当前位置：文档之家› 微分中值定理的应用研究

微分中值定理的应用研究

淮北师范大学信息学院

2014 届学士学位论文

微分几何中值定理的应用研究

系别:数学系

专业:数学与应用数学

学号: 20101884045

姓名: 刘畅

指导教师: 潘亚丽

指导教师职称:

年月日

摘要 (1)

Abstract（Key words） (1)

引言 (2)

1微分中值定理及其证明 (3)

1.1罗尔定理 (3)

1.2拉格朗日中值定理 (3)

1.3柯西中值定理 (4)

1.4泰勒公式 (5)

1.5常用微分中值定理及内在联系 (5)

2微分中值定理的应用 (5)

2.1 证明有关等式 (6)

2.2 证明不等式 (8)

2.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 (9)

2.4 证明零点存在性 (10)

2.5 函数的单调性 (12)

2.6 导数的中值估计 (13)

2.7 证明函数在区间上的一致连续 (14)

2.8 用来判定级数的敛散性 (14)

总结 (16)

参考文献 (16)

致谢 (17)

微分中值定理的应用研究

刘畅

(淮北师范大学信息学院，淮北，235000）

摘要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解。

关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式

The Application Research of The differential mean value theorem

Liu Chang

(School of Information, Huaibei Normal University,Huaibei,235000)

Abstract（Key words）：The mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridge. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value theorem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem.

Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula

引言

微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。

本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。

使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。

1微分中值定理及其证明

为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具.

1.1罗尔定理

若函数f 满足如下条件：（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导；（ⅲ）()()b f a f =,

则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()0'=ξf

罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.

证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值M 与m 表示，现分两种情况来讨论：

（1）若M m =,则f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立.

（2）若M m <,则因()()b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在

()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件f 在开区间()b a ,内可导，f

在点ξ处可导，故由费马定理推知()0'=ξf

注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.

先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理—拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

1.2拉格朗日中值定理

若函数f 满足如下条件：

（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导；

则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()()()a

b a f b f f --=

ξ' （1）显然，特别当()()b f a f =时为罗尔定理。

这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形. 证明：做辅助函数

()()()()()()a x a

b a f b f b f x f x F ----

-=显然，()()b F a F =(=0),且F 在[]b a ,上满足罗尔定理的另两个条件，故存在),(b a ∈ξ使()()-

=ξξ''f F ()()0=--a

b a f b f ，移项既得到所要证明的（1）式.

拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()x f y =上至少存

在一点()()ξξf p ,，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ,我们在证明中引入辅助函数()x F ，正是曲线()x f y =与直线

()()()()??

? ??

---+=a x a b a f b f a f y AB .

1.3柯西中值定理

设函数g f 和满足：

（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导；（ⅲ）()()x g x f ''和不同时为零；（ⅳ）),()(b g a g ≠

则存在()b a ,∈ξ，使得()()()()()()

a g

b g a f b f g f --=

ξξ'' 证明：作辅助函数

()()()()()()()

()()()a g x g a g b g a f b f b f x f x F ----

-=. 易见F 在[]b a ,上满足罗尔定理条件，故存在),(b a ∈ξ，使得

()()()()()()

()0'

''=---

=ξξξg a g b g a f b f f F

因为()0'≠ξg （否则由上式()ξ'f 也为零），所以可把上式改成

()()()()()()

a g

b g a f b f g f --=ξξ'

'。注:若,I x ∈?有)(x f '=0，则.)(c x f =若)()(x g x f '='则.)()(c x g x f +=. 当函数f 在()()()()()(),00000x x x x x f x f x f x -+-'+=ο可微，必有这表明f 在0x 的附近可用一次多项式逼近，现在，我们希望用更高多项式逼近，因为多项式在运算上最方便，且具有很好的性质.泰勒（1685-1731,英国数学家）最早考虑了这个问题.随着定理的不断深入，应该说泰勒公式才达到了中值定理的最后阶段.

1.4泰勒公式

若f 在[]b a ,上有直到n 阶连续导数，在()b a ,上()1+n 阶导数存在，则

[]有,,,0b a x x ∈?

()(),

)()!1()()(!)()(!2)()(!1)(10)1(00)(00000++-++-+???+-''+-'+=n n n

n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ其中.0之间与介于x x ξ

注意:.可取任意自然数

n 当时，0=n ()())()

()(),(!

1)(ξξf a

b a f b f a b f a f b f '=---'+=即

令时，得到马克劳林公式00=x :

()()().

1()(!)0(!2)0(001)1()(2+++++???+''+'+=n n n n x n f x n f x f x f f x f ξ 1.5常用微分中值定理及内在联系

中值定理

条件

结论

罗尔中值定理

f 在闭区间[]b a ,上连续，

()b a ,内可导),()(b f a f =

则),(b a ∈?ξ，使得0)(='ξf

柯西中值定理

则),(b a ∈?ξ，使得0)(='ξf 则),(b a ∈?ξ，使得.)

()()(a

b a f b f f --=

'ξ

拉格朗日中值定理

f ，

g 在闭区间[]b a ,上连续，

()b a ,内可导，'g ≠0，

()≠a g ()b g

则),(b a ∈?ξ，使得

()()

()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 泰勒公式

f 在[]b a ,上有直到n 阶连续

导数，在()b a ,上()1+n 阶导数

()b a x ,??),(b a ∈?ξ

()()()()()+-=∑

=a x k a F x f x f K n

k !

()()

()()a x n f n -++!11ξ 关系

柯西和泰勒都是拉格朗日的推广，拉格朗日是罗尔的推广

2 微分中值定理的应用

2.1 证明有关等式

在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理

加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.

例 2.1.1[5]()f x 是定义在实数集R 上的函数,若对任意,x y R ∈,有2()()()f x f y M x y -≤-,其中M 是常数,则()f x 是常值函数.

证明对任意x R ∈,x 的改变量为x ?,由条件有2()()()f x x f x M x +?-≤?,

即

()()

f x x f x M x x

+?-≤??,

两边关于0x ?→取极限得

0()()

0lim

lim 0x x f x x f x M x x

?→?→+?-≤≤?=? 所以()0f x '=.

由中值定理()(0)()0f x f f x ξ'-==,即()(0)f x f =, 故在R 上()f x 是常值函数.

思路总结要想证明一个函数()f x 在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数()f x '在同一区间上恒为零即可.

例2.1.2[2] 设()f x =1121

12321343

x x x x x x ------,证明：存在(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=.

证明由于()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,111

(0)1220133

f --=--=--,

101

(1)111121

f =--0= .符合罗尔中值定理的条件,故存在ξ(0,1)∈,使()0f ξ'=

例2.1.3 若()f x 在[0,1]上有三阶导数,且(0)(1)f f =0=,设3()()F x x f x =,试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使()0F ξ'''=.

证明由题设可知()F x ,()F x ',()F x '',()F x '''在[0,1]上存在,又(0)(1)F F =,由罗尔中值定理,?1ξ(0,1)∈使

1()0F ξ'=, 又230(0)[3()()]|0x F x f x x f x =''=+=可知()F x '在上1[0,]ξ满足罗尔中值定理,于是21(0,)ξξ?∈,使得

2()0F ξ''=,

又

230(0)[6()6()()]|0

x F xf x x f x x f x ='''''=++=对()F x ''存在21(0,)(0,)(0,1)ξξξ∈??,使 ()0F ξ'''=.

例 2.1.4[4]（达布定理的推论）若函数()f x 在[,]a b 内有有限导数,且()()0f a f b +-''< ,则至少存在(,)c a b ∈,使得()0f c '=.

证明 ()()0f a f b +-''<,不妨设()0f a +'<,()0f b -'>,

因为()lim[()()]/()0x a

f a f x f a x a +

+→'=--<由极限的局部保号性可知,?1δ0>,当1(,)x a a δ∈+时,

()()0f x f a -<,即()()f x f a <. 同样?20δ>,当2(,)x b b δ∈-时,

()()0f x f b -<,即()()f x f b <.

取12min{,,}2

b a

δδδ-=,于是在(,)a a δ+,(,)b b δ-中,分别有 ()()f x f a <

和

()()f x f b <.

故()f a ,()f b 均不是()f x 在[,]a b 中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为c 由费马定理可知,

()0f c '=.

小结证明导函数方程()()0n f x =的根的存在性的证明方法有如下几种： ①验证函数()f x 在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明()0f ξ'=.

②在大多数情况下,要构造辅助函数()F x ,验证在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,证明()0F ξ'=,进而达到证明问题的目的.

③验证x ξ=为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的.

例 2.1.5 设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,0a b <<,试证：

,(,)a b ξη?∈使()()2a b

f f ξηη

+''=.

证明由于0a b <<,2(),()f x g x x =,()20g x x '=≠,(,)x a b ∈

由于(),()f x g x 在[,]a b 上满足柯西中值定理 ,所以(,)a b η?∈使

22()()()

2f f b f a b a ηη'-=- ()()()()()2f f b f a b a f b a

ηξη'-'?+==-,(,)a b ξ∈

由上面二式可得,(,)a b ξη?∈使得：

()()2a b

f f ξηη

+''=.

例2.1.6 设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==.试证：对任意给定的正数,a b 在(0,1)内不同的ξ,η使

()()a b

a b f f ξη+=+''. 证明由于,0a b >所以01a

a b

<+. 又由于()f x 在[0,1]上连续且(0)0,(1)1f f ==.由介值性定理,(0,1)τ?∈使得

()a

f a b

τ=+,

()f x 在[0,],[,1]ττ上分别用拉格朗日中值定理有

()(0)(),(0,)f f f ττξξτ'-=∈

即

()(),(0,)f f ττξξτ'=∈

(1)()(1)(),(,1)f f f ττηητ'-=-∈

即

1()(1)(),(,1)f f ττηητ'-=-∈

于是由上面两式有

1()1()()()f b f a b f ττηη--==''+

()()()()

f a f a b f ττξξ==''+

将两式相加得

1()()()()

a b

a b f a b f ξη=+''++ 即

()()

a b

a b f f ξη+=+''. 小结大体上说,证明在某区间内存在,ξη满足某种等式的方法是： ①用两次拉格朗日中值定理.

②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理. ③两次柯西中值定理.

④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理.

2.2 证明不等式

在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例2.2.1[3] 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；

⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b ==

⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >

求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.

证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知

1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以

1()0f x '=.

由泰勒公式：211111()

()()()()(),(,)2!

f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<.

例2.2.2 设0b a <≤,证明ln a b a a b

a b b

--≤≤. 证明显然等式当且仅当0a b =>时成立. 下证当0b a <<时,有

ln a b a a b

a b b

--<< ① 作辅助函数()ln f x x =,

则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ?∈使

ln ln 1

a b a b ξ

-=- ②

由于0b a ξ<<<,所以

111

a b

ξ<< ③ 由②③有1ln ln 1

a b a a b b

<-,即 ln a b a a b

a b b

--<<. 小结一般证明方法有两种

①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：

第一步根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；

第二步验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-；第三步把()f ξ'适当放大或缩小.

2.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题

例 2.3.1 设函数在0x x =点的某一邻域内可导,且其导数()f x '在0x 连续,

而0n n x αβ<<当n →∞时00,n n x x αβ→→,求 ()()

lim

n n n n n

f f βαβα→∞

--.

解设00{},{}()n n u x αβ?,则由拉格朗日中值定理有

()()

(),()n n n n n n n n

f f f βαξαξββα-'=<<-.

已知0()n x n ξ→→∞,又()f x '在0x 连续,即0

0()lim ()x x f x f x →''=,所以

0()()

lim

lim ()lim ()()n n n n n x x n n

f f f f x f x βαξβα→∞

→∞

→--'''===.

例2.3.2 若()f x 在(,)a +∞内可导,且lim[()()]0x f x f x →∞

'+=,求lim ()x f x →∞

. 分析由式[()()][x x f x f x e f x e ''+=,引进辅助函数()(),()x x F x f x e g x e ==,显然()0g x '≠.

解由lim[()()]0x f x f x →∞

'+=,知0ε?>,0X ?>当x X >时()()f x f x ε'+<,

令()()x F x f x e =,()x g x e =对x X >,在[,]X x 上利用柯西中值定理有

()()()

()()()F x F X F g x g X g ξξ'-='-,(,)X x ξ∈

即

()()[()()]x X x X f x e f X e f f e e e e ξ

ξξ'-+=-,

亦有

[()()]()()1X x

X x

f x f X e f f e

ξξ---'=+-, 或

|()||()||()()|(1)X x X x f x f X e f f e ξξ--'≤+++ 由于lim 0X x

x e -→+∞

=,所以1,x X ?>当1x x >时有

X x e ε-<和1X x e -<,

于是1x x ?>,使

|()||()|2f x f X εε≤+

即

lim ()x f x →∞

0=.

小结

方法 1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.

方法 2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.

2.4 证明零点存在性

在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.

例2.4.1 设i a R ∈且满足12

0 (0231)

n a a a a n +

+++=+,证明方程 12012...0n n a a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根.

证明引进辅助函数231

012() (231)

n n x x x F x a x a a a n +=+++++,

显然(0)(1)0F F ==,()F x 又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,()F x 满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)ξ∈使

()0F ξ'=

而

12012()...n n F x a a x a x a x '=++++

故方程

12012...0n n a a x a x a x ++++=

在(0,1)内至少有一个实根ξ.

注本题构造()F x 的依据是使()F x 得导数恰好是所证方程的左边. 例2.4.2 证明：方程510x x +-=有唯一正根. 证明（存在性）令5()1f x x x =+-,

显然()f x 是连续函数,取区间[0,]N 则()f x 在[0,]N 上连续,在(0,)N 内可导,且

4()510f x x '=+>,

由连续函数的零点定理,知存在0x (0,)N ∈使0()0f x =即方程有正根

(0)N >.

（唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,

设处0x 外还有一个10x >不妨设01x x <使1()0f x =则()f x 在01[,]x x 上满足罗尔中值定理条件,于是存在01(,)x x ξ∈使

()0f ξ'=

这与上面的4()510f x x '=+>矛盾.

所以,方程有唯一的正根.

例 2.4.3 设(),(),()f x g x h x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,证明(,)a b ξ?∈使()()()

()()()0()()()f a g a h a f b g b h b f g h ξξξ='''并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它

的特例.

证明作辅助函数()

()()

()()()()()f a g a h a F x f b g b h b f x g x h x =由于()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知(,)a b ξ?∈使

()

0()()()()()()()

f a

g a

h a F f b g b h b f g h ξξξξ'==''',

①

若令()1h x =,则由①式有

()

10()()

()1()

()0

f a

g a F f b g b f g ξξξ'=='',

②

由②式可得

()()()

f b f a f

g b g a g ξξ'-='-

此即柯西中值定理.

若令()1h x =,()g x x =由①式有

()

0()()1()10

f a a F f b b f ξξ'==',

③

由③可得

()()

()f b f a f b a

ξ-'=-

此即为拉格朗日中值定理.

此类型题的一般解题方法小结证明根的存在性有以下两种方法

（1）构造恰当的函数()F x ,使()()F x f x '=；对()F x 使用洛尔定理即可证得结论存在ξ,使得()0f ξ=；

（2）对连续函数()f x 使用介值定理；

证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证.

2.5 函数的单调性

例2.5.1[6] 证明：若函数()f x 在[0,)a 可导,()f x '单调增加,且(0)0f =,则函数()f x x

在(0,)a 也单调增加.

证明对任意12,(0,)x x a ∈,且12x x <,则()f x 在1[0,]x 与12[,]x x 均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在11212(0,),(,)c x c x x ∈∈,使

111()(0)

()0f x f f c x -'=

-, 21221

()()

()f x f x f c x x -'=-,

由于()f x '单调增加,且(0)0f =,所以

121121

()()()

f x f x f x x x x -≤-, 从而

1212

()()

f x f x x x ≤,

即函数

()

f x x

在(0,)a 也单调增加. 证明函数为单调函数一般有两种方法：（1）利用函数单调的定义来证明；

（2）利用导函数()f x '来证明.若在该区间上恒有()0f x '≥则()f x 为单增函数；若在该区间上恒有()0f x '≤则()f x 为单减函数.

2.6 导数的中值估计

例 2.6.1[7] 设()f x 在[,]a b 上二次可微, ()()0f a f b ''==,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使得

()()()()f f b f a b a ξ''≥--.

证明因为函数()f x 在[,]2a b a +与[,]2

a b

b +上可导,所以由中值定理有 11()()

2(),(,),22

a b f f a a b f c c a a b a +-+'=∈+- （1）

()()

2(),(,),22

a b

f b f a b f c c b a b b +-+'=∈+- （2） (1)(2)+,并整理得

212

()()[()()]f c f c f b f a b a

''+=

--, （3）

又()()0f a f b ''==,且()f x 在[,]a b 上二次可微,则分别在1(,)a c 与2(,)c b 内至少存在1ξ与2ξ,使

11111()

(),(,),f c f a c c a ξξ'''=∈- （4）

22222()

(),(,),f c f c b c b

ξξ'''=∈- （5） (4)(5)+,并整理得

211122()()()()()(),f c f c f c a f c b ξξ''''''+=-+- （6）

将（6）式代入（3）式得

11222

()()()()()()f b f a f c a f c b b a

ξξ''''-=-+-- 令12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=,则

11222

()()()()f b f a f c a f c b b a

ξξ''''-≤-+--()f b a ξ''≤- 即

()()()()f f b f a b a ξ''≥

--,(,)a b ξ∈.

解题方法小结

选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论.

2.7 证明函数在区间上的一致连续

例2.7.1 设函数()f x 在(0,1]内连续且可导,有0

lim ()0x x f x +

→'=,证明：()f x 在(0,1]内一致连续.

证明由函数极限的局部有界性知,存在0M >和(0,1)c ∈,使

(),(0,]x f x M x c '≤∈

于是12,(0,]x x c ?∈,且12x x ≠不妨设12x x <由柯西中值定理,12(,)x x ξ?∈,有

2121()()()

2()1/(2)f x f x f f x x ξξξξ'-'==-

即

21212212x x x x x x x -=+-≤-

故0,ε?>2min{(

),}2c M

δ?=,当12,(0,]x x c ∈,且21x x δ-<时,由上面两式

得到212121()()22f x f x M x x M x x ε-≤-≤-<

于是知()f x 在(0,]c 上一致连续,

由于()f x 在(0,1]上连续,所以()f x 在[,1]c 上一致连续, 由定理知()f x 在(0,1]内一致连续.

证明函数在区间上的一致连续解题小结：

利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立.

2.8 用来判定级数的敛散性

例 2.8.1 设函数()f x 在点0x =的某邻域内有二阶连续导数,且

0()lim 0x f x x →=,证1

1()n f n ∞

=∑绝对收敛. 证明由0()

lim

0x f x x

→=且()f x 在0x =可导,知(0)0,(0)0f f '==故()f x 在点0x =处的一阶泰勒公式为：

2211

()(0)(0)()()2!2!

f x f f x f x f x ξξ'''''=++=,(0,)x ξ∈

因()f x M ''≤,故

1()()2!2

M f x f x x ξ''=

≤. 取1

x n

有 211()()2M f n n

≤

由于211()2n M n ∞

=∑收敛,由比较判别知1

()n f n ∞

=∑绝对收敛.

定理[8] 已知()f x 为定义在[1,)+∞上的减函数,()F x 为定义在[1,)+∞上的连续函数,且()()0F x f x '=>,(1,)x ∈+∞.

⑴当极限l i m

()n F n →∞

存在时,正项级数1

()

n f n ∞

=∑收敛,设其和为a ,则

lim ()(1)lim ()(1)(1)n n F n F a F n F f →∞

→∞

-≤≤-+；

⑵当极限lim ()n F n →∞

=∞时,正项级数1

()n f n ∞

=∑发散.

证明下面只证定理的前半部分.

因为函数()F x 在区间[,1]k k +上满足中值定理的条件（其中1k ≥）,所以在(,1)k k +内至少存在ξ使得(1)()()F k F k f ξ+-=成立,

又()f x 为减函数,故有

(1)(1)()(),1,2,,f k F k F k f k k n +<+-<=???.

将上述n 个不等式相加得

(2)(3)...(1)(1)(1)(1)(2)...()f f f n F n F f f f n ++++<+-<+++. 令(1)(2)...()n S f f f n =+++, 则

(1)(1)(1)(1)n n S f f n F n F S -++<+-<,（1）

因极限lim ()n F n →∞

存在,()f x 为减函数,从而数列{()}F n 有界,

(1)(1)f n f +<,

所以数列{}n S 单调递增且有上界,故极限lim n n S →∞

存在,即级数1

()n f n ∞

=∑收敛.从而

lim ()0n f n →∞

由（1）可得

lim ()(1)()lim ()(1)(1)n n n F n F f n F n F f ∞

→∞

=-≤≤-+∑.

例2.8.2 判定级数2

1n n n e

∞

=∑是否收敛？若收敛,请估计其和.

解令2()x f x x e -=,2()(22)x F x x x e -=-++,

则()()F x f x '=,()(2)x f x x x e -'=-,故当2x ≥时,()0f x '≤,此时()f x 为减函数,

又lim ()n F n →∞

0=,由定理知级数2

1n n n e

∞

=∑收敛, 且

2lim ()(2)lim ()(2)(2)n n n n n F n F F n F f e

∞

→∞→∞

=-≤≤-+∑, 所以

10(2)(1)0(2)(2)(1)n n n F f F f f e

∞

=-+≤≤-++∑

即

2111014n n n e e e e e

∞

----=+≤≤+∑.

判定级数的敛散性的一般解题方法

方法一一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；

方法二先验证级数满足相关定理的条件,即可得到相应结论；

3 总结

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代,对微分中值定理的研究从微积分建立之始就开始了.微分中值定理是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心，有着广泛的应用。本课题是对微分中值定理在证明方程根的存在性、证明不等式、求极限、泰勒公式、中值点存在性的应用等几个方面的论述,其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。

我们知道，运用微分中值定理证明有关命题的关键是构造辅助函数，构造满足某个中值定理条件的而得到要证明的结论。而构造辅助函数技巧性较强，构造合适的辅助函数往往是困难的。由于本人能力有限，查找的资料也有局限性，本文对辅助函数的构造还未进行深入的研究，这将是我以后研究的方向。

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社第三版,2001. [2]孙清华,孙昊编. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M]. 武汉:华中科技出版社, 2003.

[3]钱吉林.数学分析题解精粹第二版[M]. 武汉: 湖北长江出版集团,2009.

[4]邓乐斌编. 数学分析的理论、方法与技巧[M]. 武汉:华中科技出版社,2005. [5] 王宝艳.微分中值定理的应用[J].雁北师范学院学报,2005,2：59~61. [6]贾田田,刘伟伟,霍丽元. 微分中值定理的应用及其在特定条件下问题的思路分析[J].

工程科技Engineering Technolofy,2009,2下：182.

[7] 罗群. 微分中值定理及其应用[J].肇庆学院学报,2003,24（5）：31~36. [8]刘章辉. 微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报(自然科学版),2007,2（27）:9~

致谢

在本次论文设计过程中，感谢我的学校，给了我学习的机会，在学习中，潘亚丽老师从选题指导、论文框架到细节修改，都给予了细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议，潘亚丽老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。她渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。这篇论文是在潘亚丽老师的精心指导和大力支持下才完成的

感谢所有授我以业的老师，没有这些年知识的积淀，我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。感恩之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正，使我及时完善论文的不足之处。

谨以此致谢最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢。

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章微分中值定理及其应用上册P 178—180 习题解答 1．设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ，此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ，此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理研究报告和推广

渤海大学毕业论文<设计）题目微分中值定理的研究和推广完成人姓名张士龙主修专业数学与应用数学所在院系数学系入学年度 2002年9月完成日期 2006年5月25日指导教师张玉斌

目录引言 (1) 一、中值定理浅析 (1) 1、中值定理中的 (1) 2、中值定理中条件的分析 (2) 二、微分中值定理的推广 (4) 1、微分中值定理在无限区间上的推广 (4) 2、中值定理矢量形式的推广 (7) 3、微分中值定理在n维欧式空间中的推广 (9) 4、中值定理在n阶行列式形式的推广 (12) 5、高阶微分中值定理 (15) 结束语 (19) 参考文献 (19)

微分中值定理的研究和推广张士龙 <渤海大学数学系锦州 121000 中国）摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。关键词：微分中值定理，无限区间，矢量形式，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。 The Research and Popularization of The Differential Mean Value Theorem Shilong Zhang (Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China> Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem. Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order 引言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进一步的研究和创造有很大的帮助。一、中值定理浅析 1、中值定理中的

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223 四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国达州 2010年4月

目录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

数学分析之微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点：中值定理。教学难点：定理的证明。教学难点：系统讲解法。一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/708197078.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且

微分中值定理和应用(大学毕业论文)

毕业论文(设计) 题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生：邓奇峰院 (系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月

目录毕业设计任务书I 开题报告II 指导老师审查意见III 评阅老师评语IV 答辩会议记录V 中文摘要VI 外文摘要VII 1 引言1 2 题目来源1 3 研究目的和意义1 4 国外现状和发展趋势与研究的主攻方向1 5 微分中值定理的发展过程2 6 微分中值定理的基本容3 6.1 罗尔(Rolle)中值定理3 6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理4 6.3 柯西（Cauchy）中值定理4 6.4 泰勒（Taylor）定理4 7 微分中值定理之间的联系5 8 微分中值定理的应用5 8.1 根的存在性证明6 8.2 利用微分中值定理求极限8 8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性10 8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题10 8.5 利用微分中值定理求近似值10 8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题10 8.7 利用微分中值定理证明不等式11 9 微分中值定理的推广14 9.1 微分中值定理的推广定理15 9.2 微分中值定理的推广定理的应用17 参考文献18 致19

微分中值定理的推广及应用学生：邓奇峰，信息与数学学院指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的容和微分中值定理之间的在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“求极限”和“证明不等式”等方面的应用。由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用围。同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。【关键词】微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理联系推广应用

微分与积分中值定理及其应用

第二讲微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ．朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导；则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

微分中值定理及其应用习题解析2

第六节定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。解由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2）（1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

微分中值定理及其应用

本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学论文题目微分中值定理及其应用学生姓名贾孙鹏指导教师黄宽娜（副教授）班级11级数应1班学号 11290056 完成日期：2015年4月

微分中值定理及其应用贾孙鹏数学与信息科学学院数学与应用数学 11290056 【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。【关键词】微分中值定理应用辅助函数 1引言微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。 2柯西与微分中值定理 2.1柯西的证明首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将() g x的导数定义为 ()() g x h g h h +- 当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。