第八章 分离变数法
1. 设)(x X 满足方程0=-''X X λ和边界条件0)(')0('==l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。
解：可分为三种情况讨论：
1) 0>λ ，解为x x e C e C x X λλ-+=21)(，由边界条件只能得到平庸解
0)(=x X ，
显然没有意义。 ----------------(3分)
2) 0=λ，解为21)(C x C x X +=，代入边界条件得01=C ，于是
22,)(C C x X =为任意常数。 ----------------(2分)
3) 0<λ，解为.sin cos )(21x C x C x X λλ-+-=,代入边界条件得
???=-=????=-+---=-.0sin ,0.
0)cos sin (,012212l C C l C l C C λλλλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠-l λ 时，必有 01=C ，这和上两种情况一
样没有意义。
b)当 λ 的取值使得 0sin =-l λ 时， 1C 不必为
零，这种是有意义的情况。此时由 0sin =-l λ 得到本征值
λ:).,3,2,1(22
2 =-=?-=n l n n l πλλ
π 综合2）和3）两种情况得本征值).,3,2,1,0(22
2 =-=n l
n πλ 此时，本征解为.cos
)(1x l
n C x X π= ----------------(5分) 1.
2.已知复变量函数为解析函数，其实部满足
下面的条件，
(1) 试给出所满足的数学物理定解问题； (2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解
；
(3) 根据求出虚部。 3.设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件'(0)'(2)0X X π==，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。(本小题 11 分)
解：(1) 由题意，对于常微分方程：
()()0X x X x λ''+= (1) (0)(2)0
X X π''== (2) 现在先求解X ，对0,0,0λλλ<=>三种情况进行讨论：
a) 0λ<，由(1)式的解是
12()x x X x C e C e λλ---=+
积分常数1C ，2C ，由(2)决定，即
120C C -=，22120E E C e
C e ππ----=
由此得出01=C ， 02=C 而0)(≡x X 。无实际意义，即0λ<无可能性。（3分）
b) 0λ=，式(1)的解是
21)(C x C x X +=
则根据(2)式，有
10C =， 1(2)0X C π'==
即2C 为任意数
此时2()X x C ≡。（3分）
c) 0λ>，由(1)解是
12()cos sin X x C x C x λλ=+
则由(2)式，有
1s i n 20C π
λ=，20C =， 由此有
01=C 且02=C 或者 20C =和sin 20πλ=
因01=C ， 02=C 时，0)(≡x X 无实际意义。因此，只能有
s i n 20E π=和20C =
由sin 20πλ=同时我们可以得到λ的表达式：
2
,(1,2,3)4
k k λ== (3) （4分）
对应的本征函数为： 2
1()cos ,(1,2,3)4
k X x C x k == （1分）
4. 设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件0)2/()0('==πX X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。
5. 设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件0)()0(==l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ。 解：可分为三种情况讨论：
4) 0<λ，微分方程解为x x e C e
C x X λλ---+=21)(，由0)0(=X 得21C C -=，由0)(=l X 得0)(1=+---l l e e C λλ，得021=-=C C ，得到平庸解0)(=x X ，显然没有意义。 ----------------(3分)
5) 0=λ，解为21)(C x C x X +=，代入边界条件得021==C C ，也得到平庸解0)(=x X ，没有意义。
----------------(2分)
6) 0>λ，解为.sin cos )(21x C x C x X λλ+=,代入边界条件得
???==????=+=.0sin ,0.0sin cos ,02
1211l C C l C l C C λλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠l λ 时，必有 02=C ，这和上两种情况一样没有意义。
b) 当 λ 的取值使得 0sin =l λ 时， C 2 不必为零，这种是有意义的情况。此时由 0sin =l λ 得到本征值λ:
).,3,2,1(22
2 ==?=n l n n l πλλ
π 此时，本征解为.sin
)(2x l n C x X π= ----------------(5分)
P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
第七章 数学物理定解问题 1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。 3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 .0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、 95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。 7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=?????∈-∈===0 ] ,2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类
一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
《数学物理方法》课程考试大纲 一、课程说明： 本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。 本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。 本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。 本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。 二、参考教材： 必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。 参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。 三、考试要点： 第一章复变函数 （一）考核知识点 1、复数及复数的运算 2、复变函数及其导数 3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件 （二）考核要求 1、掌握复数三种形式的转换。 2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的 方法。 u 。 3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv 第二章复变函数的积分 （一）考核知识点 1、复变函数积分的运算 2、柯西定理 （二）考核要求 1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。 3、掌握柯西公式计算积分。 第三章幂级数展开 （一）考核知识点 1、幂级数的收敛半径 2、解析函数的泰勒展开 3、解析函数的洛朗展开 （二）考核要求 1、理解幂级数收敛圆的性质。 2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。 3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。 4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。 第四章留数定理 （一）考核知识点 1、留数的计算 2、留数定理 3、利用留数定理计算实变函数定积分 （二）考核要求 1、掌握留数定理和留数计算方法。 2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。 第五章傅里叶变换 （一）考核知识点 1、傅里叶级数 2、傅里叶变换 3、δ函数 （二）考核要求 1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间) ,0(l上的函数的傅里叶展开。 2、掌握非周期函数的傅里叶变换。 3、掌握δ函数的性质及其傅里叶积分的形式。 第七章数学物理方程的定解问题
第八章 习题答案 8.1-1 证明递推公式： （1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得 （目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得 （目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得： （目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+
分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。 解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
数学物理方法习题 第一章： 应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、3r ?= 2、0r ??= 3、()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+? 4、21 ()0 r ?= 5、()0A ???= 第二章： 1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1）0; 2 Z a Z b z z -=--= （2） 0arg 4z i z i π -<<+; 1Re()2 z = 2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。 1; 1i i e ++ 3、计算数值（a 和b 为实常数，x 为实变数） s i n 5i i ? s i n s i n ()i a z i b z a i b e -+ 4、函数 1 W z = 将z 平面的下列曲线变为W 平面上的什么曲线？ （1）2 2 4x y += （2）y x = 5、已知解析函数()f z 的实部(,)u x y 或虚部(,)x y υ，求解析函数。 （1） 22 sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+===； （2） (00)f υ== 6、已知等势线族的方程为22 x y +=常数，求复势。 第三章： 1、计算环路积分：
2 211132124sin 4(1).(2).1 1sin (3). (4). () 231 (5). (1)(3)z z z i z z z z z e dz dz z z z e dz dz z z z dz z z π π+=+====-+--+-? ???? 2、证明：21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ πξξ=? 其中l 是含有0ξ=的闭合曲线。 3、估计积分值 222i i dz z +≤? 第四章： 1、泰勒展开 （1） ln z 在0z i = （2）1 1z e -在00z = （3）函数2 1 1z z -+在1z = 2、（1） 1 ()(1)f z z z = -在区域01z <<展成洛朗级数。 （2） 1 ()(3)(4)f z z z = --按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以0z =为中心展开； ②在0z =的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质 5 2 1 (1);(2)(1)s i n c o s z z z z -+ 第五章： 1、计算留数 （1） 2 (1)(1)z z z -+在1,z =±∞点。 （2） 3 1sin z e z -，在0z =点； （3） 31 cos 2z z -在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
第八章 分离变数法 1. 设)(x X 满足方程0=-''X X λ和边界条件0)(')0('==l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。 解：可分为三种情况讨论： 1) 0>λ ，解为x x e C e C x X λλ-+=21)(，由边界条件只能得到平庸解 0)(=x X ， 显然没有意义。 ----------------(3分) 2) 0=λ，解为21)(C x C x X +=，代入边界条件得01=C ，于是 22,)(C C x X =为任意常数。 ----------------(2分) 3) 0<λ，解为.sin cos )(21x C x C x X λλ-+-=,代入边界条件得 ???=-=????=-+---=-.0sin ,0. 0)cos sin (,012212l C C l C l C C λλλλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠-l λ 时，必有 01=C ，这和上两种情况一 样没有意义。 b)当 λ 的取值使得 0sin =-l λ 时， 1C 不必为 零，这种是有意义的情况。此时由 0sin =-l λ 得到本征值 λ:).,3,2,1(22 2 =-=?-=n l n n l πλλ π 综合2）和3）两种情况得本征值).,3,2,1,0(22 2 =-=n l n πλ 此时，本征解为.cos )(1x l n C x X π= ----------------(5分) 1. 2.已知复变量函数为解析函数，其实部满足
下面的条件， (1) 试给出所满足的数学物理定解问题； (2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解 ； (3) 根据求出虚部。 3.设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件'(0)'(2)0X X π==，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。(本小题 11 分) 解：(1) 由题意，对于常微分方程： ()()0X x X x λ''+= (1) (0)(2)0 X X π''== (2) 现在先求解X ，对0,0,0λλλ<=>三种情况进行讨论： a) 0λ<，由(1)式的解是 12()x x X x C e C e λλ---=+ 积分常数1C ，2C ，由(2)决定，即 120C C -=，22120E E C e C e ππ----= 由此得出01=C ， 02=C 而0)(≡x X 。无实际意义，即0λ<无可能性。（3分） b) 0λ=，式(1)的解是 21)(C x C x X += 则根据(2)式，有 10C =， 1(2)0X C π'== 即2C 为任意数 此时2()X x C ≡。（3分）
第一章复变函数 §1.1 复数与复数运算 1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）z≤ 2 解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2）z?a=z?b，（a、b 为复常数） 解：点z 到定点a 和 b 的距离相等的各点集合，即a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3）Re z＞1/2 解：直线x=1/ 2右半部分，不包括该直线。 （4）z+Re z≤1 解：即x2 +y2 +x≤1，则x≤1，y2 ≤1?2x，即抛物线y2 =1?2x及其内部。（5）α＜arg z＜β，a＜Re z＜b，（α、β、a、b为实常数） 解： （6）0 z -1 ≤（7）1, z +1 2 z-1 x 1 iy x y 1 4y ?+?+?? 2 2 2 ==+ ?? 解：()[()] +++++ iy 1 y2 2 2 z 1 x 1 x ?x 1 y ?+ 2 + 2 所以()[()] x+?+≤++ 2 2 2 y 1 4y2 x 1 y 2 2 2 化简可得x≥0 （8）Re(1 /z) =2 ????? 1 x iy x 解：Re( ?=R e 2 1/ z=? ) R e 2 == ???? ?iy? x ?x ++y+y ?x 2 2 2 即(1/ 4)1/16 x? 2 +y= 2 (9)Re Z2 =a2 解：Re Z2 =x2 ?y2 =a2 +z+z?z=2 z+2 z 2 (10) z 1 第一章 复述和复变函数 连续 若函数)(x f 在0z 的领 域内（包括0 z 本身） 已经单值确定，并且 )()(0 lim 0 z f z f z z =→，则称f(z)在0 z 点连续。 导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连 续。 (ii)C-R 条件在该点 成立。C-R 条件为???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ) ,(),() ,(),( 解析 若函数不仅在一点 是可导的，而且在该 点的领域内点点是 可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、 x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点 成立。 解析的充分条件：函 数f(z)=u+iv 在领域 内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 2 2 x u ??+2 2 y u ??=0 ①由此可见解析函 数的实部和虚部都 是调和函数。但是任 意的两个调和函数 作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中 的u(x,y)时，如何求 v(x,y) 通过C —R 条件列微 分方程 第二章 复变函数 的积分 解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而 且在两个公共端点 A 与 B 的那些曲线 来讲，积分?B A dz z f )(的值 均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定 理：若f(z)在二连区 域D 解析，边界连 续，则f(z)沿外境界 线(逆时针方向)的 积分等于f(z)沿内境 数 学 物 理 方 法 教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版] 内 容：第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程 第一章 复变函数 一、复数 1、复数的定义 iy x z +=——代数式 )sin (cos ??ρi z +=——三角式 ?ρi e z =——指数式 重点：复数三种表示式之间的转换！ 实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：2 2y x z +==ρ 主辐角： ) (arg x y arctg z = ,2a r g 0π<≤z 辐角： π k z Argz 2arg += ),2,1,0( ±±=k 共轭复数:iy x z += * z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法 (2)、乘法和除法 ) )((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-= ) ()(212121y y i x x z z ±+±=±1 11iy x z +=2 22iy x z += 2 1z z *2 2*21z z z z ??= 2 2 222211))((y x iy x iy x +-+=2 2 22211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++= (2)、乘法和除法 12 1111122222(cos sin )(cos sin )i i z i e z i e ??ρ??ρρ??ρ=+==+= ?两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加; ?两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。 (3) 复数的乘方和开方（重点掌握） )]sin()[cos(21212 1 21????ρρ-+-=i z z ) (2 121??ρρ-=i e 12121212[cos()sin()] z z i ρρ????=+++) (2121??ρρ+=i e n i n e z )(?ρ =?ρ in n e =) sin (cos ??ρn i n n +=或 （n 为正整数的情况) 数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆2 2 (1)2x y ++=及其内部；圆 2211()416x y - += 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 3 2,2[c o s (3)s i n (3)i e i π ππ+； ,(c o s 1s i n 1i e e e i ?+ 3、2k e ππ --； (623) i k e π π +； 42355c o s s i n 10c o s s i n s i n ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()c o s 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1)2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()22u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1220 11()1(0)2!2!1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξ ξξξξξξπξξπξξ+=======?? 第四章： 1、（1）23 23()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3 ）2 11111()()[(1)(1)](1)11 222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =- -- ①3z <时 110 11( )34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时 第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0lim z f z f z z =→， 则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境 界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境 界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =Q ，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上数学物理方法知识点归纳
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