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2015年重庆一中高2017级高一上期期末考试
数 学 试 题 卷 2015.1
数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.( 本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合{|20}A x x =+=,集合
2
{|40}B x x =-=,则A B =( ) A.{2}- B.{2} C.{2,2}- D.?
2.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21
()f x x x =+
,则(1)f -=（ ）
A.2
B.-2
C.0
D.1
3.已知α是第四象限的角，若
3
cos 5α=，则tan α=（ ） A.34 B.34- C.43 D. 43-
4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于( ) A ．0 B.BE C.AD D.CF
5.函数
()33x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
6.已知函数
()()sin (0,0,0)
2f x A x A ω?πω?=+>><<的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）
A.
()()2sin 23f x x π=+ B. ()()
2sin 3f x x π
=+
C.
()()2sin 26f x x π=+ D ．()()
2sin 6f x x π
=+ 7.下列函数中，既是偶函数，又在区间
()1,2内是增函数的为 （ ）
A.cos y x =
B. ln ||y x =
C.
2x x
e e y --=
D.tan 2y x = 8.设,cos55tan 35,sin 23b c a ?=?==?，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
9. （原创）定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，
3
2
1()()2
x f x -=-，则
5()2f -=
（ ） A.14 B.18
C.12-
D.1
4-
10.（原创）
函数()f x =
的值域是（ ）
A. ???
B. ???
C. ???
D. ???
二.填空题.(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)
11.
5tan 6π=
. 12.（原创）如右下图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段OD 的中点，设,AB a AD b ==，则AM = .（结果用,a b 表示）
13. 1
21
(lg 25lg )1004--÷=
．
14.
()
1t sin an 5010?+?=
.
15.（原创） 设()1g x x =-，已知222()(1),(2)()()()(),(2)()g x g x g x g x f x g x g x g x g x --≤?=?
->?，若关于x 的方
程()f x m =恰有三个互不相等的实根123,,x x x ，则222
123x x x ++的取值范围
是 .
三.解答题.( 本大题共6小题,共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. （原创）（本小题13分）已知2παπ
<<，
3
1tan tan 2αα-
=-.
（Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求3cos()cos()
2
sin()
2παπαπα+---的值.
17.（原创）（本小题13分）平面内给定三个向量(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =．
(Ⅰ)设向量
5788d a b λλ
=
+，且||10d =，求向量d 的坐标；
(Ⅱ) 若()a kc +//(2)b a -，求实数k 的值．
18. (原创)（本小题13分）已知函数
()(0,1)x
f x a a a ≠=>在区间[1,2]-上的最大值是最小值的8倍.
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)当1a >时，解不等式
2
log (22)log (1)a a a x x +<+.
19. （原创）（本小题12分）已知函数()2()4sin(),()cos (0)
3g x x h x x πωωπω=+=+>.
（Ⅰ）当2ω=时，把()y g x =的图像向右平移6π
个单位得到函数()y p x =的图像，求函
数()y p x =的图像的对称中心坐标；
（Ⅱ）设()()()f x g x h x =，若()f x
的图象与直线2y =的相邻两个交点之间的距离为
π，求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间．
20.（原创） （本小题12分）已知函数
2()log (41)x
f x mx =++. (Ⅰ)若()f x 是偶函数，求实数m 的值；
(Ⅱ)当0m >时，关于x 的方程
()
242148(log )2log 41f x x m
++-=
在区间上恰有
两个不同的实数解，求m 的范围.
21.（原创）（本小题13分）已知定义在(,1)
(1,)-∞-+∞的奇函数满足：①(4)1f =；②对
任意2x >均有()0f x >；③对任意1,1x y >>，均有()()(2)f x f y f xy x y +=--+. (Ⅰ)求(2)f 的值；
(Ⅱ)证明：()f x 在(1,)+∞上为增函数； (Ⅲ)是否存在实数k ，使得
()sin 2(4)(sin cos )2
f k k θθθ--++<对任意的[0,]θπ∈恒
成立？若存在，求出k 的范围；若不存在说明理由. 命题人：李长鸿 审题人：王中苏
2015年重庆一中高2017级高一上期期末考试数学参考答案2015.1 一.选择题：1-5：ABDAC:6——10：BBADA
10.
解：
()
f x==
==
=
令1sin
2cos
x m
x
+=
-，则1sin2cos
x m m x
+=-，sin cos21
x m x m
+=-
，)2
n(1
x m
?=
+-
得
)
sin(x?=
+
，由
1
≤
解得
4
3
m
≤≤
，
()
f x=
单增，值域为
?
??
二.填空题.(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)
11.；12.
13
44
a b
+
；13. 20；14.1；
15.
?
?
?.
15.解：
222
2
21122(2),2,0()21211(1),,0x x x x x x x f x x x x x x x x -≤-----≤??==??->-----+>??，绘出简图 若方程()f x m =有三个根，则
1
04m <<，且当0x >时方程可化为20x x m -+-=，易知，231x x +=，23x x m =；当0x ≤时方程可化为220x x m --=
，可解得1x =
记
y
=22222
12312323()212x x x x x x x x m ++=++-=+
-3928m =-+
令t =，则
2312116816y t t =--+
，求得y ?
∈?? 三.解答题.( 本大题共6小题,共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16. 解：(Ⅰ)令tan x α=，则132x x -
=-，22320x x +-=，解得12x =或2x =-，
2
παπ
<<，tan 0α<，故tan 2α=-；
（Ⅱ）3cos()cos()
sin cos 2tan 1211
cos sin()
2παπααααπαα+--+==+=-+=--
17. 解：(Ⅰ) 571510714,,(,3)885888d a b λλλλλλλλ????=
+=+-= ? ?????
2||d λ=
+=1±，(1,3)d =或(1,3)d =--
(Ⅱ) (34,2),2(5,2)a kc k k b a +=++-=-，由题得(34)(5)(2)02k k ?+--?+=，解
得
16
13k =- 18.解：(Ⅰ)当1a >时，
2
1
max min (),()f x a f x a -==，则22
1
8a a a -==，解得2a =；
当01a <<时，
1
2
max min (),()f x a f x a -==，则13
2
8a a a --==，解得
12a =； (Ⅱ) 当1a >时，由前知2a =，不等式
2
log (22)log (1)a a a x x +<+即为222log (42)log (1)
x x +<+
2
24202421230x x x x x x +>>-??????+<+-->??
213x x >-???<->?或得解集为(2,1)(3,)--+∞.
19.
解
：
（
Ⅰ
）
当
2
ω=时
，
2()4sin(2)3g x x π=+2()4sin(2)4sin(2)
6333g x x x ππππ-=-+=+
()4sin(2)3p x x π=+，令23x k π
π+=，得62k x ππ=-+，中心为,0()62k k Z ππ??-+
∈ ???；
（Ⅱ）
2()4sin()(cos )3f x x x πωω=+
-1
4sin ()cos cos 2x x x
ωωω?=-?-+??
2
2sin cos x x x ωωω=
-sin 2cos2)x x ωω=-+
2sin(2)3x πω=--由题意，T π=，2,12ππωω∴==
令
23t x π
=-是x
的增函数，则需2sin y t =是t 的增函数 故
222232k x k πππππ-≤-≤+，522266k x k ππππ-≤≤+，
51212k x k ππ
ππ-≤≤+ 函数()f x 的单增区间是5,()
1212k k k Z ππππ??-+∈????.
20.解：(Ⅰ) 若()f x 是偶函数，则有()()f x f x -=恒成立，即：
22log (41)log (41)x x mx mx -+-=++
于是2222412log (41)log (41)log ()log (41)24x
x x x x mx x -+=+-+=-+=-
即是22mx x =-对x R ∈恒成立，故1m =-
(Ⅱ)当0m >时，2log (41)x
y =+，在R 上单增，y mx =在R 上也单增 所以
2()log (41)x
f x mx =++在R 上单增，且(0)1f = 则
()
242418(log )2log 41
f x x m ++-=可化为
()
242418(log )2log 4(0)
f x f x m ++-= 又
()
f x 单增，得
242418(log )2log 40
x x m ++-=，换底
得
22
22log 48(
)2log 40log 4x x m -+-=
即22242(log )2log 40x x m -+-=，令2log t x =，则3[0,]2t ∈，问题转换化为 242240t t m -+-=在3[0,]2t ∈有两解24224
t t m ?=-++
令2
224y t t =-++，
29312()(0)222y t t =--+≤≤，max 19
()22y y ==， 作出29312()(0)222y t t =--+≤≤与4y m =
的简图知，49
42m ≤<解得819m <≤ 又0m >，故8
1
9m <≤.
21.
解
：
(
Ⅰ
)
由
[][]()()(2)(1)(1)1(1)(1)1f x f y f xy x y f x y y f y x +=--+=-+-+=--+
令1,1m x n y =-=-，则,0m n >，且有(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+对任意,0m n >均成立
令1m n ==即有(2)(2)(2)f f f +=，得(2)0f =；
(Ⅱ)由(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+有(1)(1)(1)f mn f n f m +-+=+，只需1m >就好 设211,1x mn x n =+=+，其中,0,1n m m >>，则21(1)0x x n m -=->，故21x x > 则21()()(1)(1)(1)f x f x f mn f n f m -=+-+=+，1,12m m >+>所以(1)0f m +>，
即
21()()0f x f x ->，21()()f x f x >，()f x 在(1,)+∞单调递增
(Ⅲ)由(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+
令3m n ==，有(4)(4)(10)f f f +=，(10)2f =
令
19,9m n ==
，由1(91)(1)(911)099f f f ?+++==+，故10
()2
9f =-，由奇偶性
10
()29f -
=-
则()2f x <的解集是
10
(,)(1,10)
9
-∞-
于是问题等价于是否存在实数k 使
10sin 2(4)(sin cos )9k k θθθ--++<-
或1sin 2(4)(sin cos )10k k θθθ<--++<对任意的[0,]θπ∈恒成立
令sin cos ,[t t θθ=+∈-，问题等价于
210
(4)19t k t k --+-<-
或2
1(4)110t k t k <--+-<
对[t ∈-恒成立
令2
()(4)1g t t k t k =--+-，则
10
()9g t <-
对[t ∈-恒成立的必要条件是
10(1)9109g g ?-<-????<-??
即12309
1109k k ?-+
?+++
得1391989k k ?+++??
同理1()10g t <<
恒成立的必要条件是1(1)10110g g <-
，即12410
1(1110k k <-
解得
5
72
18k k ?<
5
72k <<；
当572k <<时，2
()(4)1g t t k t k =--+-的对称轴
042k t -=33,42??
∈- ???， （1
）当47k +≤<
时，对称轴
04322k t -?
=
∈??
，在区间[-的右侧 2
()(4)1g t t k t k =--+-
在[-单调递减，1()10g t <<
恒成立1(1)10
110
g g <-
<
故47k +≤<时，1()10g t <<恒成立；
（2）
当542k <<+时，042k t -
=34?∈- ? ，
2
()(4)1g t t k t k =--+-
在[-先减后增
1()10g t <<恒成立还需
min
4()12k g t g -??=> ???，即2
(4)4(4)1142k k k k ----+->
化简为
212240
k k
-+<，2
(6)12
k-<，
即6
k
-<-<，解
得66
k
-<<+
故有
66
5
4
2
k
k
?-<<+
?
?
<<+
??
解得64
k
-<<+
综上所述存
在
()
67
k∈-
，使
()
sin2(4)(sin cos)2
f k k
θθθ
--++<
对任意的[0,]
θπ
∈
恒成立.