解析几何内容主要包括两大知识模块——直线和圆模块以及圆锥曲线模块,复习该部分内容要抓住“两个基本一个结合”:一个基本方法——坐标法,一个基本思想——方程的思想,一个完美结合——数与形的结合.这三个方面是平面解析几何核心内容的体现,也贯穿了该部分知识复习的主线.
坐标法贯穿了该部分复习的第一条主线——方程
(1)直线的点斜式方程是直线方程各种形式推导的源泉,注意直线各种形式方程之间的关系,这几种形式的方程都有各自的约束条件,如截距式方程不能表示与两坐标轴平行的直线、过坐标原点的直线等;
(2)圆的标准方程直接表示出了圆心和半径,而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系,在求解圆的方程时,经常结合圆的性质直接确定圆心和半径;
(3)圆锥曲线的定义是推导方程的基础,要熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义,灵活利用定义求解有关动点的轨迹问题.椭圆和双曲线都有两种形式的标准方程,注意这两种曲线中a,b,c的几何意义以及三者之间关系的区别与联系,准确把握抛物线的标准方程的焦点坐标、准线方程等.
数形结合贯穿了该部分复习的第二条主线——圆锥曲线的几何性质
(1)判定直线与圆、圆与圆的位置关系都可借助于几何图形,特别是求圆的弦长问题,要充分利用由半径、弦心距以及半弦长构成的直角三角形,这些都是考查的重点;
(2)几何性质中的范围、对称性与顶点是圆锥曲线特点的完美体现,如椭圆x2a2+y2
b2=1(a>b>0)
中,|x|≤a ,|y|≤b 就是由
x2a2≤1,y2
b2
≤1解出的;圆锥曲线的范围体现了曲线上点的横、纵坐标的取值范围,注意其在求解有关最值问题中的限制作用;准确把握离心率的定义和求解方程,这是命题的重点.
方程的思想贯穿了该部分复习的第三条主线——直线与直线、直线和圆、直线和圆锥曲线的位置关系
(1)两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种,准确记忆两条直线平行、重合以及垂直的条件,尤其是利用直线方程的一般形式讨论位置关系的结论时,不要忽视斜率为0或斜率不存在的情况;
(2)直线和圆的位置关系可从两个角度进行讨论,代数法是方程思想的直接体现,通过直 线方程与圆的方程联立,消元转化为一元二次方程,然后利用其判别式讨论直线和圆的位置关系;几何法借助圆的特殊性,将问题转化为圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较问题; (3)直线和圆锥曲线的位置关系是该部分的核心内容,熟练掌握直线和圆锥曲线位置关系的一般思路——即将位置关系转化为方程组的解的个数,进而转化为方程的解的个数进行讨论,准确记忆相关公式——如直线被圆锥曲线所截得的弦长公式1+k2·|x1-x2|等.直线和圆锥曲线中的有关最值、范围、定点、定值问题的解决,关键在于条件的灵活转化.
第一节直线与圆
1.夯实直线方程的五种形式
(1)点斜式:y -y1=k(x -x1)(直线过点P1(x1,y1),且斜率为k ,不包括y 轴和平行于y 轴的直线).
(2)斜截式:y =kx +b(b 为直线l 在y 轴上的截距,且斜率为k ,不包括y 轴和平行于y 轴的直线). (3)两点式:
y -y1y2-y1=x -x1
x2-x1
(直线过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).
(4)截距式:x a +y
b =1(a ,b 分别为直线的横、纵截距,且a≠0,b≠0,不包括坐标轴、平行于
坐标轴和过原点的直线).
(5)一般式:Ax +By +C =0(其中A ,B 不同时为0). 2.熟记圆的三种方程
(1)圆的标准方程:(x -a)2+(y -b)2=r2.
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx +Ey +F =0(D2+E2-4F>0).
(3)圆的直径式方程:(x -x1)(x -x2)+(y -y1)(y -y2)=0(圆的直径的两端点是A(x1,y1),B(x2,y2)).
3.活用判定直线与圆位置关系的两种方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):Δ>0?相交,Δ<0?相离,Δ=0?相切.
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d ,则d
[考情分析] 直线的方程是平面解析几何的基础,属于高考必考内容,且要求较高.纵观近几年的高考试题,一般以选择题、填空题的形式出现.求直线的方程要充分利用平面几何知识,采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法;平行与垂直是平面内两条直线特殊的位置关系,高考一般考查平行或垂直的判断、平行或垂直条件的应用.
[例1] (1)若直线l1:x +ay +6=0与l2:(a -2)x +3y +2a =0平行,则l1与l2间的距离为( ) A.2 B.823
C. 3
D.83
3
(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x -2y -1=0的倾斜角的两倍的直线方程是________. [思路点拨] (1)由平行关系确定a 的值,再利用点到直线的距离公式求距离; (2)关键找出直线的斜率,而斜率与直线的倾斜角有关. [解析] (1)由l1∥l2,
知3=a(a -2)且2a≠6(a -2),2a 2≠18, 求得a =-1,
所以l1:x -y +6=0,l2:x -y +2
3
=0,两条平行直线l1与l2间的距离为
d =
???
?6-2312+-12
=
82
3
. (2)设直线x -2y -1=0的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α. 由已知得tan α=1
2
,
则tan 2α=2tan α1-tan2α
=2×
121-????122
=4
3,
所以所求直线方程为y -0=4
3(x -1),
即4x -3y -4=0.
[答案] (1)B (2)4x -3y -4=0 [类题通法]
1.求直线方程的方法
(1)直接法:直接选用恰当的直线方程的形式,写出结果;
(2)待定系数法:即先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有一待定系数,再由题目中另一条件求出待定系数.
2.两条直线平行与垂直的判定
(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.
(2)两条不重合的直线a1x+b1y+c1=0和a2x+b2y+c2=0平行的充要条件为a1b2-a2b1=0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1.
(3)垂直的充要条件为a1a2+b1b2=0.
判定两直线平行与垂直的关系时,如果给出的直线方程中存在字母系数,不仅要考虑斜率存在的情况,还要考虑斜率不存在的情况.
[冲关集训]
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
解析:选A与直线x-2y-2=0平行的直线方程可设为:x-2y+c=0,将点(1,0)代入x-2y+c=0,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0.
2.(2012·济南三模)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()
A.-3或-1 B.3或1
C.-3或1 D.3或-1
解析:选C∵l1⊥l2,∴k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0,
解得k1=-3,k2=1.∴k=-3或1.
[考情分析]对于圆的方程,高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题.该部分在高考中常以填空题、选择题的形式直接考查,或是在解答题中综合轨迹问题进行考查.
[例2](2012·河南三市第二次调研)已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x 对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为________.[思路点拨]先确定圆心坐标,再利用公式求圆心到直线的距离,得圆的半径即可.
[解析]设所求圆的半径是R.依题意得,抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐
标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d=
|4×0-3×1-2|
42+-32=1,则R2=d2+????
|AB|
2
2=
10,因此圆C的方程是x2+(y-1)2=10.
[答案]x2+(y-1)2=10
[类题通法]
求圆的方程有两种方法:
(1)几何法:通过研究圆的几何性质,直线与圆、圆与圆的位置关系,确定出圆的圆心和半径,进而求得圆的标准方程;
(2)代数法:即待定系数法,求圆的方程必须具备三个独立的条件,从圆的标准方程来讲,关键是确定出圆心坐标和半径,从圆的一般方程来讲,能知道圆上的三个点即可求得.[冲关集训]
3.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,坐标原点为O,则△OAB的外接圆方程是()
A .(x -2)2+(y -1)2=5
B .(x -4)2+(y -2)2=20
C .(x +2)2+(y +1)2=5
D .(x +4)2+(y +2)2=20
解析:选A 由条件知O ,A ,B ,P 四点共圆,从而OP 中点(2,1)为所求圆的圆心,半径r =1
2
|OP|= 5. 4.已知圆C 经过点A(1,3),B(2,2),并且直线m :3x -2y =0平分圆的面积.则圆C 的方程为________.
解析:由已知得,线段AB 的中点E ????32,52,kAB =3-2
1-2=-1,故线段AB 的中垂线方程为y
-52=x -3
2,即x -y +1=0.因为圆C 经过A ,B 两点,故圆心在线段AB 的中垂线上.又因为直线m :3x -2y =0平分圆的面积,所以直线m 经过圆心.
由????? x -y +1=0,3x -2y =0,解得?????
x =2,y =3,
即圆心的坐标为C(2,3), 而圆的半径r =|CB|=2-22+2-32=1, 所以圆C 的方程为:(x -2)2+(y -3)2=1. 答案:(x -2)2+(y -3)2=1.
5.我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如
图所示的“串圆”中,圆C1和圆C3的方程分别为x2+y2=1和(x -3)2+(y -4)2=1,则圆C2的方程为________. 解析:由题设知:C1(0,0),C3(3,4), ∴|C1C3|=5,又∵r1=r3=1, ∴r2=
5-1-12=3
2
. 又∵C2是C1C3的中点,∴C2????3
2,2.
∴圆C2的方程为????x -322+(y -2)2=9
4.
答案:????x -322+(y -2)2=9
4
[考情分析] 弦长问题是高考命题的热点,同时,对于这部分知识,高考常有创新,如
与向量知识联袂等,层次要求较高.从近年来的命题趋势看,命题形式以选择题、填空题为主,在复习时,要熟练掌握由半径、半弦长、弦心距所构成的直角三角形,从而准确地解答问题。
[例3] (1)(2012·天津高考)设m ,n ∈R ,若直线l :mx +ny -1=0与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,且l 与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为________.
(2)(2012·江西高考)过直线x +y -22=0上点P 作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是________.
[思路点拨] (1)由圆心到弦的距离可得m ,n 的关系,再利用基本不等式求解;(2)作出草图,判定圆心到P 点的距离,联立方程组求解.
[解析] (1)由题意知A ????1m ,0,B ????0,1
n ,圆的半径为2,且l 与圆的相交弦长为2,则圆心
到弦所在直线的距离为3,即1
m2+n2=3?m2+n2=13,且S △AOB =12????1m ????1n =??
??
12mn ≥
1
m2+n2
=3,即三角形面积的最小值为3.
(2)直线与圆的位置关系如图所示,设P(x ,y),则∠APO =30°,且OA =1.
在直角三角形APO 中,OA =1,∠APO =30°,则OP =2,即x2+y2=4.又x +y -22=0,联立解得x =y =2,即P(2,2).
[答案] (1)3 (2)(2,2) [类题通法]
1.涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的问题时,应多考虑圆的几何性质,
利用几何法直观求解. 2.直线与圆的位置关系的题目要注意圆的一些几何性质在解题中的应用,如研究圆的切线、弦长等问题时通常考虑圆心到直线的距离,弦心距、半径、半弦构成的直角三角形,垂径定理等.
[冲关集训]
6.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( ) A .x +y -2=0 B .y -1=0 C .x -y =0 D .x +3y -4=0
解析:选A 当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时,符合条件.圆心O 与P 点连线的斜率k =1,
所以直线OP 垂直于x +y -2=0. 7.(2012·长春调研)已知直线l1与圆x2+y2+2y =0相切,且与直线l2:3x +4y -6=0平行,则直线l1的方程是________.
解析:依题意,设所求直线l1的方程是3x +4y +b =0,则由直线l1与圆x2+(y +1)2=1相切,可得圆心(0,-1)到直线3x +4y +b =0的距离为1,即有|b -4|
5
=1,解得b =-1或b =9.因此,直线l1的方程是3x +4y -1=0或3x +4y +9=0.
答案:3x +4y -1=0或3x +4y +9=0
8.若圆x2+y2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线x -y -2=0的距离为1,则实数r 的取值范围是________.
解析:注意到与直线x -y -2=0平行且距离为1的直线方程分别是x -y -2+2=0、x -y -2-2=0,要使圆上有且只有两个点到直线x -y -2=0的距离为1,需满足在两条直线x -y -2+2=0、x -y -2-2=0中,一条与该圆相交且另一条与该圆相离,所以
|2-2|
2 |-2-2| 2 ,即2-1 答案:(2-1,2+1) [配套课时作业] 1.(2011·广东高考)已知集合A ={(x ,y)|x ,y 为实数,且x2+y2=1},B ={(x ,y)|x ,y 为实 数,且y =x},则A ∩B 的元素个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:选C 法一:由? ???? x2+y2=1, x =y 得2x2=1, 解得x =22或x =-2 2 , 这时y = 22或y =-2 2 ,即A ∩B 中有两个元素. 法二:由集合A 、集合B 表示的几何意义知,集合A 表示圆心为(0,0)的圆,集合B 表示过(0,0)的直线,故有两个交点,即A ∩B 的元素个数为2. 2.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( ) A .x -y +1=0 B .x -y =0 C .x +y +1=0 D .x +y =0 解析:选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直, 所以kl =- 1kPQ =-14-2 1-3 =1, 又直线l 经过PQ 的中点(2,3), 所以直线l 的方程为y -3=x -2,即x -y +1=0. 3.(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中,直线3x +4y -5=0与圆x2+y2=4相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于( ) A .3 3 B .2 3 C. 3 D .1 解析:选B 圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线3x +4y -5=0的距离d =1,圆的半径为2,所以弦长|AB|=222-12=2 3. 4.(2012·安徽高考) 若直线x -y +1=0与圆(x -a)2+y2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( ) A .[-3,-1] B .[-1,3] C .[-3,1] D .(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:选C 欲使直线x -y +1=0与圆(x -a)2+y2=2有公共点,只需使圆心到直线的距离 小于等于圆的半径2即可,即|a -0+1| 12+-12 ≤2,化简得|a +1|≤2, 解得-3≤a≤1. 5.若直线xcos θ+ysin θ-1=0与圆(x -1)2+(y -sin θ)2=1 16 相切,且θ为锐角,则该直线的斜率是( ) A .-3 3 B .- 3 C. 3 3 D. 3 解析:选A 依题意得,圆心到直线的距离等于半径, 即有|cos θ+sin2θ-1|=14,|cos θ-cos2θ|=14,cos θ-cos2θ=14或cos θ-cos2θ=-1 4(不符 合题意,舍去).由cos θ-cos2θ=14,得cos θ=12,又θ为锐角,所以sin θ=3 2,故该直线 的斜率是- cos θsin θ=-3 3 6.(2012·豫东、豫北名校阶段测试)圆心在曲线y =3 x 上,且与直线3x +4y +3=0相切 的面积最小的圆的方程为( ) A .(x -2)2+(y -3 2)2=9 B .(x -3)2+(y -1)2=????16 5 2 C .(x -1)2+(y -3)2=????18 5 2 D .(x -3)2+(y -3)2=9 解析:选A 设所求圆的圆心坐标是????a ,3a (a>0),则点??? ?a ,3 a (a>0)到直线3x +4y +3=0的 距离d = |3a + 12a +3|5=3a +12 a +35 ≥ 2 3a×12 a +3 5=3,当且仅当3a =12 a ,即a =2时取等 号,因此所求圆的圆心坐标是????2,32,半径是3,即所求圆的方程为(x -2)2+????y -3 22=9. 7.经过圆x2+2x +y2=0的圆心C ,且与直线x +y =0垂直的直线方程是________. 解析:所求直线过圆:x2+2x +y2=0的圆心C(-1,0),斜率为1,故方程为x -y +1=0. 答案:x -y +1=0 8.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay -6=0(a>0)的公共弦长为2 3 ,则a =________. 解析:由题意得公共弦所在直线的方程为y =1a ,圆x2+y2=4的圆心到y =1a 的距离为1 a ,由 22=(3)2+????1 a 2,a>0,得a =1. 答案:1 9.(2012·海淀区期末练习)已知圆C :(x -1)2+y2=2,过点A(-1,0)的直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧,则直线l 的方程为________. 解析:设直线l 的方程为y =k(x +1),即kx -y +k =0,圆心C(1,0)到直线l 的距离为|k +k| k2+1 , ∵直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧,∴直线l 被圆所截得的弦所对的圆心角为π 2 ,又圆C 的半径为2, ∴2×cos π4=|k +k|k2+1,解得,k =±3 3, ∴直线l 的方程为y = 33(x +1)或y =-3 3 (x +1). 答案:y = 33(x +1)或y =-3 3 (x +1) 10.已知点A(3,3),B(5,2)到直线l 的距离相等,且直线l 经过两直线l1:3x -y -1=0和l2:x +y -3=0的交点,求直线l 的方程. 解:解方程组? ???? 3x -y -1=0, x +y -3=0,得交点P(1,2). (1)若点A ,B 在直线l 的同侧,则l ∥AB. 而kAB =3-23-5=-1 2, 由点斜式得直线l 的方程为y -2=-1 2(x -1), 即x +2y -5=0; (2)若点A ,B 分别在直线l 的异侧,则直线l 经过线段AB 的中点????4,5 2, 由两点式得直线l 的方程为y -2x -1=52 -2 4-1, 即x -6y +11=0. 综上所述,直线l 的方程为x +2y -5=0或x -6y +11=0. 11.如图所示,已知圆O :x2+y2=4,直线m :kx -y +1=0. (1)求证:直线m 与圆O 有两个相异交点; (2)设直线m 与圆O 的两个交点为A ,B ,求△AOB 面积S 的最大值. 解:(1)证明:直线m :kx -y +1=0可化为y -1=kx ,故该直线恒过点(0,1), 而(0,1)在圆O :x2+y2=4的内部,所以直线m 与圆O 恒有两个相异交点. (2)圆心O 到直线m 的距离为d =1 1+k2,而圆O 的半径r =2, 故弦AB 的长为|AB|=2r2-d2=24-d2, 故△AOB 面积S =12|AB|×d =1 2×24-d2×d =4d2-d4=-d2-22+4. 而d2= 11+k2,因为1+k2≥1,所以d2=11+k2 ∈(0,1]. 显然当d2∈(0,1]时,S 单调递增, 所以当d2=1,即k =0时,S 取得最大值3,此时直线m 的方程为y -1=0. 12.在直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线x -3y -4=0相切. (1)求圆O 的方程; (2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点,圆O 内的动点P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PA ·PB 的取值范围. 解:(1)依题设,圆O 的半径r 等于原点O 到直线x -3y -4=0的距离,即r = 4 1+3=2, 故圆O 的方程为x2+y2=4. (2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1 设P(x ,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 x +22+y2·x -22+y2=x2+y2, 即x2-y2=2. PA ·PB =(-2-x ,-y)·(2-x ,-y) =x2-4+y2=2y2-2. 由于点P 在圆O 内,故? ???? x2+y2<4,x2-y2=2,由此得y2<1, 所以PA ·PB 的取值范围为[-2,0). 第二节椭圆、双曲线、抛物线 牢记三种曲线的定义及性质 标准方程 [考情分析] 圆锥曲线的定义及标准方程是高考的热点,高考对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种:①在解答题中作为试题的入口进行考查;②在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.学习时应注意圆锥曲线的定义及性质的结合. [例1] (2012·山东高考)已知椭圆C : x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为3 2 .双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ) A.x28+y22=1 B.x212+y26=1 C. x216+y2 4 =1 D.x220+y25 =1 [思路点拨] 利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解. [解析] ∵椭圆的离心率为 32,∴c a =a2-b2a =32 , ∴a =2b.∴椭圆方程为x2+4y2=4b2. ∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y =0, ∴渐近线x±y =0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为? ?? ?? 255b ,255b , ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×25 5 b =4,∴b2=5,∴a2=4b2=20. ∴椭圆C 的方程为x220+y2 5=1. [答案] D [类题通法] 1.圆锥曲线的定义: (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=d. 2.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴,抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴上,还是在y 轴的正半轴、负半轴上,从而设出相应的标准方程的形式;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p 的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. [冲关集训] 1.(2012·唐山统考)已知双曲线的渐近线为y =±3x ,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( ) A.x24-y2 12=1 B.x212-y24=1 C. x224-y2 8 =1 D.x28y224 =1 解析:选A 由题意可设双曲线方程为x2a2-y2 b2 =1(a>0,b>0),由已知条件可得:????? b a =3,c =4,即????? b a =3, a2+b2=42, 则? ???? a2=4,b2=12.故双曲线方程为x24-y212=1. 2.(2012·四川高考)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M(2,y0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( ) A .2 2 B .2 3 C .4 D .2 5 解析:选B 依题意,设抛物线方程是y2=2px(p>0),则有2+p 2=3,得p =2,故抛物线方 程是y2=4x ,点M 的坐标是(2,±22),|OM|=22+8=2 3. 3.已知F1,F2为椭圆x212+y2 3=1的两个焦点,点P 在椭圆上,如果线段PF1的中点在y 轴 上,且|PF1|=t|PF2|,则t 的值为( ) A .3 B .4 C .5 D .7 解析:选D 设N 为PF1的中点,则NO ∥PF2, 故PF2⊥x 轴,故|PF2|= b2a =32 , 而|PF1|+|PF2|=2a =43, 所以|PF1|= 73 2 ,t =7. [考情分析] 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容,主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解,试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等为主进行命题. [例2] (2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB|=43,则C 的实轴长为( ) A.2 B .2 2 C .4 D .8 [思路点拨] 利用抛物线及双曲线的对称性可求A ,B 的坐标,问题便可求解. [解析] 设C : x2a2-y2a2=1.∵抛物线y2=16x 的准线为x =-4,联立x2a2-y2 a2 =1和x =-4得A(-4,16-a2), B(-4,-16-a2), ∴|AB|=216-a2=43,∴a =2,∴2a =4. ∴C 的实轴长为4. [答案] C [类题通法] (1)求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a ,b ,c 的等量关系,然后把b 用a ,c 代换,求c a 的值;在双曲线中由于e2=1+????b a 2,故双曲线的渐近线与离心率密切相关. (2)研究圆锥曲线时,应明确圆锥曲线的对称性. [冲关集训] 4.(2012·安徽名校模拟)过双曲线x2a2-y2 b2=1(a>0,b>0)的右焦点F ,作圆x2+y2=a2的切线 FM 交y 轴于点P ,切圆于点M,2 O M =O F +OP ,则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C .2 D. 5 解析:选A 由已知条件知,点M 为直角三角形OFP 斜边PF 的中点,故OF =2OM ,即c =2a ,所以双曲线的离心率为 2. 5.(2012·天津高考)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线C2:x24-y2 16=1有相同的 渐近线,且C1的右焦点为F(5,0),则a =________b =________. 解析:双曲线x24-y216=1的渐近线为y =±2x ,则b a =2,即 b =2a ,又因为 c =5,a2+b2= c2,所以a =1,b =2. 答案:1 2 6.(2012·陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m ,水面宽4 m .水位下降1 m 后,水面宽________m. 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则 A(2,-2),将其坐标代入 x2=-2py ,得p =1. 故x2=-2y. 当水面下降1 m ,得D(x0,-3)(x0>0), 将其坐标代入x2=-2y ,得x20=6, 则x0= 6.所以水面宽|CD|=2 6 m. 答案:2 6 [考情分析] 关于此类问题,高考主要考查直线与椭圆、抛物线相交,涉及求弦长、范围(最值)、定点、定值的问题,试题多以解答题的形式出现,一般难度较大. [例3] (2012·北京东城区综合练习)已知椭圆x2a2+y2 b2 =1(a>b>0)的一个顶点为M(0,1),离心率e = 6 3 . (1)求椭圆的方程; (2)设直线l 与椭圆交于A ,B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为 3 2 AOB 面积的最大值. [思路点拨] (1)利用顶点坐标和离心率可求出b ,进而求a ,从而求得方程;(2)设出直线方程,表示出△AOB 的面积,借助不等式求解,注意直线l 斜率存在性的讨论. [解] (1)依题意得b =1,e =c a =a2-b2a =63,即a2-1a =6 3,解得a =3,所以椭圆的 方程为x2 3 +y2=1. (2)①当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =±32,将x =±32代入椭圆方程x2 3 +y2=1,得y =± 3 2 ,故此时|AB|= 3. ②当直线l 的斜率存在且不为零时,设直线l 的方程为y =kx +m ,A(x1,y1),B(x2,y2), 由已知可得 |m|1+k2 = 32,整理得:m2=3 4 (k2+1), 把y =kx +m 代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx +3m2-3=0, 于是x1+x2= -6km 3k2+1,x1x2=3m2-13k2+1 , 故|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)?? 36k2m2 3k2+12 - ??12m2-13k2+1=121+k23k2+1-m23k2+12 = 3k2+19k2+13k2+12=3+12k2 9k4+6k2+1 =3+ 129k2+1k2 +6 +12 2×3+6=4. 当且仅当9k2=1k2,即k =±3 3 时,等号成立, 故|AB|max =2. ③当直线l 的斜率为零时,l 的方程为y =±3 2 , 将y =± 32代入椭圆方程得x =±32 , 故此时|AB|= 3. 综上:|AB|max =2, 所以△AOB 面积的最大值S =12|AB|max×32=3 2 . [类题通法] 在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时,一般不是求出这两个点的坐标,而是设出这两个点的坐标,根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根情况,使用根与系数的关系进行整体代入,这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法. [冲关集训] 7.(2012·重庆高考)设P 为直线y = b 3a x 与双曲线x2a2-y2 b2 =1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =________. 解析:由PF1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上,可得P ? ???-c ,- b2a .又因为点P 在直线y =b 3a x 上,所以-b2a =b 3a ×(-c),整理得c =3b ,根据c2=a2+b2得a =2 2b ,所以双曲线的离 心率e =c a =3b 22b =32 4答案:32 4 8.(2012·安徽名校模拟)已知椭圆C1: x24+y2b2=1(0 2 ,抛物线C2:x2= 2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点. (1)求抛物线C2的方程; (2)过点M(-1,0)的直线l 与抛物线C2交于E ,F 两点,过E ,F 作抛物线C2的切线l1,l2,当l1⊥l2时,求直线l 的方程. 解:(1)∵椭圆C1的长半轴长a =2,半焦距c =4-b2.由e =c a =4-b22=3 2 得b2=1, ∴椭圆C1的上顶点为(0,1), ∴抛物线C2的焦点为(0,1), ∴抛物线C2的方程为x2=4y. (2)由已知可得直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y =k(x +1),E(x1,y1),F(x2,y2). 由x2=4y 得y =1 4x2, ∴y ′=12 x. ∴切线l1,l2的斜率分别为12x1,1 2x2. 当l1⊥l2时,12x1·1 2 x2=-1,即x1x2=-4. 由? ???? y =k x +1,x2=4y 得x2-4kx -4k =0, ∴Δ=(4k)2-4×(-4k)>0,解得k<-1或k>0,① 且x1x2=-4k =-4,即k =1,满足①式,∴直线l 的方程为x -y +1=0. 细解离心率问题 离心率是圆锥曲线重要的几何性质,在圆锥曲线的基础类试题中占有较大的比重,是高考考查圆锥曲线几何性质中的重要题目类型. 关于椭圆、双曲线的离心率问题,主要有两类试题.一类是求解离心率的值,一类是求解离心率的取值范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中关于a ,b ,c 的关系式,求值问题就是建立关于a ,b ,c 的等式,求取值范围问题就是建立关于a ,b ,c 的不等式. [典例] 已知点F 是双曲线x2a2-y2 b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(1,2) C .(1,1+2) D .(2,1+2) [思路点拨] [解析] 由AB ⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB 为锐角,即∠AEF<45°,于是|AF|<|EF|, b2 a