2017-2018学年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(文科)
一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数()3的模是()
A.B.C.1 D.2
2.已知集合A={x|(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)=0},集合B=,则集合A∩B真子集的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若直线l:x+y+a=0被圆x2+y2=a截得的弦长为,则a的值为()
A.﹣1 B.C.1 D.2
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若当x<0时,f(x)=﹣log2(﹣2x),则f(32)=()
A.﹣32 B.﹣6 C.6 D.64
5.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则p=()
A.B.1 C.2 D.4
6.已知θ∈(﹣,)且sinθ+cosθ=a,其中a∈(0,1),则tanθ的可能取值是()
A.﹣3 B.3或C. D.﹣3或
7.已知正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示,则该正三棱锥侧面积是()
A.B.C.18 D.
8.等差数列{a n}中,a3+a4+a8=12,则前9项和S9=()
A.18 B.24 C.36 D.48
9.阅读如图所示程序框图,若输出的n=5,则满足条件的整数p共有()
个.
A.8 B.16 C.24 D.32
10.设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则a2+b2的最小值为()
A.B.C. D.
11.设F为双曲线的左焦点,在x轴上F点的右侧有一点A,以FA为直径的
圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M,N,则的值为()
A.B.C.D.
12.关于x的方程2ax=x2﹣2alnx有唯一解,则正实数a的值为()
A.B.1 C.D.2
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上)13.已知等比数列{a n}的公比q=2,其前4项和S4=60,则a2=.
14.已知向量,的夹角为,=(﹣1,1),||=2,则|+2|=.
15.在区间[0,3]上随机地取一个数x,则事件“﹣1≤log(x+)≤1”发生的概率
为.
16.已知球O的半径为1,点A,B,C是球大圆上的任意三点,点P是球面上的任意一点,则三棱锥P﹣ABC的最大体积为.
三.解答题:(本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cosA=,a=2,3sinC=4sinB.
(Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)若等差数列{a n}中a1=a,a2=b.
(ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(ⅱ)设b n=(﹣1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.
18.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2BC,PA⊥平面ABCD,E为线段PA的中点.
(Ⅰ)求证:BE∥平面PCD;
(Ⅱ)若PA=AD=2,求点E到平面PCD的距离.
19.襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛(NEPCS)”,先在本校进行初赛(满分150分),若该校有100名学生参加初赛,并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,计算这100名学生参加初赛成绩的中位数;
(2)该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛,为了了解情况,在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人,求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率.
20.设P为椭圆=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为椭圆的焦点,|PF1|+|PF2|=4,
离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)直线l:y=kx+m(m≠0)经过点(﹣1,0),且与椭圆交于P、Q两点,若直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求直线l的方程.
21.已知函数f(x)=e x sinx,其中x∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当时,f(x)≥kx,求实数k的取值范围.
四.请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于N,过N作圆O的切线交BC于D,OD交圆O于点M.
(Ⅰ)证明:OD∥AC;
(Ⅱ)证明: +1.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系中,过点P(3,1)的直线l的参数方程为(t为参数,
α为l的倾斜角).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C1:ρ=2cosθ,曲线C2:ρ=4cosθ.
(Ⅰ)若直线l与曲线C1有且仅有一个公共点,求直线l的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C1交于不同两点C、D,与C2交于不同两点A、B,这四点从左至右依次为B、D、C、A,求|AC|﹣|BD|的取值范围.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|ax+1|,a∈R.
(Ⅰ)若?x∈R,f(x)+f(x﹣2)≥1恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若f()+f()+f()=4,求f()+f()+f()的最小值.
2017-2018学年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数()3的模是()
A.B.C.1 D.2
【考点】复数求模.
【分析】化简复数为:a+bi的形式,然后求解复数的模.
【解答】解:因为,又i3=﹣i,所以复数()3=﹣i,
复数的模|﹣i|=1.
故选:C.
2.已知集合A={x|(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)=0},集合B=,则集合A∩B真子集的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】交集及其运算;子集与真子集.
【分析】利用交集运算求出集合A∩B,写出其真子集,则答案可求.
【解答】解:化简集合A={1,2,3},集合B={x|x≥2},所以A∩B={2,3},
则A∩B的真子集有:?,{2},{3}.
故选C.
3.若直线l:x+y+a=0被圆x2+y2=a截得的弦长为,则a的值为()
A.﹣1 B.C.1 D.2
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】利用点到直线的距离公式,可以求出圆心(0,0)到直线x+y+a=0的距离,结合圆
的半径,以及弦长的一半,利用勾股定理可以求出a.
【解答】解:∵圆x2+y2=a的圆心为(0,0),半径r=,a>0,
∴圆心(0,0)到直线x+y+a=0的距离为d=,
∵直线l:x+y+a=0被圆x2+y2=a截得的弦长为,
∴结合圆的半径,以及弦长的一半,
由勾股定理,得.
解得a=1.
故选:C.