第一章 整数的可除性
§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3
定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则
1122n n q a q a q a +++ 是m 得倍数．
证明： 12,,n a a a 都是m 的倍数。
∴ 存在n 个整数12,,n p p p 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===
又12,,,n q q q 是任意n 个整数
1122n n q a q a q a ∴+++ 1122n n q p m q p m q p m =+++ 1122()n n p q q p q p m =+++
即1122n n q a q a q a +++ 是m 的整数 2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明 (1)(21)(1)(2n n n n n n n ++
=+++-
(1)(2)(1)(n n n n n n =+++-+
又(1)(2)n n n ++ ，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数 故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+
3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+
从而可知
3|(1)(21)n n n ++
3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++．
证： ,a b 不全为0
∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数
00ax by +
,x y Z ?∈，由带余除法有0000
(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+
则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =
00|ax by ax by ∴++
00|ax by ax by ++ （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ 又有(,)|a b a ，(,)|a b b
00(,)|a b ax by ∴+ 故00(,)ax by a b +=
4．若a ，b 是任意二整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得
||,||2
b a bs t t =+≤
成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？
证：作序列33,,,,0,,,,2222
b b b b
b b --- 则a 必在此序列的某两项之间 即存在一个整数q ，使
1
22
q q b a b +≤<成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22
q q
s t a bs a b =
=-=-，则有 02222
b q q q
a bs t a
b a b b t ≤-==-=-<∴<
若0b < 则令,22q q
s t a bs a b =-
=-=+，则同样有2
b t < ()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11
,22
q q s t a bs a b ++=
=-=-，则有
若 0b <，则令11
,22q q s t a bs a b ++=-
=-=+，则同样有2b t ≤，
综上所述，存在性得证．
下证唯一性
当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> 而111,22
b b
t t t t t t b ≤
≤∴-≤+≤ 矛盾 故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时
2
b
为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ?
=?+=?+-=≤
§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1
推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法
111222111111,,,,,
0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b ---++-=+=+=+==≤<<<<
∴(,)n a b r =
∴d '|1a bq -1r =， d '|122b rq r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=, 即d '是(,)a b 的因数。
反过来(,)a b |a 且(,)a b |b ，若|(,),d a b ''则|,|d a d b ''''，所以(,)a b 的因数都是,a b 的公因数，从而,a b 的公因数与(,)a b 的因数相同。
2．证明：见本书P2，P3第3题证明。
3．应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）．
解：有§1习题4知：
,,0,,,a b Z b s t Z ?∈≠?∈使,||2
b
a bs t t =+≤
。， 11,s t ∴?，使1112
||,||,,22t b
b s t t t =+≤≤ 如此类推知： 21,,;n n n n n n s t t t s t --?=+ 11111,,;n n n n n n s t t t s t ++-++?=+
且1221||||||||
||2222
n n n n n t t t b t --+≤
≤≤≤≤ 而b 是一个有限数，,n N ∴?∈使10n t +=
1121(,)(,)(,)(,)(,)(,0)n n n n a b b t t t t t t t t t +∴======= ，存在其求法为：1(,)(,)(,())a b b a bs a bs b a bs s =-=---= (76501,9719)
(9719,7650197197)(8468,97198468)
(1251,846812516)(3,1)1
∴=-?=-=-?=== 4．证明本节（1）式中的log log 2
b
n ≤
证：由P3§1习题4知在（1）式中有 12112102222
n n n n n n r r r b
r r --+-=<≤
≤≤≤≤ ，而1n r ≥ 1,22n
n b b ∴≤
∴≤， 2l o g l o g l o g 2b n b ∴≤=，即log log 2
b n ≤ §3 整除的进一步性质及最小公倍数
1．证明两整数a ，b 互质的充分与必要条件是：存在两个整数s ，t 满足条件1ax bt +=． 证明 必要性。若(,)1a b =，则由推论1.1知存在两个整数s ，t 满足：(,)as bt a b +=，
1as bt ∴+=
充分性。若存在整数s ，t 使as+bt=1，则a ，b 不全为0。 又因为(,)|,(,)|a b a a b b ，所以(,|)a b as bt + 即(,)|1a b 。 又(,)0a b >，(,)1a b ∴= 2．证明定理3
定理3 [][]1212,,||,||,||n n a a a a a a = 证：设121[,,,]n a a a m = ，则1|(1,2,,)i a m i n = ∴1|||(1,2,,)i a m i n = 又设122[||,||,,||]n a a a m = 则21|m m 。反之若2|||i a m ，则2|i a m ，12|m m ∴ 从而12m m =，即12[,,,]n a a a =122[||,||,,||]n a a a 3．设1110n n n n a x a x a x a --++++ （1）
是一个整数系数多项式且0a ，n a 都不是零，则（1）的根只能是以0a 的因数作分子以n a 为
证：设（1）的任一有理根为
p
q
，(,)1,1p q q =>。则
1110()()0n n n n p p p
a a a a q q q
--++++=
111100n n n n n n a p a p q a pq a q ---++++= （2）
由11110(2)n n n n n n a p a p q a pq a q ----=+++ ，
所以q 整除上式的右端，所以|n n q a p ，又(,)1,1p q q =>， 所以(,)1,|n n q p q a =∴；
又由（2）有11110n n n n n n a p a p q a pq a q ---+++=-
因为p 整除上式的右端，所以0|n P a q ，(,)1,1p q q =>，所以(,)1, |n n q p p a =∴ 故（1）的有理根为
p
q
，且0|,|n p a q a 。
220x x =∴-=，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是
1,2±±
,p
q
(,)1,1p q q =>，则2
222222222,2,(,)(2,)1p q p p q q p q q
=∴=∴==>
但由(,)1,1p q q =>知22(,)1p q = §4 质数·算术基本定理 1．试造不超过100的质数表 解：用Eratosthenes 筛选法
（110=a
（2）10内的质数为：2，3，5，7
（3）划掉2，3，5，7的倍数，剩下的是100内的素数 将不超过100的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2．求82798848及81057226635000的标准式．
解：因为8|848，所以38|,827988488103498562A A B ==?=?， 又8|856，所以8|B ，3812937322B C =?=?， 又4|32，所以4|C ，243234332C D =?=?
又9|（3+2+3+4+3+3），所以9|D ，29359373D E =?=?， 又9|（3+5+9+3+7），所以9|E ，93993E =? 又3399331331311=?=? 所以8532311A =；
同理有3343281057226635000235711172337=???????。 3．证明推论3.3并推广到n 个正整数的情形． 推论3.3 设a ，b 是任意两个正整数，且
12
12n n
a p p p ααα=??? ，0i α≥，1,2,,i k = ， 12
12n n
b p p p βββ=??? ，0i β≥，1,2,,i k = ， 则12
12(,)k k
a b p p p γγγ=??? ，1212[,]k k a b p p p δδδ=??? ，
其中min(,)i i i γαβ=，min(,)i i i δαβ=，1,2,,i k = 证： min(,)i i i γαβ=，∴0,0i i i i γαγβ≤≤≤≤ ∴ |,|i i i i i i i i p p p p γαγβ (1,2)i k = ∴
1
1
i
i
k
k
i i
i i p p
γα==∏∏，
1
1
i
i
k
k
i i
i i p p
γβ==∏∏.
∴ 1212|(,)k k p p p a b γγγ ，又显然1212(,)|k k
a b p p p γγγ ∴ 1212(,)k k p p p a b γγγ= ，同理可得1212[,]k k p p p a b δδδ= ，max{,}i i i δαβ=
推广
设11112112k k a p p p βββ= ,22122212k k
a p p p βββ= ,1212,n n nk n k a p p p βββ= (其中j p 为质数1,2,,,i j k a = 为任意n 个正整数1,2,,,0ij i n β=≥ )， 则
1212121(,,,),min{},
1,2,,i i ik k n ij ij i n
p p p a a a j k γγγγβ≤≤===
1212121[,,,],max{},1,2,,i i ik k n ij ij i n
p p p a a a j k δδδδβ<<===
4．应用推论3.3证明§3的定理4（ii ）
证：设12111212k k k k
a p p p
b p p p αβααββ== ，， 其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数，有
11
1
1
1212(,)min{,}1[,]max{,}1k k
k i i i k i i i a b p p p i k a b p p p i k λλλμμμλαβμαβ==≤≤==≤≤ ，，，
，，。
由此知(a , b )[a , b ] =
min{,}max{,}
1
1
1
i i
i i i i i i k
k
k
i
i
i i i i p p
p λμαβαβαβ+++=====∏∏∏=ab ；从而有[,](,)
ab
a b a b =
． ５．若n 21+是质数（n>1），则n 是2的方幂． 证：（反证法）设2(k n l l =为奇数），
则2222(1)2(2)2121(2)1(21)[221]k
k
k
k
k
n l l l l ??-?-+=+=+=+-++
∵ 22121(2)121k k
l n <+<+=+， ∴ 21n +为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂． §5 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 1．求30！的标准分解式．
解：30内的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
22345303030303022222α??????????
=+++++????????????????????
15431023=++++=
3234303030303333α????????
=++++?
???????????????
1031014=+++= 5233030306107555α??????
=+++=++=?
??????????? 72303040477α????
=++=+=???????? ，11230302021111α????
=++=+=????????
13230302021313α????=++=+=?
??????? ，13230302021313α????
=++=+=???????? 17230301011717α????
=++=+=????????
，191923291αααα====
∴ 23
14
5
4
22
30!235711131719
2329=
?
?
??????? 2．设n 是任一正整数，α是实数，证明：
(i) [][]n n αα??
=????
(ii) [][]11n n n n αααα-????
+++???++=???????? 证：(i)设[]m α=.则由性质II 知1m m α≤<+,
所以 nm n nm n α≤<+, 所以[]nm n nm n α≤<+，所以[]
1n m m n
α≤
<+，又在ｍ与ｍ+１之间只有唯一整数ｍ，所以[]
[
][]n m n
αα==． (ii) [证法一]设
1{},0,1,2,,1k k k n n n
α+≤<=- , 则{}1,[][]k n k n n k ααα≤<+∴=+ ①当1i k n +≤-时,1{}1,[][]i k i i
n n n ααα+++
<≤+= ; ②当i k n +≥时,2{}1,[][]1i k i i n n n
ααα+>+
≥≥+=+; 111
00
11
[][][]
1[][][]()[]([]1)[]n n k n i i i n k n n n
i i
n n n n k k n k
ααααααααα----=-=--∴+++++=+=+++=-++=+∑∑∑
1
[][]n i i
n n αα-=∴+=∑
[证法二] 令1
()[][]n i i f n n ααα-==
+-∑, 10
11
()[][1]()n i i f n f n n αααα-=++=+-+≡∑
10
11
()[][1]()n i i f n f n n αααα-=++=+-+≡∑
()f α∴是以
1
n
为周期的函数。
又当[0,1),()000,,()0f R f αααα∈=-=∴∈≡时，
即
1
1
[][]n i n n αα-=+=∑。
[评注]：[证一]充分体现了 常规方法的特点，而[证二]则表现了较高的技巧。 3．设α，β是任意二实数，证明： (i) [][][]αβαβ-=-或[]1αβ-+ (ii) [2][2][][][]αβααββ+≥+++ 证明：（i ）由高斯函数[x]的定义有
[],[],01;01r s r s ααββ=+=+≤<≤<。则
[][],1
r
s r s αβαβ-=-+--< 当0,[][][]r s αβαβ-≥-=-时 当0,[][][]1r s αβαβ-<-=--时
故 [][][][]1[][]αβαβαβαβ-=--+=-或 （ii ）设[],[],0,1x y x y ααββ=+=+≤<， 则有0{}{}2x y αβ≤+=+< 下面分两个区间讨论：
①若01x y ≤+<，则[]0x y +=，所以[][][]αβαβ+=+，所以
[2][2]αβ+=[2[]2][2[]2]x y αβ+++=2[]2[]2([][])x y αβ+++2[]2[]αβ≥+=[][][][]αββα+++=[][][]ααββ+++
②若12x y ≤+<，则[]1x y +=，所以[][][]1αβαβ+=++。 所以
1[2][2][2[]2][2[]2]2[]2[]2([][])2[]2[]2([][1])
[][][][]22([][])2[]2[]1[][][]
x y x y x y x x x x αβαβαββααβααββ≥-+=+++=+++≥+++-←???→
=++++++-≥++=+++
（ii ）（证法2）由于α，β对称，不妨设{}{}αβ≥
[2][2][2([]{})][2([]{})]αβααββ+=+++
2[]2[][2{}][2{}]αβαβ=+++
2[]2[][{}{}]αβαβ≥+++
[][]([][][{}{}])αβαβαβ=+++++ [][][[]{}[]{}]αβααββ=+++++
[][][]ααββ=+++
4. (i) 设函数
在闭区间Q x R ≤≤上是连续的，并且非负，证明:和式
表示平面区域Q x R ≤≤，0()y f x <≤内的整点（整数坐标的点）的个数. (ii) 设p ，q 是两个互质的单正整数，证明：
(iii) 设
，T 是区域
内的整点数，证明：
(iv) 设
，T 是区域
，
，
内的整点数，证明：
证明：(略) 5. 设
任一正整数，且
，p 是质数，
，证明：在的
标准分解式中，质因数p 的指数是
其中
.
证明：在的标准分解式中，质因数p 的指数有限，即
，
所以
而
第二章 不定方程 §2．1 习题
1、解下列不定方程 )1525100a x y += 630360306)=-y x b
解：)a 原方程等价于：3520x y += 显然它有一个整数解 0010,2x y ==- ，
故一般解为 105
(0,1,2,)
23x t t y t =-?=±±?
=-+?
)b 原方程等价于：172035x y -= 显然它有一个整数解 00735,635x y =-?=-?
故一般解为 735
20(0,1,2,)635
17x t t y t =-?+?=±±?
=-?+? 2、把100分成两份，使一份可被7整除，一份可被11整除。 解：依题意 即求 711100x y += 的正整数解，解得 008,4x y ==
一般解是： 811(0,1,)47x t
t y t
=-?=±?
=+?
但除 0t =外无其他正整数解，故有且只有 1005644=+ 3、证明：二元一次不定方程 ,0,0,(,)a x b y N a b a b +=>>=
的非负整数解为 N ab ?????? 或 1N ab ??
+????
证明：当0N <时，原方程没有整数解，而 10N ab ??
+≤????
故命题正确
当0N =时，原方程有且只有一个非负整数解 ()0,0 而 0N ab ??=???? 11N ab ??
+=????
因为 (),1a b = 所以
原方程有整数解 (){}{}100011021,,(1),,,(1),,n n n n x y y q q N x q q N ---=-=- 其中
[]123,,,,n a
q q q q b
= ，由于0a b >>，故00,x y 中一正一负，可设0,0x y >≤ 原方程的一般解是：()000,1,x x bt
t y y at
=-?=±?
=+?
要求00000,0x y x bt y at t b a
-≥+≥?
≥≥-， 仅当 0y a -
是整数时，才能取 0y t a ??=-???? ，否则 0y t a ??
>-????
故这个不等式的整数解个数T 是 ：
当是整数时 000011x y x y T b a b a ????????
=--+=++????????????????
因而 001x y N N T ab b a ab ????????
=+?=+????????????????
当
0y a 不是整数时 00001x y x y T b a b a ????????=--=++????????????????
因而 00001x y b a N ab x y b a ?????
+?????
???????=?????????
?++?????????
? 所以 ()m ?
证明2：二元一次不定方程ax + by = N 的一切整数解为00x x bt
y y at =-??=+?
，t ∈Z ，于
是由x ≥ 0，y ≥ 0得00y x t a b -≤≤，但区间00,[]y x a b -的长度是N
ab
，故此区间内的整数个数为[
][]N
N ab ab
或+ 1。 ：
4、证明：二元一次不定方程 ,(,)1,1,1ax by N a b a b +==>>，当 N ab a b >-- 时有非负整数解，N ab a b === 则不然。
证明：先证后一点，当 N ab a b =--时，原方程有非负整数解 ()00,x y 则12(,).d m m =
00001,11,1,1,1b x a y x bk y ah k h ?++?+=+=≥≥
(),2ab k h ab k h ?+=+≥，这是不可能的。
次证，当N>ab-a-b 时，因(a ，b)=1，故原方程有整数解（x 0，y 0），一般解是{
00(0,1,)
x x bt
y y at
t =-=-=± 要求x 0-bt ≥0，y 00at -≥00y x
t a b
?-
≤≤会证明存在满足这个不等式的整数0t t =可取使00(0)x bt r r b =+≤<于是对于这个0t 有：
0011x b x bt r b t b
-+-=≤-?≥
而
0000000
000111
(1)()()()1
0a y at y x b by ax ab a N ab a ab a b ab a b b b b
y
y at t a
+≥+-++-+=-+>---+=-∴+≥?≥-这就证明了当N ab a b >--时，原方程有非负整数解． 1．证明定理2推论。
推论 单位圆周上座标都是有理数的点（称为有理点），可以写成
2222
2222222222,,()()ab a b a b ab a b a b a b a b
--±±±±++++或 的形式，其中a 与b 是不全为零的整数。
证明：设有理数l n
x y m m
=
=，（m ≠ 0）满足方程x 2 + y 2 = 1，即l 2 + n 2 = m 2，于是得l = ±2abd ，n = ±(a 2 - b 2)d ，m = ±(a 2 + b 2)d 或l = ±(a 2 - b 2)d ，m = ±2abd ，
m = ±(a 2
+ b 2
)d ，由此得(x , y ) =22222
2222222
22,,()()ab a b a b ab
a b a b a b a b
--±±±±++++或。反之，代入方程x 2 + y 2 = 1即知这样的点在单位圆周上。
2．求出不定方程2223,(,)1,0,0,0x y z x y x y z +==>>>的一切正整数解的公式。 解：设不定方程2223x y z +=,(,)1x y =有解则 (1)3/z-x 或3/z+x 因为2223()()y z x z x z x =-=-+
?3/()()3/z x z x z x -+?-或3/z+x
()()2
2
22
2
3333/3/z x z x
z x z x z x z x
y y
y x
z +-+=?
=
?-=+?+-或者得或
以下不妨设3/z x +
②(),1x z =， 设 2
2
2
(x ,z )d ,
d /x ,d /z d /3,
y x z =?=-则
2
2
2
,3/,9/,9/9/33/d y y x z ???若 ()3/,x y ?与(),1x y =矛盾!
这样()(
)
2
2
2
3,1/
//3d d d y y
y d =?? 而()//,1d x d x y d ??=
③(),12z x z x +-=或， (),/()()2t z x z x t z x z x x =+-?+--=设，
()/()()2/2.22t z x z x z t x z ++-=?= 即 12t t ==或
④若
(),1,,1,3z x z x z x z x +??
+-=-=
???
则 ()()()2
2
33
z x
z x z x z x y y
+=+-?
=
?-从而 由引理可设
2
,3
z x a +=2,z x y ab b -== 从而≡ ， 为证得,x z 为整数， (),1,x z = 必须有a ， b 均为奇数，且2
2
3a b > ⑤若(),2,1,12262z x z x z x z x z x z x +-+-????
+-=?=?=
? ?????
()()2
2
3262y z x z x z x z x y
+-??
=+-?=?
???
从而 设
222222
,,,3,2,3622
z x z x y ab x y ab z a b a b a b +-====-==+即， 其中,a b 为一奇一偶，且有(),1
a b =
4．解不定方程：x 2 + 3y 2 = z 2，x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。
解：设(z - x , z + x ) = d ，易知d = 1或2。由(z - x )(z + x ) = 3y 2得z - x = 3da 2，z + x = db 2，y = dab 或z - x = db 2，z + x = 3da 2，y = dab ，a > 0，b > 0，(a , b )
= 1。(ⅰ) 当d = 1：2222
|3|322
b a b a x y ab z -+===，，，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1，3|/b ，a , b 同为奇数； (ⅱ) 当d = 2：x = |b 2 - 3a 2|，y = 2ab ，z = b 2 + 3a 2，
a > 0，
b > 0，(a , b ) = 1，3|/
b ，a , b 一奇一偶。反之，易验证(ⅰ)或(ⅱ)是原不
定方程的解，且x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。 3．证明不等式方程
()2
2
4
,,1,0,0,/x y x y z x y x z +
==>>的一切正整数解．
可以写成公式: 224(),x ab a b =-y =∣442
2
6a b a b
+-∣，22
z a b =+
其中()0,0,,1,,a b a b a b >>=一单一双
证明:由定理1知道原方程的解是2222
2,,,x cd y z c d c d ==-=+
()0,,1c d c d >>=， 且c ， d 为一奇一偶，
其中，()2
2
2,,0,,1c ab d a b a b a b ==->>=， 且a ， b 为一奇一偶． 所以2
2
4(),x ab a b =-y =∣4
4
2
2
6a b a
b
+-∣，22
z a b =+是原方程的正整数解
()2
2
(0,0,0,,1,2/,x y z x y x a b >>>=+且是奇数，
原方程正整数的解有:
()000,，
，()2
0,a a ±±，
，()2
,0,a a ±±()2
2
4
4
2
2
2
2
4(),(6),()ab a b a b a b a b ±-±+-±+，()4
4
2
2
2
2
2
2
(6),4(),(),ab a b a b a b a b ±+-±-±+
6．求方程x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2∣x 的正整数解。
解：设x ，y ，z 是x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2∣x 的正整数解，则x = 2ab ，y = a 2 - b 2，z 2 = a 2 + b 2，a > b > 0，(a , b ) = 1，a , b 一奇一偶， 再由z 2 = a 2 + b 2得a = 2uv ，b = u 2 - v 2， z = u 2 + v 2 或 a = u 2 - v 2，b = 2uv ， z = u 2 + v 2， u > v > 0，(u , v ) = 1，u , v 一奇一偶，于是得x = 4uv (u 2 - v 2)，y = |u 4 + v 4 - 6u 2v 2|，z = u 2 + v 2，u > v > 0，(u , v ) = 1，u , v 一奇一偶。反之，易验证它是原不定方程的整数解，且x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1，2∣x 。
其中正负号可任意选取． 第三章 同余
ξ1同余的概念及其基本性质
1、 证明（i ）若1k ααA ≡1k ααB (modm) x i ≡y i (modm)、i=1，2，、、、，k 则
1
1
111,,11,,1,,
k k k k
k
k
k x x y y ααααααααααα
α
A ≡
B ∑∑ (modm)
特别地，若i i a b ≡（modm ），i=0，1，,n 则
111010n n n n n n n n a x a x a b x b x b ----++≡+++ （modm ）
(ii)若a ≡b(modm)，k 0,(mod ),ak bk mk >≡
（iii ）若a ≡b(modm)，d 是a ，b 及m 的任一正公因数，则(mod ),a b m
b d d
≡ (iv)若a ≡b(modm)，,0.d m d > 则a ≡b(modd)． 证明 ：（i ）据性质戊，由(mod ),1,2,,.i i x y m i k ≡= 得(mod ),1,2,,,i i i i x y m i k αα≡= 进一步，则
11
11
11(mod )k k k k k k x x B y y m αααααααααA ≡
最后据性质丁，可得：
1
1
111,,11,,1,,
k k k k
k
k
k x x y y ααααααααααα
α
A ≡
B ∑∑ （modm ）
(ii) 据定理1，a ≡b(modm),m a b ?-
0,()k mk k a b ka kb >∴-=-
又据定理1，即得(mod ).ka kb mk ≡
（iii ）据定理1， a ≡b(modm) ,m a b ?-即a-b=ms(s ∈z)
,,,0,a b m d a b m d s d d ->∴
= ，即,a b m
s d d d -=? 仍据定理1，立得(mod ),a b m
b d d
≡
(iv) 据定理1， a ≡b(modm),(),a a ms s z ?-=∈
又,,,d m m dt t z ∴=∈ 故(),,a b ms d st st z -==∈
(mod ).a b d ∴≡
2、设正整数1101010,010n n n n i a a a a a --=++≤< 试证11整除的充分且必要条件是11整除
1
(1).i
n
i
i a =-∑
证明 ：101(mod11),≡-∴ 由上题(i)的特殊情形立得
1101010n n n n a a a a --=++≡ 110(1)(1)(mod11)n n n n a a a ---+-+ 0(1)(mod11),n
i i i a a =≡-∑
1111
(1)i
n
i
i a a =∴?-∑．
3．找出整数能被37，101整除有判別条件来。 解：10001(mod37)≡
故正整数11010001000,01000k k k k i a a a a a --=++≤< 立得0
3737
.k
i i a a =?∑
1001(mod101).≡-
故设正整数110100100,0100's s s s i a b b b b --=++≤< ， 立得0
101101
(1).s
i i
i a b =?-∑
4、证明641｜3221+ 证明：∵()82256mod641≡
行程问题典型例题及答案详解 行程问题是小学奥数中的重点和难点，也是西安小升初考试中的热点题型，纵观近几年试题，基本行程问题、相遇追及、多次相遇、火车、流水、钟表、平均速度、发车间隔、环形跑道、猎狗追兔等题型比比皆是，以下是一些上述类型经典例题（附答案详解）的汇总整理，有疑问可以直接联系我。 例1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：回来用了多少时间？ 分析与解答：在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：去时，有s÷v=s/v=4，则 回来时的时间为：，即回来时用了3.5小时。评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。 例2：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？ 分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。 解答：后半段路程长：240÷2=120（千米），后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)，原计划速度为：240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。 答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。 例3：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？ 分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。 解答：轮船顺水速度为231÷11=21（千米/时），轮船逆水速度为21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时） 答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。
1、在自然状态下，土是由固体颗粒、和组成； 2、若土的粒径级配曲线较陡，则表示土的颗粒级配；反之，粒径级配曲线平缓，则表示土的颗粒级配； 3、土的三个基本指标、、； 4、粘性土的液性指数的表达式为； 5﹑土中应力按产生的原因可分为和； 6、土的压缩系数 a 越大，土的压缩性越，土的压缩指数C C越 大，土的压缩性越； 7、地基最终沉降量的计算常采用法和法； 8、根据固结比 OCR 的值可将天然土层划分为、、和超固结土； 9、根据土体抗剪强度的库伦定律，当土中任意点在某一方向的平面上所 受的剪应力达到土的抗剪强度时，就称该点处于状态； 10、按挡土结构相对墙后土体的位移方向（平动或转动），可将土压力分为、、； 二、判断题 1、级配良好的土，较粗颗粒间的孔隙被较细的颗粒所填充，因而土的 密实度较好。（） 2、粘性土的抗剪强度指标是指土体的粘聚力 c 和内摩擦角φ。（） 3、在计算土的自重应力时，地下水位以下采用土的饱和重度。（） 4、在基底附加应力P0作用下，基础中心点所在直线上附加应力随深度Z 的增大而减小， Z 的起算点为地基表面。（） 5、深度相同时，随着离基础中心点距离的增大，地基中竖向附加应力曲 线增大。（） 6、大量抽取地下水，造成地下水位大幅度下降，这将使建筑物地基的沉 降减小。（） 7、三种土压力之间的大小关系为： E p ＜ E ＜ E a。（）
8、土中某点发生剪切破坏，剪破面上剪应力就是该点的最大剪应力，剪破面与大主应力面的夹角为 45°+φ/2 。（ ） 9、墙背和填土之间存在的摩擦力将使主动土压力减小、 被动土压力增大。（ ） 10、进行粘性土坡稳定分析时，常采用条分法。 （ ） 三、选择题 1、孔隙比的定义表达式是（ ）。 A 、 e=V /V s B 、 e=V /V C 、e=V /V D 、e=V /V v V V w v s 2、不同状态下同一种土的重度由大到小排列的顺序是（ ） sat >γ >d γ>γ ' B. γsat >γ '> γd >γ A ． γ D. γd >γ '> γsat >γ C. d >γ >sat γ>γ' γ 3、成层土中竖向自重应力沿深度的增大而发生的变化为 ：（ ） A 、折线减小 B 、折线增大 C 、斜线减小 D 、斜线增大 4、土中自重应力起算点位置为： （ ） A 、基础底面 B 、天然地面 C 、地基表面 D 、室外设计地面 5、某场地表层为 4m 厚的粉质黏土，天然重度 γ=18kN/m3，其下为饱和 重度 γsat 4m 处，经计算 =19 kN/m3 的很厚的黏土层，地下水位在地表下 地表以下 2m 处土的竖向自重应力为（ ）。 A 、 72kPa B 、36kPa C 、 16kPa D 、 38kPa 6、当摩尔应力圆与抗剪强度线相离时，土体处于的状态是： （ ） A 、破坏状态 B 、安全状态 C 、极限平衡状态 D 、主动极限平衡状态 7、计算时间因数 时，若土层为单面排水，则式中的 H 取土层厚度的 （ ）。 A 、一半 B 、1 倍 C 、2 倍 D 、4 倍 8、用朗肯土压力理论计算挡土墙土压力时，适用条件之一是（ ）。 A 、墙后填土干燥 B 、墙背粗糙 C 、墙背垂直、光滑 D 、墙 背倾 9、土体积的压缩主要是由于（ ）引起的。 A. 孔隙水的压缩 B.土颗粒的压缩
第1章 土的物理性质与工程分类 一．填空题 1． 颗粒级配曲线越平缓，不均匀系数越大，颗粒级配越好。为获得较大密实度，应选择级配良好的土料作为填方或砂垫层的土料。 2． 粘粒含量越多，颗粒粒径越小，比表面积越大，亲水性越强，可吸附弱结合水的含量越多，粘土的塑性指标越大 3． 塑性指标p L p w w I -=，它表明粘性土处于可塑状态时含水量的变化范围，它综合反映了粘性、可塑性等因素。因此《规范》规定：1710≤
p I 为粘土。 4． 对无粘性土，工程性质影响最大的是土的密实度，工程上用指标e 、r D 来衡量。 5． 在粘性土的物理指标中，对粘性土的性质影响较大的指标是塑性指数p I 。 6． 决定无粘性土工程性质的好坏是无粘性土的相对密度，它是用指标r D 来衡量。 7． 粘性土的液性指标p L p L w w w w I --= ，它的正负、大小表征了粘性土的软硬状态，《规范》 按L I 将粘性土的状态划分为坚硬、硬塑、可塑、软塑、流塑。 8． 岩石按风化程度划分为微风化、中等风化、强风化。 9． 岩石按坚固程度划分为硬质岩石，包括花岗岩、石灰岩等；软质岩石，包括页岩、泥岩等。 10．某砂层天然饱和重度20=sat γkN/m 3，土粒比重68.2=s G ，并测得该砂土的最大干重度1.17max =d γkN/m 3，最小干重度4.15min =d γkN/m 3，则天然孔隙比e 为0.68，最大孔隙比=max e 0.74，最小孔隙比=min e 0.57。 11．砂粒粒径范围是0.075~2mm ，砂土是指大于2mm 粒径累计含量不超过全重50%，而大于0.075mm 粒径累计含量超过全重50%。 12．亲水性最强的粘土矿物是蒙脱石，这是因为它的晶体单元由两个硅片中间夹一个铝片组成，晶胞间露出的是多余的负电荷，因而晶胞单元间联接很弱，水分子容易进入晶胞之间，而发生膨胀。 二 问答题 1． 概述土的三相比例指标与土的工程性质的关系？ 答：三相组成的性质，特别是固体颗粒的性质，直接影响土的工程特性。但是，同样一种土，密实时强度高，松散时强度低。对于细粒土，水含量少则硬，水含量多时则软。这说明土的性质不仅决定于三相组成的性质，而且三相之间量的比例关系也是一个很重要的影响因素。
实验报告 课程名称操作系统原理实验名称虚拟页式管理 姓名学号专业班级网络 实验日期成绩指导教师赵安科 （①实验目的②实验原理③主要仪器设备④实验内容与步骤⑤实验数据记录与处理⑥实验结果与分析⑦问题建议） 实验二模拟请求页式存储管理中硬件的地址转换和缺页中断，并用先进先出调度算法（FIFO）处理缺页中断 1．内容：模拟请求页式存储管理中硬件的地址转换和缺页中断处理 2．思想： 装入新页置换旧页时，若旧页在执行中没有被修改过，则不必将该页重写磁盘。因此，页表中增加是否修改过的标志，执行“存”指令和“写”指令时将对应的修改标志置成“1” 3．要求及方法： ①设计一个地址转换程序来模拟硬件的地址转换和缺页中断。当访问的页在主存时则形成绝对地址，但不去模拟指令的执行，可以输出转换后的绝对地址来表示一条指令已执行完成。当访问的页不在主存中时，则输出“*页号”来表示硬件产生了一次缺页中断。模拟地址转换流程见图1。 ②编制一个FIFO页面调度程序；FIFO页面调度算法总是先调出作业中最先进入主存中的哪一页。因此可以用一个数组来表示（或构成）页号队列。数组中每个元素是该作业已在主存中的页面号，假定分配给作业的页架数为m，且该作业开始的m页已装入主存，则数组可由m个元素构成。 P[0]，P[1]，P[2]，…，P[m-1] 它们的初值为P[0]：=0，P[1]：=1，P[2]：=2，…，P[m-1]：=m-1 用一指针K指示当要调入新页时应调出的页在数组中的位置，K的初值为“0”，当产生缺页
中断后，操作系统总是选择P[K]所指出的页面调出，然后执行： P[K]：=要装入的新页页号 K ：=(k+1)mod m 在实验中不必实际地启动磁盘执行调出一页和装入一页的工作，而用输出“OUT 调出的页号”和“IN 要装入的新页页号”来模拟一次调出和装入过程，模拟程序的流程图见附图1。 按流程控制过程如下： 提示：输入指令的页号和页内偏移和是否存指令?? ? 0 1非存指令存指令，若d 为-1则结束，否则进 入流程控制过程，得P 1和d ，查表在主存时，绝对地址=P 1×1024+d ③ 假定主存中页架大小为1024个字节，现有一个共7页的作业，其副本已在磁盘上。系统为该作业分配了4个页架，且该作业的第0页至第3页已装入内存，其余3页未装入主 依次执行上述指令调试你所设计的程序（仅模拟指令的执行，不考虑序列中具体操作的执行）。
行程问题（一） 专题简析： 行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。 例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米 分析与解答从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2=64（千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢因为甲车每小时比乙车多行56-48=8（千米）。64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56+48）×8就能得出。 32×2÷（56－48）=8（小时） （56＋48）×8=832（千米） 答：东、西两地相距832千米。 练习一 》 1，小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米 2，一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米
例2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米 分析与解答快车3小时行驶40×3=120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲、乙两地间路程的一半是120－25=95（千米）。此时，慢车行了95－25－7=63（千米），因此慢车每小时行63÷3=21（千米）。 [ （40×3－25×2－7）÷3=21（千米） 答：慢车每小时行21千米。 练习二 1，兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米 2，汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米。4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地 & 例3 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米 分析与解答二人相遇时，甲比乙多行15×2=30（千米），说明二人已行30÷6=5（小时），上午8时至中午12时是4小时，所以甲的速度是15÷（5－4）=15（千米/小时）。 因此，东西两村的距离是15×（5－1）=60（千米）
例题分析 1土的物理性质和工程分类 1.1 某完全饱和粘性土的含水量为40%ω=，土粒的相对密度s 2.7d =，试按定义求土体的 孔隙比e 和干密度d ρ。 解：设土粒的体积3s 1cm V =，则由下图所示的三相指标换算图可以得到： 土粒的质量 s s w 2.7g m d ρ== 水的质量 w s 0.4 2.7 1.08g m m ω==?= 孔隙的体积 3w v w w 1.08cm m V V ρ=== 孔隙比 v s 1.08 1.081V e V = ==； 干密度 3 s s d v s 2.7 1.3g cm 1 1.08 m m V V V ρ====++. 1.2 试证明下式 () s w 1r n S n ωγγ-= 解：从基本指标的基本定义出发，w s m m ω= ，s s w s m V γγ=，v V n V =,将这些基本指标的定义式代入到上面等式的右边，可以得到：()w s v s s s w w r v w w v v w (1) 1m m V g n m V V m V S V n V V V ωγγργ???--====? 1.3 某砂土试样，通过试验测定土粒的相对密度s 2.7d =，含水量9.43%ω=，天然密度 31.66g cm ρ=，已知砂样处于最密实状态时干密度3dmax 1.62g cm ρ=，处于最疏松状态时干 密度3 dmin 1.45g cm ρ=。试求此砂样的相对密实度r D ，并判断砂土所处的密实状态。 解：设土粒的体积3s 1cm V =，则通过三相图可以计算 土粒的质量：s s w 2.7g m d ρ==；水的质量：w s 0.0943 2.70.255g m m ω==?=； 土样的质量：s w 2.955g m m m =+= ； 天然状态下砂样体积：32.955 1.78cm 1.66 m V ρ= = =； 天然状态下砂样的孔隙比：v s s s 0.78 0.781 V V V e V V -====
1.什么是土的颗粒级配？什么是土的颗粒级配曲线？ 土粒的大小及其组成情况，通常以土中各个粒组的相对含量（各粒组占土粒总量的百分数）来表示，称为土的颗粒级配（粒度成分）。根据颗分试验成果绘制的曲线（采用对数坐标表示，横坐标为粒径，纵坐标为小于（或大于）某粒径的土重（累计百分）含量）称为颗粒级配曲线，它的坡度可以大致判断土的均匀程度或级配是否良好。 2.土中水按性质可以分为哪几类？ 3. 土是怎样生成的？有何工程特点？ 土是连续、坚固的岩石在风化作用下形成的大小悬殊的颗粒，经过不同的搬运方式，在各种自然环境中生成的沉积物。与一般建筑材料相比，土具有三个重要特点：散粒性、多相性、自然变异性。 4. 什么是土的结构？其基本类型是什么？简述每种结构土体的特点。 土的结构是指由土粒单元大小、矿物成分、形状、相互排列及其关联关系，土中水的性质及孔隙特征等因素形成的综合特征。基本类型一般分为单粒结构、蜂窝结（粒径0.075~0. 005mm）、絮状结构（粒径<0.005mm）。 单粒结构：土的粒径较大，彼此之间无连结力或只有微弱的连结力，土粒呈棱角状、表面粗糙。 蜂窝结构：土的粒径较小、颗粒间的连接力强，吸引力大于其重力，土粒停留在最初的接触位置上不再下沉。 絮状结构：土粒较长时间在水中悬浮，单靠自身中重力不能下沉，而是由胶体颗粒结成棉絮状，以粒团的形式集体下沉。 5. 什么是土的构造？其主要特征是什么？ 土的宏观结构，常称之为土的构造。是同一土层中的物质成分和颗粒大小等都相近的各部分之间的相互关系的特征。其主要特征是层理性、裂隙性及大孔隙等宏观特征。 6. 试述强、弱结合水对土性的影响 强结合水影响土的粘滞度、弹性和抗剪强度，弱结合水影响土的可塑性。 7. 试述毛细水的性质和对工程的影响。在那些土中毛细现象最显著？ 毛细水是存在于地下水位以上，受到水与空气交界面处表面张力作用的自由水。土中自由水从地下水位通过土的细小通道逐渐上升。它不仅受重力作用而且还受到表面张力的支配。毛细水的上升对建筑物地下部分的防潮措施和地基特的浸湿及冻胀等有重要影响；在干旱地区，地下水中的可溶盐随毛细水上升后不断蒸发，盐分积聚于靠近地表处而形成盐渍土。在粉土和砂土中毛细现象最显著。
第十讲：行程问题分类例析 主讲：何老师 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流， 回时则为逆流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设 甲车共 行使了 xh ，则乙车行使了h x )(60 25-.（如图1） 依题意，有72x+48)(60 25-x =360+100,
解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意，有6425 57525575.=-++x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2.
第一章土的组成 一、简答题 1.什么是土的颗粒级配？什么是土的颗粒级配曲线？ 1.【答】土粒的大小及其组成情况，通常以土中各个粒组的相对含量（各粒组占土粒总量的百分数）来表示，称为土的颗粒级配（粒度成分）。根据颗分试验成果绘制的曲线（采用对数坐标表示，横坐标为粒径，纵坐标为小于（或大于）某粒径的土重（累计百分）含量）称为颗粒级配曲线，它的坡度可以大致判断土的均匀程度或级配是否良好。 2.土中水按性质可以分为哪几类？ 2. 【答】 5. 不均匀系数Cu、曲率系数Cc 的表达式为Cu＝d60 / d10、Cc＝d230 / (d60×d10)。 7. 土是岩石分化的产物，是各种矿物颗粒的集合体。土与其它连续固体介质相区别的最主要特征就是它的散粒性和多相性。 三、选择题 1．在毛细带围，土颗粒会受到一个附加应力。这种附加应力性质主要表现为( C ) (A)浮力； (B)力； (C)压力。 2．对粘性土性质影响最大的是土中的(C )。 (A)强结合水； (B)弱结合水； (C)自由水； (D)毛细水。 第二章土的物理性质及分类 一、简答题 3.什么是塑限、液限和缩限？什么是液性指数、塑性指数？ 3. 【答】（1）液限L：液限定义为流动状态与塑性状态之间的界限含水量。（2）塑限p: 塑限定义为土样从塑性进入半坚硬状态的界限含水量。（3）缩限s: 缩限是土样从半坚硬进入坚硬状态的界限 含水量。（4）塑性指数I P 定义为土样的液限和塑限之差：I P= w L－w P（5）液性指数： 9. 简述用孔隙比e、相对密实度D r判别砂土密实度的优缺点。9. 【答】 （1）用e判断砂土的密实度的优点：应用方便，同一种土，密实砂土的空隙比一定比松散砂土的小；缺点：无法反映土的粒径级配因素。
第1章土的物理性质与工程分类 一.填空题 1.颗粒级配曲线越平缓，不均匀系数越大，颗粒级配越好。为获得较大密实度，应选择级配良好的土料作 为填方或砂垫层的土料。 2.粘粒含量越多，颗粒粒径越小，比表面积越大，亲水性越强，可吸附弱结合水的含量越多，粘土的塑性 指标越大 3.塑性指标I P r W L -W P ,它表明粘性土处于可塑状态时含水量的变化范围，它综合反 映了粘性、可塑性等因素。因此《规范》规定：10 ::： I P _17为粉质粘土，I P 17为粘土。 4.对无粘性土，工程性质影响最大的是土的密实度，工程上用指标e、D r来衡量。 5.在粘性土的物理指标中，对粘性土的性质影响较大的指标是塑性指数I P 6.决定无粘性土工程性质的好坏是无粘性土的相对密度，它是用指标D r来衡量。 W-W P 7.粘性土的液性指标I L ，它的正负、大小表征了粘性土的软硬状态，《规范》 W L-W p 按I L将粘性土的状态划分为坚硬、硬塑、可塑、软塑、流塑。 &岩石按风化程度划分为微风化、中等风化、强风化。 9.岩石按坚固程度划分为硬质岩石，包括花岗岩、石灰岩等；软质岩石，包括页岩、泥岩 10.某砂层天然饱和重度sat =20kN∕m3,土粒比重G^ 2.68 ,并测得该砂土的最大干重 度dmax =17.1kN∕m3，最小干重度dmin =15.4 kN/m3,则天然孔隙比e为0.68，最大孔隙比e f maχ =0.74,最小孔隙比e min =0.57。 11.砂粒粒径范围是0.075~2mm，砂土是指大于2mm粒径累计含量不超过全重50%，而大 于0.075mm粒径累计含量超过全重50%。 12.亲水性最强的粘土矿物是蒙脱石，这是因为它的晶体单元由两个硅片中间夹一个铝片组成，晶胞间露出的是多余的负电荷，因而晶胞单元间联接很弱，水分子容易进入晶胞之间，而发生膨胀。 二问答题 1.概述土的三相比例指标与土的工程性质的关系？ 答：三相组成的性质，特别是固体颗粒的性质，直接影响土的工程特性。但是，同样一种土， 密实时强度高，松散时强度低。对于细粒土，水含量少则硬，水含量多时则软。这说明土的性质不仅决定于
行程问题（一） 【知识分析】 相遇是行程问题的基本类型，在相遇问题中可以这样求全程：速度和×时间=路程，今天，我们学校这类问题。 【例题解读】 例1客车和货车同时分别从两地相向而行，货车每小时行85千米，客车每小时行90千米，两车相遇时距全程中点8千米， 两地相距多少千米？ 【分析】根据题意，两车相遇时货车行了全程的一半-8千米，客车行了全程的一半+8千米，也就是说客车比货车多行了8×2=16千米，客车每小时比货车多行90-85=5千米。那么我们先求客车和货车两车经过多少小时在途中相遇，然后再求出总路程。 （1）两车经过几小时相遇？8×2÷（90-85）=3.2小时 （2）两地相距多少千米？（90+85）×3.2=560（千米） 例2小明和小丽两个分别从两地同时相向而行，8小时可以相遇，如果两人每小时多少行1.5千米，那么10小时相遇，两地 相距多少千米？ 【分析】两人每小时多少行1.5千米，那么10小时相遇，如果以这样的速度行8小时，这时两个人要比原来少行1.5×2×8=24（千米）这24千米两人还需行10-8=2（小时），那么减速后的速度和是24÷2=12（千米）容易求出两地的距离 1.5×2×8÷（10-8）×=120千米 【经典题型练习】
1、客车和货车分别从两地同时相向而行，2.5小时相遇，如果两车 每小时都比原来多行10千米，则2小时就相遇，求两地的距离？ 2、在一圆形的跑道上，甲从a点，乙从b点同时反方向而行，8 分钟后两人相遇，再过6分钟甲到b点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环形一周需多少分钟？
【知识分析】 两车从两地同时出发相向而行，第一次相遇合起来走一个全程，第二次相遇走了几个全程呢？今天，我们学习这类问题 【例题解读】 例 a、b两车同时从甲乙两地相对开出，第一次在离甲地95千米处相遇，相遇后两车继续以原速行驶，分别到达对方站点后立即返回，在离乙地55千米处第二次相遇，求甲乙两地之间的距离是多少千米？ 【分析】a、b两车从出发到第一次相遇合走了一个全程，当两年合走了一个全程时，a车行了95千米 从出发到第二次相遇，两车一共行了三个全程，a车应该行了95×3=285（千米）通过观察，可以知道a车行了一个全程还多55千米，用285千米减去55千米就是甲乙两地相距的距离 95×3—55=230千米 【经典题型练习】 1、甲乙两车同时从ab两地相对开出，第一次在离a地75千米相 遇，相遇后两辆车继续前进，到达目的地后立即返回，第二次相遇在离b地45千米处，求a、b两地的距离 2、客车和货车同时从甲、乙两站相对开出，第一次相遇在距乙站 80千米的地方，相遇后两车仍以原速前进，在到达对方站点后立即沿原路返回，两车又在距乙站82千米处第二次相遇，甲乙两站相距多少千米？
土力学习题与答案三 一、判断题。（60题） 1、黄土在干燥状态下，有较高的强度和较小的压缩性，但在遇水后，土的结构迅速破坏发生显著的沉降，产生严重湿陷，此性质称为黄土的湿陷性。（√） 2、经试验得知液塑限联合测定法圆锥仪入土深度为17mm，则土样的含水率等于其液限。（√） 3、土的饱和度只与含水率有关。（×） 4、土的密实度越大，土的渗透性越小。（√） 5、一土样颗粒分析的结果d10=0.16mm,d60=0.58mm，它的不均匀系数Cu=3.63。（√） 6、根据颗粒分析试验结果，在单对数坐标上绘制土的颗粒级配曲线，图中纵坐标表示小于（或大于）某粒径的土占总质量的百分数，横坐标表示土的粒径。（√） 7、黄土都具有湿陷性。（×） 8、经试验得知液塑限联合测定法圆锥仪入土深度为2mm，则土样的含水率等于其液限。( × ) 9、土的含水率直接影响其饱和度的大小。（√） 10、土的孔隙比越大，土的渗透性越大。（×） 11、常用颗粒分析试验方法确定各粒组的相对含量，常用的试验方法有筛分法和密度计法、比重瓶法。（×） 12、湖积土主要由卵石和碎石组成。（×） 13、土层在各个方向上的渗透系数都一样。( × ) 14、土的物理指标中只要知道了三个指标，其它的指标都可以利用公式进行计算。（√） 15、粘性土的界限含水率可通过试验测定。（√） 16、一土样颗粒分析的结果d10=0.19mm,它的不均匀系数Cu=3.52，d60=0.76mm。（×） 17、土的饱和度为0，说明该土中的孔隙完全被气体充满。（√） 18、岩石经风化作用而残留在原地未经搬运的碎屑堆积物为坡积土。（×） 19、一般情况下土层在竖直方向的渗透系数比水平方向小。（√） 20、粘性土的塑性指数可通过试验测定。( × ) 21、一土样颗粒分析的结果d10=0.17mm,d60=0.65mm，它的不均匀系数Cu=3.82。（√） 22、残积土一般不具层理，其成分与母岩有关。（√） 23、两个土样的含水率相同，说明它们的饱和度也相同。（×） 24、同一种土中，土中水的温度越高，相应的渗透系数越小。( × ) 25、粘性土的塑性指数与天然含水率无关。（√） 26、土的含水率的定义是水的体积与土体总体积之比。（×） 27、土中水的温度变化对土的渗透系数无影响。( × ) 28、岩石是热的不良导体，在温度的变化下，表层与内部受热不均，产生膨胀与收缩，长期作用结果使岩石发生崩解破碎。（√） 29、岩石在风化以及风化产物搬运.沉积过程中，常有动植物残骸及其分解物质参与沉积，成为土中的次生矿物。（×） 30、粘性土的液性指数可通过试验测定。( × ) 31、曲率系数在1～3之间，颗粒级配良好。（×） 32、渗透力是指渗流作用在土颗粒上单位体积的作用力。（√）
页式虚拟存储管理中地址转换和缺页中断 一．实验目的 （1）深入了解存储管理如何实现地址转换。 （2）进一步认识页式虚拟存储管理中如何处理缺页中断。 二．实验内容 编写程序完成页式虚拟存储管理中地址转换过程和模拟缺页中断的处理。 三．实验原理 页式存储管理把内存分割成大小相等位置固定的若干区域，叫内存页面，内存的分配以“页”为单位，一个程序可以占用不连续的页面，逻辑页面的大小和内存页面的大小相同，内外存的交换也以页为单位进行，页面交换时，先查询快表，若快表中找不到所需页面再去查询页表，若页表中仍未找到说明发生了缺页中断，需先将所需页面调入内存再进行存取。 四．实验部分源程序 #define size 1024//定义块的大小，本次模拟设为1024个字节。 #include "stdio.h" #include "string.h" #include
8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此 圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次 相遇.求此圆形场地的周长． 【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32 圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路 程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为 32 圈，所以此圆形场地的周长为480米． 行程问题分类例析 欧阳庆红 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上 分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离 和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追 及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25 分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续 行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程.
解答：设甲车共行使了xh，则乙车行使了h x) ( 60 25 -.（如图1） 依题意，有72x+48) ( 60 25 - x=360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm就应返回. 依题意，有6 4 25 575 25 575 . = - + + x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km就应返回. 解法二:设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km就应返回. 说明:飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有6 4 575 2 . = x ,解得x=1322.5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是) / (h km v v v v v x v x x 574 550 600 550 600 2 2 2 ≈ + ? ? = + ? = +逆 顺 逆 顺 逆 顺 例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km，甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h. (1)如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇? (2)如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇? 分析:这是环形跑道的行程问题. 解答:(1)设经过xh两人首次相遇. 依题意,得(21+14)x=42, 解得:x=1.2. 因此,经过1.2小时两人首次相遇. (3)设经过xh两人第二次相遇. 依题意,得21x-14x=42×2, 图1
模拟题一 一、名词解释（20分） 不均匀系数库仑定律前期固结压力平均固结度地基容许承载力 二、填空（20分） 1．土中的矿物类型有，其中等矿物在粘性土中最为常见。 2．土孔隙中水的类型有。 3．土的压缩性指标有等。 4．根据超固结比，将土可分为 三种固结状态。 5．三轴剪切试验根据排水条件，可分为 三种试验方法。 6．饱和粘性土在局部荷载作用下，其沉降可认为是由机理不同的 三部分组成。 7．竖直荷载下地基的破坏形式为。 三、简述题（20分） 1．侧限渗压模型有效应力与孔隙水压力随时间的转换过程（6分）。 2．产生主动土压力和被动土压力的条件（6分）。 3．粘性土坡稳定性分析中条分法的基本原理（8分）。
四、计算（40分） 1．均布竖直荷载p作用于图中的阴影部分，用角点法写出A 点以下某深度处σ z的表达式 （8分）。 2．某地基砂层下，有一粘土层厚6m，其下为不透水的基岩，地面施加大面 积（无限均布）荷载。已知室内试验取得该粘土层初始孔隙比e 1 =0.815，在与大面积荷载相等的压力下压缩稳定后的孔隙比为e2=0.795，固结系 数C v =4.6×10-3cm2/s，当固结度U t =60%时，时间因数T v =0.287。试预估 粘土层的最终沉降量和固结度达60%所需的时间（10分）。 3．已知某土样的抗剪强度参数c=50kPa,φ=20°,承受三向应力σ 1 =450kPa， σ 3 =200kPa的作用（10分）。 （1）绘制应力园与抗剪强度曲线； （2）判断该土样是否产生破坏。 4．已知某粘性土样的土粒密度ρ S =2.70g/cm3，天然密度ρ=2.00g/cm3，含 水量ω=30%，液限ω L =40%，塑限ω P =20%（12分）。 （1）求：干密度，孔隙度，孔隙比，饱和度； （2）求液性指数和塑性指数，判断土样的稠度状态，按《岩土工程勘察规范》中的分类法给该土样定名。 模拟题二 一、名词解释（24分） 粒度成分压缩定律渗透固结 角点法主动土压力临塑荷载 二、填空（16分）
《土力学》第二章习题集及详细解答 第2章土的物理性质及分类 一填空题 1.粘性土中含水量不同，可分别处于、、、、四种不同的状态。其界限含水量依次是、、。 2.对砂土密实度的判别一般采用以下三种方法、、。 3.土的天然密度、土粒相对密度、含水量由室内试验直接测定，其测定方法分别是、、。 4. 粘性土的不同状态的分界含水量液限、塑限、缩限分别用、、测定。 5. 土的触变性是指。 6.土的灵敏度越高，其结构性越强，受扰动后土的强度降低越。 7. 作为建筑地基的土，可分为岩石、碎石土砂土、、粘性土和人工填土。 8.碎石土是指粒径大于mm的颗粒超过总重量50%的土。 9.土的饱和度为土中被水充满的孔隙与孔隙之比。 10. 液性指数是用来衡量粘性土的状态。 二、选择题 1．作为填土工程的土料，压实效果与不均匀系数C u的关系：( ) （A）C u大比C u小好(B) C u小比C u大好(C) C u与压实效果无关 2.有三个同一种类土样，它们的含水率都相同，但是饱和度S r不同，饱和度S r越大的土，其压缩性有何变化？( ) (A)压缩性越大(B) 压缩性越小(C) 压缩性不变 3.有一非饱和土样，在荷载作用下，饱和度由80%增加至95%。试问土样的重度γ和含水率怎样改变？( ) (A)γ增加，减小(B) γ不变，不变(C)γ增加，增加 4.土的液限是指土进入流动状态时的含水率，下述说法哪种是对的？( ) (A)天然土的含水率最大不超过液限 (B) 液限一定是天然土的饱和含水率 (C)天然土的含水率可以超过液限，所以液限不一定是天然土的饱和含水率 5. 已知砂土的天然孔隙比为e＝0.303，最大孔隙比e max＝0.762，最小孔隙比e min＝0.114，则该砂土处于( )状态。 （A）密实（B）中密 (C)松散（D）稍密 6．已知某种土的密度ρ＝1.8g/cm3，土粒相对密度ds＝2.70，土的含水量w＝18.0％，则每立方土体中气相体积为( ) (A)0.486m3 (B)0.77m3(C)0.16m3(D)0.284m3 7.在土的三相比例指标中，直接通过室内试验测定的是（）。 (A)d s，w,e； (B) d s，w, ρ； (C) d s，e, ρ； (D) ρ，w, e。
实验二模拟请求页式存储管理中硬件的地址转换和缺页中断，并用先进先出调度算法（FIFO）处理缺页中断 1．内容：模拟请求页式存储管理中硬件的地址转换和缺页中断处理 2．思想： 装入新页置换旧页时，若旧页在执行中没有被修改过，则不必将该页重写磁盘。因此，页表中增加是否修改过的标志，执行“存”指令和“写”指令时将对应的修改标志置成“1” 3．要求及方法： ①设计一个地址转换程序来模拟硬件的地址转换和缺页中断。当访问的页在主存时则形成绝对地址，但不去模拟指令的执行，可以输出转换后的绝对地址来表示一条指令已执行完成。当访问的页不在主存中时，则输出“*页号”来表示硬件产生了一次缺页中断。模拟地址转换流程见图1。 ②编制一个FIFO页面调度程序；FIFO页面调度算法总是先调出作业中最先进入主存中的哪一页。因此可以用一个数组来表示（或构成）页号队列。数组中每个元素是该作业已在主存中的页面号，假定分配给作业的页架数为m，且该作业开始的m页已装入主存，则数组可由m个元素构成。 P[0]，P[1]，P[2]，…，P[m-1] 它们的初值为P[0]：=0，P[1]：=1，P[2]：=2，…，P[m-1]：=m-1 用一指针K指示当要调入新页时应调出的页在数组中的位置，K的初值为“0”，当产生缺页中断后，操作系统总是选择P[K]所指出的页面调出，然后执行： P[K]：=要装入的新页页号 K：=(k+1)mod m 在实验中不必实际地启动磁盘执行调出一页和装入一页的工作，而用输出“OUT调出的页号”和“IN要装入的新页页号”来模拟一次调出和装入过程，模拟程序的流程图见附图1。 按流程控制过程如下：
路程＝速度×时间； 路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间 关键问题 确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间= 速度和 相遇问题（直线） 甲的路程+乙的路程=总路程 相遇问题（环形） 甲的路程 +乙的路程=环形周长 追及问题 追及时间＝路程差÷速度差 速度差＝路程差÷追及时间 路程差＝追及时间×速度差 追及问题（直线） 距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间 追及问题（环形） 快的路程-慢的路程=曲线的周长 流水问题 顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间 顺水速度=船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速：（顺水速度－逆水速度）÷2 解题关键 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速=顺水速度-船速， 船速=顺水速度-水速。 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。 例：设后面一人速度为x，前面得为y，开始距离为s，经时间t后相差a米。那么 （x-y)t=s-a 解得t=s-a/x-y. 追及路程除以速度差（快速-慢速）=追及时间 v1t+s=v2t (v1+v2)t=s t=s/(v1+v2) （一）相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。 它们的基本关系式如下： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度 （二）追及问题 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，罕用下面的公式： 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间