数理学院
JINGGANGSHAN UNIVERSITY
毕业论文(设计)
等价无穷小量在求极限上的应用姓名
单位地址井冈山大学
邮政编码
专业数学与应用数学
系(院)数理学院
指导教师
摘要–––––––––––––––––––––––––––––1引言–––––––––––––––––––––––––––––2
一、无穷小量–––––––––––––––––––––––––3
1.1无穷小量的定义––––––––––––––––––––––3 1.2 等价无穷小量的一些基本性质––––––––––––––––––3
1.3无穷小量阶的比较及等价无穷小量的定义––––––––––––––3
二、等价无穷小量–––––––––––––––––––––––4
2.1等价无穷小量的重要性质––––––––––––––––––––4
2.2一些常用的等价无穷小量––––––––––––––––––––4
三、极限问题的解法––––––––––––––––––––––5
3.1可以直接求极限的问题–––––––––––––––––––––5 3.2 用两个重要极限求极限–––––––––––––––––––––5 3.3用洛必达法则求极限––––––––––––––––––––––6 3.4用等价无穷小量求极限–––––––––––––––––––––7 3.5等价无穷小代换的局限性––––––––––––––––––––8 3.6阶数的求法–––––––––––––––––––––––––9
3.7利用泰勒公式求函数极限––––––––––––––––––––9
四、等价无穷小替换的优势–––––––––––––––––––11
五、方法总结–––––––––––––––––––––––––12参考文献–––––––––––––––––––––––––––13英文摘要–––––––––––––––––––––––––––14
无穷小量从提出到正式的定义经过了一番曲折,还引发了一次数学危机,等价无穷小量的提出,在微积分领域可以说具有划时代的意义,它为解决正项级数与极限等类型的问题带来了很大的方便,特别是在极限问题上。这里我们只重点讨论它在求极限方面的应用以及优势,等价无穷小代换是一种应用很广泛的求极限方法,但是要注意遵守无穷小量的替换法则,才能使得计算简化而又不出错,当然本文会具体去讨论应用中要注意的事项。正确使用等价无穷小量能解决洛必达法则所不能解决的问题。在求极限问题中,方法有很多,比如利用两个重要的极限求极限,利用洛必达法则还有等价无穷小替换以及泰勒公式等方法求极限,这些方法都有它的优越性,但是我们总想要去寻求一种最简单便捷的方法得到结果,其中等价无穷小替换有着不可替代的地位,以及优越的简化计算的作用。
【关键词】等价无穷小量;洛必达法则;两个重要的极限;泰勒公式;优越性。
【ABSTRACT】
Dimensionless from put forward to some twists and turns after the formal definition, triggered a crisis of mathematics, equivalent infinite small forward, can say is of epoch-making significance in the field of calculus, which in order to solve the problems of the positive series and limit type has brought great convenience, especially on the limit problem. Here we only focus on it in the limit as well as the advantages of application of equivalent infinitesimal substitution is an application of a wide range of limit method, but should pay attention to abide by the dimensionless replacement rule, to make the calculation is simplified without error, in this paper is to discuss the application of course should pay attention to matters. The correct use of equivalent infinite small can solve l 'hospital's rule can't solve the problem. In limit problem, there are many ways, such as the use of two important limits of limit, the use of l 'hospital's rule and equivalent infinitesimal substitution limit and Taylor formula method, these methods has its superiority, but we always want to seek one of the most simple and convenient method to get the results, has an irreplaceable position of equivalent infinitesimal replacement, and is advantageous to simplify the calculation of the role.
【Keywords】:Equivalent infinite small; L 'hospital's rule; Two important limits; Taylor formula; Superiority.
引言
一、无穷小量
1.1无穷小量的定义
设f 在某空心邻域)
(00
U x 内有定义.若0)(lim 0
=→x f x x ,则称?为当0x x →时的无穷小量。 1.2无穷小量的一些基本性质
根据无穷小量的定义,可以类似地定义当+
→0x x ,-
→0x x ,+∞→x ,以及
∞→x 时的无穷小量与有界量。
这里我们很容易判断,如函数x cos -1,2x ,x sin ,均为当0→x 时的无穷小量。
在这里我总结了一些无穷小量的性质:
(1)无穷小量是一个变量。在变化过程中以零为极限.
如函数1
x ,当∞→x 时的无穷小量,但当1→x 时不是无穷小量。
(2) 绝对值非常小的数并不就是无穷小量;无穷小量是无限趋近于0 而又不等于0的量。
(3)在一次运算过程中,有限个无穷小量的和、差、积还是无穷小。 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小。
例如,∞→n 时n
1
是无穷小,但n 个n 1
之和为1,不是无穷小。
(4)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量。
如:01)1(lim =-∞→n n n ,01
sin lim 0=→x x x ,0
sin 1lim =∞→x x x
1.3无穷小量阶的比较及等价无穷小量的定义 1)若0)
()
(lim
=→x g x f x x ,则称当0x x →时,)(x f 是)(x g 高阶无穷小,或称)(x g 为)(x f 的低阶无穷小,记作)(x f =))((x g ο (0x x →).
特别,f 为当x →0x 时的无穷小量记作 )(x f =)1(ο (0x x →). 2)若存在正数K 和L,使得在某)(00x U 上有L x g x f K ≤≤)
()
(,则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量.特别当)0()
()
(lim 0
≠=→c c x g x f x x 时,则称)(x f 与)(x g 必为当0x x →同阶无穷小。 3) 若1)
()
(lim
=→x g x f x x ,则称)(x f 与)(x g 是当0x x →时的等价无穷小量.记为)(x f ~)(x g . 注:当x →0 时,x x 1
sin 2与3x 虽然都是无穷小量,却不能进行阶的比较,所以在进行
阶的比较时还要注意有没有意义。
二、等价无穷小量
2.1等价无穷小量的重要性质
设a ,'α,β,'β,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小。 性质一:若a ~'α,β~'β, 且'
'
lim
βα存在,则
2.2一些常用的等价无穷小量: (当0→x 时)
(1)x cos 1-~2
2x ; (2)x tan ~x ; (3)x arcsin ~x ;
(4)x arctan ~x ; (5)x sin ~x ; (6)1-x e ~x ; (7))1ln(x +~x ; (8)1)1(-+n x ~nx .
三、极限问题的解法
3.1 可以直接求极限的问题
3.1.1 直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去,若()0x f 存在,即为其极限。
例1 21
5
23123lim
32451=++++-→x x x x x x 若()0x f 不存在,可以代入进去,看分子分母的值判断属于哪一类型,再做打算。
例如:
24
lim 22--→x x x 就不能直接代入,但可以知道这是一个00型的不定式,我们可以用以下的方法来求解。
3.1.2 (因式分解):
例2 ()42lim 24
lim
222=+=--→→x x x x x 。 3.1.3 (分子(分母)有理化): 例3
()()()()011lim
111lim 1
1lim
1lim 2
2
2
2
2
2
=++=++++-+=-+=-++∞
→+∞→+∞
→+∞
→x
x x
x x
x
x
x
x
x
x x x x x x
3.2用两个重要极限求极限
在高等数学里, 有两个极限是很重要的,在求极限上很有用。这里我们只写出结论来,证明省略:
(1) e x x x =+→)11(lim 0 (2)1sin lim
0=→x
x
x 很多时候我们都会用到这两个重要的极限去快速的解决一些特殊的极限问题,列举两个例题:
例4 求
x
x 7sin lim 0→
31
-=
2sin 22tan lim 22sin 22tan lim 2)2cos 1(2tan lim 22sin 2tan lim 2
03203030=???
???=?=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x 如果改用等价无穷小替换: 3022sin 2tan lim x x x x -→0222lim 30=-=→x
x
x x 明显这是一个错误的结论。
同样的第(2)题也利用重要极限和运算法则直接求: 033sin 1lim 333sin lim
00=??
?
??-=-→→x x x x x x x 改用等价无穷小计算: x x x x 333sin lim
0-→0333=-=x
x
x 结果与上式相同.
可是为什么会这样呢?有的可以作等价替换,而有的题目作替换后就出错? 【注意】两个函数相减时就不能随便用等价无穷小替换了。
那么怎么判断两个函数相减时用等价无穷小替换到底是不是合适的呢? 其实我们只要搞清楚等价无穷小代换的实质,原因就出在它的余项上。 第(1)题若用等价无穷小,实际上应当为
3022sin 2tan lim
x x x x -→30302)
(lim 2))(2()(2lim x
x x x x x x x x οοο→→=+-+= 因为分子是x 的高阶无穷小,而不是3x 的高阶无穷小,所以3
2)
(lim x x x ο→不一定等于零。
第(2)题中
x x x x 333sin lim
0-→0)
(lim 3))(3()(3lim 00==+-+=→→x
x x x x x x x x οοο.
【注】无穷小量的的和,差,积还是无穷小量。
这里分子是x 的高阶无穷小,那么分子与x 的比值的极限为零。
也就是余项的阶数一定要统一,在余项的阶数不同的情况下,就不可随便等价代换。 以上结果说明在错用等价无穷小量时,一般是阶数的判断上出现错误,那么阶数应该怎么求呢?请看下面的例题 3.6阶数的求法
例11 .2sin 2tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→
解302sin 2tan lim x x x x -→Θ4)2cos 122tan (lim 20=-?=→x x
x x x 的三阶无穷小。是关于x x x 2sin 2tan -∴
例12 .tan ,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →
证:430tan lim
x x x x →1)tan (lim 3
0==→x x x
所以,当的四阶无穷小是关于时x x x x 3tan ,0→。也就是,只要使得两个作比较的无穷小量的极限的是常数,此时,与之作比较的变量x 的幂就是阶数。
如果作比较的无穷小量阶数不同,即等价无穷小替换出现条件限制,而使用洛必达
也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式。下面我们将用到这两个公式, 让我们将例10稍作修改,以便计算 第(1)题求3022sin 2tan lim x
x
x x -→改为 求3
0tan sin lim
x x x
x →-
同样,是在0x →时,将x x sin tan -与3x 作比较,所以将x tan 和x sin 都要展开到3x 项,有如下展开式:
33
1tan ()3x x x o x =++, 33sin ()3!
x x x o x =-+
则 30tan sin lim x x x x →-333
33333
0011()[()]()
33!2lim lim x x x x x o x x o x x o x x x →→++--+== 3301()1
lim 22x o x x →??=+= ???
第(2)题求x
x
x x 333sin lim
0-→
这里是在0x →时,将x x 33sin -与x 3作比较,所以只需将x 3sin 展开到x ,就可以了。有如下展开式:
)(33sin x x x ο+= 所以,x x x x 333sin lim
0-→0)
(lim 33)(3lim 00==-+=→→x
x x x x x x x οο.
这里我们先初步了解用泰勒公式的基本步骤,可以看到对于这些简单的极限用泰勒公式也很容易算出结果。下面我们再看个复杂一点的:
例14 求x
x 5sin lim
0→
解 首先,我们用两个重要极限解答: 因为 1)
51ln(lim 51
=+→x
x x ,155sin lim
0=→x
x
x
所以有
x
x x 5sin )51ln(lim 0+→=155sin )51ln(lim 55sin 5)51ln(lim 51
00=+=+→→x
x x x x x x x x x 然后,再用洛必达法则解题:
原式=x
x x 5sin )51ln(lim 0+→=1)51(5cos 1
lim
5cos 5515
lim 00=+=+→→x x x x x x 我们看一下等价无穷小替换:
由于)51ln(x +等价于x 5,x 5sin 等价于x 5,则由等价无穷小替换有: x x x 5sin )51ln(lim 0+→155lim 0==→x
x
x
从这个例子中我们看到,求解函数极限的方法有很多种,以上我们基本上都罗列出了这些主要解题方法。我们解题当然是得出正确的结果最重要,运用泰勒公式虽然基本上可以解决一些“难啃的骨头”,但是过程与其他的方法一样,往往显得很繁琐,这是我们不想看到的。正是出于这种考虑,我们发现恰当地利用无穷小替换能够快速、准确地求解一些函数极限。
五、方法总结
这么多求极限的方法,在运用这些方法的时候要注意什么呢?作个总结,如下: (1)能直接简单计算出来的就直接计算。
(2)若不能直接计算出来,检查是否满足
—
或
∞
∞
—
型不定式,再用洛必达法则,若
条件符合洛必达法则,就可连续多次使用,直到求出极限为止。不符合条件,不可随便用。
(3)如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合。比如用等价无穷小量替换等等.
(4)等价无穷小替换在使用的过程中也要注意两个函数相减时不能滥用等价无穷小替换,要想用就必须注意余项的情况,进而确定能否用,不能用的时候,可考虑用泰勒公式。
(5)一般情况下,都不会单一地去使用某个方法,而是几种变换相结合,达到最优的解题效果,这就要求熟练地掌握这些方法的运用。
极限计算是《数学分析》中的一个重要内容。求极限的方法有很多,洛必达法则、泰勒公式、等价无穷小替换都是常用的方法。纵观这些方法,等价无穷小代换是比较理想的,它具有简洁、快速、便于计算、在掌握限制条件的情况下不易出错等众多优势。当然没有单一的万能公式可以解决所有的问题,任何方法都有缺陷,我们只是挑选相对来说最简便的。通常这些方法会结合起来一起使用,目的肯定是使解题步骤简化,减少运算错误。其替换的原则是整体代换或对其中的因式进行代换,即在等价无穷小量的代换中,可以分子分母同时进行代换,也可以只对分子(或分母)进行代换。当分子或分母为和(差)的形式时,就不能随便进行等价无穷小量替换了。而应将和式作为一个整体进行代换;当分子或分母为几个因式相乘积时,也可以只对其中某些因式进行等价无穷小量代换。总体来说,只有因式才可以进行等价无穷小量替换,几个函数相加减时就不能随便用等价无穷小替换了。
参考文献
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重印.
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