分块矩阵及其运用
摘要
分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用
Block Matrix and its Application
Abstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.
At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.
A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.
Key words: matrix block matrix elementary transformation application
目录
1前言 (1)
2分块矩阵 (1)
2.1分块矩阵的定义 (1)
2.2分块矩阵的运算 (2)
2.2.1加法 (2)
2.2.2数乘 (2)
2.2.3乘法 (2)
2.2.4转置 (4)
2.3两种特殊的分块矩阵 (4)
2.3.1分块对角矩阵 (4)
2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)
2.4两种常见的分块方法 (6)
2.5分块矩阵的初等变换 (7)
2.6分块初等矩阵及其性质 (7)
3分块矩阵的应用 (8)
3.1在行列式计算中的应用 (9)
3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)
3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)
3.3.1解线性方程组法 (26)
3.3.2初等变换法 (27)
3.3.3三角分解法 (29)
3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)
3.4.1齐次线性方程组 (30)
3.4.2非齐次线性方程组 (31)
3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)
3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)
3.5.2矩阵的分解 (34)
3.6在特征值问题中的应用 (35)
3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)
3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)
3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)
3.10分块矩阵的其他应用 (41)
4结束语 (42)
参考文献 (43)
致谢 (44)
1 前言
矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。矩阵的相关理论和应用，常见于很多学科中，如线性代数、线性规划、统计分析以及组合数学等。实际生活中，很多问题都可以用矩阵抽象出来进行描述和运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等。但是，当我们处理阶数较高或者具有特殊结构的矩阵时，如果用一般处理低阶矩阵的方法，往往会使计算或证明过程变得繁琐。为了方便研究，我们常常把一个大型矩阵分成若干子块，这些子块矩阵构成分块矩阵。把每个子块矩阵看成是一个元素，在运算中，把这些子块矩阵当作矩阵中的数一样来处理。分块后，各子块矩阵间的相互关系便突显出来。所以分块矩阵可以形象地揭示一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。有不少数学问题一经用分块矩阵来处理或证明, 立即就显得非常简洁和明快。
分块矩阵是矩阵论中重要内容之一，有着非常广泛的应用。在系统学习相关知识和查阅相关文献资料后，本文主要分析、探讨分块矩阵的相关理论，以实例讨论和研究分块矩阵在计算和证明两大方面为主各方面的广泛应用。
2 分块矩阵 2.1 分块矩阵的定义
将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵（北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，2003）。
例如，
31100
00100001023
1E O A B E ??
????
?
?==??????
??-????
其中E 1，E 3分别表示1阶、3阶单位矩阵，O 表示3×
1零矩阵，而[230]B =-。 同一个矩阵可以有多种不同的分块方法，从而形成不同的分块矩阵。例如上例的矩阵A 也可分成也可分成
2
210
000100001023
01E O A C
E ??
?????
?==??????
?
?-??
，
其中2E 表示2阶单位矩阵，O 表示2阶零矩阵，而0023C ??
=??-??
。 分块矩阵往往能突出其结构上的特点，如上例。
当然矩阵A 还有其他的分块方法，在此不一一列举。在运用分块矩阵时可以根据实际问题的需要对矩阵进行划分来简化问题的解决。 2.2 分块矩阵的运算
从以上分块矩阵的概念中可以知道，分块矩阵是由矩阵通过某种分块方法而得来的，所以分块矩阵的运算与矩阵的运算在形式上是很相似的。 2.2.1 加（减）法
设A =（a ij ）m ×n ，B =（b ij ）m ×n ，用同样的方法对A ,B 进行分块，即A ij ，B ij 为同型矩阵，则A ±B =（A ij ±B ij ）r ×s 。 2.2.2 数乘
设A =（a ij ）m ×n =（A ij ）r ×s ，k 是任意数，定义分块矩阵A =（A ij ）r ×s 与k 的数乘为kA =（kA ij ）r ×s 。 2.2.3 乘法
设A =（a ik ）sn ，B =（b kj ）nm ，A 的列数和B 的行数一定要相同，把A ，B 分成一些小矩阵（A 的列分法和B 的行分法要相同）：
??
??????????=sn s s n n A A A A A A A A A A 2
1
22221
11211
， 11
121212221
2r r l l lr B B B B B B B B B B ??
??
??=??
?
?
??
L L L L L L L ，
其中每个A ij 是s i ×n j 小矩阵，每个B ij 是n i ×m j 小矩阵。于是有
C =AB =11
12121
2221
2r r t t C C C C
C c B C C Ctr ????
??=??
??
??
L L L L L L L 。
其中C pq =A p 1B 1q +A p 2B 2q +...+A pl B lq =i
k=1
pk kq A B ∑（p =1,2，...，t ；q =1,2，...，r ）。
例如，
A =?
????
?
??????-1021011200100001=??
??
??21
2E A O E ， 其中E 2表示2级单位矩阵，而A 1=2112-??
??
??，O =??
????0000。 B =?????
?
?
??
???---021
12301121010
12=?
?
????22211211B B B B ， 其中B 11=??????1012，B 12=??
?
???1-210，B 21=??????1-1-01，B 22=??????0223。 在计算AB 时，把A ，B 都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算。于是
AB =?
?
?
???212E A O E ??????22211211B B B B =?
?
????++22121211111211B B A B B A B B ， 其中
A 1
B 11+B 21=??????2112-??????1012+??????0223=???
???3411-， A 1B 12+B 22=??????2112-?
?????1-210+??????0223=??
????1-61-5。 所以
AB =????
??
++2212121
1111211B B A B B A B B =?
?
???
???????1-6341-511-1-2101012。 2.2.4 转置
设有一个rs 块的分块矩阵?
?
????
??????=sr s s r r A A A A A A
A A A A 2
1
22221
11211，有????
?
?
?
???????=T sr T r
T r
T s T T
T s T
T T A A A A A A A A A A
21222
12
12111，转置时，先将每一个子块矩阵看成一个元素进行转置，再对每一个子块矩阵进行转置。
由以上讨论可以看出，分块矩阵的运算法则与一般矩阵的运算法则类似。分块矩阵
的运算归结为它们的子块的运算，因此利用分块矩阵可以将大矩阵的运算转化为一些小矩阵的运算，从而使矩阵的运算得到简化。
值得注意的是，在利用分块矩阵进行运算时，必须注意相应运算的前提条件。例如，分块矩阵相加时，划分的对应子块应当同型；相乘时，划分的对应子块应当可乘。 2.3 两种特殊的分块矩阵
有两种特殊的分块矩阵，有不同于一般分块矩阵的性质，下面分别讨论。 2.3.1 分块对角矩阵
设A 为n 阶方阵，若A 的分块矩阵在非主对角线上的子块皆为零矩阵，且在主对角线上的子块都是方阵，即
12s A O O O A O A O
O A ????
?
?=??
??
??
其中O 表示零矩阵，i A (1,2,,)i s = 都是方阵，那么称A 为分块对角矩阵。
例如，
1200
002500000020100032100001200
00
002??
??
??
??
??-????
??
????
就是分块对角矩阵。
显然，对角矩阵是分块对角矩阵的特例。
分块对角矩阵具有与对角矩阵类似的性质。设A 为分块对角矩阵
1
2s A O O O A O A O
O A ????
?
?=??
??
??
，
则
（1） 12s A A A A = ；
（2） 若0(1,2,,)i A i s ≠= ，则A 可逆，且111
121s A A A A ----???
??
?=?????
?
； （3） 同结构的准对角矩阵的和、差、积、数乘及逆仍是准对角矩阵，且运算表现为对应子块的运算。
例1 求A =???
??
??
?
?????
???120002300000300
0003200021的逆矩阵。
解 将A 分块如下：
1
231
2000230000
0300000320
0021A O
O A O
A O O O
A ??
??????
??==???
???????
??????
， 其中[]1231232,3,2321A A A ????
===????????
都可逆，且 11
1
12332121,,
21233A A A -----??
????===??
??
??--??
??
??
。 所以
13200
021000100
00300012000
23A --????-??
?
?=???
?-????-?
?
。
2.3.2 分块上（下）三角形矩阵
对方阵进行分块后，主对角线上的子块矩阵都是方阵，主对角线以下（以上）的子块矩阵都是零矩阵，即
11121222n n nn A A A O A A A O O A ????
?
?=??
??
??
（或
1121
221
2
n n nn A O O A A O A A A A ????
??=??
??
??
），
称为分块上（下）三角形矩阵。
分块上（下）三角形矩阵具有如下性质：
（1） 同结构的分块上（下）三角形矩阵的和（差）、积（若乘法运算能进行）仍是同结构的分块矩阵。
（2） 数乘分块上（下）三角形矩阵也是分块上（下）三角形矩阵。
（3） 分块上（下）三角形矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线子块都可逆；若A 可逆，则A 的逆阵也是分块上（下）三角形矩阵。
（5） 分块上（下）三角形矩阵对应的行列式：1122nn A A A A = 。 2.4 两种常见的分块方法
在矩阵的分块法中，有两种比较常见的简单而有用的分块法，就是按行分块和按列分块。
对于矩阵
111212122212
n n m m mn a a a a a a A a a a ????
??=??
?
?
??
，若第i 行记作
[]12,,,,1,2,i i i in a a a i m α== 。
则12,,,m ααα 称为矩阵A 的行向量组，矩阵A 可记为
12m A ααα??????=??????
。
若A 的第j 列记作
12,
1,2,.j j
j mj a a j n a β??????==??????
则12,,,n βββ 称为矩阵A 的列向量组，矩阵A 可记为
[]12,,,n A βββ= 。
2.5 分块矩阵的初等变换
矩阵的初等变换的概念可以推广到分块矩阵的情形。
以下三种变换称为分块矩阵A 的初等行变换（鲁礼勇，2004）： （1） 对调A 的某两行；
（2） 用一个可逆阵K 左乘或右乘A 的某一行的所有子块矩阵；
（3） 将A 的某一行的所有子块矩阵左乘或右乘一个矩阵K 再加到另一行的对应子块矩阵上去。
类似地，可以定义分块矩阵的初等列变换。
分块矩阵的初等行变换和初等列变换合称为分块矩阵的初等变换。 2.6 分块初等矩阵及其性质
为方便起见，以常用的22?分块矩阵作定义。
设有单位矩阵E m +n ，对E m +n 进行22?分块，即E m +n =??
?
?
??n m
E O
O E ，然后对其作一次相应的初等行变换：
（1） 对E m +n 进行行调换，得到??
?
?
??O O
m
n E E ； （2） 用一个可逆阵K 左乘或右乘E m +n 的某一行的所有子块矩阵，得到???
???n E O O P ，??
????Q O O E m ； （3） 将E m +n 的某一行的所有子块矩阵左乘或右乘一个矩阵K 再加到另一行的对应
子块矩阵上去，得到????
??n m E P
O E ，??
?
???n m
E O
Q E 。
类似地，我们可以对E m +n 进行相应的初等列变换。以上所得到的5个矩阵O O n m E E ??
????，n P O O E ??????，m E O O Q ??????，m n E O P E ?????
?，m n E Q O E ??????称为分块初等矩阵。 分块初等矩阵具有如下性质：
（1） 分块初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同类型的分块初等矩阵，且
① 1
n m m
n
O
E O
E E O E O -????
=?
???????
； ② 1-n ?
?????E O O P =??????n 1
-E O O P ，1
-m ??????Q O O E =??
?
???1-m
Q O
O E ； ③ 1
-n m ?
?????E P O E =??????n m
-E P
O E ，1
-n m ??????E O Q E =??
?
???n m -E O Q E 。 证明 ① 因为n m n
m
n m O
E O
E E O E O E O O E ??????=?
???????????
，所以1
n m m n
O
E O
E E O E O -????
=????????
。 ② 因为???
???n E O O P ??????n 1
-E O O P =??????n m
O O E E ，所以1
-n ??????E O O P =??
?
???n 1
-E O
O P ； 因为??????Q O O E m ????
??1-m
Q O
O E =??????n m
O O E E ，所以1
-m ??????Q O O E =??
?
??
?1-m
Q O O E 。 ③ 因为?
?
?
???n m E P O E ?????
?n m -E P O E =??????n m
O O E E ，所以 1
-n m ??????E P O E =??
?
???n m
-E P
O E ； 因为??
??
??n m
E O
Q E ??????n m -E O Q E =??????n m
O O E E ，所以1
-n m ??????E O Q E =???
??
?n m -E O Q E 。 （2） 分块初等矩阵的转置仍是分块初等矩阵。
分块初等矩阵和分块初等变换的关系与矩阵的初等矩阵和初等变换的关系也是一致的，即
（3） 对一个分块矩阵A 做分块初等行（列）变换，等同于在A 的左（右）边乘上一个对应的分块初等矩阵。
（4） 分块初等变换不改变分块矩阵的秩。
3 分块矩阵的应用
3.1 在行列式计算中的应用
命题1 （1） 设矩阵P =??
?
???O C B A 为m +n 阶矩阵，B 为m 阶方阵，C 为n 阶方阵，A 为m ×n 矩阵，O 为n ×m 矩阵，则P =
O
C B
A =（-1）mn C
B ； （2） 设矩阵P =??
?
???D C B O 为m +n 阶矩阵，B 为m 阶方阵，C 为n 阶方阵，O 为m ×n 矩阵，D 为n ×m 矩阵，则P =D
C B
O =（-1）mn C B （北京大学几何与代数教研室代数小组，1991）。
证明 （1）由分块矩阵的乘法，可得
??
????O C B A ??????O E E O
m n =??
?
???C O A B ， 两边同时求行列式可得
O C B A O E E O m n =C
O A B ，
即P
·（-1）
mn
=C B ，所以
P =
O
C B
A =（-1）mn C
B 。 （2） 同理，由分块矩阵的乘法，可得
??
????D C B O ?????
?O E E O
m n =??
?
???C A O B ， 两边同时求行列式可得
D C B O O
E E O m n
=C B ，
即P
·（-1）
mn
=C B ，所以
P =
D
C B
O =（-1）mn C B 。
例2 试求行列式0
002300021211232
13423
2111的值。
解 令矩阵P =???
??
??
?
?????
???00023
0002121123
2134232111，将P 分块为
P =??
?
???O C B A ， 其中A =??????????234211，B =????
?
?????211213321，C =??????2321。 由命题1中的（1）得
P =（-1）mn C B ，
其中m =3，n =2，所以
P =（-1）3·2
×（-3）×（-4）=12。
推论1 若矩阵P =??
?
???O C B O 为m +n 阶矩阵，B 为m 阶方阵，C 为n 阶方阵，则 P =O
C B
O =（-1）mn C B 。 证明 由命题1及分块矩阵的乘法，得
????????????O E E O O C B O m n =??
????C O O B ， 两边同时求行列式可得
C
O O B O E E O
O C B O
=m
n ，
即P ·（-1）
mn
=C B ，所以
P =（-1）mn C B 。
命题2 设矩阵P =??
?
???D C B A 为m +n 阶矩阵，A 为m 阶方阵，D 为n 阶方阵，B 为m ×n 矩阵，C 为n ×m 矩阵，则
（1） 当A 可逆时，有P =
D
C B
A =1A D CA
B --； （2） 当D 可逆时，有P =
D
C B
A =1A BD C D --（杨子胥，2002）。 证明 （1）若A 可逆，由分块矩阵的乘法，可得
??????D C B A 1O m n E A B E -??-?
???=1A O C D CA B -??
??-??
， 两边同时取行列式，得
D C B A ·1m n
E A B O E --=1
A
O C D CA B --， 所以有
P =
D
C B
A =1A D CA
B --。 （2） 同理，若D 可逆，有
??
????D C B A m 1n E O D C E -????-??=1A BD C B O D -??
-?
??
?, 两边同时取行列式，得
P =
D
C B
A =1A BD C D --。 例3 试计算2n 阶行列式14
14232
3P =
的值。
解 将矩阵P 分块为
P =??
????D C B A ，
其中??????????=11 A ，??????????=44 B ，??????????=22 C ，?????
?????=33 D ，A ，B ，C ，D
均为n 阶方阵，且A 不等于0。由命题2中的（1）得
P =
D
C B
A =1A D CA
B --， 111A -????=??????O ，122CA -?
???=??
????N ，CA -1B =??????????88 ，D -CA -1B =??????????5-5- ， 所以
P =D
C B
A =
B CA D A 1--=
5
-5
-
=（-5）n 。
例4 求形如P =?????
??
?
???
??
???------0000
a a a a a a a a a a a a
的n 阶反对称矩阵行列式的值，其中n 为偶数，a ≠0。
解 令P =??
?
???D C B A ，其中 A =??????-0a a 0，B =??????a a a a ，C =??????????----a a a a ，D =???????
?
????????------0000
a a a a a a a a a a a a ， 因为a ≠0，所以A =a 2≠0，所以A 可逆。
由命题2的（1），可得
P =D C B A =B CA D A 1
--，A -1=???
?
???
???
0a
1a 1-0，CA -1=??????????11-11- ，CA -1B =?????
???????000
000000
，
D -CA -1B =???????
?
???
??
???------0000
a a a a a a a a a a a a
， 令P 1=D -CA -1B ，则P 1为形如P 的）（2-n 阶反对称矩阵，同理，将P 1分块为???
???1111D C B A ，其中A 1=A ，由命题2的（1）可得D 1-C 1A 1-1B 1为形如P 的）（4-n 阶反对称矩阵，
P =B CA D A 1--=1P A =11-1111B A C D A A -=11-1112
B A
C
D A -，继续将得到的D 1-C 1A 1-1B 1按将P 分块的方式进行分块，再将得到的
）（6-n 阶反对称矩阵行列式值代入P =11-1112
B A
C
D A -，如此反复直到得到的子块矩阵D r 为2阶方阵，当n =2时，P =A ；
当n =4时，
P =1P A ，P 1=?
?
????0a -a 0，P =2
A ； 当n =6时，
P =22
P A ，P 2=??
????0a -a 0，P =3
A ；...... 所以P =2
n A ，A =0
a -a 0=a 2
，所以P =2n A =a n 。
推论2 设矩阵P =??
?
???D C B A ，若A ，B ，C ，D 均为n 阶方阵，其中A 为可逆矩阵，且AC =CA ，则：P =
D
C B
A =C
B AD -。 证明 因为A 可逆，由命题1可得
P =
D
C B
A =A
B CA D 1--=B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=CB AD -。 命题3 设矩阵P =?
??
???D C B A ，A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，P =
=D
C B
A CD A
B -；
(2) 当A 0≠且BA AB =时，P =
=D
C B
A C
B DA -； (3) 当0≠D 且CD D
C =时，P =
=D
C B
A BC AD -； (4) 当0≠D 且BD D
B =时，P =
=D
C B
A BC DA -． 证明 由A 、
B 、
C 、
D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用命题2得
=D
C B
A A
B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=CB AD -=， 即
P ==D
C B A CB A
D -，
(2)、(3)、(4)类似可得。
例5 试计算行列式P =3
2101
2013
1211211的值。
解 令P =??
?
???D C B A ，其中 A =??????2111，B =??????3112，C =??????1001，D =??
?
???3212。 因为A ≠0，且CA AC =，由命题3中的（1）得，
P =
=D C B A CD AB -，AB =??????7443，CD =??????3212，AB -CD =??
????4231， 所以P =CD AB -=-2。
命题4 设A ，B 均为n 阶方阵，则A
B
B A =B
A +·
B A -。
证明 由分块矩阵的乘法可得
??
???
?n n n E O E E ??????A B B A ??????n n n -E O E E =??
?
??
?-+B A B O B
A ，
两边同时求行列式得
A
B
B A =B
A +·
B A -。
例6 试计算行列式
3
2
2410312
432
3110的值。 解 令矩阵P =?????
????
???32
2
4
10312432
3110，将矩阵P 分块，得P =??????A B B A ，其中A =??
????3210，
B =??
????2431，由命题4可得 P =
A
B
B A =B
A +·
B A -=
56411
2-2
-1-=（-19）*（-5）=95。
命题5 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则
)1(1αβαβ-+=+A A A T T ．
证明 因为
??
?
???+=????????????1-1-1-T T
T
O A A
O E βαββαα （3.1） ??
?
???+=????????????αβαβ
αβ1-1
-11-1A O A
A A O E
T T T （3.2） （3.1）（3.2）两式两边同时取行列式，可得
1
-1-1-T
T
T
O
A A O
E βαββα
α+= （3.3） α
βα
βα
β1-1
-11-1A O A A
A O E T T
T +=
（3.4） 由（3.3）（3.4）两式可得
1
-T
A β
α
=)1(1αβαβ-+=+A A A T T ，
命题得证。
例7 试计算行列式P =b
a a a a a
b a a a a a b a a a a a b
a n n n n ++++
3
2
1
321
321
3
21的值。
解 令A =?
???
??
?????
?b b b ，α=()T 11,1，，???，β=()T n a a a ,,,21???，则
T αβ=()T
11,1，，???()
n a a a ,,,21???=?
?
???
???????n n n a a a a a a a a a 21
2121
。 可以看出P =T A αβ+，由命题5可得
P =)1(1αβαβ-+=+A A A T T
，A =b n ，T β=()n a a a ,,,21???，A -1=???
??
???
?????
?
???
?b 1b 1
b 1
， T
βA -1
=??? ?????b a b a b a n ,,,21，T βA -1α=??? ?????b a b a b a n ,,,21()T 11,1，，???=∑=-n
i i a b 1
1， 所以
P =)1(1
αβαβ
-+=+A A A T T
=b n ）
（∑=-+n i i
a b
1
1
1=）（∑=+n
i i
n a b 1
1
-b 。 推论3 设A 为n 阶可逆矩阵，α与β均为n 维列向量，则
αβαβ1-1-1A A E T T +=+。
证明 由命题4，)1(1αβαβ-+=+A A A T T 得
T A αβ+A -1
=αβ11-+A T ，
即
）
（T A A αβ+1
-=T A E αβ1-+=αβ1-1A T +。
矩阵的分块及应用 武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩
阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs
一、分4块的矩阵求逆 对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了 C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。 本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在： A B | I 0 C D | 0 I 第1行左乘-CA-1并加到第2行有： A B | I 0 0D-CA-1B | -CA-1I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有： A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1 0 D-CA-1B|-CA-1I 第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：
注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。 二、分9块的矩阵求逆 对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A Q I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C -DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行) -GA-10 I | G H K| 0 0 I A 0 0 0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)] 0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆
可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下: 其中： M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。
浅谈分块矩阵的性质及应用 摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知 逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。 关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换 On the nature of block matrix and its application Abstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言： 矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。 1.预备知识： 分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。 分块矩阵的运算：
1.2.1分块矩阵的加法： 设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有 A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ，1111n m mn B B B B B ?? ?= ? ??? K M O M L 其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A B A B ++?? ? ? ?++?? K M O M L 1.2.2分块矩阵与数的乘法： A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ,1111n m mn A A A A A λλλλλ?? ? = ? ??? K M O M L 1.2.3设A 为m l ?矩阵，B 为l n ?矩阵，分块成 1111111 1 t r s st t tr A A B B A B A A B B ???? ? ?== ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么 1111 r s sr C C AB C C ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中1 t ij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r) 1.2.4设1111 t s st A A A A A ?? ? = ? ???K M O M L ，则1111T T t T T T s st A A A A A ?? ?= ? ?? ? K M O M L 2. 分块矩阵的性质及应用： 分块矩阵的性质： 设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
分块矩阵求逆公式及证明 A 12 ,如果A ii (i=1,2)的逆存在，则 A 22 A 11 B 12 * A 12B 22 A 21B 11 A 22B 21 A 21 B 12 A 22B 22 将B 22代入方程(2)可以得到： B q 厂-A -1|A 12F 2 将B/弋入方程(1)可以得到： B qi = A ；；(I iq + A 12F 2A 21A ；1) 证毕。 同理可得，A ；1的另外一种表达形式为： F -F -1A A -1 1 A I ；；； ；； 1 12 22 ,其中 F 广(A ii-A i2A 22；；A 2i ) A - -1 -1 -1 化 1 A 11 (I + A 12F 2A 21A 11 ) _A 11A 12F 2 ； -F 2A 21A 11 F 2 其中 F 2= (A 2^A 21A 11A 12 F 1 证明: 设A 的逆为B 二 B 11 _B 21 B B ：，其中B 与A 分块形式相同'则: A 11 A 12 B 11 A 22 _ -B 21 B q? I 11 B 22H 22 - A 11B 11 A 12B 21 111 (1 ) 定理: A= A 11 A 21 ⑷- A 21A -?⑵二 A 22 B 22 -1 - A 21A 11B 22 -1 1 1 22 = B 22 二(A 22 一 A 21A 11A 12) F 2 (3) - A 21A 11 (1) — A 22B 21 - A 21A 11A 12B 21 =-A 21A -1 二 B 21 二一 B 22A 21A 11
实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组 一、 问题 化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。 二、 实验目的 学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握 用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。 三、 预备知识 1． 线性代数知识： （1） 向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为 ??? ?? ??? ??---112112222 1 21111 n n n n n n x x x x x x x x x （2）分块矩阵???? ??=2221 1211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式： 设??? ? ??=-2221 1211 1 B B B B A ，则2212111121 12111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 1 11211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B （3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；2 1112||||||??? ? ??=∑∑==n i n j ij F a A 2． 本实验所用Matlab 命令提示： （1）输入语句：input('输入提示')； （2）循环语句：for 循环变量=初始值 ：步长 ：终值 循环语句组 end （3）条件语句： if(条件式1) 条件块语句组1 elseif(条件式2) 条件块语句组2 else 条件块语句组3 end （4）矩阵和向量的范数：norm(A)； （5）求矩阵A 的秩：rank （A ）； （6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性 方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法 设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=， 其中ij A ，ij B 的级数相同， 则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘 设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法 设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置 设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：
分块矩阵的若干应用 摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式. 关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩
Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix. Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank
目录 1 引言 (4) 2 分块矩阵的应用 (4) 2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4) 2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6) 2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10) 2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)
1 引言 矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1 .分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩 阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果. 矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用. 2 分块矩阵的应用 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法. 2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式 各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推 法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以?22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ?? = ???,则 （1） 当A 为r 阶可逆矩阵时, 1 A B W A D C A B C D -==-;
分块矩阵及其应用 【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。 【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式 目录 1引言 (2) 2矩阵分块的定义和性质 (2) 2.1 矩阵分块的定义 (2) 2.2 分块矩阵的运算 (2) 2.3 分块矩阵的初等变换 (3) 2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3) 3分块矩阵在高等代数中的应用 (4) 3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4) 3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7) 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11) 3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16) 4总结 (19) 参考文献 (20)
1 引言 矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。
分类号密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目分块矩阵的若干性质及其应用 学院数学与经济学院 专业名称应用统计学 年级 学生姓名 2017 年 4 月
文献综述 一、概述 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。 二、正文 通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。 现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。 林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。 蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
分块矩阵求逆公式及证明 12:,1,2)()()i -??=???? ??+-==- ?-?? 1112ii 2122-1-1-1-1-11112221111112222211112-1221112A A A =A A A A I A F A A A A F A F A A A A F A A F 定理 如果（的逆存在，则，其中??=???? ??????=?=???????????? +=??+=???+=?+=?1112212211121112112122212222111112211111121222211122212112222222B B A B B A B B A A B B I 0AB I A A B B 0I A B A B I A B A B 0A B A B 0A B A B I 证明: 设的逆为，其中与分块形式相同，则：(1) (2)(3) (4) ? 11(4)(2)()--??-=?=-=-1-1-122111222221112222222221112A A A B A A B I B A A A A F 11121(3)(1)-??-=-?=--1-1-1-121112222111122211122211 A A A B A A A B A A B B A A 2 2(2)(1)()=-=+-122121112-1-121111*********B B A A F B B A I A F A A 将代入方程可以得到： 将代入方程可以得到： 证毕。 同理可得，A -1的另外一种表达形式为： 11,()()--??-==-??-+??-1-1-1111222111122221-1-122211 222221112F F A A A F A A A A A A F A I A F A 其中
. . . . . 目录 摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)
分块矩阵求逆及其应用 东生 （渤海大学数学系 121000 中国） 摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。 关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the