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罗尔中值定理的证明及应用

罗尔中值定理的证明及应用

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个,是微分学 应用的桥梁,在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法,力求正确地理解和掌握它,是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上,能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个,因此如果以引入辅助函数的个数来计算,证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分,我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件:()1在闭区间[]b a ,上连续;()2在开区间()b a ,内可导;(3)()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义:如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等,那么,在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ,曲线在C 点的切线平行于x 轴,如图1, 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立;但不能认为定理条件不全具备,就一定不存在属于()b a ,的ζ,使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的,但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件:()1在闭区间[]b a ,上连续;()2在开区间()b a ,内可导;则在()b a ,内至少存在一点ζ,使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义:函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ,曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2, 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见,若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等,即()()b f a f =,则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此,我们只须对函数()x f 作适当变形,便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然,函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,而且 ()()F a F b =.于是由罗尔中值定理知道,至少存在一点ζ()b a <<ζ,使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然,函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,内可导,()()0==b a ??,因此,由罗尔中值定理得,至少存在一点()b a ,∈ζ,使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?,即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ,由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?,因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同,即有:

第五讲 罗尔定理的应用

第五讲 罗尔定理的应用 一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根 例1 设01,,,n a a a "为,为满足1200231 n a a a a n + +++=+"的实数,证明方程 20120n n a a x a x a x ++++=" 在(0,1)内至少有一个实根。 例2 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,0b a >>,证明方程 222[()()]()()x f b f a b a f x ′?=? 在(,)a b 内至少存在一个实根。 例3 设,,a b c 为实数,求证方程2x ax bx c e ++=至多有三个实根。 例 4 证明方程2210x x ??=有且仅有三个不同的实根。 二、利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式 例5 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,且()()0f a f b ==,证明:至少存在一点 (,)a b ξ∈,使得()()0f f ξξ′+= 例6 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,且()()0f a f b ==,证明:对任意的λ,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()f f ξλξ′= 例7设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,且()()0f a f b ==,证明:至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()()0f f g ξξξ′′+= 例8设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,且()()0f a f b ==,()0g x ′≠,证明:至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()()()f g f g ξξξξ′′= 例9设()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且(0)0f =,而当(0,1)x ∈时,()0f x ≠,证明:对任意正整数n ,至少存在一点(0,1)ξ∈,使得 ()(1) ()(1) nf f f f ξξξξ′′?=? 例10 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,且()()0f a f b ?>,()02a b f a f +?? ?

罗尔定理的进一步推广与应用

罗尔定理的几种类型及其应用 彭丹 (德州学院数学系,山东德州 253023) 摘要:本文通过对罗尔定理的条件以及条件的几何意义、罗尔定理的证明以及运用构造函数的思想研究罗尔定理的一些性质及其应用、罗尔定理推广形式的总结与再推广,从而达到对罗尔定理的更深入的研究。 关键词:罗尔定理;性质;应用;推广 引言 微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理,也是微积分学的理论基础,在许多方面它都有重要的作用,在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态,就需要在导数及函数间建立起联系,微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。 本文着重对罗尔定理的性质、推广形式以及应用进行深入的研究,从而更好的了解微分中值定理. 1 罗尔定理 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面,专长于丢蕃图方程的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和微分学没有关系(当时还没有导数的概念和符号,不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数)。但在一百多年后,龙斯托·伯拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数,并把此定理命名为罗尔定理. 1.1. 罗尔(Rolle)定理的内容: 如果函数 f (x) (1)在[a, b]上连续; (2)在(a, b)内可导; (3)f (a) = f (b). 那么在 (a, b) 内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得 f '(ξ) = 0.

罗尔中值定理的一些新证法_英文_

R eceived d ate :2006207217 第24卷第4期 大 学 数 学Vol.24,№.42008年8月COLL EGE MA T H EMA TICS Aug.2008 So me New Ways to Prove Rolle ’s Theorem YA O J i n g 2s un (Dept.of Math.,Anhui Normal University ,Wuhu 241000,China ) Abstract :We give three new methods proving Rolle ’s Theorem.The second simple way is only dependent on the well 2known Heine 2Borel Covering Theorem.This implies that Rolle ’s Theorem is the direct consequence of completeness of real numbers. K ey w ords :Rolle ’s theorem ;completeness of real numbers ;f ull cover ;Heine Borel covering theorem ; δ2fine tagged partition C LC Number :O171 Document Code :C Article I D :167221454(2008)0420131203 The st udy on Rolle ’s Theorem as well as ot her mean value t heorems of differentials is a very att ractive issue and it was also involved in calculus reform in U SA.Many scholars have done a great deal of work during t he past decade [1-3].We know t hat if Rolle ’s Theorem is proved ,it can be used to p rove Lagrange Mean Value Theorem and Cauchy Mean Value Theorem so long as a corresponding auxiliary f unction is const ructed.Therefore ,it is better to say Rolle ’s Theorem is t he essence and basis of t he next two t heorems t han to say t he conclusions of t he next two t heorems seem to have wider applicability t han t hat of Rolle ’s Theorem.To make t hings simpler ,people lay emp hasis on discussing t he ways to p rove Rolle ’s Theorem.The articles of professor Xu Ji 2hong [4]and t he aut hor [5]respectively give a new way to p rove Rolle ’s Theorem.In t he paper ,we shall give some met hods p roving Rolle ’s Theorem by some forms of completeness of real numbers. Def inition 1 A collection C of clo sed subintervals of [a ,b]is a f ull cover of [a ,b]if to each x ∈[a ,b]t here corresponds a number δ(x )>0such t hat every closed subinterval of [a ,b ]t hat contains x and has lengt h less t hat δ(x )belongs to C [6]. Lemm a 1 If C is a f ull cover of [a ,b],t hen C contains a partition of [a ,b],i.e.,t here exist a =x 0,x 1,…,x n =b such t hat x k -1

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

罗尔定理教学设计

《罗尔定理》教学设计 一、 教学目的 理解罗尔定理的推导,掌握罗尔定理,灵活运用罗尔定理. 二、 教学重难点 重点:罗尔定理及其应用 难点:罗尔定理的条件的讨论 三、 教学过程 (一) 复习回顾 1、闭区间上连续函数的性质 1f x a b , f x a b 2f x a b f a f b 0f =0 ξξ()(最大值和最小值定理)设()在[,]连续则()在[,]上可以取到最大值和最小值。 ()(零点定理)设()在[,]连续,且()()〈,则至少存在一点使得() 2、费马定理:若函数()x f 在(a,b)内一点x 0 取得最值,且()x f 在x 0 可导,则()0='x f . (二)、新课讲授 1、罗尔定理:设函数()x f 满足: (1) 闭区间[]b a ,上连续; (2) 开区间()b a ,内可导; (3) 端点函数值相等()()b f a f =, 则至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0='ξf . 注:(1)罗尔定理的几何意义:在满足条件时,曲线()x f y =上的点))(,(ξξf 处一 定有水平切线,即斜率()0='=ξf k ; (2)罗尔定理研究的是导函数方程()0='x f 的根的存在性问题 ;

(3)罗尔定理的条件是充分的 2、罗尔定理的条件的讨论 3、罗尔定理的简单应用 例4:证明方程0=1+52 x x 有且今有一个小于1的正实根。 4、小结: A 、罗尔定理的三个条件 (1)()x f 在 [a ,b]上连续; (2)()x f 在(a ,b)内可导; (3)f (a )=f(b), B 、罗尔定理的结论: 至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0='ξf . 几何解释:曲线有水平切线. C 、罗尔定理研究的是导函数方程()0='x f 的根的存在性问题; D 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ]1,1[,)( 2-∈=x x x f 例) ( ];1,0[,)( 3略例∈=x x x f ???=<≤= 1 010 )( 1时时例x x x x f

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

单位:旅游系 专业:酒店管理 姓名:王姐 学号:1414061039 【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中,其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理,又称拉式定理,是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用,也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ,在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。 【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。 引言 拉格朗日定理是高等数学的基础,同时也是一个基础性的定理,在高等数学中有着重要作用,要学习和掌握它的证明方法。 罗尔定理:如果函数()f x 满足条件:○ 1在闭区间[,]a b 上连续;○2在开区间(,)a b 内可导;○ 3在区间两个端点的函数值相等,即()()f a f b =,(,)a b ξ∈,使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明:因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。 (1)如果M m =,则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ,因此,在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =,所以,(,)a b 内每一点都可取作ξ,此时定理显然成立。 (2)如果m M <,因()()f a f b =,则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ,设()m f a ≠,这就是说,在(,)a b 内至少有一点ξ,使得()f M ξ=。 下面证明'()0f ξ=。 由于()f M ξ=是最大值,所以不论x ?为正或负,恒有()()0f x f x ξ+?-ξ≤?, (,)x a b ξ+?∈。 当0x ?>时,()()0f x f x ξ+?-ξ≤?,有已知条件'()f ξ存在可知,

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一,它是沟通函数与其导数之间的桥梁,也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理,证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理:函数满足在[a,b止连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点∈,使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理:若f(x)满足在『a,b』上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在_ ∈,使(如图2). 比较定理条件,罗尔定理中端点函数值相等,f ,而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制,即不一定相等。我们要作的辅助函数,除其他条件外,一定要使端点函数值相等,才能归结为: 1.首先分析要证明的等式:我们令 (1) 则只要能够证明在(a,b)内至少存在一点∈,使f(∈ t就可以了。 由有,f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式,可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而,可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续,在(a,b)内可导,且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理,则在(a,b)内至少存在一点∈,使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O,也即f(∈ )=t,代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数,该函数F(x)满足在[a,b]是连续,在(a,b)内可导,且f F 。根据罗尔定理,则在(a,b)内至少存在一点∈,使F’ 从而有结论成立.

罗尔中值定理的内容及证明方法

罗尔中值定理的内容及证明方法 (一)定理的证明 证明:因为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,所以存在最大值与最小值,分别用M 和m 表示,现在分两种情况讨论: 1.若m M =,则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必为常数,结论显然成立。 2.若m M >,则因为)()(b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得,从而ξ是)(x f 的极值点,由条件)(x f 在开区间()b a ,内可导得,)(x f 在ξ处可导,故由费马定理推知:0)('=ξf 。 (二)罗尔中值定理类问题的证明 罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用,下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究,归纳出证题技巧。 1.形如“在()b a ,内至少存在一点ξ,使k f =)('ξ”的命题的证法。 (1)当0=k 时,一般这种情况下,我们只需验证)(x f 满足罗尔定理的条件,根据罗尔定理来证明命题。在证明过程中,我们要注意区间的选取,有时候所需验证的条件并不是显而易见的。 例1 设)(x f 在闭区间[]1,0上连续,开区间()1,0内可导,?=1 32 )(3)0(dx x f f 。 证明:()1,0∈?ξ,使0)('=ξf 分析:由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的,而且这个问题涉及到定积分,所以我们考虑运用积分中值定理的知识,尝试在()1,0中找到一个区间()η,0,在()η,0中运用罗尔中值定理去证明。 证:因为??????∈=-==?1,32,)()()321(3)(3)0(1 3 2ηηηf f dx x f f 显然)(x f 在闭区间[]η,0上连续,在开区间()η,0内可导 根据罗尔定理,()1,0∈?ξ,使0)('=ξf (2)当0≠k 时,若所证明的等式中不出现端点值,则将结论化为:0)('=-k f ξ的形式,构造辅助函数)(x F ,我们就可以运用(1)中的方法证明命题。我们在构造辅助函数时,可用观察法、积分法、递推法,常数k 法等等。

闭区间套定理的证明、推广及应用

重庆三峡学院数学分析课程论文 闭区间套定理的证明、推广及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学(师范) 姓名姜清亭 年级 2009级 学号 200906034129 指导教师刘学飞 2011年5月

闭区间套定理的证明、推广及应用 姜清亭 (重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本(1)班) 摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。同时得到与之相应的若干定理,并使闭区间套定理得到推广。其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。 关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明 1 空间上的区间套定理 定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列{[],n n a b }若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 lim()0 n n n b a →∞ -= 则存在唯一数属于l 。。所有的闭区间(即 []1 ,n n n a b l ∞ == ) ,且lim lim n n n n a b l →∞ →∞ == 证明:由条件1可知,数列增加有上界1b ,数列{n b }单调减少有下界1a , 1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理,数列{n a }收敛,设lim n n a →∞ =l .由条件2 有 ()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞ →∞ →∞ →∞ =-+=-+=+=于是,lim lim n n n n a b l →∞ →∞ ==, 对任意取定的,n k N k +∈? ,有k n n k a a b b ≤≤ ,从而,lim lim k n n k n n a a l b b →∞ →∞ ≤==≤, 或k k a l b ≤≤,即l 属于所有的闭区间. 证明l 唯一性.假设还有一个' l 也属于所有的闭区间,从而 '',,,,n n n n n N l l a b l l b a +???∈∈-≤-?? 有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的. 2 闭区间套定理的推广 定理2 (开区间套定理)若开区间列{() ,n n a b },若 1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ??? 2 )(lim n n n a b -∞ →= n n a b 2lim -∞→=0 对每个闭区间[n n b a ,],有)()(n n b f a f <0,根据闭区间套定理知,存在唯一数l 属于所有

中值定理

.中值定理

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第一节 中值定理 教学目的:理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理,了解柯西中值定理。 教学重点:罗尔定理、拉格朗日定理的应用。 教学过程: 一、罗尔定理 定理1:若函数f(x) 满足:(i )f(x) 在 [a,b] 上连续;(ii )f(x) 在(a,b )可导,(iii ) f(a) =f(b), 则在(a,b )内至少存在一点,使得f '(ξ)=0. 证明:由(i )知f(x)在[a,b]上连续,故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ,此时, 又有二种情况: (1) M=m ,即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等,从而知,此时f(x)为常数:f(x) =M=m ,∴)('x f =0,因此,可知ξ为(a,b )内任一点,都有f '(ξ)=0。 (2) M>m,此时M 和m 之中,必有一个不等于f(a)或f(b),不妨设M ≠f(a)(对m ≠f(a) 同理证明),这时必然在(a,b )内存在一点ξ,使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点 得最大值。下面来证明:f '(ξ)=0 首先由(ii )知f '(ξ)是存在的,由定义知: f '(ξ)=ξ ξξξξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim )()(lim …….(*) 因为M 为最大值,?对x ?有 f(x) ≤M ?f(x)-M ≤0, 当x>ξ时,有ξ ξξ--=--x M x f x f x f )()()(≤0 当x<ξ时,有ξ ξξ--=--x M x f x f x f )()()(≥0。 又因为(﹡)的极限存在,知(﹡)极限的左、右极限都存在,且都等于)(ξf ',即 )()()(_ξξξf f f '='='+,然而,又有 0)()(lim )()(≥--='='-→-ξ ξξξξx f x f f f x 和 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξ ξξξξx f x f f f x 0)(='?ξf 。 注 1:定理中的三个条件缺一不可,否则定理不一定成立,即指定理中的条件是充分的,但非必要。

中值定理证明题

中值定理证明题 1. 设)(x f 在[0,2a]上连续,)2()0(a f f =,证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 【分析】)(x f 在[0,2a]上连续,条件中没有涉及导数或微分,用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到 0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+x f x a f f a f f a f ξξξξ 【证明】令)()()(x f x a f x G -+=,],0[a x ∈.)(x G 在[0,a]上连续,且 )()0()()2()(a f f a f a f a G -=-= )0()()0(f a f G -= 当)0()(f a f =时,取0=ξ,即有)()(ξξf a f =+; 当)0()(f a f =时,0)()0(

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个,是微分学 应用的桥梁,在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法,力求正确地理解和掌握它,是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上,能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个,因此如果以引入辅助函数的个数来计算,证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分,我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔() Rolle中值定理 如果函数()x f满足条件:()1在闭区间[]b a,上连续;()2在开区间()b a,内可导;(3)()()b f a f=,则在()b a,内至少存在一点ζ ,使得()0 '= ζ f 罗尔中值定理的几何意义:如果连续光滑曲线()x f y=在点B A,

处的纵坐标相等,那么,在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ,曲线在C 点的切线平行于x 轴,如图1, 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立;但不能认为定理条件不全具备,就一定不存在属于()b a ,的ζ, 使得()0'=ζf . 这就是说定理的 条件是充分的,但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件:()1在闭区间[]b a ,上连续;()2在开区间 ()b a ,内可导;则在()b a ,内至少存在一点ζ,使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义:函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ,曲线在C 点的切线平行于弦 AB . 如图2, 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见,若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等,即()()b f a f =,则拉格朗日中值定理就是罗尔中

关于罗尔定理有关问题的证明方法

罗尔定理的应用题: 1. 设函数()f x 在[,]a b 上二阶可导,且()()0f a f b ==,()()0f a f b ''?>. 又()g x 在(,)a b 内二阶可 导,且()0,()()0g x g x b ''≠≠,证明:(,)a b ξ?∈,使得()()=()() f f g g ξξξξ''''. 证明:构造辅助函数 ()()()()()F x f x g x f x g x ''=-。由于()g x 在(,)a b 内二阶可导,且()0,g x ≠ 所以()g x 在(,)a b 上恒正或恒负,不妨假设()0,(,)g x x a b >?∈. 由于()()0f a f b ''?>,不妨假设()0()0f a f b ''>>,, 则()=()()()()()0F a f a g a >F b f b g b ''=>0, 因为()()()0lim 0x a f x f a f a x a +→-'>?>-,()()()0lim 0x b f x f b f b x b -→-'>?>-,由极限的保号性, 存在1(,),x a a δ∈+使得1()()0f x f a >=,存在2(,),x b b δ∈-使得2()()0f x f b <=. 显然有12()x x δ<因为可以取足够小. 在闭区间12[,]x x 上应用区间套定理,可得 012(,)x x x ∈,使得00()0,()0f x f x '=≤ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 事实上,取12111112[,][,]()()0,()()0x x a b f a f x f b f x ==>=<,, 将区间11[,]a b 二等分,取其中之一的子区间为22[,]a b ,它满足22()0,()0f a f b ><, 按照这种规则一直取下去,就得到一个闭区间套11{[,]}= 0()2n n n n n b a a b b a n --→→∞,, 由闭区间套定理,存在012(,)x x x ?∈使得0lim lim n n n n a x b →∞→∞==,由极限的保号性知 0()(lim )lim ()0n n n n f x f a f a →∞→∞==≥,0()(lim )lim ()0n n n n f x f b f b →∞→∞ ==≤,故0()0f x =, 再由拉格朗日定理得()()()0,(,)n n n n n n n n f b f a f a b b a ξξ-'=<∈-,且0lim n n x ξ→∞=, 0lim ()(lim )()0n n n n f f f x ξξ→∞→∞ '''==≤(极限保号性) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 从而 000()()()0F x f x g x '=≤, i) 若0()0F x <,因为()F a >0,由零点定理得 10(,)a x η?∈,使1()0F η=, 又因为()F b >0,由零点定理得 20(,)x b η?∈,使2()0F η=,

罗尔定理的几种类型及其应用

罗尔定理的几种类型及其应用 1 引言 最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 (罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特, 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ) ,主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间,方程 f x 0 至少有一个根. 在一百多年后, 1846 年尤斯托( Giusto Bellavitis )将这一定理推广到可微函数,尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理,这就是现在我们常用的罗尔定理 . 2 微分中值定理 2.1 罗尔定理 1 (P 若函数 f x 满足以下条件:( 1)在闭区间 a,b 上连续;( 2)在开区间 a,b 上可导;( 3) f a f b . 则至少存在一个数 a,b ,使得 f 0. 罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相同,那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理, 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理,这三个定理构成了微分学中值基本理论,在高等数学中占有十分重要的地 位.下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 . 2.2 拉格朗日中值定理 x 满足:( 1) 在闭区间 a,b 连续;( 2) 在开区间 a,b 上可导;则至少存在 拉格朗日中值定理的几何意义是:在每一点都可导的的连续曲线上,如果两端点也连续,那么 至少存在一个点,该点的切线平行于两端点的连线 . 2.3 柯西中值定理 1 若函数 f x 和 g x 满足:( 1)在闭区间 a,b 连续;( 2)在开区间 a,b 上可导;( 3) f x 和 g x 不同时为 0;( 4) g a g b 则存在 a,b ;使得 fa 。 若函数 个数 a,b ,使得 f f a f b ab

罗尔定理的研究及推广论文

本科毕业论文(设计)题目罗尔定理应用和推广研究 学院数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2009级 学号222009314012019 姓名郑世凤 指导教师杜文久 成绩中 2013年5月12日

目录 1 罗尔定理的基本性质及应用 (2) 1.1 罗尔(Rolle)中值定理 (2) 1.2几何意义 (2) 1.3 罗尔定理证明 (3) 1.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件 (4) 1.5 利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理 (5) 1.6 利用罗尔定理解决零点问题 (7) 2 关于罗尔定理的进一步讨论 (11) 2.1 多元函数的的罗尔中值定理 (11) 2.2 任意区间和端点值上的罗尔定理 (12) 2.4 广义罗尔在高中数学中的应用 (16) 结语 (18) 参考文献: (19) 致谢 (19) I

罗尔定理应用和推广研究 郑世凤 数学与统计学院,重庆 400715 摘要:本论文探讨了罗尔定理的基本性质,并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理,将其推广到更广泛的适用范围,并证明其可行性,最后运用推广的罗尔定理解决问题。 关键词:罗尔定理;性质;应用;广义罗尔定理; Rolle theorem and its application research ShifengZheng School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: This paper discusses the basic properties of Rolle's theorem,then use Rolle's theorem to solve practical problems and applications. Rolle's theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using the promotion of Rolle's theorem to solve the problem. Keywords:Rolle's theorem; Properties; Applications; Generalized rolle's theorem; 引言 微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理,也是微积分学的理论基础,在许多方面它都有重要的作用,在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态,就需要在导数及函数间建立起联系,微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。 第1页共19页

(整理)拉格朗日中值定理的几种特殊证法

届学士学位毕业论文 关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法 学号: 姓名: 班级: 指导教师: 专业: 系别: 完成时间:年月

学生诚信承诺书 本人郑重声明:所呈交的论文《关于拉格朗日中值定理的几种特殊证法》是我个人在导师王建珍指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名:日期: 论文使用授权说明 本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名:日期: 指导教师声明书 本人声明:该学位论文是本人指导学生完成的研究成果,已经审阅过论文的全部内容,并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名:时间:

摘要 拉格朗日中值定理在高等代数和数学分析的一些理论推导中起着重要作用,本论文为了更准确的理解拉格朗日中值定理,介绍了其几种特殊的证明方法.首先本文从分析和几何的角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明,其中在分析法构造辅助函数中应用了推理法、原函数法、行列式法及弦倾角法,在几何法构造辅助函数中应用了作差构造法、面积构造法和旋转坐标轴法;其次,应用了区间套定理证明法和巴拿赫不动点定理证明法对拉格朗日中值定理进行了证明;最后,本文为能将拉格朗日中值定理表述更为深刻,还将其应用到求极限,证明函数性态等具体问题中. 关键词:拉格朗日中值定理;区间套定理;巴拿赫不动点定理

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