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2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 解析几何(带解析)

2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 解析几何(带解析)
2013年高考数学(理)二轮复习 专题五 解析几何(带解析)

解析几何内容主要包括两大知识模块——直线和圆模块以及圆锥曲线模块,复习该部分内容要抓住“两个基本一个结合”:一个基本方法——坐标法,一个基本思想——方程的思想,一个完美结合——数与形的结合.这三个方面是平面解析几何核心内容的体现,也贯穿了该部分知识复习的主线.

坐标法贯穿了该部分复习的第一条主线——方程

(1)直线的点斜式方程是直线方程各种形式推导的源泉,注意直线各种形式方程之间的关系,这几种形式的方程都有各自的约束条件,如截距式方程不能表示与两坐标轴平行的直线、过坐标原点的直线等;

(2)圆的标准方程直接表示出了圆心和半径,而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系,在求解圆的方程时,经常结合圆的性质直接确定圆心和半径;

(3)圆锥曲线的定义是推导方程的基础,要熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义,灵活利用定义求解有关动点的轨迹问题.椭圆和双曲线都有两种形式的标准方程,注意这两种曲线中a,b,c的几何意义以及三者之间关系的区别与联系,准确把握抛物线的标准方程的焦点坐标、准线方程等.

数形结合贯穿了该部分复习的第二条主线——圆锥曲线的几何性质

(1)判定直线与圆、圆与圆的位置关系都可借助于几何图形,特别是求圆的弦长问题,要充分利用由半径、弦心距以及半弦长构成的直角三角形,这些都是考查的重点;

(2)几何性质中的范围、对称性与顶点是圆锥曲线特点的完美体现,如椭圆x2a2+y2

b2=1(a>b>0)

中,|x|≤a ,|y|≤b 就是由

x2a2≤1,y2

b2

≤1解出的;圆锥曲线的范围体现了曲线上点的横、纵坐标的取值范围,注意其在求解有关最值问题中的限制作用;准确把握离心率的定义和求解方程,这是命题的重点.

方程的思想贯穿了该部分复习的第三条主线——直线与直线、直线和圆、直线和圆锥曲线的位置关系

(1)两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种,准确记忆两条直线平行、重合以及垂直的条件,尤其是利用直线方程的一般形式讨论位置关系的结论时,不要忽视斜率为0或斜率不存在的情况;

(2)直线和圆的位置关系可从两个角度进行讨论,代数法是方程思想的直接体现,通过直 线方程与圆的方程联立,消元转化为一元二次方程,然后利用其判别式讨论直线和圆的位置关系;几何法借助圆的特殊性,将问题转化为圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较问题; (3)直线和圆锥曲线的位置关系是该部分的核心内容,熟练掌握直线和圆锥曲线位置关系的一般思路——即将位置关系转化为方程组的解的个数,进而转化为方程的解的个数进行讨论,准确记忆相关公式——如直线被圆锥曲线所截得的弦长公式1+k2·|x1-x2|等.直线和圆锥曲线中的有关最值、范围、定点、定值问题的解决,关键在于条件的灵活转化.

第一节直线与圆

1.夯实直线方程的五种形式

(1)点斜式:y -y1=k(x -x1)(直线过点P1(x1,y1),且斜率为k ,不包括y 轴和平行于y 轴的直线).

(2)斜截式:y =kx +b(b 为直线l 在y 轴上的截距,且斜率为k ,不包括y 轴和平行于y 轴的直线). (3)两点式:

y -y1y2-y1=x -x1

x2-x1

(直线过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).

(4)截距式:x a +y

b =1(a ,b 分别为直线的横、纵截距,且a≠0,b≠0,不包括坐标轴、平行于

坐标轴和过原点的直线).

(5)一般式:Ax +By +C =0(其中A ,B 不同时为0). 2.熟记圆的三种方程

(1)圆的标准方程:(x -a)2+(y -b)2=r2.

(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx +Ey +F =0(D2+E2-4F>0).

(3)圆的直径式方程:(x -x1)(x -x2)+(y -y1)(y -y2)=0(圆的直径的两端点是A(x1,y1),B(x2,y2)).

3.活用判定直线与圆位置关系的两种方法

(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):Δ>0?相交,Δ<0?相离,Δ=0?相切.

(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d ,则dr ?相离,d =r ?相切.(主要掌握几何方法).

[考情分析] 直线的方程是平面解析几何的基础,属于高考必考内容,且要求较高.纵观近几年的高考试题,一般以选择题、填空题的形式出现.求直线的方程要充分利用平面几何知识,采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法;平行与垂直是平面内两条直线特殊的位置关系,高考一般考查平行或垂直的判断、平行或垂直条件的应用.

[例1] (1)若直线l1:x +ay +6=0与l2:(a -2)x +3y +2a =0平行,则l1与l2间的距离为( ) A.2 B.823

C. 3

D.83

3

(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x -2y -1=0的倾斜角的两倍的直线方程是________. [思路点拨] (1)由平行关系确定a 的值,再利用点到直线的距离公式求距离; (2)关键找出直线的斜率,而斜率与直线的倾斜角有关. [解析] (1)由l1∥l2,

知3=a(a -2)且2a≠6(a -2),2a 2≠18, 求得a =-1,

所以l1:x -y +6=0,l2:x -y +2

3

=0,两条平行直线l1与l2间的距离为

d =

???

?6-2312+-12

82

3

. (2)设直线x -2y -1=0的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α. 由已知得tan α=1

2

则tan 2α=2tan α1-tan2α

=2×

121-????122

=4

3,

所以所求直线方程为y -0=4

3(x -1),

即4x -3y -4=0.

[答案] (1)B (2)4x -3y -4=0 [类题通法]

1.求直线方程的方法

(1)直接法:直接选用恰当的直线方程的形式,写出结果;

(2)待定系数法:即先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有一待定系数,再由题目中另一条件求出待定系数.

2.两条直线平行与垂直的判定

(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.

(2)两条不重合的直线a1x+b1y+c1=0和a2x+b2y+c2=0平行的充要条件为a1b2-a2b1=0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1.

(3)垂直的充要条件为a1a2+b1b2=0.

判定两直线平行与垂直的关系时,如果给出的直线方程中存在字母系数,不仅要考虑斜率存在的情况,还要考虑斜率不存在的情况.

[冲关集训]

1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()

A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0

C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

解析:选A与直线x-2y-2=0平行的直线方程可设为:x-2y+c=0,将点(1,0)代入x-2y+c=0,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0.

2.(2012·济南三模)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()

A.-3或-1 B.3或1

C.-3或1 D.3或-1

解析:选C∵l1⊥l2,∴k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0,

解得k1=-3,k2=1.∴k=-3或1.

[考情分析]对于圆的方程,高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题.该部分在高考中常以填空题、选择题的形式直接考查,或是在解答题中综合轨迹问题进行考查.

[例2](2012·河南三市第二次调研)已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x 对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为________.[思路点拨]先确定圆心坐标,再利用公式求圆心到直线的距离,得圆的半径即可.

[解析]设所求圆的半径是R.依题意得,抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐

标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d=

|4×0-3×1-2|

42+-32=1,则R2=d2+????

|AB|

2

2=

10,因此圆C的方程是x2+(y-1)2=10.

[答案]x2+(y-1)2=10

[类题通法]

求圆的方程有两种方法:

(1)几何法:通过研究圆的几何性质,直线与圆、圆与圆的位置关系,确定出圆的圆心和半径,进而求得圆的标准方程;

(2)代数法:即待定系数法,求圆的方程必须具备三个独立的条件,从圆的标准方程来讲,关键是确定出圆心坐标和半径,从圆的一般方程来讲,能知道圆上的三个点即可求得.[冲关集训]

3.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,坐标原点为O,则△OAB的外接圆方程是()

A .(x -2)2+(y -1)2=5

B .(x -4)2+(y -2)2=20

C .(x +2)2+(y +1)2=5

D .(x +4)2+(y +2)2=20

解析:选A 由条件知O ,A ,B ,P 四点共圆,从而OP 中点(2,1)为所求圆的圆心,半径r =1

2

|OP|= 5. 4.已知圆C 经过点A(1,3),B(2,2),并且直线m :3x -2y =0平分圆的面积.则圆C 的方程为________.

解析:由已知得,线段AB 的中点E ????32,52,kAB =3-2

1-2=-1,故线段AB 的中垂线方程为y

-52=x -3

2,即x -y +1=0.因为圆C 经过A ,B 两点,故圆心在线段AB 的中垂线上.又因为直线m :3x -2y =0平分圆的面积,所以直线m 经过圆心.

由????? x -y +1=0,3x -2y =0,解得?????

x =2,y =3,

即圆心的坐标为C(2,3), 而圆的半径r =|CB|=2-22+2-32=1, 所以圆C 的方程为:(x -2)2+(y -3)2=1. 答案:(x -2)2+(y -3)2=1.

5.我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如

图所示的“串圆”中,圆C1和圆C3的方程分别为x2+y2=1和(x -3)2+(y -4)2=1,则圆C2的方程为________. 解析:由题设知:C1(0,0),C3(3,4), ∴|C1C3|=5,又∵r1=r3=1, ∴r2=

5-1-12=3

2

. 又∵C2是C1C3的中点,∴C2????3

2,2.

∴圆C2的方程为????x -322+(y -2)2=9

4.

答案:????x -322+(y -2)2=9

4

[考情分析] 弦长问题是高考命题的热点,同时,对于这部分知识,高考常有创新,如

与向量知识联袂等,层次要求较高.从近年来的命题趋势看,命题形式以选择题、填空题为主,在复习时,要熟练掌握由半径、半弦长、弦心距所构成的直角三角形,从而准确地解答问题。

[例3] (1)(2012·天津高考)设m ,n ∈R ,若直线l :mx +ny -1=0与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,且l 与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为________.

(2)(2012·江西高考)过直线x +y -22=0上点P 作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是________.

[思路点拨] (1)由圆心到弦的距离可得m ,n 的关系,再利用基本不等式求解;(2)作出草图,判定圆心到P 点的距离,联立方程组求解.

[解析] (1)由题意知A ????1m ,0,B ????0,1

n ,圆的半径为2,且l 与圆的相交弦长为2,则圆心

到弦所在直线的距离为3,即1

m2+n2=3?m2+n2=13,且S △AOB =12????1m ????1n =??

??

12mn ≥

1

m2+n2

=3,即三角形面积的最小值为3.

(2)直线与圆的位置关系如图所示,设P(x ,y),则∠APO =30°,且OA =1.

在直角三角形APO 中,OA =1,∠APO =30°,则OP =2,即x2+y2=4.又x +y -22=0,联立解得x =y =2,即P(2,2).

[答案] (1)3 (2)(2,2) [类题通法]

1.涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的问题时,应多考虑圆的几何性质,

利用几何法直观求解. 2.直线与圆的位置关系的题目要注意圆的一些几何性质在解题中的应用,如研究圆的切线、弦长等问题时通常考虑圆心到直线的距离,弦心距、半径、半弦构成的直角三角形,垂径定理等.

[冲关集训]

6.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( ) A .x +y -2=0 B .y -1=0 C .x -y =0 D .x +3y -4=0

解析:选A 当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时,符合条件.圆心O 与P 点连线的斜率k =1,

所以直线OP 垂直于x +y -2=0. 7.(2012·长春调研)已知直线l1与圆x2+y2+2y =0相切,且与直线l2:3x +4y -6=0平行,则直线l1的方程是________.

解析:依题意,设所求直线l1的方程是3x +4y +b =0,则由直线l1与圆x2+(y +1)2=1相切,可得圆心(0,-1)到直线3x +4y +b =0的距离为1,即有|b -4|

5

=1,解得b =-1或b =9.因此,直线l1的方程是3x +4y -1=0或3x +4y +9=0.

答案:3x +4y -1=0或3x +4y +9=0

8.若圆x2+y2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线x -y -2=0的距离为1,则实数r 的取值范围是________.

解析:注意到与直线x -y -2=0平行且距离为1的直线方程分别是x -y -2+2=0、x -y -2-2=0,要使圆上有且只有两个点到直线x -y -2=0的距离为1,需满足在两条直线x -y -2+2=0、x -y -2-2=0中,一条与该圆相交且另一条与该圆相离,所以

|2-2|

2

|-2-2|

2

,即2-1

答案:(2-1,2+1) [配套课时作业] 1.(2011·广东高考)已知集合A ={(x ,y)|x ,y 为实数,且x2+y2=1},B ={(x ,y)|x ,y 为实

数,且y =x},则A ∩B 的元素个数为( ) A .0 B .1

C .2

D .3

解析:选C 法一:由?

????

x2+y2=1,

x =y 得2x2=1,

解得x =22或x =-2

2

, 这时y =

22或y =-2

2

,即A ∩B 中有两个元素. 法二:由集合A 、集合B 表示的几何意义知,集合A 表示圆心为(0,0)的圆,集合B 表示过(0,0)的直线,故有两个交点,即A ∩B 的元素个数为2.

2.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( ) A .x -y +1=0 B .x -y =0 C .x +y +1=0 D .x +y =0

解析:选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直, 所以kl =-

1kPQ =-14-2

1-3

=1, 又直线l 经过PQ 的中点(2,3),

所以直线l 的方程为y -3=x -2,即x -y +1=0.

3.(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中,直线3x +4y -5=0与圆x2+y2=4相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于( )

A .3 3

B .2 3 C. 3 D .1

解析:选B 圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线3x +4y -5=0的距离d =1,圆的半径为2,所以弦长|AB|=222-12=2 3. 4.(2012·安徽高考) 若直线x -y +1=0与圆(x -a)2+y2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( )

A .[-3,-1]

B .[-1,3]

C .[-3,1]

D .(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:选C 欲使直线x -y +1=0与圆(x -a)2+y2=2有公共点,只需使圆心到直线的距离

小于等于圆的半径2即可,即|a -0+1|

12+-12

≤2,化简得|a +1|≤2,

解得-3≤a≤1.

5.若直线xcos θ+ysin θ-1=0与圆(x -1)2+(y -sin θ)2=1

16

相切,且θ为锐角,则该直线的斜率是( ) A .-3

3

B .- 3 C.

3

3

D. 3 解析:选A 依题意得,圆心到直线的距离等于半径,

即有|cos θ+sin2θ-1|=14,|cos θ-cos2θ|=14,cos θ-cos2θ=14或cos θ-cos2θ=-1

4(不符

合题意,舍去).由cos θ-cos2θ=14,得cos θ=12,又θ为锐角,所以sin θ=3

2,故该直线

的斜率是-

cos θsin θ=-3

3

6.(2012·豫东、豫北名校阶段测试)圆心在曲线y =3

x 上,且与直线3x +4y +3=0相切

的面积最小的圆的方程为( ) A .(x -2)2+(y -3

2)2=9

B .(x -3)2+(y -1)2=????16

5 2

C .(x -1)2+(y -3)2=????18

5 2

D .(x -3)2+(y -3)2=9

解析:选A 设所求圆的圆心坐标是????a ,3a (a>0),则点???

?a ,3

a (a>0)到直线3x +4y +3=0的

距离d =

|3a +

12a +3|5=3a +12

a

+35

2 3a×12

a +3

5=3,当且仅当3a =12

a

,即a =2时取等

号,因此所求圆的圆心坐标是????2,32,半径是3,即所求圆的方程为(x -2)2+????y -3

22=9.

7.经过圆x2+2x +y2=0的圆心C ,且与直线x +y =0垂直的直线方程是________.

解析:所求直线过圆:x2+2x +y2=0的圆心C(-1,0),斜率为1,故方程为x -y +1=0. 答案:x -y +1=0

8.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay -6=0(a>0)的公共弦长为2 3 ,则a =________.

解析:由题意得公共弦所在直线的方程为y =1a ,圆x2+y2=4的圆心到y =1a 的距离为1

a ,由

22=(3)2+????1

a 2,a>0,得a =1.

答案:1

9.(2012·海淀区期末练习)已知圆C :(x -1)2+y2=2,过点A(-1,0)的直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧,则直线l 的方程为________.

解析:设直线l 的方程为y =k(x +1),即kx -y +k =0,圆心C(1,0)到直线l 的距离为|k +k|

k2+1

∵直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧,∴直线l 被圆所截得的弦所对的圆心角为π

2

,又圆C 的半径为2, ∴2×cos π4=|k +k|k2+1,解得,k =±3

3,

∴直线l 的方程为y =

33(x +1)或y =-3

3

(x +1).

答案:y =

33(x +1)或y =-3

3

(x +1) 10.已知点A(3,3),B(5,2)到直线l 的距离相等,且直线l 经过两直线l1:3x -y -1=0和l2:x +y -3=0的交点,求直线l 的方程. 解:解方程组?

????

3x -y -1=0,

x +y -3=0,得交点P(1,2).

(1)若点A ,B 在直线l 的同侧,则l ∥AB. 而kAB =3-23-5=-1

2,

由点斜式得直线l 的方程为y -2=-1

2(x -1),

即x +2y -5=0;

(2)若点A ,B 分别在直线l 的异侧,则直线l 经过线段AB 的中点????4,5

2,

由两点式得直线l 的方程为y -2x -1=52

-2

4-1,

即x -6y +11=0.

综上所述,直线l 的方程为x +2y -5=0或x -6y +11=0. 11.如图所示,已知圆O :x2+y2=4,直线m :kx -y +1=0.

(1)求证:直线m 与圆O 有两个相异交点;

(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A ,B ,求△AOB 面积S 的最大值. 解:(1)证明:直线m :kx -y +1=0可化为y -1=kx ,故该直线恒过点(0,1), 而(0,1)在圆O :x2+y2=4的内部,所以直线m 与圆O 恒有两个相异交点.

(2)圆心O 到直线m 的距离为d =1

1+k2,而圆O 的半径r =2,

故弦AB 的长为|AB|=2r2-d2=24-d2,

故△AOB 面积S =12|AB|×d =1

2×24-d2×d =4d2-d4=-d2-22+4.

而d2=

11+k2,因为1+k2≥1,所以d2=11+k2

∈(0,1]. 显然当d2∈(0,1]时,S 单调递增,

所以当d2=1,即k =0时,S 取得最大值3,此时直线m 的方程为y -1=0. 12.在直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线x -3y -4=0相切.

(1)求圆O 的方程;

(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点,圆O 内的动点P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PA ·PB

的取值范围.

解:(1)依题设,圆O 的半径r 等于原点O 到直线x -3y -4=0的距离,即r =

4

1+3=2, 故圆O 的方程为x2+y2=4.

(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1

设P(x ,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 x +22+y2·x -22+y2=x2+y2, 即x2-y2=2.

PA ·PB

=(-2-x ,-y)·(2-x ,-y)

=x2-4+y2=2y2-2.

由于点P 在圆O 内,故?

????

x2+y2<4,x2-y2=2,由此得y2<1,

所以PA ·PB

的取值范围为[-2,0).

第二节椭圆、双曲线、抛物线

牢记三种曲线的定义及性质

标准方程

[考情分析] 圆锥曲线的定义及标准方程是高考的热点,高考对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种:①在解答题中作为试题的入口进行考查;②在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.学习时应注意圆锥曲线的定义及性质的结合.

[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C :

x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为3

2

.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( )

A.x28+y22=1

B.x212+y26=1

C.

x216+y2

4

=1 D.x220+y25

=1 [思路点拨] 利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解. [解析] ∵椭圆的离心率为

32,∴c a =a2-b2a =32

, ∴a =2b.∴椭圆方程为x2+4y2=4b2.

∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y =0, ∴渐近线x±y =0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为? ??

??

255b ,255b ,

∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×25

5

b =4,∴b2=5,∴a2=4b2=20.

∴椭圆C 的方程为x220+y2

5=1.

[答案] D

[类题通法]

1.圆锥曲线的定义:

(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);

(3)抛物线:|PF|=d.

2.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴,抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴上,还是在y 轴的正半轴、负半轴上,从而设出相应的标准方程的形式;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p 的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. [冲关集训]

1.(2012·唐山统考)已知双曲线的渐近线为y =±3x ,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( ) A.x24-y2

12=1 B.x212-y24=1 C.

x224-y2

8

=1 D.x28y224

=1 解析:选A 由题意可设双曲线方程为x2a2-y2

b2

=1(a>0,b>0),由已知条件可得:?????

b a

=3,c =4,即?????

b a =3,

a2+b2=42,

则?

????

a2=4,b2=12.故双曲线方程为x24-y212=1.

2.(2012·四川高考)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M(2,y0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( ) A .2 2 B .2 3 C .4 D .2 5

解析:选B 依题意,设抛物线方程是y2=2px(p>0),则有2+p

2=3,得p =2,故抛物线方

程是y2=4x ,点M 的坐标是(2,±22),|OM|=22+8=2 3.

3.已知F1,F2为椭圆x212+y2

3=1的两个焦点,点P 在椭圆上,如果线段PF1的中点在y 轴

上,且|PF1|=t|PF2|,则t 的值为( ) A .3 B .4 C .5 D .7

解析:选D 设N 为PF1的中点,则NO ∥PF2, 故PF2⊥x 轴,故|PF2|=

b2a =32

, 而|PF1|+|PF2|=2a =43, 所以|PF1|=

73

2

,t =7.

[考情分析] 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容,主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解,试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等为主进行命题. [例2] (2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB|=43,则C 的实轴长为( ) A.2 B .2 2 C .4 D .8

[思路点拨] 利用抛物线及双曲线的对称性可求A ,B 的坐标,问题便可求解. [解析] 设C :

x2a2-y2a2=1.∵抛物线y2=16x 的准线为x =-4,联立x2a2-y2

a2

=1和x =-4得A(-4,16-a2),

B(-4,-16-a2),

∴|AB|=216-a2=43,∴a =2,∴2a =4. ∴C 的实轴长为4. [答案] C

[类题通法]

(1)求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a ,b ,c 的等量关系,然后把b 用a ,c 代换,求c a 的值;在双曲线中由于e2=1+????b

a 2,故双曲线的渐近线与离心率密切相关.

(2)研究圆锥曲线时,应明确圆锥曲线的对称性. [冲关集训]

4.(2012·安徽名校模拟)过双曲线x2a2-y2

b2=1(a>0,b>0)的右焦点F ,作圆x2+y2=a2的切线

FM 交y 轴于点P ,切圆于点M,2 O M =O F +OP

,则双曲线的离心率是( )

A. 2

B. 3

C .2 D. 5

解析:选A 由已知条件知,点M 为直角三角形OFP 斜边PF 的中点,故OF =2OM ,即c =2a ,所以双曲线的离心率为 2.

5.(2012·天津高考)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线C2:x24-y2

16=1有相同的

渐近线,且C1的右焦点为F(5,0),则a =________b =________.

解析:双曲线x24-y216=1的渐近线为y =±2x ,则b

a =2,即

b =2a ,又因为

c =5,a2+b2=

c2,所以a =1,b =2. 答案:1 2

6.(2012·陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m ,水面宽4 m .水位下降1 m 后,水面宽________m.

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则

A(2,-2),将其坐标代入

x2=-2py ,得p =1. 故x2=-2y.

当水面下降1 m ,得D(x0,-3)(x0>0), 将其坐标代入x2=-2y ,得x20=6, 则x0= 6.所以水面宽|CD|=2 6 m. 答案:2 6

[考情分析] 关于此类问题,高考主要考查直线与椭圆、抛物线相交,涉及求弦长、范围(最值)、定点、定值的问题,试题多以解答题的形式出现,一般难度较大. [例3] (2012·北京东城区综合练习)已知椭圆x2a2+y2

b2

=1(a>b>0)的一个顶点为M(0,1),离心率e =

6

3

. (1)求椭圆的方程; (2)设直线l 与椭圆交于A ,B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为

3

2

AOB 面积的最大值.

[思路点拨] (1)利用顶点坐标和离心率可求出b ,进而求a ,从而求得方程;(2)设出直线方程,表示出△AOB 的面积,借助不等式求解,注意直线l 斜率存在性的讨论.

[解] (1)依题意得b =1,e =c a =a2-b2a =63,即a2-1a =6

3,解得a =3,所以椭圆的

方程为x2

3

+y2=1.

(2)①当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =±32,将x =±32代入椭圆方程x2

3

+y2=1,得y =±

3

2

,故此时|AB|= 3. ②当直线l 的斜率存在且不为零时,设直线l 的方程为y =kx +m ,A(x1,y1),B(x2,y2),

由已知可得

|m|1+k2

32,整理得:m2=3

4

(k2+1), 把y =kx +m 代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx +3m2-3=0, 于是x1+x2=

-6km 3k2+1,x1x2=3m2-13k2+1

, 故|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)??

36k2m2

3k2+12

??12m2-13k2+1=121+k23k2+1-m23k2+12

3k2+19k2+13k2+12=3+12k2

9k4+6k2+1

=3+

129k2+1k2

+6

+12

2×3+6=4. 当且仅当9k2=1k2,即k =±3

3

时,等号成立,

故|AB|max =2.

③当直线l 的斜率为零时,l 的方程为y =±3

2

, 将y =±

32代入椭圆方程得x =±32

, 故此时|AB|= 3. 综上:|AB|max =2,

所以△AOB 面积的最大值S =12|AB|max×32=3

2

.

[类题通法]

在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时,一般不是求出这两个点的坐标,而是设出这两个点的坐标,根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根情况,使用根与系数的关系进行整体代入,这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法. [冲关集训]

7.(2012·重庆高考)设P 为直线y =

b 3a x 与双曲线x2a2-y2

b2

=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =________. 解析:由PF1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上,可得P ?

???-c ,-

b2a .又因为点P 在直线y =b

3a

x 上,所以-b2a =b

3a ×(-c),整理得c =3b ,根据c2=a2+b2得a =2 2b ,所以双曲线的离

心率e =c a =3b 22b =32

4答案:32

4

8.(2012·安徽名校模拟)已知椭圆C1:

x24+y2b2=1(0

2

,抛物线C2:x2=

2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点.

(1)求抛物线C2的方程;

(2)过点M(-1,0)的直线l 与抛物线C2交于E ,F 两点,过E ,F 作抛物线C2的切线l1,l2,当l1⊥l2时,求直线l 的方程.

解:(1)∵椭圆C1的长半轴长a =2,半焦距c =4-b2.由e =c a =4-b22=3

2

得b2=1,

∴椭圆C1的上顶点为(0,1), ∴抛物线C2的焦点为(0,1), ∴抛物线C2的方程为x2=4y.

(2)由已知可得直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y =k(x +1),E(x1,y1),F(x2,y2). 由x2=4y 得y =1

4x2,

∴y ′=12

x.

∴切线l1,l2的斜率分别为12x1,1

2x2.

当l1⊥l2时,12x1·1

2

x2=-1,即x1x2=-4.

由?

????

y =k x +1,x2=4y 得x2-4kx -4k =0, ∴Δ=(4k)2-4×(-4k)>0,解得k<-1或k>0,①

且x1x2=-4k =-4,即k =1,满足①式,∴直线l 的方程为x -y +1=0.

细解离心率问题

离心率是圆锥曲线重要的几何性质,在圆锥曲线的基础类试题中占有较大的比重,是高考考查圆锥曲线几何性质中的重要题目类型.

关于椭圆、双曲线的离心率问题,主要有两类试题.一类是求解离心率的值,一类是求解离心率的取值范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中关于a ,b ,c 的关系式,求值问题就是建立关于a ,b ,c 的等式,求取值范围问题就是建立关于a ,b ,c 的不等式. [典例] 已知点F 是双曲线x2a2-y2

b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过点

F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(1,2)

C .(1,1+2)

D .(2,1+2)

[思路点拨]

[解析] 由AB ⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB 为锐角,即∠AEF<45°,于是|AF|<|EF|,

b2

a

1,从而1

[名师支招]

离心率是圆锥曲线的重要几何性质,求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a ,b ,c 的方程(不等式),通过这个方程(不等式)和b 与a ,c 的关系消掉b 后,建立a ,c 之

间的方程(不等式),只要能通过这个方程求出c

a 即可,不一定具体求出a ,c 的数值.

[高考预测]

1.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则椭圆x2a2+y2

b2=1的离心率为( )

A.1

2 B.22

C.

33 D.32

解析:选B 由题意a2+b2a2

=(3)2,

化简,得a2+b2=3a2,即b2=2a2,故b>a>0.

所以e =

b2-a2

b

= 1-

a2b2= 1-12=22. 2.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x =a2

c P ,使线段

PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( ) A.? ????

0,22 B.? ??

??0,33

C.??

????22,1 D.????

??

33,1 解析:选D 设P ????a2c ,y ,F1P 的中点Q 的坐标为????b22c ,y 2,则kF1P =cy b2+2c2,kQF2=cy

b2-2c2

由kF1P·kQF2=-1得y2=

4c4-b4c2=2c2-b22c2+b2c2

,y2≥0,但注意到b2-2c2≠0,即2c2-b2>0 ,即3c2-a2>0,即e2>13,故3

3

在,此时F2为中点,a2c -c =2c 得e =3

3,

综上得

3

3

≤e <1. [配套课时作业] 1.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线y25-x2

4=1的一个焦点重合,则该抛物线的标

准方程可能是( )

A .x2=4y

B .x2=-4y

C .y2=-12x

D .x2=-12y

解析:选D 由题意c =5+4=3, 故抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).

所以抛物线的标准方程为x2=12y 或x2=-12y.

2.(2012·湖南高考)已知双曲线C :x2a2-y2

b2=1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C

的方程为( ) A.x220-y2

5

=1 B.x25-y220=1 C.

x280-y2

20

=1 D.x220-y280

=1 解析:选A 根据已知列出方程即可.c =5,双曲线的一条渐近线方程为y =b

a x 经过点(2,1),

所以a =2b ,所以25=4b2+b2,由此得b2=5,a2=20,故所求的双曲线方程是x220-y25

=1.

3.(2012·江西高考)椭圆x2a2+y2

b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F1,

F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A.14 B.55

C.12

D.5-2

解析:选B 依题意得|F1F2|2=|AF1|·|F1B|, 即4c2=(a -c)(a +c)=a2-c2,整理得5c2=a2,

所以e =c a =5

5

.

4.(2012·大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C :x2-y2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF1|=2|PF2|,则cos ∠F1PF2=( ) A.14 B.35C.34

D.45

解析:选C 因为c2=2+2=4,所以c =2,2c =|F1F2|=4.由题可知|PF1|-|PF2|=2a =22,|PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=22,|PF1|=4

2.由余弦定理可知cos ∠F1PF2=

422+222-42

2×42×22

=3

4

. 5.(2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB|为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C .2 D .3

解析:选B 设双曲线C 的方程为x2a2-y2

b2

=1,

焦点F(-c,0).

将x =-c 代入x2a2-y2b2=1可得y2=b4

a2,

所以|AB|=2×

b2

a

=2×2a. 所以b2=2a2,c2=a2+b2=3a2, 所以e =c

a

= 3.

6.(2012·山东高考)已知双曲线C1:

x2a2-y2

b2

1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( ) A .x2=

833 B .x2=163

3

y C .x2=8y D .x2=16y 解析:选D 双曲线的渐近线方程为y =±b a x ,由于c

a

a2+b2

a2

= 1+????b a 2=2,所以

b a

=3,所以双曲线的渐近线方程为y =±3x.抛物线的焦点坐标为(0,p 2),所以p 2

2=2,所以p

=8,所以抛物线方程为x2=16y.

7.(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x2m -y2

m2+4=1的离心率为5,则

m 的值为________.

解析:由题意得m>0,所以a =m ,b =m2+4,所以c =m2+m +4,由e =c

a =5得

m2+m +4

m

=5,解得m =2. 答案:2 8.(2012·安徽高考)过抛物线y2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点.若|AF|=3,则|BF|=________.

解析:法一:抛物线y2=4x 准线为x =-1,焦点为F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知|AF|=x1+1=3,所以x1=2,所以y1=±22,由抛物线关于x 轴对称,假设A(2,22),由A ,F ,B 三点共线可知直线AB 的方程为y -0=22(x -1),代入抛物线方

程消去y 得2x2-5x +2=0,求得x =2或12,所以x2=1

2,

故|BF|=x2+1=3

2

.

法二:易得抛物线y2=4x 的准线为x =-1,焦点F(1,0).则|AF|=xA +1=3,故xA =2.又

抛物线过焦点,且p =2,故xA·xB =p24=1,故xB =12.故|BF|=12+1=3

2答案:3

2

9.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F1,F2在x 轴上,离心率为

22

.

过F1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF2的周长为16,那么C 的方程为______________. 解析:设椭圆方程为x2a2+y2

b2=1(a>b>0),

因为AB 过F1且A ,B 在椭圆上,如图,

则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a =16,解得a =4.

又离心率e =c a =2

2

,故c =2 2.

所以b2=a2-c2=8,所以椭圆C 的方程为x216+y2

8=1.

答案:x216+y2

8=1

10.设椭圆C :

x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35

. (1)求C 的方程;

(2)求过点(3,0)且斜率为4

5的直线被C 所截线段的中点坐标.

解:(1)将(0,4)代入C 的方程得16

b2=1,

解得b =4.

又e =c a =35,得a2-b2a2=925,即1-16a2=925,

则a =5.所以C 的方程为x225+y2

16

=1.

(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =4

5-3),

设直线与C 的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程y =4

5

(x -3)代入C 的方程,

得x225+x -3225=1,即x2-3x -8=0,所以x1+x2=3. 设AB 的中点坐标为(x -,y -),则x -=x1+x22=32

y -=y1+y22=2

5+x2-6)=-65,

即中点为???

?32,-6

5.

11.(2012·安徽高考)如图,F1,F2分别是椭圆C :

x2a2y2

b2

=1(a>b>0)

的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF2与椭圆C 的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆C 的离心率;

(2)已知△AF1B 的面积为403,求a ,b 的值.

解:(1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a =2c , 所以e =1

2

.

(2)法一:a2=4c2,b2=3c2, 直线AB 的方程可为y =-3(x -c).

将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得B ? ??

??

85,-335c .

所以|AB|=1+3·|85c -0|=16

5

c.

由S △AF1B =12|AF1|·|AB|sin ∠F1AB =12a·165c·32=23

5

a2=403,解得a =10,b =5 3.

法二:设|AB|=t.

因为|AF2|=a ,所以|BF2|=t -a.

由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a -t. 再由余弦定理(3a -t)2=a2+t2-2atcos 60°可得, t =85

a. 由S △AF1B =12a·85a·32=23

5a2=403,

解得a =10,b =5 3.

12.(2012·陕西高考)已知椭圆C1:x2

4

+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.

(1)求椭圆C2的方程;

(2)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆C1和C2上,OB =2O A

,求直线AB 的方程.

解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2+x2

4=1(a>2),

其离心率为

32,故a2-4a =32

,则a =4, 故椭圆C2的方程为y216+x2

4 1.

(2)法一:A ,B 两点的坐标分别记为(xA ,yA),(xB ,yB), 由OB =2O A

及(1)知,O ,A ,B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y =kx.

将y =kx 代入x2

4+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,

所以x2A =

4

1+4k2

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高考数学第二轮复习计划 一、指导思想 高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主,通过第一轮复习,学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用,但知识较为零散,综合应用存在较大的问题。第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起,强化数学的学科特点,同时第二轮复习承上启下,是促进知识灵活运用的关键时期,是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期,因而对讲、练、检测要求较高。 强化高中数学主干知识的复习,形成良好知识网络。整理知识体系,总结解题规律,模拟高考情境,提高应试技巧,掌握通性通法。 第二轮复习承上启下,是知识系统化、条理化,促进灵活运用的关键时期,是促进学生素质、能力发展的关键时期,因而对讲练、检测等要求较高,故有“二轮看水平”之说. “二轮看水平”概括了第二轮复习的思路,目标和要求.具体地说,一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透,研究是否深入,把握是否到位,明确“考什么”、“怎么考”.二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性,做到减少重复,重点突出,让大部分学生学有新意,学有收获,学有发展.三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强,使模糊的清晰起来,缺漏的填补起来,杂乱的条理起来,孤立的联系起来,让学生形成系统化、条理化的知识框架.四是看练习检测与高考是否对路,不拔高,不降低,难度适宜,效度良好,重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法. 二、时间安排: 1.第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段,时间为3月10——4月30日。 2.第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练,时间为5月1日——5月25日。 3.最后阶段学生自我检查阶段,时间为5月25日——6月6日。 三、怎样上好第二轮复习课的几点建议: (一).明确“主体”,突出重点。 第二轮复习,教师必须明确重点,对高考“考什么”,“怎样考”,应了若指掌.只有这样,才能讲深讲透,讲练到位.因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题. 第二轮复习的形式和内容 1.形式及内容:分专题的形式,具体而言有以下八个专题。 (1)集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点,特别要注重交汇问题的训练。 (2)三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质,恒等变换是重点。 (3)数列。此专题中数列是重点,同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 (4)立体几何。此专题注重点线面的关系,用空间向量解决点线面的问题是重点。 (5)解析几何。此专题中解析几何是重点,以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 (6)不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点,注重不等式与其他知识的整合。 (7)排列与组合,二项式定理,概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点,以摸球问题为背景理解概率问题。 ((9)高考数学思想方法专题。此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。 (二)、做到四个转变。 1.变介绍方法为选择方法,突出解法的发现和运用.

2020版高考数学二轮复习专题汇编全集

第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6,cos 5π6在角α的终边上,则sin α的值为________. 2.已知α∈? ????0,π2,2sin2α=cos2α+1,那么sin α=________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A +π4=7210,A ∈? ?? ??π4,π,则sin A =________. 4.若函数f (x )=2sin ? ????2x +φ-π6(0<φ<π)是偶函数,则φ=________. 5.已知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示,那 么φ=________. (第5题) 6.已知sin ? ????α+π3=1213,那么cos ? ?? ??π6-α=________. 7.在距离塔底分别为80m ,160m ,240m 的同一水平面上的A ,B ,C 处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0,π3,且6sin α+2cos α= 3. (1) 求cos ? ????α+π6的值; (2) 求cos ? ????2α+π12的值.

B 组 能力提升 1.计算:3cos10°-1 sin170°=________. 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )=2cos (ωx +φ)对任意的x ∈R ,都有f ? ????π3-x =f ? ????π3+x ,若函数g (x )=3sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)+2,则g ? ?? ??π3的值是________. 3.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为? ????π2,0,且f ? ?? ? ?π4=1 2 ,那么ω的最小值为________. 4.已知函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点,给出以下四个结论: ①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点; ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点; ③f (x )在? ????0,π10上单调递增; ④ω的取值范围是???? ??125,2910. 其中正确的结论是________.(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1) 当θ∈[0,2π)时,函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2) 求函数y =??????f ? ????x +π122+??????f ? ????x +π42 的值域. 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )=M sin (ωx +π 6)(M >0,ω>0)的大致图象如图所示, 其中A (0,1),B ,C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点,且BC =π. (1) 求M ,ω的值;

江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)

计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1.设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不是A的子集. (1)若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2)若M={a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数. 解:(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n-1)个. 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k=1C k n(2k-1)= n ∑ k=0 C k n2k- n ∑ k=0 C k n=3n-2n个. 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n-2n个. 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1)-2(3n-2n)=4n+2n-2×3n. 2.记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*).性质T:排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i >a i+1 (i∈{1,2,…,n-1}). (1)求f(3); (2)求f(n). 解:(1)当n=3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i>a i+1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)=4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i=n(1≤i≤n-1),从n-1个数1,2,3,…,n-1中选i-1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i-1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i-1 n-1. 若a n=n,则满足题意的排列个数为f(n-1). 综上,f(n)=f(n-1)+n-1 ∑ i=1 C i-1 n-1=f(n-1)+2n-1-1.

2020高考数学专题复习-解析几何专题

《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. (2)掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单的应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法. (6)掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. ⒉圆锥曲线方程 (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. 二、高考试题回放 1.(福建)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) A . 33 B .32 C .2 2 D .23

2.(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2-6x -2y -15=0所截得的弦长等于 . 3.(福建)如图,P 是抛物线C :y=2 1x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.(Ⅰ)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ,与y 轴交于点T ,试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4.(湖北)已知点M (6,2)和M 2(1,7).直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3:2,则m 的值为 ( ) A .2 3 - B .3 2- C .4 1 D .4 5.(湖北)两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 ( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.(湖北)直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. (Ⅰ)求实数k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由. 7.(湖南)如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 ( )

二轮复习—解析几何

二轮复习——解析几何 一.专题内容分析 解析几何:解析几何综合问题(椭圆或抛物线)及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二.解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略: 核心量的选择: 常见的几何关系与几何特征的代数化: ①线段的中点:坐标公式 ②线段的长:弦长公式;解三角形 ③三角形面积: 2 1底×高,正弦定理面积公式 ④夹角:向量夹角;两角差正切;余弦定理;正弦定理面积公式 ⑤面积之比,线段之比:面积比转化为线段比,线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线:利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分:两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称,点关于点,直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形,平行四边形,菱形,矩形,正方形,圆等图形的特征 代数运算:设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化,学会把不同类型的几何问题转化成代数形式.

三.典型例题分析 1.(海淀区2017.4)已知椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ,B ,且||4AB =,离心率 为 1 2 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上,直线BP 边形APQM 为梯形?若存在,求出点P 解法1:(Ⅰ)椭圆C 的方程为22 143 x y +=. (Ⅱ)假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知,显然,AM PQ 不平行,所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ,11(,)M x y ,0 6 AP y k = ,114MQ y k x =-, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-, 由点M 在直线PB 上,则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立,0 101(2) 264 y x y x -=-,显然00y ≠,可解得1x =又由点M 在椭圆上,211143y +=,所以132y =±,即3 (1,)2 M ±, 将其代入①,解得03y =±,∴(4,3)P ±. 解法2:(Ⅰ)椭圆C 的方程为22 143 x y +=. (Ⅱ)假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知,显然,AM PQ 不平行,所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =, 显然直线AP 斜率存在,设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ,所以6y k =,所以(4,6)P k ,又(2,0)B ,所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-,由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?,消y , 得2222(121)484840k x k x k +-+-=.

2020届高考数学大二轮复习教师用书(理)

专题强化突破 专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式及线性规划 第一讲集合与常用逻辑用语

本部分内容在备考时应注意以下几个方面: (1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义,掌握集合问题的常见解法,活用数学思想解决问题. (2)明确命题的条件和结论之间的关系,关注逻辑联结词和命题,明确命题的否定和否命题的区别. (3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用. 预测2019年命题热点为: (1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算,与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查. (2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查. Z 知识整合hi shi zheng he 1.集合的概念、关系及运算 (1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合与集合之间的关系:A ?B ,B ?C ?A ?C . (3)空集是任何集合的子集. (4)含有n 个元素的集合的子集有2n 个,真子集有2n -1个,非空真子集有2n -2个. (5)重要结论:A ∩B =A ?A ?B ,A ∪B =A ?B ?A . 2.充要条件 设集合A ={x |x 满足条件p },B ={x |x 满中条件q },则有 A B B A (1)命题p ∨q ,只要p ,q 有一真,即为真;命题p ∧q ,只有p ,q 均为真,才为真;綈p

和p 为真假对立的命题. (2)命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q );命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q ). 4.全(特)称命题及其否定 (1)全称命题p :?x ∈M ,p (x ).它的否定綈p :?x 0∈M ,綈p (x 0). (2)特称命题p :?x 0∈M ,p (x ).它的否定綈p :?x ∈M ,綈p (x ).,Y 易错警示 i cuo jing shi 1.忽略集合元素互异性: 在求解与集合有关的参数问题时,一定要注意集合元素的互异性,否则容易产生增根. 2.忽略空集: 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在分类讨论时要注意“空集优先”的原则. 3.混淆命题的否定与否命题: 在求解命题的否定与否命题时,一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定,而否命题既对命题的条件进行否定,又对命题的结论进行否定 . 1.(文)(2018·全国卷Ⅰ,1)已知集合A ={0,2},B ={-2,-1,0,1,2},则A ∩B =( A ) A .{0,2} B .{1,2} C .{0} D .{-2,-1,0,1,2} [解析] A ∩B ={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}. 故选A . (理)(2018·全国卷Ⅰ,2)已知集合A ={x |x 2-x -2>0},则?R A =( B ) A .{x |-12} D .{x |x ≤-1}∪{x |x ≥2} [解析] ∵ x 2-x -2>0,∴ (x -2)(x +1)>0,∴ x >2或x <-1,即A ={x |x >2或x <-1}.在数轴上表示出集合A ,如图所示. 由图可得?R A ={x |-1≤x ≤2}. 故选B . 2.(文)(2018·全国卷Ⅲ,1)已知集合A ={x |x -1≥0},B ={0,1,2},则A ∩B =( C )

高考专题复习—解析几何的题型与方法(精髓版)

20XX 届高三数学题型与方法专题七:解析几何1【基础知识梳理】 班级: 姓名: [例1]已知直线1l 的斜率是3 3 ,直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍,则直线2l 的方程为___x y 3= . [例2]已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限,则直线l 的倾斜角大小为( B ) A 、arctan a b ; B 、arctan(-a b ); C 、p +arctan a b ; D 、p -arctan a b . [例3]与圆1)2()1(2 2=-+-y x 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线有――( B ) A 、2条; B 、3条; C 、4条; D 、5条. [例4]过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是___026125=+-y x 与2=x . [例5]直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――( D ) A 、充分不必要条件;B 、必要不充分条件;C 、充要条件;D 、既不充分又不必要条件. [例6]直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点,则直线l 倾斜角的取值范围是______.]4 3, 2[π arctg . [例7]将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合,若点)0,3(C 与点D 重合,则点D 的坐标为 _;)5 28,51( D . [例8]抛物线C 1:x y 22 =关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2,则C 2的焦点坐标为____.)2 5, 2(-. [例9]已知点),(b a 是圆22 2 r y x =+外的一点,则直线2r by ax =+与圆的位置关系 是( C ) A 、相离; B 、相切; C 、相交且不过圆心; D 、相交且过圆心. [例10]若圆O :22 2r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2,则 圆的半径r 的取值范围是____.51<-+=≠=AF E D B C A . [例12]已知圆C 被y 轴截得的弦长是2,被x 轴分成的两段弧长之比为3:1,求圆心C 的轨迹方程.122 2 =-x y . [例13]直线l 过定点)0,4(M 与圆42 2=+y x 交于A 、B 两点,则弦AB 中点N 的轨迹方程为_____;4)2(2 2 =+-y x ()10<≤x . [例14]直线l 过定点)0,4(M 与圆42 2 =+y x 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,则△AOB 面 积的最大值为_______;2. [例15]已知A 是圆06422 2 =-+-+y ax y x 上任意一点,点A 关于直线012=++y x 的对称点也在圆上,那么实数a 的值为___3__.

高考数学二轮复习解析几何

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.将圆O:4y x 2 2 =+上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到曲线C.设O 为坐标原点,直线l :3x my =+与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点,延长线段ON 交C 于点E .若 2OE ON =u u u r u u u r ,则m= ( ) A .22 B .22- C .8 D .22± 【答案】D 2.如图,直线0:1=+-b y ax l 与直线)0(,0:2≠=-+ab a y bx l 的图像应是( ) 【答案】A 3.与直线l 1:012 =--y m mx 垂直于点P (2,1)的直线l 2的方程为( ) A .01=-+y x B .03=--y x C .01=--y x D .03=-+y x 【答案】D 4.已知函数y =f (x )在(0,1)内的一段图象是如图所示的一段圆弧,若0

C .> D .不能确定 【答案】C 5.圆22 9x y +=和圆0118622=--++y x y x 的位置关系是( ) A .相离 B .内切 C .外切 D .相交 【答案】D 6.已知点是直线 上一动点,是圆 的两条切线, 是切点,若四边形 的最小面积是2,则的 值为( ) A .3 B . C . D.2 【答案】D 7.下列曲线中离心率为 6 2 的是( ) A .22124x y -= B .22146 x y -= C . 22142x y -= D . 22 1410 x y -= 【答案】C 8.θ是第三象限角,方程x 2+y 2 sin θ=cos θ表示的曲线是( ) A .焦点在x 轴上的椭圆 B .焦点在y 轴上的椭圆 C .焦点在x 轴上的双曲线 D .焦点在y 轴上的双曲线 【答案】D 9.双曲线C 和椭圆22 41x y +=有相同的焦点,它的一条渐近线为2y x =,则双曲线C 的方程为( ) A .22 421x y -= B .22 21x y -= C .2 2 421x y -=- D .2 2 21x y -=- 【答案】C 10.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =, 则12cos F PF ∠=( ) A . 14 B . 35 C . 34 D . 45 【答案】C 11.点A 是抛物线C 1:2 2(0)y px p =>与双曲线C 2: 22 221x y a b -=(a>0,b>0)的一条渐近 线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ,则双曲线C 2的离心率等于( ) A .2 B .3 C .5 D .6 【答案】C

高三总复习解析几何专题(师

解析几何专题二 1、已知点P (3,-4)是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)渐近线上的一点,E ,F 是左、右两个焦点,若EP →·FP → =0, 则双曲线方程为( ) A.x 23-y 24=1 B.x 24-y 23=1 C.x 29-y 216=1 D.x 216-y 2 9 =1 2、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=,则该双曲线的离心率为( 17 ). 【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=,所以17,17,42 2===e a c a b 3、设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲 线的离心率为 2 5 1+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,所以 2 1 5,1)(+=-=-?e c b a b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ,线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5 :7的两段,则此双曲线的离心率为( C ) A . 9 8 B . 637 C . 32 4 D . 31010 【解析】因为线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5:7的两段,所以 4 23,4036,436,622222====e c a c b c b 5、 已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆22 214 x y b +=相切 于点Q ,且→ → =QF PQ ,则椭圆C 的离心率为 3 5 . 提示:设左焦点E ,连接PE ,由圆的切线可得OQ ⊥PF ,而OQ ∥PF ,故PF PE ⊥,2 2 2 4)2(c b a b =-+∴,

2014届高考数学(理)二轮复习大题规范训练三

弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(三) 数列综合题 (限时:60分钟) 1.(2013·高考山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1. (1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 设数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n +a n +12n =λ(λ为常数),令c n =b 2n (n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和R n . 2.已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6=21,且4a 1、32 a 2、a 2成等差数列. (1)求a n ; (2)设{b n }是首项为2,公差为-a 1的等差数列,其前n 项和为T n ,求不等式T n -b n >0的解集. 3.(2014·济南市模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=2S n +1(n ∈N *),等差数列{b n } 满足b 3=3,b 5=9. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设c n = b n +2a n +2(n ∈N *),求证: c n +1<c n ≤13 .

4.已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1= a n a n +3(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)若数列{b n }满足b n =(3n -1)n 2n a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,若不等式(-1)n λ<T n 对一切n ∈N *恒成立,求λ的取值范围. 5.(2014·辽宁省五校联考)已知数列{a n }满足:a 1=1,a 2=a (a ≠0),a n +2=p ·a 2 n +1a n (其中p 为非零常数,n ∈N *). (1)判断数列?? ????a n +1a n 是不是等比数列; (2)求a n ; (3)当a =1时,令b n = na n +2a n ,S n 为数列{b n }的前n 项和,求S n . 6.(2013·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=1,2S n n =a n +1-13n 2-n -23 ,n ∈

2020高考数学二轮专题复习 三角函数

三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义;能画出sin()y A x ω?=+的图象,了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看,对三角函数的考查:一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年,考查形式不变,选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主,解答题将会以向量为载体,考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合,以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质;和、差、倍角公式,正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;

2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上.若BE →=λBC →,D F →=19λDC →,则 AE →·A F → 的最小值为 ________. (例1) 变式1 在△ABC 中,已知AB =10,AC =15,∠BAC =π 3,点M 是边AB 的中点, 点N 在直线AC 上,且AC →=3AN → ,直线CM 与BN 相交于点P ,则线段AP 的长为________. 变式2若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为________. 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行: 切入点一:“恰当选择基底”.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算. 切入点二:“坐标运算”.坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来,快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题,都可以考虑建立适当的坐标系,应用坐标法来统一表示向量,达到转化问题,简单求解的目的.

1. 设E ,F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点,已知AB =3,AC =6,则AE →·A F → =________. 2. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB →·A F →=2,则AE →·B F →=________. 3. 如图,在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC →·BE → =33 32 ,则AB 的长为________. (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图,在2×4的方格纸中,若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量,则向量2a +b 与a -b 夹角的余弦值是________. 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°,且|OA →|=3,|OB →|=2,若OC →=mOA →+nOB →,且OC → ⊥AB → ,则实数m n =________. 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形,点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点,点Q 满足AQ →=23AP →+13 AC →,则|BQ → |的最小值是________. 7. 如图,在Rt △ABC 中,P 是斜边BC 上一点,且满足BP →=12 PC → ,点M ,N 在过点P 的直线上,若AM →=λAB →,AN →=μAC → ,λ,μ>0,则λ+2μ的最小值为________. (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE → =λBA →+μBD → (λ,μ∈R ),则λ+μ=________. 9. 如图,在直角梯形ABCD 中,若AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1, 动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD → (m ,n 均为正实数),则1m +1n 的最小值为________. 10. 已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P 为平面ABC 上的一点,AP →=λAB →+μAC → 且AP →·AB →=0,AP →·AC →=3. (1) 求AB →·AC →的值; (2) 求λ+μ的值.

2020高考专题复习解析几何的万能套路

高考解析几何的万能解题套路 一个套路,几乎解决所有高考解析几何问题! 在教学中,一直有一个难以解决的悖论:“题海战术”广遭诟病,但似乎要取得好成绩,除了“题海战术”又别无良策。这是因为,我们每次考试面对的题目都不可能一样,大家心照不宣的想法是——通过平时的“题海战术”,也许可以穷尽问题的各种可能。 显然如果我们要穷尽问题的各种可能,是不现实的。为了让学生能真正从题海战术中走出来,事实上,我们可以将以往大量的、零碎的、彼此之间也看似没有多少联系性的某些数学问题,却能通过高度一致的方法获得解决,本文以解析几何为例的一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万能解题套路”,几乎把近几年贵州省高考解析几何问题基本上统一了起来!希望对同学有所启发。 一、解析几何万能解题套路 解析几何是法国数学家笛卡儿(1596年~1650年)创立的。笛卡儿在总结前人经验的基础上,创造性地提出了一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学,用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下,笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。 以高考解析几何为例: 1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线(如圆、椭圆、抛物线、双曲线)这三大类几何元素为基础构成的图形的问题; 2、演绎规则就是代数的演绎规则,或者说就是列方程、解方程的规则。 有了以上两点认识,我们可以毫不犹豫地下这么一个结论,那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作: 1、几何问题代数化。 2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。 至此,整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路: 二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则 步骤一:(一化)把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来; 口诀:见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、见点化点:“点”用平面坐标系上的坐标表示,只要是题目中提到的点都要加以坐标化; 2、见直线化直线:“直线”用二元一次方程表示,只要是题目中提到的直线都要加以方程化; 3、见曲线化曲线:“曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)”用二元二次方程表示,只要是题目中提到的曲线都要加以方程化; 步骤二:(二代)把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来;如果某个点在某条直线或曲线上,那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。 口诀:点代入直线、点代入曲线。 1、点代入直线:如果某个点在某条直线上,将点的坐标代入这条直线的方程;

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数的应用(含答案)

第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以填空题的形式出现.(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题. 1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y =f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是________.

(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数,当x ≥0时,f (x )=??? cos πx ,x ∈[0,1 2 ], 2x -1,x ∈(1 2 ,+∞),则不等式 f (x -1)≤1 2 的解集为________. 思维升华 (1)根据二分法原理,逐个判断;(2)画出函数图象,利用数形结合思想解决. 答案 (1)1 (2)[14,23]∪[43,7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性,再确定零点. 因为f ′(x )=2x ln 2+3x 2>0, 所以函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上递增, 且f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0, 所以有1个零点. (2)先画出y 轴右边的图象,如图所示. ∵f (x )是偶函数,∴图象关于y 轴对称,∴可画出y 轴左边的图象,再画直线y =1 2.设与曲线交 于点A ,B ,C ,D ,先分别求出A ,B 两点的横坐标. 令cos πx =12,∵x ∈[0,1 2], ∴πx =π3,∴x =1 3 . 令2x -1=12,∴x =34,∴x A =13,x B =34 . 根据对称性可知直线y =12与曲线另外两个交点的横坐标为x C =-34,x D =-1 3. ∵f (x -1)≤12,则在直线y =1 2上及其下方的图象满足, ∴13≤x -1≤34或-34≤x -1≤-1 3, ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同

平面解析几何高考复习知识点

平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条及x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 及x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0; (2)倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k =tan α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为 ()212 12 1x x x x y y k ≠--= ; (3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量及直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: AB BC k k =。 例题: 例1.已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变 化范围; 思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围 解析: ∵, ∴. 总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时,可利用 在和上是增函

数分别求解.当时,;当时,;当时,;当不存在时,.反之,亦成立. 类型二:斜率定义 例2.已知△ABC为正三角形,顶点A在x轴上,A在 边BC的右侧,∠BAC的平分线在x轴上,求边AB及AC所 在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边AB及AC所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°,直线AC的倾斜角为30°, ∴k AB=tan150°= k AC=tan30°= 总结升华: 在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角,只有这样才能正确的求出倾斜角. 类型三:斜率公式的应用 例3.求经过点,直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.

高三数学第二轮复习专题之《解析几何》

高三数学专题复习 《解析几何》 解题思路与方法: 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有1~2个题目外,就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题: (1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口方向,这是减少或避免错误的一个关键。 (2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后得到二次方程,用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线,通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍。 (3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)。 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小。 (4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时,一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。 (5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。 (6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵活性,求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”,将“形”化成“数”,使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等,解题时,注意求轨迹的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围。 解析几何问题处理时易错易忽视点归纳: 1.用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况;题目告诉截距相等时,易忽略截距为0的情况。 2.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时,易忽略直线与x轴或者y轴平行的情况。

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