
4、（1）由n n S n n a 21+=+ 得：n n n S n n S S 21+=-+ 即n n S n
n S 2
21+=+
所以
n
S n S n
n =
++11
所以数列?
??
???n S n 是以1为首项,公比为2的等比数列．
（2）由（1）得
1
2
-=n n n
S 12-?=n n n S n n n S 2)1(1?+=+
所以 22
12)1()
2(2)1()1(1)2()1(1---?+=???≥?+==???≥-==n n n n n n n n n n S S n a
所以 n n a S 41=+
第二课时
1、已知等差数列｛a n ｝，公差大于0，且a
2、a 5是方程x 2—12x +27=0的两个根，数列｛b n ｝的前n 项和为T n ，且T n =1—n b 21
．
（1）求数列｛a n ｝、｛b n ｝的通项公式； （2）记c n = a n ·b n ，求证：n n c c ≤+1．
2、设}{n a 是由正数组成的无穷数列，S n 是它的前n 项之和，对任意自然数n a n ,与2的等差中项等于S n 与2的等比中项. （1）写出321,,a a a ；
（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；
2、 已知数列}{n a 成等差数列，n S 表示它的前n 项和，且6531=++a a a ， 124=S . ⑴求数列}{n a 的通项公式n a ；
⑵数列}{n n S a 中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？
4、设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n +1－a n }（n ∈N *）是等差数列，数列{b n －2}(n ∈N *)是等比数列.
（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在k ∈N *，使a k －b k ∈（0，2
1）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.
答案：
1、 （1）设{}n a 的公差为d
由题意得：??
???>==+0
27125252d a a a a 即：???
??>=++=+027)4)((12
52111d d a d a d a 解得：???==211d a
所以：12-=n a n 由n n b T 2
11-
= 得：11211---
=n n b T
两式相减：)211()2
11(1--
--=n n n b b b 即：131-=
n n b b
所以{}n b 是
3
1
以为公比b 为首项的等比数列．
在n n b T 211-=中令1=n 得：11211b b -= 所以3
2
1=b
所以1
3132
-?
?
?
???=n n b
（2）1)31(32
)12(-??-==n n n n n b a c 所以：)1()3
1(98)31(32)12()31(32)12(1
11
-?-=??--??+=---+n n n c c n n n n n
因为了 1≥n 所以 n n c c ≤+1
2、 （1）由题意得：???
??>=+022
2
n
n
n a S a 令3,2,1=n 得：???
?????
???>>>++=++=+=+0
,0,0)(222)(222222
3213213
2
121
1a a a a a a a a a a a a
解得：10,6,2321===a a a （2）将
n n S a 22
2
=
+两边平方得：n n S a 8)2(2
=+
用1-n 代替n 得：12
18)2(--=+n n S a
两式相减得：n n n a a a 8)2()2(212=+-+-即：0)2()2(2
12=+---n n a a
即：0)4)((11=--+--n n n n a a a a 由于0>n a 所以41+=-n n a a 所以{}n a 是以2为首项公差为4的等差数列
所以24-=n a n
3、（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得：???=+=+12
6466311d a d a 解得：???-==26
1d a
所以：82+-=n a n )7(2
)
286(n n n n S n -=-+=
（2）令n n n S a b = 所以 n n n b n )7)(82(-+-= 解不等式 0)7)(82(<-+-n n n 得：47<>n n 或
所以数列从第8项开始（含此项）以后各项均为负数．
4、（1）由题意得：[])()()1()(1223121a a a a n a a a a n n ----+-=-+ =3)1(2-=-+-n n 所以 =-+-+=-+=--)4()5()4(21n n a n a a n n n
[]
9
2
72
12
)4()2()1(6)4()5(0)1()2(6)
4()5(0)1()2(2
1+-
=
-+--+
=-+-+++-+-+=-+-+++-+-+=n n n n n n n n a （2≥n ）
上式对1=n 也成立 所以 92
72
12
+-
=n n a n
3
11
121)2
1()42(4)
2
2)(
2(2---=?=---=-n n n n b b b b
所以 3
)
2
1
(2-+=n n b （2）3
2
3
2
)2
1(727
2
1212927
2
1---+-
=
??
?
??--+-=
-=k k k k k k k
k k
b a
c 当 3,2,1=k 时 0=k c 当4≥k 时 21
)21(47)274(21)21(47)27(2134232=-??
????+-≥-??????+-=
--k k k c 故不存在正整数k 使??
?
?
?∈-21,0k k b a
第三课时
1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ；设14a =，问
23n
n n
S S S -是否可能为一与n 无关的常数？若不存在，说明理由．若存在，求出所有这样的数列的通项公式．
2、已知等比数列{}n a 及等差数列{}n b ，其中01=b ，公差0≠d ，将这两个数列对应项相加得到一个新的数列1,1,2,…,求这个新数列的前10项之和．
3、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和.(n ∈N *)．
（Ⅰ）若数列{a n }单调递增，且a 2是a 1、a 5的等比中项，证明：.212++=+n n n S S S
（Ⅱ）设{a n }的首项为a 1，公差为d ，且)0(2
31>=
d d a ，问是否存在正常数c ，使
c S c S c S n n n +=++
+++122对任意自然数n 都成立，若存在，求出c (用d 表示)；若不存在，
说明理由.
4、Ⅰ．已知数列{}n c ，其中n
n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ． Ⅱ．设{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．
答案：
1、设等差数列{}n a 的公差为d ，并假设存在d 使n
n
n S S S 32-是与n 无关的常数k
令k S S S n
n
n =-32
所以??
????
-+=??????-+-?????
?-+
d n n na k d n n na d n n na 2)13(332)1(2)
12(22111恒成立
化简得：021)21(3)23
2
9
(112
=?????
?+--+-
n d a d a k n kd 对一切自然数n 恒成立
所以 ???
????=+--=-0
214)214(302
329
d d k kd 即 ?????=+=18243
1d k kd 解得：739±=d 解得：)
739(31
±=k
故存在等差数列{}n a 使是一与n 无关的常数 )1)(739(4-±
+=n a n
2、设等比数列{}n a 的公比为q
由题意得：??
?????=++=++=+=2)2(1)(1
0121
11111d b q a d b q a b a b 解得：?????
??-====???????====1210)(01101111d q a b q d a b 或舍去
所以1,21+-==-n b a n n n 所以新数列的前10项的和为9782
)
90(101
21
2
10
10=-+
--=
S
3、（1）设等差数列{}n a 的公差为d
由题意得：???>=0
5122d a a a 即：???>+=+0)4()(1121d d a a d a 解得：12a d =
所以 1112)1(a na d n a a n -=-+= 12
a n S n =
所以 12
2112122)1(4))2(()2()(a n a n a n S S S n n n +-++=-+++
0)1(4)1(41212=+-+=a n a n
所以
122++=+
n n n S S S
（2）假设存在正常数c 使得c S c S c S n n n +=+++++122恒成立
dn dn
d n n nd d n n na S n +=
-+
=
-+
=2
12
12
)
1(232
)
1(
令1=n ，则有c S c S c S +=+++2312恒成立
即：()
042)2
1523(
2
2
=+-++
+c d c d c d
化简得：c d c
d c d ++=+215232
27
两边平方化简得：d c 2
1
=．
以下证明当d c 2
1
=时，c S c S c S n n n +=+++++122恒成立．
()()()()()()
()
2
222
32
12
1112
12
2
12221212122
2
2
12=+-+++=+
+++-+
++++
+++-+++++d n d n d n d n d n d d n d n d d dn dn
c S c S c S n n n 故存在
正常数d c 2
1=使c S c S c S n n n +=+++++122恒成立．
4、（1）由题意得：
q pc c pc c n n n n =---+1
1恒成立．对一切正整数n 恒成立（q 为常数）
即：()[]11113232)32(32--+++-+=+-+n n n n n n n n p q p
化简得：()()03393224211=+--++----pq q p pq q p n n 对一切正整数恒成立 所以：??
?=+--=+--03390
224pq q p pq q p 解得：???==3
2q p 或??
?==2
3q p
所以：2=p 或3=p
（2）设数列{},n a {}n b 的公比分别为1q 与2q ，21q q ≠ 并假设数列{},n c 是等比数列，其公比为q
则有：()n n n n b a q b a +=+++11 即：1
2
11
1
12111--+=+n n n
n
qq b qq a q b q a
化简得：()()01
2
211
1
11=-+---n n q q q b q q q a
即()()0211
2111=-+???
?
??--q q b q q q q a n 对一切正整数n 恒成立
所以：???=-=-0
)(0
)(2111q q b q q a 即：q q q ==21 这与21q q ≠互相矛盾
故{},n c 不是等比数列．
函数专题
第一课时
1、 设函数.10,||)(为常数其中<<--=a ax a x x f （1）解不等式f (x )<0;
（2）试推断函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由.
2、已知函数,4)(2
b x ax x f ++=（a ＜0，,a b ∈R ，设关于x 的方程0)(=x f 的两根为21,x x ，
x x f =)(的两实根为α、β． （1）若1||=-βα，求a ，b 关系式
）
（2）若a ，b 均为负整数，且1||=-βα，求)(x f 解析式 （3）若α＜1＜β＜2，求证：)1)(1(21++x x ＜7
3、已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值． (I)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；
(II)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．
4、已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上且以2为周期的函数，当]2,0[∈x 时，其解析式为1)(-=x x f ．
（1）作出)(x f 在),(+∞-∞上的图象；
（2）写出)(x f 在[2,22]()k k k +∈Z 上的解析式，并证明)(x f 是偶函数．
答案：
1、（1）由0)( ?<--≥0 )1(a x a a x 或 ?? ?<-+-<0 )1(a x a a x 等价于：?????-<≥a a x a x 1或?? ? ??+-