年 级 高一 学 科 数学
版 本
人教版
内容标题 函数、函数的表示法
编稿老师 刘震
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
二. 本周重、难点
重点：函数的概念、函数的表示法 难点：求抽象函数的定义域
【典型例题】
[例1] 判断下列对应是否为A 到B 的映射
（1）R A =，{}
R x x x B ∈>=且0，A x ∈，f ：x x →
（2）N A =，*
N B =，A x ∈，f ：1-→x x
（3）{}
R x x x A ∈>=且0，R B =，A x ∈，f ：2
x x →
解：（1）B ?0 不是映射 （2）B ?0 不是映射 （3）是映射 [例2] 已知集合R A =，{}
R y x y x B ∈=,),(映射f ：B A →的对应法则是
f ：)1,1(2++→x x x 求A 中元素3的象和B 中元素)4
5
,23(的原象。
解：∵ f ：)1,1(2++→x x x
∴ A 中元素3的象为)1)3(,13(2++即)4,13(+
设B 中元素)45,23(的原象为x ，则???
????=+=+45
12
312x x ∴ 21=x
∴ B 中元素)45,23(的原象为2
1
[例3] 下列各组函数，是否为同一函数？
（1）x
x
y =与1=y （2）x y =与2x y =
（3）2x y =
与33x y = （4）122--=x x y 与122--=t t y
解：
（1）不是同一函数，因为定义域不同。 （2）不是同一函数，因为值域不同。 （3）不是同一函数，因为对应法则不同。 （4）是同一函数 [例4] 求函数的解析式
（1）设2)(x x f =，1
1
)(-=x x g 求)]([x f f ，)]([x f g （2）设12)(-=x x f ，???<-≥=0
10
)(2x x x x g ，求)]([x g f ，)]([x f g
（3）若x x x f 2)1(+=+，求)(x f
（4）若x
x f -=11
)1(求)(x f
解：
（1）4222)()()]([x x x f x f f === 1
1
)()]([2
2
-=
=x x g x f g （2）???<-≥-=03012)]([2
x x x x g f ???
?
??
?<
-≥
-=2
11
21)12()]([2x x x x f g （3）方法一：设)1(1≥+=
t x t ∴ 2)1(-=t x
∴ 1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴ )1(1)(2≥-=x x x f
方法二：1)1(2)1(2-+=+=+x x x x f ∴ )1(1
)(2≥-=x x x f
（4）∵ 111
)1
(-=x
x x
f ∴ 1)(-=x x x f )1,0(≠x
[例5] （1）已知)(x f 的定义域为)1,0[，求)(2
x f 的定义域。
（2）已知)21(x f -的定义域为]5,3[求)(x f 的定义域。
解：
（1）∵ 10<≤x ∴ 102
<≤x ∴ 11<<-x
∴ )(2
x f 的定义域为)1,1(-
（2）∵ )21(x f -的定义域为]5,3[ ∴ 53≤≤x ∴ 6210-≤-≤-x ∴ 5219-≤-≤-x ∴ )(x f 的定义域为]5,9[-- [例6] 求值域
（1）已知2322
--=x x y ① R x ∈ ② )1,2
1
(-
∈x ③ ]3,1(∈x （2）12312+--=x x y （3）x y +
=1
（4）135-+-=x x y （5）2
1
x
x y -= 解：
（1）① 825-
≥y ② )0,8
25
[-
∈y ③ ]7,3(-
（2）∵
36
32)31(312322≥
+-=+-x x x ∴ 3
61232
-≤+--x x
∴ 36112312
-≤+--x x
∴ 函数值域为]3
6
1,(--∞
（3）1≥y
（4）设13-=x t 则)0(3
1
2≥+=t t x ∴ 3
143131522++-=++-=t t t t y 1265
)23t (312+
--= ∵ ),0[23∞+∈ ∴ 2
3=t 即1213=x 时 1265max =y
∴ 函数值域为]12
65,(-∞ （5）方法一：∵ 4
141)21(22
2≤+--=+-=-x x x x x
当02
<-x x 时 012
<-=
x x y 当02
=-x x 时 无意义
当02
>-x x 时 412
≥-=x
x y ∴ {}40≥ 方法二：12=-yx yx 即012=+-yx yx ∵ 0=y 时 方程无实根 ∴ 0≠y 时 方程有实根 则042≥-=?y y ∴ 0≤y 或4≥y ∴ 0 [例7] 已知函数a ax x x f -++-=12)(2 在区间]1,0[上的最大值为2，求实数a 的值。 解：1)()(2 2+-+--=a a a x x f ]1,0[∈x