1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；
2.
熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型
直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。 最基本的思想是等积变形。
一、等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
b
a
S 2S 1 D
C B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△
E
D
C
B
A
E
D
A
知识精讲
教学目标
第一讲 直线型面积（一）
板块一、等积变形
【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为
AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．
H
G
F
E D C
B
A
H
G
F
E D C
B
A
【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接BH 、CH ． ∵AE EB =，
∴AEH BEH S S =△△．
同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，
∴11
562822
ABCD S S ==?=阴影长方形(平方厘米)．
【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部
分的面积是 ．
E D G
C
F
B
A
65
43
21H
A B
F C
G D
E
【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，
求阴影部分的面积．
K
O Q
P
H G F E
D
C B A K O Q
P
H G
F E
D
C B
A
【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角
线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．
如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ??=，KGE FGE S S ??=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．
【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．
G
4A
B C
D
E
F
G
4A
B C
D
E
F
【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图
中阴影部分的面积为 ．
A B
C
D E F
G
H
A B
C
D E
F
G
H
【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
D G F
H
E C
B
A
A B
C
E
H
F G D
【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面
积是多少？
H
G
F E
D
C
B
A
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：
H G
F E
D C B
A
可得：12EHB AHB S S ??=
、12FHB CHB S S ??=、1
2
DHG DHC S S ??=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ???=++= 即11
()361822
EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ??????++=++=?=；
而EHB BHF DHG EBF S S S S S ????++=+阴影，11111
()()36 4.522228
EBF S BE BF AB BC ?=??=????=?=．
所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ?=-=-=阴影
解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可变成右图：
G
A
B
C
D E F (H )
这样阴影部分的面积就是DEF ?的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111
3636363613.52222222
ABCD AED BEF CFD S S S S S ???=---=-??-???-??=阴影．
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与P 点连接,求阴影部分面积．
P D
C
B
A
A B
C
D
(P )
P
D
C
B
A
【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，
4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．
P
N
M L
K
D C
B
A
(P )
A B
C D K L
M N
P
N
M L K
D C B
A
【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是
AMN ?和ALK ?．而AMN ?的面积为(125)4214-?÷=，ALK ?的面积为(124)5220-?÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．
（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：
则有:211
127222
PDC PAB ABCD S S S ??+==?=
同理可得：72PAD PBC S S ??+=;
而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ??===,即1
3
PDM PDC S S ??=；
同理：13PBL PAB S S ??=,512PND PDA S S ??=,5
12
PBK PBC S S ??=;
所以：15
()()()()312
PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ????????+++=+++
而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ????????+++=+++
阴影面积
；
1
45102
DNM BLK S S ??==??=；
所以阴影部分的面积是：
15
()()()312
PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ????????+=+++-+
即为：15
727210224302034312
?+?-?=+-=．
【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC
?的面积是 平方厘米．
F
E D
C
B
A
F
E D
C
B
A
【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ?的面积为DAC ?面积的1
3
，DAC ?的面积为ABC ?面积的12，所
以DEF ?的面积为ABC ?面积的111
236
?=．而DEF ?的面积为5平方厘米，所以ABC ?的面积为
1
5306
÷=(平方厘米)．
【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF
长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？
F E
D
C
B
A
【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形
组合而成．求阴影部分的面积．
48cm 2
24cm 2
36cm 2
12cm 2
M
N
D
C B A
12cm 2
36cm 224cm 2
48cm 2
【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB =
=+，241
24483
CD ==+，
所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211
(12243648)5(cm )212
+++??=．
【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、
三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．
E
D
C
B A
【解析】 根据题意可知，8928117ADC
ADE DCE S S S ???=+=+=，
所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ??===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ??==，
故2227
89(901)2019S =?=-?=-=．
【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ?的面积是25cm ，OAB ?的面积是22cm ，求OBD ?的面积是
多少？
P
O
D C B
A
【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ??+=，而1
2
ABD ABCD S S ?=，所以AOD BOC ABD S S S ???+=，
则BOC OAB OBD S S S ???=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ???=-=-=．
【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，
求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？
A B
C
D
E
F
G
H
P
A B
C
D
E
F
G
H P
【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边
形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．
由于1
2
BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ?????+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ???-=．
而12BCP BCFE S S ?=，1
2
ABP ABHG S S ?=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ???-=-==(平方分米)．
【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ?的面积是15，求阴影BPD ?的面积．
P
D
C B
A
O
A
B C
D
P
【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，
可得//PO DC ，所以DPO ?与CPO ?面积相等(同底等高)，所以有：
BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ?????+=+=，
因为11
20544
BOC ABCD S S ?==?=，所以15510BPD S ?=-=．
【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ?的面积是5，求阴影BPD ?的面积．
P
D
C B
A
O
A
B C
D
P
【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH
等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．
H
G F E D C B A
H
G
F E
D C
B A
【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．
由于HCG ?面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的
1
2
，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ?的面积为12平方厘米，AHF ?的面积为6平方厘米，AHC ?的面积为3平方厘米．
那么正方形CGEF 的面积为()612236+?=平方厘米，所以其边长为6厘米．
又AFC ?的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =?÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘
米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21
369349.52
++?=(平方厘米)．
【例 12】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角
形ABC 的面积是多少？
F E
D C
B A
F E
D C
B A F E
D C
B A
【解析】 方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形
∴1
2
ADE AEF ADEF S S S ??==
∴
38ADB ADE S DB DE S ??==， 1
2
ACF AEF S FC EF S ??== 5BE DE DB -1CE FE CF -
∴1515
162822
BEC S ?=???=
∴13
2
ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ????=---= ． 方法二：连接BF ，由图知1628ABF
S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是
AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此522.5B C E
B C F
S S ==÷=△△
，所以
16342.56
ABC S =---=△
【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC
边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ?的面积为a 平方厘米，BDO ?的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．
E b
a
O
D C
B
A
【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ???==+，14ABC BCE BCO S S a S ???==+，所以11
2.524ABC ABC S S b a ??-=-=(平方厘
米)．所以 2.5410ABC S ?=?=(平方厘米)．
【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米？
G F
E D C
B
A
【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设
为y 平方厘米，那么DEF 的面积为1
3
y 平方厘米．
x
y
y x G
F
E D
C
B
A
221B C D S x y =+= ，BDE 111
S =x+y=l 333?= ．所以有0.531x y x y +=??
+=?
①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为
255
0.253312
y y +=?=平方厘米．
【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ?被分成
9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．
K
J
I
H G
F
E D
C B A
【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ??==，所以2
109
BD BC ==，35CD BC BD =-=；又
::2:5D I F D F
C D I D C S S ??==，所以2
145
DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．
【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，
并且OAB ?、ABC ?、BCD ?、CDE ?、DEF ?的面积都等于1，则DCF ?的面积等于 ．
E
C
A
O
B
D F
M
N
【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成
两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．
G
F
E D
C B
A
A
B
C D
E F
G
【解析】 连接AF ，BD ．
根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；
所以，1527BE CBF F S S ??=，1227BE CBF C S S ??=，2128AEG ADG S S ??=，7
28
AED ADG S S ??=，
于是：2115652827ADG CBF S S ??+=；712
382827
ADG CBF S S ??+=；
可得40ADG S ?=．故三角形ADG 的面积是40．
【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，
15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．
O G
F
E
D
C
B
A
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形
AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．
由于长方形ABCD 的面积为158120?=，所以三角形BOC 的面积为1
120304
?=，所以三角形AOE 和
DOG 的面积之和为3
12070204
?-=；
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024??
?-= ???
，所以四边形EFGO 的面积
为302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．
【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN
的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．
N
O
M
P
D
C
B
A
【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积
是多少平方厘米？
6
523
N
M
Q
P
D C B
A
3
3
6
5
23
N M
Q
P
D C
B A
【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长
为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ?、NAM ?、PBN ?、QCP ?的面积之和为S ，四边形MNPQ
的面积等于x ，则569x S x S +=??-=?
，解得32.5x =(平方厘米)．
板块二 鸟头模型
【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平
方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△，
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，
则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的
面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
乙
甲
E D
C
B
A
A B
C
D
E
甲
乙
【解析】 连接AD ．
∵3BE =，6AE =
∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，
∴2ABC ABD S S = ，∴6ABC BDE S S = ，5S S =乙甲．
【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A E
D
C
B
A
【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△
[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，
所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到
一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
积是多少？
A
B E
C D
D
C E
B A
【解析】 由于180ABC DBE ?
∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，
325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =??=??=△△，设
6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5?=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米
【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
F
E
D C
B
A
【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =??=??=△△，
:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =??=??=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =??=??=△△
设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米
【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延
长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．
F E
D
C
B A
A
B
C
D
E
F
【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．
连接AE 、CD ． ∵1
1
ABC DBC S S = ，1ABC S = ， ∴S 1DBC = ．
同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．
(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ??===?? ． 又1ABC S = ，所以8FCE S = ． 同理可得6ADF S = ，3BDE S = ．
【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的
面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A B C
D E
F
【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，
∴111133
ABC FBE S AB BC S BE BF ??===??△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．
同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．
所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．
所以213618
ABCD EFGH S S ==．
【例 25】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四
边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．
A B C
D E F G
H
A B C
D E
F G
H
【解析】 连接AC 、BD ．
由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ??=，同理4HDG ADC S S ??=．
于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ????+=+=．
再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ??=，同理9CFG CBD S S ??=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ????+=+=．
那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ????=+++-=+-==．
【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．
S
G
F E C
B
A
【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有
一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．
最后求得FGS S △的面积为432111
5432210
FGS S
=????=△．
练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的
15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？
红
绿
黄红
练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与 BEC 等积的三角形一
共有哪几个三角形？
F D
E
C
B
A
练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，
N 在AB 边上，且2AN
BN =.
那么，阴影部分的面积是多少？
课后练习
练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．
F
E D
C
B
A
练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那
么三角形ABC 的面积是多少？
E D C
B
A A
B C
D E
练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使1
2
CE BC =，F 是AC 的中点，
若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？
A B
C
D
E
F