2014-2015学年江苏省泰州三中高一（上）期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．（5分）设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．
2．（5分）函数的定义域为．
3．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是．
4．（5分）满足（）x＞的实数x的取值范围为．
5．（5分）若方程x2﹣px+8=0的解集为M，方程x2﹣qx+p=0的解集为N，且M∩N={1}，则p+q的值为．
6．（5分）函数f（x）=﹣x2+2x+3的单调增区间是．
7．（5分）设函数，则f（f（3））=．
8．（5分）设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是．
9．（5分）函数y=a x+1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点．
10．（5分）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为．
11．（5分）若方程log2x=7﹣x的根x0∈（n，n+1），则整数n=．
12．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，且单调递减，若f（2﹣a）+f（4﹣a）＜0，则a
的取值范围为．
13．（5分）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是．
14．（5分）下列说法中：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x?y）=x?f（y）+y?f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是（注：把你认为是正确的序号都填上）．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，
（1）分别求A∩B，A∪（?U B）；
（2）若B∩C=C，求a的取值范围．
16．（14分）计算：
（1）
（2）（lg5）2+lg2?lg50．
17．（14分）已知函数f（x）=log a（3﹣ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
18．（16分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函
数关系式为y=（）t﹣a（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
19．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3﹣2x）＞0，求x的取值范围；
（3）若已知，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
20．（16分）已知函数f（x）=x2+mx﹣4在区间[﹣2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值．（1）求实数m的所有取值组成的集合A；
（2）试写出f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值g（m）；
（3）设h（x）=﹣x+7，令F（m）=，其中B=?R A，若关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
2014-2015学年江苏省泰州三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．（5分）设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：直接利用并集运算得答案．
解答：解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，
则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．
故答案为：{﹣1，0，1，2}．
点评：本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．
2．（5分）函数的定义域为[0，+∞）．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数成立的条件求函数的定义域即可．
解答：解：要使函数f（x）有意义，则x≥0，
即函数的定义域为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．3．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是f（x）=x4．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知得2a=16，解得a=4，由此求出f（x）=x4．
解答：解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象经过点（2，16），
∴2a=16，解得a=4，
∴f（x）=x4．
故答案为：f（x）=x4．
点评：本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．
4．（5分）满足（）x＞的实数x的取值范围为（）．
考点：指、对数不等式的解法．
专题：函数的性质及应用．
分析：化根式为分数指数幂，然后利用指数函数的单调性得答案．
解答：解：由（）x＞，得，即﹣x＞，即x＜﹣．
∴满足（）x＞的实数x的取值范围为（）．
故答案为：（）．
点评：本题考查了指数不等式的解法，考查了根式与分数指数幂的互化，是基础题．
5．（5分）若方程x2﹣px+8=0的解集为M，方程x2﹣qx+p=0的解集为N，且M∩N={1}，则p+q的值为1．
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：利用M∩N={1}，求出p与q的值，然后求解p+q的值．
解答：解：因为M∩N={1}，所以x=1是两个方程的根，
所以方程x2﹣px+8=0化为1﹣p+8=0，p=9；
方程x2﹣qx+p=0化为1﹣q+9=0，∴q=10，
所以p+q=19．
故答案为：19．
点评：本题考查集合的基本运算，方程根的应用，考查计算能力．
6．（5分）函数f（x）=﹣x2+2x+3的单调增区间是（﹣∞，﹣1）．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的解析式分析出函数的图象，进而根据二次函数图象和性质，可求出函数的单调递增区间
解答：解：函数f（x）=﹣x2+2x+3的图象是开口朝下且以直线x=1为对称轴的抛物线
故函数f（x）=﹣x2+2x+3的单调增区间是（﹣∞，1）
故答案为：（﹣∞，1）
点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
7．（5分）设函数，则f（f（3））=．
考点：函数的值．
专题：计算题．
分析：根据分段函数的定义域先求出f（3），再求出f（f（3）），注意定义域；
解答：解：∵函数，3＞1
∴f（3）=，
∴f（）=（）2+1=+1=，
故答案为；
点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，此题是一道基础题；
8．（5分）设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a＜c．
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用对数函数的单调性即可得出．
解答：解：∵0＜a=log0.60.9＜log0.60.6=1，b=ln0.9＜0，c=20.9＞1，
∴b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
点评：本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．
9．（5分）函数y=a x+1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（﹣1，2）．
考点：指数函数的单调性与特殊点．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用a0=1（a≠0）即可得出答案．
解答：解：令x+1=0，得x=﹣1，则y=a0+1=2，
∴函数y=a x+1的图象过定点（﹣1，2）．
故答案为（﹣1，2）．
点评：熟练掌握指数函数类型的函数图象与a0=1（a≠0）是解题的关键．
10．（5分）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+∞）．
考点：对数函数的值域与最值．
专题：计算题．
分析：先根据指数函数的性质求出真数3x+1的范围，然后根据对数函数的单调性求出函数的值域即可．
解答：解：∵3x+1＞1
∴log2（3x+1）＞0
∴f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+∞）
故答案为：（0，+∞）
点评：本题主要考查了对数函数的值域，同时考查了指数函数的值域，属于基础题．
11．（5分）若方程log2x=7﹣x的根x0∈（n，n+1），则整数n=4．
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：设函数f（x）=log2x+x﹣7，则f（x）是（0，+∞）上的增函数，x0是f（x）的零点，由f（4）f（5）＜0，可得x0∈（4，5），从而可求出k的值．
解答：解：由于x0是方程log2x=7﹣x的根，
设f（x）=log2x+x﹣7，显然f（x）是（0，+∞）上的增函数，x0是连续f（x）的零点．
因为f（4）=log24+4﹣7=﹣1＜0，f（5）=log25+5﹣7=＞0，
故x0∈（4，5），则n=4；
故答案为：4．
点评：本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
12．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，且单调递减，若f（2﹣a）+f（4﹣a）＜0，则a
的取值范围为a＜3．
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：综合题；数形结合；转化思想；综合法．
分析：由f（x）是定义在R上的奇函数，且单调递减，可以得出函数在R上的单调性，由此性质将抽象不等式转化为关于a的一般不等式解出a
解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且单调递减，
∴f（x）在R上是减函数，
又f（2﹣a）+f（4﹣a）＜0，可变为f（2﹣a）＜f（a﹣4）
∴2﹣a＞a﹣4
∴a＜3
故答案为：a＜3．
点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是由函数的这两个性质得出函数在R 上的单调性以及将不等式转化为f（2﹣a）＜f（a﹣4）这种可以利用单调性直接转化不等式的形式．
13．（5分）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是1．
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：数形结合．
分析：构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，即可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a的值．
解答：解：构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，如图所示
则可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a=1
故答案为：1
点评：本题考查方程的解，考查函数与方程思想，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
14．（5分）下列说法中：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x?y）=x?f（y）+y?f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是①③④（注：把你认为是正确的序号都填上）．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：①f（x）是偶函数，应满足定义域关于原点对称，且一次项系数为0；
②f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，可用分段函数表示f（x），再求f（x）的最大值；
③f（x）的单调递增区间是[3，+∞），即x≥3时，2x+a≥0，得出a的取值；
④由题意，可求出f（1）=f（﹣1）=0，f（﹣x）与f（x）的关系，从而判定f（x）的奇偶性．解答：解：①∵f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a﹣1，a+4]）是偶函数，∴有
，∴a=﹣1，b=2，命题正确；
②∵f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，∴f（x）=，∴f（x）的最大值为2，原命题错误；
③∵f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），∴当x≥3时，2x+a≥0，∴a≥﹣6，故取a=﹣6，命题正确；
④∵f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x?y）=x?f（y）+y?f（x），
∴当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
当x=y=﹣1时，f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1），∴f（﹣1）=0；
当y=﹣1时，f（﹣x）=x?f（﹣1）+[﹣f（x）]，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，命题正确．
所以，命题正确的序号是①③④
点评：本题综合考查了函数的单调性、奇偶性，熟练掌握其性质是解题的关键．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a为实数，
（1）分别求A∩B，A∪（?U B）；
（2）若B∩C=C，求a的取值范围．
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题（1）先求出集合B的补集，再求出A∪（?U B），得到本题结论；（2）由B∩C=C 得到C?B，再比较区间的端点，求出a的取值范围，得到本题结论．
解答：解：（1）∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}，
∴?u B={x|x≤2或x≥4}，
∴A∩B={x|2＜x≤3}，A∪（?U B）={x|x≤3或x≥4}．
（2）∵B∩C=C，
∴C?B．
∵B={x|2＜x＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，
∴2＜a，a+1＜4，
∴2＜a＜3．
点评：本题考查了集合运算的知识，本题难度不大，属于基础题．
16．（14分）计算：
（1）
（2）（lg5）2+lg2?lg50．
考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用指数与对数的运算法则即可得出；
（2）利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．
解答：解：（1）原式=﹣+3+1
=4﹣+1+3+1
=8﹣．
（2）原式=lg25+lg2（1+lg5）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2
=1．
点评：本题考查了指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．
17．（14分）已知函数f（x）=log a（3﹣ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
考点：对数函数的定义；对数函数的单调性与特殊点．
专题：计算题．
分析：（1）根据题意：“当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义”，即要考虑到当x∈[0，2]时3﹣ax必须是正数，另外，题中隐含条件：a＞0且a≠1也必须注意到；
（2）假设存在这样的实数，再根据f（x）是减函数，X=1取得最大值，求出a的值，进而得出当x=2时，f（x）没有意义，即可得出结论．
解答：解：（1）由题设，3﹣ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，…（2分）
∵a＞0，∴g（x）=3﹣ax在[0，2]上为减函数，…（4分）
从而g（2）=3﹣2a＞0，
∴，
∴a的取值范围为．…（6分）
（2）假设存在这样的实数a，由题设知f（1）=1，
即log a（3﹣a）=1，∴，
此时，…（10分）
当x=2时，f（x）没有意义，故这样的实数不存在．…（12分）
点评：本小题主要考查对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．对于是否存在问题，一般假设存在，推出结论，属于基础题．
18．（16分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函
数关系式为y=（）t﹣a（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用．
分析：（1）利用函数图象，借助于待定系数法，求出函数解析法，进而发现函数性质；（2）根据函数解析式，挖掘其性质解决实际问题．
解答：解：（1）由于图中直线的斜率为，
所以图象中线段的方程为y=10t（0≤t≤0.1），
又点（0.1，1）在曲线上，所以，
所以a=0.1，因此含药量y（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为
（5分）
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即
＜0.25，
解得t＞0.6
所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室．（10分）
点评：根据题意，利用函数的图象，求得分段函数的解析式，利用解析式进一步解决具体实际问题．
19．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3﹣2x）＞0，求x的取值范围；
（3）若已知，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为
﹣2，求实数m的值．
考点：函数与方程的综合运用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据f（x）为奇函数，根据f（0）=0，可求出常数k的值；
（2）根据f（x）为奇函数，可将f（x+2）+f（3﹣2x）＞0化为f（x+2）＞f（2x﹣3），进而根据函数的单调性，转化为具体不等式进行解答
（3）根据，求出a值，进而t=3x﹣3﹣x，根据二次函数在定区间上的最值问题，分
类讨论，可得m的值．
解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，
∴k﹣1=0，
∴k=1
经验证可知k=1时符合题意．…（4分）
（2）因f（x）是奇函数，
故f（x+2）+f（3﹣2x）＞0可化为f（x+2）＞f（2x﹣3）．…（6分）
∵0＜a＜1，
∴f（x）在R上是单调减函数，…（8分）
∴x+2＜2x﹣3，
∴x＞5
∴满足为f（x+2）+f（3﹣2x）＞0的x的取值范围为（5，+∞）…（10分）
（3）∵f（1）=，
∴a﹣，即3a2﹣8a﹣3=0，
∴a=3（或a=舍去）．…（12分）
∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2
令t=3x﹣3﹣x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=．
∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2．
当m≥时，2﹣m2=﹣2，m=2，2，故m=2应舍去；…（14分）
当m＜时，﹣2m×+2=﹣2，m=．
∴．…（16分）
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数的单调性的性质，函数与方程的综合应用，是函数图象和性质及方程的综合应用，难度中档．
20．（16分）已知函数f（x）=x2+mx﹣4在区间[﹣2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值．（1）求实数m的所有取值组成的集合A；
（2）试写出f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值g（m）；
（3）设h（x）=﹣x+7，令F（m）=，其中B=?R A，若关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
考点：二次函数在闭区间上的最值；补集及其运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）问题等价于函数在区间[﹣2，1]上是单调函数，由二次函数可得﹣≥1，或﹣≤
﹣2，解得不等式即可；
（2）分类讨论结合单调性可得：当m≥4时g（m）=f（1）=m﹣3，当m≤﹣2时g（m）=f（﹣2）=﹣2m．
（3）由题意可知F（m）=，问题等价于y=F（m）的图象与
y=a的图象有两个不同的交点，数形结合易得答案．
解答：解：（1）∵f（x）=x2+mx﹣4在区间[﹣2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值，∴函数在区间[﹣2，1]上是单调函数，
又∵函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣
∴必有﹣≥1，或﹣≤﹣2，解得m≥4或m≤﹣2，
∴实数m的所有取值组成的集合A={m|m≥4或m≤﹣2}；
（2）当m≥4时，﹣≤﹣2，函数f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
∴函数f（x）的最大值g（m）=f（1）=m﹣3；
当m≤﹣2 时，﹣≥1，函数f（x）在区间[﹣2，1]上单调递减，
∴函数f（x）的最大值g（m）=f（﹣2）=﹣2m．
（3）由题意可知F（m）=，
关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根等价于y=F（m）的图象与y=a的图象有两个不同的交点，
作图可知实数a的取值范围为：a＞或1＜a＜4
点评：本题考查二次函数区间的最值，涉及数形结合求函数的交点，属中档题．