华师大版九年级上册21.1二次根式教案
教学内容：21.1二次根式
教学目标：
1、理解二次根式的概念。能够利用二次根式有意义的条件确定字母的取值范围；
2、理解二次根式的性质。能够利用二次根式的性质进行计算和化简。
3、通过对根的方和方的根的比较学习，增强学生的符号意识。 教学重难点关键
1．重点：二次根式有意义的条件和二次根式的性质；
2．难点与关键：二次根式有意义的条件，方的根这一性质的应用．
教学方法：自主学习
教学准备：课件
教学过程
一、 复习与练习
1、9的平方根是 ，0.36的算术平方根是 ；
2、 是121的平方根， 是5的算术平方根；
3、计算：
（1）=±6425 ， =-44.1 ，
（2）=+
494 ， =16.0 ， （3）=-2)5( ， =26 ，
二、自主学习
（一）学习二次根式的定义
1、定义：形如)0(,≥a a 的式子，叫做二次根式。
2、定义的应用
例1、下列式了中，是二次根式的是 。 12-x ，25+y ，4-，22b a +，100，2)1(-x ，0 例2、求下列代数有意义的字母的取值范围
（1）x 25- （2）421
+x
解：（1）025≥-x （2）042>+x
2552≤-≥-x x 2
42->->x x （3）21-x （4）
31+x （3）02>-x （4）03≠+x
2>x 3-≠x （5）
112-+x x （6）631+-x x （5）???≠-≥+01012x x （6） ?
??≠+≥-06301x x 解得：?????≠-≥1
21x x 解得：???-≠≥21x x
x ∴的取值范围是： x ∴的取值范围是：1≥x
1,21≠-≥x x 且
（7）533+-x x （8）
22526+-+-x x x （7）053>+x （8）???≠+≥-02026x x 355
3->->x x 解得：??
?-≠≤23x x x ∴的取值范围是： 2,3-≠≤x x 且 练习：课后练习第2题。
（二）学习二次根式的性质
1、二次根式的性质
性质1：非负性。)0(,0≥≥a a ； 性质2：根的方。)0(,)(2≥=a a a ； 性质3、方的根。
?????<-=>==)0(,)0(,0)0(,2a a a a a a a 2、性质的应用
（1）非负性的应用
例3、当x= 时，代数式247+-x 取得最大值 ； 解：024≥+x
72470
24≤+-≤+-∴x x
22．1. 二次根式（1） 教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一 个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质， 可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-
华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)(a （a ≥0）；（2 ；（ 3） ??? ??<=>== )0___()0___()0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数 项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，
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华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根 号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根 式。 0,0).a b ?=≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
23.1 一元二次方程 教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02 =++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点： 1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一 做一做： 1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900 整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x ）2=7.2, 整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论 这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。 其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。.
第25章解直角三角形 (2) §25.1 测量 (3) §25.2 锐角三角函数 (4) 1.锐角三角函数 (4) 2．用计算器求锐角三角函数值 (7) §25.3 解直角三角形 (9) 阅读材料 (13) 小结 (14) 复习题 (15) 课题学习 (18)
第25章 解直角三角形 测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题． 222c b a =+ a b B = tan
§25.1 测量 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容． 练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．
第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平 方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整 理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2 万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年 年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：
华东师大版九年级数学中考复习模拟试题 一、 填空题（20102=?） 1、1-2的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。 2、因式分解=-+-++121232826m m m x x x 。 3、桌上摆着一个由正方体木块组成，主视图如A 所示，左视图如B 所示，这个几何体最多有 块木块，最少有 块木块。 4、一幢大楼有三个楼梯，4个人从楼上下来，4个人同走一个楼梯的概率 是 。 5、已知点)3,(-a P 与O(2,b)关于原点对称，则a= ,b= . 6、已知函数x k y = 与8+-=x y 有两个不同的交点，则k 的取值范围为 。 7、关于x 的方程(n-1)x n-1-2x n+1 +n=0是一元二次方程，则n= . 8、已知半径分别9CM 为3CM 和的两圆外切，那么它们的外公切线的中点到两圆切点的离是 。 9、如图AB=8CM ，BC=7CM ，AC=6CM ，BE=CE ，那么CD= 。 10、如图，矩形ABCD 的顶点A 在坐标原点，AB ，AD 分别在X 轴，Y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（1，0），点D 的坐标为)3,0(，当此矩形绕点B 旋转到如图 A ’B’C’D’位置时C’的坐标为 . 二、选择题（20102=?） 11、在同一坐标系中，若直线x k y 1=与双曲线x k y 2=没有交点，那么一定 满足（ ） A B B C E D （9） A D B O A’ C’ D’ C (10) X Y
A 0 ,021<>k K B 0,021> 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件：被开方数a ≥0 3. 二次根式的性质： （1）（ a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 4．二次根式的乘法--------- )0,0(≥≥??b a ab b a 5．二次根式的除法---------)0,0(>≥? b a b a b a 6．最简二次根式： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 7．同类二次根式--------化成最简二次根式后，被开方数相同。 8.二次根式的加减--------先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 9.分母有理化：把分母中的根号化去。 ① a 的有理化因式是a ； ②a 的有理化因式是a 。 1． 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 2.一般形式：c b a c bx ax ,,(02 =++是已知数，)0≠a 。 其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。 3. 一元二次方程的解---------- 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法-----------若()02 ≥=a a x ，则a x ±= （2）配方法-----步骤：①把常数项移到方程的右边；②把二次项的系数化为1；③方程两边同时 加上1次项的系数的一半的平方，配成完全平方公式；④直接开平方。 （3）公式法-------求根公式：)04(242 2≥--±-= ac b a ac b b x 步骤：①把方程化为()002 ≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；②求出ac b 42-的值；③若042 ≥-ac b ， 则.,b a 把及ac b 42 -的值代入求根公式，求出21,x x 。 （4）因式分解法-----------要求方程右边必须是0，左边能分解因式。 注意：形如“ ()()为常数b a b a x b a x ,02=+++可将左边分解因式，方程变形为()()0=++b x a x ，则 00=+=+b x a x 或，即b x a x -=-=21,。 5.一元二次方程根的判别式-----------------△=ac b 42 - ①△=ac b 42 -﹥0?方程有两个不相等的实数根； ②△=ac b 42-=0?方程有两个相等的实数根； a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 25.1 测量 教学目标 1、在探索基础上掌握测量。 2、掌握利用相似三角形的知识 教学重难点 重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 教学过程 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．1 1．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米） （第1题） （第3题） 2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 小结与作业: 华师大版初中数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 ? ? ? ? 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21 章二次根式 1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2.二次根式的性质： ?(a > 0)（1）( a ) 2 =（a≥0）；（2） 0)；（3） 3.二次根式的乘除： a 2 = = ? (a = 0) ?(a < 0) ?= (a ≥0,b≥0) 计算公式：? ? ? = (a ≥0,b>0) 4.概念：?1.最简二次根式：(1) (2) (3) ? 2.同类二次根式： 5.二次根式的加减：(一化，二找，三合并) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6.二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算 术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7.二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.一元二次方程： 第22 章一元二次方程 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) ．它的特征：等式左边 是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． ax 2 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c叫做常数项．2.一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如(x +a)2 =b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x +a 是b 的平方根，当b ≥0时，x +a =± b ，x =-a ± b ，当b<0 时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2 ± 2ab +b2 = (a +b)2 ，把公式中的a 看做未知 数x，并用x 代替，则有x2 ± 2bx +b2 = (x ±b)2 ． 教学目标1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念， 2.让学生深刻认识圆中的基本概念。 教学重点圆中的基本概念的认识。 教学难点对等弧概念的理解。 教学过程 （一）情境导入：圆是如何形成的？ 请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA 绕着它 固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） （二）问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50% 的同学步行上学，有20% 的同学坐公共汽车 上学，其他方式上学的同学有30% ，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。如图28.1.2线, 段OA、OB、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆 心的圆 叫作“圆O”，记为“⊙ O” 线段AB、BC、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC、BAC， 其中像弧B︵C这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ∠AOB、∠AOC、∠BOC 就是圆心角。结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 三、课堂练习 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？ 4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。 5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。 22．1. 二次根式（1） 教学内容: 二次根式的概念及其运用 教学目标:1、理解二次根式的概念, （a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题, 根据问题给出概念, 应用概念解决实际问题． 教学重难点关键:1．重点:（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键:（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程:一、回顾 当a 是正数时, a 表示a 的算术平方根, 即正数a 的正的平方根． 当a 是零时, a 等于0, 它表示零的平方根, 也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时, a 没有意义． 二、概括: a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根, 也就是说, a （a ≥0）是一个非负数, 它的平方 等于a ．即有: （1） a ≥0（a ≥0）； （2）2 )(a =a （a ≥0）． 形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意:在二次根式 a 中, 字母a 必须满足a ≥0, 即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题: x 是怎样的实数时, 二次根式 1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义, 必须且只须被开方数是非负数． 解: 被开方数x-1≥0, 即x ≥1． 所以, 当x ≥1时, 二次根式 1-x 有意义． 思考: 2 a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值, 如2, -2, 3, -3, ……分别计算对应的a2的值, 看看有什么规律: 概括: 当a ≥0时, a a =2； 当a ＜0时, a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方, 运用这个性质, 可以将它“开方”出来, 从而达到化简的目的．例如: 2 2)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时, 下列各式有意义. （1） x 43-； （2） 23-x ； （3）2 ) 3(-x ； （4） x x 3443-+- 五、 拓展 华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2 )=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0) 0(2 a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。 0,0).a b ? =≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。 附：1、根式 )0,0(>≥a b a b 的化简方法 （1）把 a b 化为,a b 然后分母有理化为 .a ab （2）把a b 化为a a a b ??，然后化为 .a ab 2、 分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为： (1)根据（a ）a =2 )0(≥a 可知a (2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a μ，y b x a ±的有理化因式是y b x a μ 第22章 一元二次方程： 1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这 华东师大初中九年级数学上册教案 21．1. 二次根式（1） 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方 等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方” 出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 五、 拓展 二次根式 21.1 二次根式 【知识与技能】 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a. a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简. 3.理解2 【过程与方法】 1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题. 3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】 通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质. 【教学重点】 1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用. 3. 【教学难点】 利用“a（a≥0）”解决具体问题. 关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出 一、情境导入，初步认识 回顾： 当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时，a没有意义. 【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念. 二、思考探究，获取新知 概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有： （1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）. 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 思考：2a等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律. 概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a. 三、运用新知，深化理解 1.x取什么实数时，下列各式有意义？ 2.计算下列各式的值： 最新华师大版初中数学教科书目录 七年级上 第1章走进数学世界 数学伴我们成长 人类离不开数学 人人都能学会数学 第2章有理数 § 2.1有理数 1. 正数与负数 2. 有理数 § 2.2数轴 1. 数轴 2. 在数轴上比较数的大小 § 2.3相反数 § 2.4绝对值 § 2.5有理数的大小比较 § 2.6有理数的加法 1. 有理数的加法法则 2. 有理数加法的运算律 § 2.7有理数的减法 § 2.8有理数的加减混合运算 1. 加减法统一成加法 2. 加法运算律在加减混合运算中的应用§ 2.9有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 2. 有理数乘法的运算律 § 2.10有理数的除法 § 2.11有理数的乘方 § 2.12科学记数法 § 2.13有理数的混合运算 § 3.1列代数式 1.用字母表示数 2.代数式 3.列代数式 § 3.2代数式的值 § 3.3整式 1.单项式 2.多项式 3.升幕排列与降幕排列§ 3.4整式的加减 1. 同类项 2. 合并同类项 3. 去括号与添括号 4. 整式的加减 第4章图形的初步认识 § 4.1生活中的立体图形 § 4.2立体图形的视图 1. 由立体图形到视图 2. 由视图到立体图形 § 4.3立体图形的表面展开图 § 4.4平面图形 § 4.5最基本的图形一点和线 1. 点和线 2. 线段的长短比较 § 4.6 角 1. 角 2. 角的比较和运算 3. 余角和补角 第5章相交线与平行线 § 5.1相交线 1. 对顶角 2. 垂线 3. 同位角、内错角、同旁内角§ 5.2平行线 1. 平行线 2. 平行线的判定 3. 平行线的性质 七年级下 第6章一元一次方程 § 6.1从实际问题到方程 § 6.2解一元一次方程 1. 等式的性质与方程的简单变形 2. 解一元一次方程 § 6.3实践与探索 第7章一次方程组 § 7.1二元一次方程组和它的解 § 7.2二元一次方程组的解法 九年级上学期数学教学计划 吉祥小学：熊荣林 一、学生基本情况（基本知识、基本技能掌握情况，能力发展、学习心理情况） 上学期期末考试的成绩平均分为61.16分，最高分108.5，最低 分12分，有23人几格，及格率为41.81%，全片区前10名有1人；11~20名有4人；21~30名有7人；31~40名有2人：41~50有4人；51~60有5人，总体来看，成绩一般，但缺乏中等生和尖子生。与前一期相比较，平均分、最高分、最低分有所提高，全乡前六十名人数个数未变(24人)，11~30名增加6人，但及格率下降八个百分点、全乡前十名减少2人。在学生所学知识的掌握程度上，一部分学生能够理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，半数以上学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，但有一部分学生缺乏学习数学的信心和毅力，根本就不学习数学，甚至不做数学作业。 二、本学期教学内容和教材特点： 本掌期教学内容，共计五章，第二十二章《二次根式》，本章通 过平方根的有关性质的回顾建立了二次根式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习根式的化简、求值。第二十三章《一元二次方程》 一章是与实际生活密切相关的内容，教材从与学生熟悉的实际情景出发，引入并展开有关知识，使学生体会到一元二次方程是反映现实世界数量关系和变化规律的一种重要的数学模型，并学会运用一元二次方程解决实际生活中的具体问题。该章的最后，还设置了“实践与探索”一小节，目的在于通过一两个实例，与学生一起解剖分析，尝试解决实际问题，逐步提高这种能力。第二十四章《图形的相似》的主要内容是相似图形的概念和性质、相似三角形的判定和应用、相似多边形、位似变换。在本章学习之前，已经研究了图形的全等以及图形的一些变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在这些内容的基础上研究相似三角形和相似多边形的性质与判定，并进一步研究一种特殊的变换（位似变换），结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力。第二十五章《解直角三角形》，本章是在图形相似的基础上，充分运用图形变换这一有效的数学工具探索发现直角三角形边角的关系。第二十六章《随机事件的概率》一章是在前几册统计内容的基础上，引入概率的随机事件的频率，统计定义的概率，古典定义及特点的关系。通过学习，应初步具备概率的运算能力。利用概率的基本知识，能够解决一些实际问题。概率论是研究现实世界中随机现象规律性的科学，是近代数学的重要组成部分，它在自然科学以及经济工作中都有着广泛的应用，具备一些概率论的基本知识对于经济工作人员是十分必要的。由于学生刚刚接触随机事件的概率，对内容觉得新鲜和抽象，学习起来感到难。 三、教学工作目标和教学要求： 华东师大版数学教材九年级(上)教材分析 作者：李伟金(课堂教学评价技能与方法广西崇左大新课堂教学评价技能与方法六班) 评论数/浏览数： 0 / 613 发表日 期： 2010-12-13 23:25:27 二次根式一元二次方程图形的相似解直角三角形随机事件的概率 第二十二章二次根式 一、教学内容： 本章的主要内容是二次根式的概念和基本性质，二次根式的化简以及二次根式的运算。 二、教学目标： 1．了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件和基本性质。 2．了解二次根式的性质，并会用来化简二次根式。 3．理解二次根式的乘除法法则，会进行简单的二次根式的乘除运算。 4．理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会进行简单的二次根式的加减运算。5．了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。 三、课时安排： 22．1二次根式…………（2课时） 22．2二次根式的乘除法…（3课时） 22．3二次根式的加减法…………（1课时） 复习……………………………（2课时） 第23章一元二次方程 一、教学目标 1．联系一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。 2．了解一元二次方程的基本概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。 3．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 4．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否和合理。 5．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值。 6．结合实践与探索，让学生经历探究性学习的过程，从根本上改变学习方式，发展思维，提高学生自主学习和合作交流两方面的能力。 二、教材特点 本章的内容主要有两个方面： （1）一元二次方程的基本概念及其解法； （2）一元二次方程在实际问题中的应用——实践与探索。教材充分注意了两者的关系，始终将本章的教学置于实际情境之中，让学生充分感受和经历在实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中进行解释、检验和应用的过程，体会数学的价值。 一元二次方程的学习是一次方程、方程组和不等式知识的延续与深化，也是函数等重要数学思想方法的基础，根据课程改革的基本理念，教材中作了如下安排： 1．创设学生熟悉的生活情境，联系实际，导入对基本内容的学习与探索，选用的题材贴近学生生活，具有时代气息，有利于激发学生的学习兴趣，体现数学的价值。注重引导学生对实际问题进行数量关系的分析，体现数学建模的思想和方法，破除形式化的概念教学和繁琐的模式训练。 2．删繁就简，注意数学思想方法的渗透，重视学生能力的培养。教材简化了概念的引入，删除了一些繁琐而实际意义不大的解方程运算，以及一些繁、难、偏、旧的应用问题。注重引导学生参与知识的探索过程，在介绍一元二次方程的解法时，注意与一元一次方程知识的联系与转化，并引导学生体会和熟悉几种解法之间的相互关系。 3．充分体现以学生为主体的教育理念，教材从例题、练习的安排及其开放性设计，到设置“实践与探索”单元，都力图创设有利于学生进行自主探索与合作交流的情境。 2018学年第二学期华东师大版初三数 学下册教学计划 一、学情分析 本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。 二、教材分析 本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。 圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。 除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。 三、教学目标 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又反应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察、分析、综合、抽象、会用归纳、演绎、类比进行简单的推理，围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行知识梳理，围绕初中数学主要内容进行专题复习，适时地进行分层教学，面向全体学生、培养学生、发展全体学生。 3、情感目标及价值观：通过学习交流、合作、讨论的方式，积极探索，激发学生的学习兴趣，改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确的教学价值观，使学生的情感得到发展。 四、教学重点与难点 重点： 《圆》这章中垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。华师大版九年级数学上册知识总结华师版
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