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最小割集求法

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最小割集求法

最小割集求法

相关概念求解方法(行列法结构法布尔代数化简法)

相关概念

割集——也叫做截集或截止集,它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。也就是说事故树中一组基本事件的发生,能够造成顶上事件发生,这组基本事件就叫割集。引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。

径集——也叫通集或导通集,即如果事故树中某些基本事件不发生,顶上事件就不发生。那么,这些基本事件的集合称为径集。不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。

TOP

求解方法

行列法

结构法

布尔代数化简法

行列法

行列法是1972年福塞尔提出的方法,所以也称其为福塞尔法。其理论依据是:“与门”使割集容量增加,而不增加割集的数量;“或门”使割集的数量增加,而不增加割集的容量。这种方法是从顶上事件开始,用下一层事件代替上一层事件,把“与门”连接的事件,按行横向排列;把“或门”连接的事件,按列纵横向摆开。这样,逐层向下,直至各基本事件,列出若干行,最后利用布尔代数化简。化简结果,就得出若干最小割集。

为了说明这种计算方法,我们以图4—25所示的事故树为例,求其最小割集。

事故树示意图

我们看到,顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连接的,所以,应当成列摆开,即

A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”,所以成行排列:

下面依此类推:

整理上式得:

下面对这四组集合用布尔代数化简,根据A〃A=A,则X

1〃X

1

=X

1,X

4

〃X

4

=X

4

,即

又根据A+A〃B=A,则X

1〃X

2

+X

1

〃X

2

〃X

3

=X

1

〃X

2

,即

于是,就得到三个最小割集{X 1,X 2},{ X 4,X 5},{ X 4,X 6}。按最小割集化简后的事故树,如图4-26所示:

事故树等效图 TOP

结构法

这种方法的理论根据是:事故树的结构完全可以用最小割集来表示。

下面再来分析图4-25事故树示意图:

A 1∪A 2=X 1〃

B 1〃X 2∪X 4〃B 2

=X 1〃(X 1∪X 3)〃X 2∪X 4〃(C∪X 6)

=X 1〃X 2∪X 1〃X 3〃X 2∪X 4〃(X 4〃X 5∪X 6)

=X 1〃X 2∪X 1〃X 2〃X 3∪X 4〃X 4〃X 5∪X 4〃X 6

=X 1〃X 2∪X 1〃X 2〃X 3∪X 4〃X 5∪X 4〃X 6

=X 1〃X 2∪X 4〃X 5∪X 4〃X 6

这样,得到的三个最小割集{ X 1,X 2}、{X 4,X 5}、{X 4,X 6}完全与上例用行列法得到的结果一致。说明这种方法是正确的。 TOP

布尔代数化简法

这种方法的理论依据是:上述结构法完全和布尔代数化简事故树法相似,所不同的只是“∪”与“+”的问题。实质上,布尔代数化简法中的“+”和结构式中的“∪”是一致的。这样,用布尔代数化简法,最后求出的若干事件逻辑积的逻辑和,其中,每个逻辑积就是最小割集。现在还以图4-25为例,进行化简。

T =A1+A2=X1〃B1〃X2+X4〃B2

=X1〃(X1+X3)〃X2+X4〃(C+X6)

=X1〃X1〃X2+X1〃X3〃X2+X4〃(X4〃X5+X6)

=X1〃X2+X1〃X2〃X3+X4〃X4〃X5+X4〃X6

=X1〃X2+X1〃X2〃X3+X4〃X5+X4〃X6

=X1〃X2+X4〃X5+X4〃X6

所得的三个最小割集{ X1,X2}、{X4,X5}、{X4,X6}与第一、第二种算法的结果相同。

总的来说,三种求法都可应用,而以第三种算法最为简单,较为普遍采用。

“割补法”求解不规则几何体体积

“割补法”求解不规则几何体体积 我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体,称为不规则几何体.而解决不规则几何体的方法,常用割补法,即通过分割或补形,将它变成规则的几何体.我们可以从不规则几何体的来源上,即它是由何种常见的几何体所截得的来分类. 一、来自三棱柱的截体 例1 如图1,正四面体A BC D -中,E F G H ,,,分别是棱 A B A C B D C D ,,,的中点,求证:平面EFH G 把正四面体分割成 的两部分几何体的体积相等. 分析:显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体, 因此我们可使用割补法来推导.那么我们应选择割,还是补呢? 如果选择补,那么补成什么样子呢?显然只能是正四面体,这就 说明我们应该选择割. 证明:连结C E C G A G A H ,,,,左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥,如图1.易证左右的两个四棱锥的体积相等,两个三棱锥的体积也相等,于是两部分体积相等. 当然此题还有其他的分割方法,比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等,也同样好证. 二、来自正方体的截体 例2 如图2,已知多面体ABC D EFG -中,A B A C A D ,,两两互相垂 直,平面ABC ∥平面D E F G ,平面BEF ∥平面A D G C , 2AB AD D C ===,1AC EF ==,则该多面体的体积为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解法一(割):如图3,过点C 作C H D G ⊥于H ,连结EH ,这样就 把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -. 于是所求几何体的体积为: DEH BEF V S AD S DE =?+?△△11212212422????=???+???= ? ?????. 解法二(补):如图4,将多面体补成棱长为2的正方体,那么显然 所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半. 于是所求几何体的体积为31242V = ?=. 三、来自圆柱的截体 例3 如图5,如图5,一圆柱被一平面所截,已知被截后几何体的 最长侧面母线长为4,最短侧面母线长为1,且圆柱底面半径长为2,则 该几何体的体积等于_______. 解法一(割):如图6,该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上

集总分析法基础

集总参数分析方法 求解非稳态导热问题最终可以归结为从数学上求解包含非稳态项的导热微分方程及相应单值性条件所构成的定解问题。完全从分析解得角度求解这类问题往往难度很大,如果能在合理假设下找到一种简便的方法,就会给一部分瞬态导热问题的求解带来很大的便利,这就是本节将要讨论的集总参数分析方法,简称集总参数法。 1.1.1基本概念 试考察一个小金属零件的热处理过程,设从加热炉中取出的零件具有均匀一致的温度t 。,把它投入容量相当大,温度等于t f 的液体中淬火。金属零件与液体间的表面传热系数等于h 。如果该零件的内部导热热阻相对于外部对流热阻足够小,就有理由认为从零件的核心处到冷却液的全部温降主要发生在液体一侧,而固体内部任何位置在整个冷却过程中随时保持均与一致的温度,这种近似处理的方法就好像把整个物体看做一个质点,无论它的实际体积,质量多大,在同一个时刻只具有一个温度值。于是该非稳态导热过程的解得形式只能是 )=τ(f t 即此时物体内部温度场只随时间,而不随几何位置变化。这正是它被称作“零维问题”的原因,这种在近似忽略物体内部导热热阻条件下求解瞬态导热问题的方法就是集总参数分析方法,它能使问题的分析求解变得十分简单,而由此引起的误差稍后可以从与精确解的对比中得到。 1.1.2集总参数分析方法 试考虑任意形状的物体,它的体积是V,表面积是A 具有均匀一致的初始温度t 0,把它突然投入到温度为t f 的流体中(t f >t 0)设流体与物体表面间的传热系数为h,以及物体的各项物性参数均保持常数,下面根据集总参数分析方法的指导思想推出物体温度随时间变化的具体关系式。 可以采用两种不同的指导思路,(1)从导热微分方程入手,把物体与流体之间的热量交换视为虚拟内热源,并注意这是零维问题。(2)从能量平衡的角度出发,建立非稳态导热问题的数学模型,这里采用后一种方法,它容易理解,而且物理概念清晰。 物体冷却过程中的能量平衡关系为 )(f t t hA d dt pcv -=-τ 该式表明,物体温降所释放的热流量等于流体所吸收的热流量,注意上式中的负号必不可少。令过余温度θ=t-t f,上式重新写成 θτ θhA d d pcv =- 相应的初始条件表示为 f t t -=0)0(θ

数学人教版九年级下册用割补法求坐标系中图形的面积

中考数学小专题复习 ----用割补法求坐标系中三角形的面积(教学设计) 广州市绿翠现代实验学校东陈云兰 【学习背景】 本学期我校初三数学中考总复习资料选用的是《三段六步专题设计》,“三段六步”指的是复习总结教学模式的一个实操性基本程序,三段是指回顾激活原有知识,思考重建认知结构、提取新知迁移巩固三个阶段。经过中考第一轮的基础复习,常会遇到在平面直角坐标系中求与三角形面积有关的综合题。为了能够更好地掌握此类题目的解题方法和解题技巧,特安排此节单课时专题复习课。目的是通过选取与任教班级学生学情相符的一些例题,通过典例分析和巩固练习,学会研究问题时把数和形结合起来考虑,利用割补的方法把一些不能直接计算的三角面积形转化成可以直接计算的三角形,从而求出相关的面积。 【学情分析】 本班学生是初二重新再分班后的第二层次,有一定的基础,但严重缺乏尖子生和自觉学习能力,每次考试均分在100±5分左右,120分以上的同学也就五六个。对最后三大题存在畏难情绪,尤其是对一些少见或稍难的题型,没有较好的解题思路去分析问题和解决问题,所以掌握一种最基础最常见的解题方法(割补法),学会在最后三题的第1,2问多拿分,以增强学生的信心和提升数学中考成绩。 【教学目标】 1、理解并会用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积。 2、体会数学中的转化思想和数形结合思想。 【教学重点】 利用割补的方法求面积。 【教学难点】 具有一定的观察能力和化归能力 教学环节:

1、新课引入 例、已知点A(-3,0),点C(0,3),且点B的坐标为(-1,4),计算△ABC的面积。 B C A 2、探究割补(假设如果△ABC的某边和该边上的高无法从已知三点坐标直接求出,必须通过图形的割补,你有何解决方法?)

割补法求面积

割补法求面积 阴影面积的计算是本章的一个中考热点,计算不规则图形的面积,首先应观察图形的特点,通过分割、接补将其化为可计算的规则图形进行计算. 一、补:把所求不规则图形,通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合,转化为可求面积的图形. 例题1 如图1,将半径为2cm 的⊙O 分割成十个区域,其中弦AB 、CD 关于点O 对称,EF 、GH 关于点O 对称,连接PM ,则图中阴影部分的面积是_____cm 2(结果用π表示). 解析:如图1,根据对称性可知:S 1=S 2,S 3=S 4,S 5=S 6,S 7=S 8,因此阴影部分的面积占整个圆面积的 21,应为:ππ222 12=?(cm 2). 练习:如图2,在两个同心圆中,三条直径把大圆分成相等的六部分,若大圆的半径为2,则图中阴影部分的面积为_______. 答案:2π. 二、割:把不规则的图形的面积分割成几块可求的图形的面积和或差. 例题2 如图3,在Rt △ABC 中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=6cm ,把△ABC 以点B 为中心旋转,使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C′处,那么AC 边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_______cm 2(不取近似值). 解析:把所求阴影部分的面积分割转化,则 S 阴影=(S 扇形BAA′+S △A′C′B )-(S △ACB +S 扇形BCC′)

=S 扇形BAA′-S 扇形BCC′ 360 312036061202 2?-?=ππ=π9. 练习:如图4,正方形ABCD 的边长为1,点E 为AB 的中点,以E 为圆心,1为半径作圆,分别交AD 、BC 于M 、N 两点,与DC 切于P 点,∠MEN =60°.则图中阴影部分的面积是_________. 答案:4361-- π. 三、先割后补:先把所求图形分割,然后重新组合成一个规则图形. 例题3 如图5,ABCD 是边长为8的一个正方形,EF 、HG 、EH 、FG 分别与AB 、AD 、BC 、DC 相切,则阴影部分的面积=______. 解析:连接EG 、FH ,由已知可得S 1=S 2,S 3=S 4,所以可把S 1补至S 2,S 3补至S 4. 这样阴影部分的面积就转化为正方形面积的21,因此阴影部分的面积为3282 12=?. 练习:如图6,AB 是⊙O 的直径,C 、D 是AB 上的三等分点,如果⊙O 的半径为1,P 是线段AB 上的任意一点,则图中阴影部分的面积为( ) A .3π B .6π C .2π D .3 2π 答案:A .

用割补法求面积

用割补法求面积 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

第25讲用割补法求面积 在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积: 分析与解:(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=。 (2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解:阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 (1)割补法 从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 (2)拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。 积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 (3)等分法 将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形, 注意,后两种方法对任意三角形都适用。也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。 例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。求这个梯形的面积。 分析与解:因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米2)。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。 分析与解:题中给出了两个似乎毫无关联的数据,无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形(见右上图)。因为A与A′,B与B′面积分别相等,所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4× 6=24,所以甲的面积,即所求矩形的面积也是24。 例5下图中,甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米,甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 分析与解:如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙,所剩的A,B,C三部分之和就是40厘米2(见左下图)。 把C割下,拼补到乙正方形的上面(见右上图),这样A,B,C三块就合并成一个长20厘米的矩形,面积是40厘米2,宽是40÷20=2(厘米)。这个宽恰好是两个正方形的边长之差,由此可求出乙正方形的边长为(20-2)÷2=9(厘米),从而乙正方形的面积为9×9=81(厘米2)。 练习22 1.求下列各图中阴影部分的面积:

最小割集计算

最小割集计算: T=A1+A2+A3 =B1B2+X6X7+X8X9 =(X1+X2+X3)(X4+X5)+X6X7+X8X9 = X1X4+X1X5+X2X4+X2X5+X3X4+X3X5+X6X7+X8X9 则最小割集有8个,即K1={X1,X4};K2={X1,X5};K3={X2,X4};K4={X2,X5}; K5={X3,X4};K6={X3,X5};K7={X6,X7};K8={X8,X9}。 最小径集计算: T′=A1′·A2′·A3′ =(B1′+B2′)(X6′+X7′)(X8′+X9′) =(X1′X2′X3′+X4′X5′)(X6′+X7′)(X8′+X9′) =(X1′X2′X3′X6′+X1′X2′X3′X7′+X4′X5′X6′+X4′X5′X7′)(X8′+X9′) = X1′X2′X3′X6′X8′+ X1′X2′X3′X6′X9′+ X1′X2′X3′X7′X8′+ X1′X2′X3′X7′X9′ + X4′X5′X6′X8′+ X4′X5′X6′X9′+ X4′X5′X7′X8′+ X4′X5′X7′X9′ 则故障树的最小径集为8个,即 P1={X1,X2,X3,X6,X8}; P2={X1,X2,X3,X6,X9};

P3={X1,X2,X3,X7,X8}; P4={X1,X2,X3,X7,X9}; P5={X4,X5,X6,X8}; P6={X4,X5,X6,X9}; P7={X4,X5,X7,X8}; P8={X4,X5,X7,X9}; 起重钢丝绳断裂事故发生概率计算: 根据最小割集计算顶上事件的概率 即g=1-(1-qk1)(1-qk2)(1-qk3)(1-qk4)(1-qk5)(1-qk6)(1-qk7)(1-qk8) =1-(1-q1q4)(1-q1q5)(1-q2q4)(1-q2q5)(1-q3q4)(1-q3q5)(1-q6q7)(1-q8q9) 由于q1=q2=q3=q4=q5=q6=q7=q8=q9=0.1 则g=1-(1-0.1×0.1)(1-0.1×0.1)(1-0.1×0.1)(1-0.1×0.1)(1-0.1×0.1)(1-0.1×0.1) (1-0.1×0.1)(1-0.1×0.1) =1-(1-0.1×0.1)8 =1-0.998 =0.07726 山东科技大学2005年招收硕士学位研究生入学考试 安全系统工程试卷

五年级奥数:第22讲 用割补法求面积

五年级奥数:第22讲用割补法求面积在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积: 分析与解:(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 (2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解:阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

(1)割补法 从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 (2)拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。 积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 (3)等分法 将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形, 注意,后两种方法对任意三角形都适用。也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。 例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。求这个梯形的面积。

小学奥数——用割补法求面积

小学奥数解析十三用割补法求面积 在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积: 分析与解:(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 (2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解:阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 (1)割补法 从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

(2)拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。 积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 (3)等分法 将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形, 注意,后两种方法对任意三角形都适用。也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。 例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。求这个梯形的面积。 分析与解:因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米2)。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。 分析与解:题中给出了两个似乎毫无关联的数据,无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形(见右上图)。因为A与A′,B与B′

故障树分析法的内容及其分析学习资料

故障树分析法的内容及其分析 故障树分析法(Fault Tree Analysis)是1961~1962年间,由美国贝尔电话实验室的沃森(H.A.Watson)在研究民兵火箭的控制系统中提出来的。首篇论文在1965年由华盛顿大学与波音公司发起的讨论会上发表。1970年波音公司的哈斯尔(Hassl)、舒洛特(Schroder)与杰克逊(Jackson)等人研制出故障树分析法的计算机程序,使飞机设计有了重要改进。1974年美国原子能委员会发表了麻省理工学院(MIT)的拉斯穆森(Rasmusson)为首的安全小组所写的“商用轻水核电站事故危险性评价”报告,使故障树分析法从宇航、核能逐步推广到电子、化工和机械等部门。 故障树分析法实际上是研究系统的故障与组成该系统的零件(子系统)故障之间的逻辑关系,根据零件(子系统)故障发生的概率去估计系统故障发生概率的一种方法。对可能造成系统失效的硬件、软件、环境、人为等因素进行分析,画出故障树,确定系统失效的各种可能组合方式及其发生的概率,从而计算出系统的失效概率,以便采取相的补救措施以提高系统的可靠性。 故障树分析一般有以下一些作用: (1)指导人们去查找系统的故障。 (2)能够指出系统中一些关键零件的失效对于系统的重要性。 (3)在系统的管理中,提供了一种看得见的图解,以便帮助人们对系统进行故障分析,并且对系统的设计有一定的指导作用。 (4)节省了大量的分析系统故障的时间,简化了故障分析过程。 (5)为系统的可靠度的定性与定量分析奠定的基础。 故障树分析一般按以下顺序进行: (1)定义系统,确定分析目的和内容,明确对系统所作的基本假设,对系统有一个详细的、透彻的认识。 (2)选定系统的顶事件。 (3)根据故障之间的逻辑关系,建造故障树。 (4)故障树的定性分析。分析各故障事件结构的重要度,应用布尔代数对其进行简化,找出故障树的最小割集。 (5)收集并确定故障树中每个基本事件的发生概率或基本事件分布规律及其特性参数。 (6)根据故障树建立系统不可靠度(可靠度)的统计模型,确定对系统作定量分析的方法,然后对该系统进行定量分析,并对分析结果进行验证。 (7)根据分析提出改进意见,提高系统的可靠性。

割集分析法

§3-6 割 集 分 析 法 一、割集与基本割集 1)、割集 割集是支路的集合,它必须满足以下两个条件: (1) 移去该集合中的所有支路,则图被分为两部分。 (2) 当少移去该集合中的任何一条支路,则图仍是连通的。 需要说明的是,在移去支路时,与其相连的结点并不移去。 图G 是一个连通图,如图3-26(a)所示,支路集合{1,5,2}、{1,5,3,6}、{2,5,4,6}均为图G 割集。将以上割集的支路用虚线表示,分别如图3-26(b)、(c)、(d)所示,不难看出,去掉虚线支路后,各图均被分成了两部分,但是 图3-26 图G 及其割集 (a) (b) (c) (d)

只要少去掉其中的一条虚线支路,图仍然是连通的,故满足割集所要求的条件。 而支路集合{1,5,4,6}、{1,2,3,4,5}不是图G 的割集。将集合中的支路用虚线表示后如图3-27(a)和(b)所示。对于图3-27(a)来说,移去支路1、5、4、6后,图虽说被分为两部分(结点①为其中的一部分),但如不移去支路5,图仍被分为两部分;而对于图3-27(b)来说,将支路1、2、3、4、5移去后,图则被分成了三部分,故以上两种支路集合不是割集。 2)、作高斯面确定割集 在图G 上作一个高斯面(闭合面),使其包围G 的某些节点,而每条支路只能被闭合面切割一次,去掉与闭合面相切割的支路,图G 将被分为两部分,那么这组支路集合即为图G 的一个割集。在图G 上画高斯面(闭合面)C 1、C 2、 (a) (b) 图3-27 非割集说明 ① ② ③ ① ②

C 3如图3-28所示,对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1,5,2}、{1,5,3,6}、{2,5,4,6}。 3)、基本割集 基本割集又称单树支割集,即割集中只含一条树支,其余均为连支。如选支路1、5、3为树支,如图3-29所示,则割集C 1,C 2,C 3为基本割集,基本割集的方向与树支的参考方向一致。 当树选定后,对应的基本割集是唯一确定的。当然选的树不同,相应的基本割集也就不同。如选支路1、5、6为树支以及选支路1、5、2为树支的基本割集分别如图3-30 (a)和(b)所示。当图G 有n 个结点、b 条支路时,基本割集的数目等于树支数,为(n -1)。 图3-28 作高斯面确定割集 C 1 2 C 3 图3-29 基本割集

割补法巧算面积

割补法巧算面积知识精讲: 分割法:把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法:把不规则图形周围添上规则的小图形,使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积. (单位:厘米) 8 2 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位:米)?这个图形的面积等于多少平 例题2 如图,在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米,它的内部有一个三角形AEF (如图),线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米,那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米. B 例题3 如图中,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等份,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?

练习3. 2 1如图所示,正方形ABCD的边长acm,则图中阴影部分的面积为______________________ cm ? A D 例题4.如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分 点.已知图1中阴影部分的面积是294平方分米. 请问:图 2中的阴影部分的面积是多少平 方分米? 练习4 7.如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列,依次进行两等分、三等分、四等分,各取出其中的一份画上阴影,则阴影部分的面积占全部面积的几分之几? 例6. 选做题 例5如图,在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形平 方厘米,那么正方形B的面积是多少平方厘米? A的面积是36

割补法

知识点练习 一、选择题 1. 三平面,,两两互相垂直且交于点,空间一点到,,的距离分别为,,,则,两点间的距离为 A. B. C. D. 2. 已知三个平面两两互相垂直且交于一点,若空间一点到三个平面的距离分别为、、,则的长为 A. B. C. D. 3. 某几何体正视图与侧视图相同,其正视图与俯视图如图所示,且图中的四边形都是边长为的正方形,正视图中两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 A. B. C. D. 4. 一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是

A. B. C. D. 5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为 A. B. C. D. 6. 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是

A. B. C. D. 7. 已知在半径为的球面上有、、、四点,若,则四面体的体积的最大值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 8. 自半径为的球面上一点,作球的互相垂直的三条弦,,,则(用表示). 9. 若构成教室墙角的三个墙面记为,,,交线记为,,,教室内一点到三墙面,,的距离分别为、、,则与墙角的距离为. 10. 如图是一个长方体截去一个角后的多面体的三视图,在这个多面体中,,, .则这个多面体的体积为.

11. 若三角形内切圆半径为,三边长分别为、、,则三角形的面积,根据类比思想,若四面体内切球半径为,其四个面的面积分别为、、、,则四面体的体积. 12. 已知正方形的一个面在半径为的半球底面上,,,,四个顶点都在此半球面上,则正方体的体积为. 13. 在正四面体中,其棱长为,若正四面体有一个内切球,则这个球的表面积为. 14. 如图,已知底面半径为的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为,最小值为,那么圆柱被截后剩下部分的体积是.

割补法巧算面积

割补法巧算面积

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割补法巧算面积 知识精讲: 分割法:把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法:把不规则图形周围添上规则的小图形,使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积.(单位:厘米) 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位:米).这个图形的面积等于多少平方 米? 例题2 如图,在正方形ABCD内部有一个长方形.EFGH.已知正方形ABCD的边长是6厘米,图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米,它的内部有一个三角形AEF(如图),线段DF=3.6厘米,BE=2.8厘米,那么三角形AEF的面积等于平方厘米. 例题3 如图中,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等份,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?

练习3. 1.如图所示,正方形ABCD的边长acm,则图中阴影部分的面积为cm2. 例题4. 如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分点.已知图1中阴影部分的面积是294平方分米.请问:图2中的阴影部分的面积是多少平方分米? 练习4 7.如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列,依次进行两等分、三等分、四等分,各取出其中的一份画上阴影,则阴影部分的面积占全部面积的几分之几? 选做题 例5 如图,在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形A的面积是36平方厘米,那么正方形B的面积是多少平方厘米? 例6.

(完整版)用割补法求面积

在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积: 分析与解:(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 (2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解:阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 (1)割补法 从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 (2)拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。 积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

(3)等分法 将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形, 注意,后两种方法对任意三角形都适用。也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。 例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。求这个梯形的面积。 分析与解:因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米2)。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。

用割补法求面积

第25讲用割补法求面积 在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积: 分析与解:(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=。 (2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解:阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 (1)割补法 从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 (2)拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。

积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 (3)等分法 将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形, 注意,后两种方法对任意三角形都适用。也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。 例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。求这个梯形的面积。 分析与解:因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米2)。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。 分析与解:题中给出了两个似乎毫无关联的数据,无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形(见右上图)。因为A与A′,B与B′面积分别相等,所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24,所以甲的面积,即所求矩形的面积也是24。 例5下图中,甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米,甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 分析与解:如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙,所剩的A,B,C三部分之和就是40厘米2(见左下图)。 把C割下,拼补到乙正方形的上面(见右上图),这样A,B,C三块就合并成一个长20厘米的矩形,面积是40厘米2,宽是40÷20=2(厘米)。这个宽恰好是两个正方形的边长之差,由此可求出乙正方形的边长为(20-2)÷2=9(厘米),从而乙正方形的面积为9×9=81(厘米2)。 练习22

小学奥数割补法、差不变原理求面积

分割法 在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到分割、拼补的方法。 例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数,如下图所示,那么它的面积是多少? 例题3、下图中,甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米,甲正方形比乙正方形的 面积大40厘米2。求乙正方形的面积。

例题4、如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长 5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。求这个梯形的面积。 例题 5、在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 (见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几?

练习2.求下图(单位:厘米)中四边形ABCD的面积。 练习3.下图是甲、乙两个正方形,甲的边长比乙的边长长3厘米,甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。 练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中,剪去一个三角形后,剩下的部分是一个直角梯形(阴影部分)。已知梯形的面积为36厘米2,上底为3厘米,求下底和高。 练习5、如图,三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起,求阴影部分的面积?

练习6、下左图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分的面积(阴影部分)有多大?

等差法 解题关键:找出组合图形的公共部分 解题技巧:利用差不变原理进行等量代换: 例题1、如图ABCG是的长方形,AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。那么,三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少? 练习1如图ABCG是的长方形,AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。那么,三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少?

数学思想和数学方法之割补法第2课

图1-1 图1-2 A' 中学数学解题思想方法--割补法(2) 1 内容概述 在求不规则的几何体的体积时,有些题目采用“补形法”比较容易;有些题目采用“分割法”更为恰当;还有些题目既能采用“补形法”解决,也能采用“分割法”解决;还有些题目既要采用“补形法”,同时采用“分割法”才易解决.本讲将重点讲解割补法的灵活应用以及专题总结. 2 例题示范 例1 如图1-1,A A '⊥底面ABC ,////AA BB CC ''',且345AB BC AC ===,,, 624AA BB CC '''===,,,求几何体C B A ABC '''-的体积 解:补上一个相同的几何体如图1-2所示,则新几何体的体积等于两个原几何体的体积.即 =2V V 新原.因为A A '⊥底面ABC ,////AA BB CC ''',所以新几何体ABC DEF -为直三棱柱,且 因为624AA BB CC '''===,,,所以 新几何体底面ABC 的高8AD =. 345AB BC AC ===,,, 222AB BC AC ∴+=, 90ABC ?∴∠= 1 =S 482 ABC V AD AB BC AD ?∴?= ??=新 所以原几何体的体积为24.

图1-3 图1-4 图 2-1 解:(法二)在AA '上取一点D 使2AD BB '==,在CC '上取一点E 使2CE BB '==, 连结DB ',B E ',DE 平面如图1-3所示, ////AA BB CC ''',A A '⊥底面ABC ABC DB E '∴-为直三棱柱 345AB BC AC ===,,, 222AB BC AC ∴+=, 90ABC ? ∴∠= 1 =S 122 ABC DB E ABC V AD AB BC AD '-?∴?= ??=, 过点B '作B F DE F '⊥于,如图1-4所示, A A '⊥底面ABC , A A D B E ''∴⊥底面 A A B F ''∴⊥ A A DE D '?= B F DE C A '''∴⊥平面 所以四棱锥B DEC A '''-的体积为 111=S ()12332 B DE C A DEC A V BF A D C E DE BF '''''-''?=?+??= 所以几何体C B A ABC '''-的体积为24B DEC A ABC DB E V V ''' '--+= 评析:本题所给几何体不是一个规则的几何体, 可以看成一个直三棱柱被一个平面所截而成的.根据题目特点我们既可以选择“补形法”补成直三棱柱,如图1-2所示,计算出直三棱柱的体积,再利用直三棱柱和已知几何体的关系求解;也可以采用“分割法”,把所给几何体分割成直三棱柱和四棱锥,如图1-3所示来解决 . 本题解法一采取的解题方法为补形法,解法二 所采取的解题方法为分割法.两种方法都比较自然,由于题目所给条件,本题采用解法一较为简捷. 例2 如图2-1,A A '⊥平面ABC ,//////AA BB CC DD '''',四边形ABCD 为正方形,且 213AB AA CC BB ''''=====,,DD ,求几何体D C B A ABCD ''''-的体积

最小割集求法

最小割集求法 相关概念求解方法(行列法结构法布尔代数化简法) 相关概念 割集——也叫做截集或截止集,它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。也就是说事故树中一组基本事件的发生,能够造成顶上事件发生,这组基本事件就叫割集。引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。 径集——也叫通集或导通集,即如果事故树中某些基本事件不发生,顶上事件就不发生。那么,这些基本事件的集合称为径集。不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。 TOP 求解方法 行列法 结构法 布尔代数化简法 行列法 行列法是1972年福塞尔提出的方法,所以也称其为福塞尔法。其理论依据是:“与门”使割集容量增加,而不增加割集的 数量;“或门”使割集的数量增加,而不增加割集的容量。这种 方法是从顶上事件开始,用下一层事件代替上一层事件,把“与门”连接的事件,按行横向排列;把“或门”连接的事件,按列

纵横向摆开。这样,逐层向下,直至各基本事件,列出若干行,最后利用布尔代数化简。化简结果,就得出若干最小割集。 为了说明这种计算方法,我们以图4—25所示的事故树为例,求其最小割集。 事故树示意图 我们看到,顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连 接的,所以,应当成列摆开,即 A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”,所以成行排列: 下面依此类推:

整理上式得: 下面对这四组集合用布尔代数化简,根据A·A=A,则X 1·X 1 =X 1,X 4 ·X 4 =X 4 ,即 又根据A+A·B=A,则X 1·X 2 +X 1 ·X 2 ·X 3 =X 1 ·X 2 ,即 于是,就得到三个最小割集{X 1,X 2 },{ X 4 ,X 5 },{ X 4 ,X 6 }。 按最小割集化简后的事故树,如图4-26所示:

割补法巧算面积

割补法巧算面积 知识精讲: 分割法:把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法:把不规则图形周围添上规则的小图形,使总面积便于计算例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积. (单位:厘米) 3 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位:米)?这个图形的面积等于多少平 5 2| 3 31 4 方米?-------------------- 例题2 如图,在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段 AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米,它的内部有一个三角形AEF (如图),线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米,那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米. 例题3 如图中,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等 份,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和 等于多少平方厘米?

例题4.如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分 点.已知图1中阴影部分的面积是 294平方分米.请问:图2中的阴影部分的面积是多少平 方分米? 练习4 7.如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列,依次进行两等分、三等分、四等分,各 取出其中的一份画上阴影,则阴影部分的面积占全部面积的几分之几? 例6. 练习3. 1如图所示,正方形 ABCD 的边长acm ,则图中阴影部分的面积为 2 ____________ cm ? 选做题 例5如图,在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形 A 的面积是36 平方厘米,那么正方形 B 的面积是多少平方厘米 ?

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