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(完整word版)常用统计方法

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主成分分析

主成分分析(principal component analysis)

将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法。又称主分量分析。在实际课题中,为了全面分析问题,往往提出很多与此有关的变量(或因素),因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。但是,在用统计分析方法研究这个多变量的课题时,变量个数太多就会增加课题的复杂性。人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。在很多情形,变量之间是有一定的相关关系的,当两个变量之间有一定相关关系时,可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。主成分分析是对于原先提出的所有变量,建立尽可能少的新变量,使得这些新变量是两两不相关的,而且这些新变量在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。主成分分析首先是由K.皮尔森对非随机变量引入的,尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。

(1)主成分分析的原理及基本思想。

原理:设法将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量,同时根据实际需要从中可以取出几个较少的总和变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计

方法叫做主成分分析或称主分量分析,也是数学上处理降维的一种方法。

基本思想:主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性(比如P个指标),重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合,作为新的综合指标。最经典的做法就是用F1(选取的第一个线性组合,即第一个综合指标)的方差来表达,即Var(F1)越大,表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的,故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息,再考虑选取F2即选第二个线性组合,为了有效地反映原来信息,F1已有的信息就不需要再出现再F2中,用数学语言表达就是要求Cov(F1, F2)=0,则称F2为第二主成分,依此类推可以构造出第三、第四,……,第P个主成分。

(2)步骤

Fp=a1mZX1+a2mZX2+……+apmZXp

其中a1i, a2i, ……,api(i=1,……,m)为X的协方差阵Σ的特征值多对应的特征向量,ZX1, ZX2, ……, ZXp是原始变量经过标准化处理的值,因为在实际应用中,往往存在指标的量纲不同,所以在计算之前须先消除量纲的影响,而将原始数据标准化,本文所采用的数据就存在量纲影响[注:本文指的数据标准化是指Z标准化]。

A=(aij)p×m=(a1,a2,…am,),Rai=λiai,R为相关系数矩阵,λi、ai是相应的特征值和单位特征向量,λ1≥λ2≥…≥λp≥0 。

进行主成分分析主要步骤如下:

1. 指标数据标准化(SPSS软件自动执行);

2. 指标之间的相关性判定;

3. 确定主成分个数m;

4. 主成分Fi表达式;

5. 主成分Fi命名;

回归分析

回归分析(regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析和多元回归分析;按照自变量和因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。

方差齐性

线性关系

效应累加

变量无测量误差

变量服从多元正态分布

观察独立

模型完整(没有包含不该进入的变量、也没有漏掉应该进入的变量)

误差项独立且服从(0,1)正态分布。

现实数据常常不能完全符合上述假定。因此,统计学家研究出许多的回归模型来解决线性回归模型假定过程的约束。

研究一个或多个随机变量Y1 ,Y2 ,…,Yi与另一些变量X1、X2,…,Xk 之间的关系的统计方法。又称多重回归分析。通常称Y1,Y2,…,Yi为因变量,X1、X2,…,Xk为自变量。回归分析是一类数学模型,特别当因变量和自变量为线性关系时,它是一种特殊的线性模型。最简单的情形是一个自变量和一个因变量,且它们大体上有线性关系,这叫一元线性回归,即模型为Y=a+bX+ε,这里X是自变量,Y是因变量,ε是随机误差,通常假定随机误差的均值为0,方差为σ^2(σ^2大于0)σ2与X的值无关。若进一步假定随机误差遵从正态分布,就叫做正态线性模型。一般的情形,差有k个自变量和一个因变量,因变量的值可以分解为两部分:一部分是由自变量的影响,即表示为自变量的函数,其中函数形式已知,但含一些未知参数;另一部分是由于其他未被考虑的因素和随机性的影响,即随机误差。当函数形式为未知参数的线性函数时,称线性回归分析模型;当函数形式为未知参数的非线性函数时,称为非线性回归分析模型。当自变量的个数大于1时称为多元回归,当因变量个数大于1时称为多重回归。

回归分析的主要内容为:①从一组数据出发确定某些变量之间的定量关系式,即建立数学模型并估计其中的未知参数。估计参数的常用方法是最小二乘法。②对这些关系式的可信程度进行检验。③在许多自变量共同影响着一个因变量的关系中,判断哪个(或哪些)自变量的影响是显著的,哪些自变量的影响是不显著的,将影响显著

的自变量选入模型中,而剔除影响不显著的变量,通常用逐步回归、向前回归和向后回归等方法。④利用所求的关系式对某一生产过程进行预测或控制。回归分析的应用是非常广泛的,统计软件包使各种回归方法计算十分方便。

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回归分析的应用

相关分析研究的是现象之间是否相关、相关的方向和密切程度,一般不区别自变量或因变量。而回归分析则要分析现象之间相关的具体形式,确定其因果关系,并用数学模型来表现其具体关系。比如说,从相关分析中我们可以得知“质量”和“用户满意度”变量密切相关,但是这两个变量之间到底是哪个变量受哪个变量的影响,影响程度如何,则需要通过回归分析方法来确定。

一般来说,回归分析是通过规定因变量和自变量来确定变量之间的因果关系,建立回归模型,并根据实测数据来求解模型的各个参数,然后评价回归模型是否能够很好的拟合实测数据;如果能够很好的拟合,则可以根据自变量作进一步预测。

例如,如果要研究质量和用户满意度之间的因果关系,从实践意义上讲,产品质量会影响用户的满意情况,因此设用户满意度为因变量,记为Y;质量为自变量,记为X。根据图8-3的散点图,可以建立下面的线性关系:

Y=A+BX+§

式中:A和B为待定参数,A为回归直线的截距;B为回归直线的斜率,表示X 变化一个单位时,Y的平均变化情况;§为依赖于用户满意度的随机误差项。

在SPSS软件里可以很容易地实现线性回归,回归方程如下:

y=0.857+0.836x

回归直线在y轴上的截距为0.857、斜率0.836,即质量每提高一分,用户满意度平均上升0.836分;或者说质量每提高1分对用户满意度的贡献是0.836分。

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上面所示的例子是简单的一个自变量的线性回归问题,在数据分析的时候,也可以将此推广到多个自变量的多元回归,具体的回归过程和意义请参考相关的统计学书籍。此外,在SPSS的结果输出里,还可以汇报R2,F检验值和T检验值。R2又称为方程的确定性系数(coefficient of determination),表示方程中变量X对Y的解释程度。R2取值在0到1之间,越接近1,表明方程中X对Y的解释能力越强。通常将R2乘以100%来表示回归方程解释Y变化的百分比。F检验是通过方差分析表输出的,通过显著性水平(significant level)检验回归方程的线性关系是否显著。一般来说,显著性水平在0.05以下,均有意义。当F检验通过时,意味着方程中至少有一个回归系数是显著的,但是并不一定所有的回归系数都是显著的,这样就需要通过T检验来验证回归系数的显著性。同样地,T检验可以通过显著性水平或查表来确定。在上面所示的例子中,各参数的意义如表8-2所示。

示例SIM手机用户满意度与相关变量线性回归分析

我们以SIM手机的用户满意度与相关变量的线性回归分析为例,来进一步说明线性回归的应用。从实践意义讲上,手机的用户满意度应该与产品的质量、价格和形象有关,因此我们以“用户满意度”为因变量,“质量”、“形象”和“价格”为自变量,作线性回归分析。利用SPSS软件的回归分析,得到回归方程如下:

用户满意度=0.008×形象+0.645×质量+0.221×价格

对于SIM手机来说,质量对其用户满意度的贡献比较大,质量每提高1分,用户满意度将提高0.645分;其次是价格,用户对价格的评价每提高1分,其满意度将提高0.221分;而形象对产品用户满意度的贡献相对较小,形象每提高1分,用户满意度仅提高0.008分。

方程各检验指标及含义如下:

从方程的检验指标来看,“形象”对整个回归方程的贡献不大,应予以删除。所以重新做“用户满意度”与“质量”、“价格”的回归方程如下:

用户满意度=0.645×质量+0.221×价格

对于SIM手机来说,质量对其用户满意度的贡献比较大,质量每提高1分,用户满意度将提高0.645分;用户对价格的评价每提高1分,其满意度将提高0.221分(在本示例中,因为“形象”对方程几乎没有贡献,所以得到的方程与前面的回归方程系数差不多)。

方程各检验指标及含义如下:

判别分析

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1、定义

判别分析又称“分辨法”,是在分类确定的条件下,根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。

其基本原理是按照一定的判别准则,建立一个或多个判别函数,用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数,并计算判别指标。据此即可确定某一样本属于何类。

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2、分类

根据判别中的组数,可以分为两组判别分析和多组判别分析;

根据判别函数的形式,可以分为线性判别和非线性判别;

根据判别式处理变量的方法不同,可以分为逐步判别、序贯判别等;

根据判别标准不同,可以分为距离判别、Fisher判别、Bayes判别法等

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3、应用

在气候分类、农业区划、土地类型划分中有着广泛的应用。

在市场调研中,一般根据事先确定的因变量(例如产品的主要用户、普通用户和非用户、自有房屋或租赁、电视观众和非电视观众)找出相应处理的区别特性。在判别分析中,因变量为类别数据,有多少类别就有多少类别处理组;自变量通常为可度量数据。通过判别分析,可以建立能够最大限度的区分因变量类别的函数,考查自变量的组间差异是否显著,判断那些自变量对组间差异贡献最大,评估分类的程度,根据自变量的值将样本归类。

系统聚类分析

是一门多元统计分类法,根据多种地学要素对地理实体进行划分类别的方法。对不同的要素划分类别往往反映不同目标的等级序列,如土地分等定级、水土流失强度分级等。

系统聚类的步骤一般是首先根据一批地理数据或指标找出能度量这些数据或指标之间相似程度的统计量;然后以统计量作为划分类型的依据,把一些相似程度大的站点(或样品)首先聚合为一类,而把另一些相似程度较小的站点(或样品)聚合为另一类,直到所有的站点(或样品)都聚合完毕,最后根据各类之间的亲疏关系,逐

步画成一张完整的分类系统图,又称谱系图。其相似程度由距离或者相似系数定义。进行类别合并的准则是使得类间差异最大,而类内差异最小。

特点:事先无须知道分类对象的分类结构,而只需要一批地理数据;然后选好分类统计量,并按一定的方法步骤进行计算;最后便能自然地、客观地得到一张完整的分类系统图。

相关分析

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相关分析定义

相关分析的分类

相关分析与回归分析的关系

复相关

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相关分析定义

相关分析(correlation analysis),相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系,并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度,是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。

相关关系是一种非确定性的关系,例如,以X和Y分别记一个人的身高和体重,或分别记每公顷施肥量与每公顷小麦产量,则X与Y显然有关系,而又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这就是相关关系。

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相关分析的分类

1、线性相关分析:研究两个变量间线性关系的程度。用相关系数r来描述。

-正相关:如果x,y变化的方向一致,如身高与体重的关系,r>0;一般地,

·|r|>0.95 存在显著性相关;

·|r|≥0.8 高度相关;

·0.5≤|r|<0.8 中度相关;

·0.3≤|r|<0.5 低度相关;

·|r|<0.3 关系极弱,认为不相关

负相关:如果x,y变化的方向相反,如吸烟与肺功能的关系,r<0;

无线性相关:r=0。

如果变量Y与X间是函数关系,则r=1或r=-1;如果变量Y与X间是统计关系,

则-1

r的计算有三种:

·Pearson相关系数:对定距连续变量的数据进行计算。

·Spearman和Kendall相关系数:对分类变量的数据或变量值的分布明显非正态或分布不明时,计算时先对离散数据进行排序或对定距变量值排(求)秩。

2、偏相关分析:研究两个变量之间的线性相关关系时,控制可能对其产生影响的变量。如控制年龄和工作经验的影响,估计工资收入与受教育水平之间的相关关系。

3、距离分析:是对观测量之间或变量之间相似或不相似程度的一种测度,是一种广义的距离。分为观测量之间距离分析和变量之间距离分析。

- 不相似性测度:

·a、对等间隔(定距)数据的不相似性(距离)测度可以使用的统计量有Euclid欧氏距离、欧氏距离平方等。

·b、对计数数据使用卡方。

·c、对二值(只有两种取值)数据,使用欧氏距离、欧氏距离平方、尺寸差异、模式差异、方差等。

- 相似性测度:

·a、等间隔数据使用统计量Pearson相关或余弦。

·b、测度二元数据的相似性使用的统计量有20余种。

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相关分析与回归分析的关系

相关分析与回归分析在实际应用中有密切关系。然而在回归分析中,所关心的是一个随机变量Y对另一个(或一组)随机变量X的依赖关系的函数形式。而在相关分析中,所讨论的变量的地位一样,分析侧重于随机变量之间的种种相关特征。例如,以X、Y分别记小学生的数学与语文成绩,感兴趣的是二者的关系如何,而不在于由X去预测Y。

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复相关

研究一个变量x0与另一组变量(x1,x2,…,xn)之间的相关程度。例如,职业声望同时受到一系列因素(收入、文化、权力……)的影响,那么这一系列因素的总和与职业声望之间的关系,就是复相关。复相关系数R0.12…n的测定,可先求出x0对一组变量x1,x2,…,xn的回归直线,再计算x0与用回归直线估计值悯之间的简单直线回归。复相关系数为

R0.12…n的取值范围为0≤R0.12…n≤1。复相关系数值愈大,变量间的关系愈密切。

偏相关研究在多变量的情况下,当控制其他变量影响后,两个变量间的直线相关程度。又称净相关或部分相关。例如,偏相关系数r13.2表示控制变量x2的影响之后,变量x1和变量x3之间的直线相关。偏相关系数较简单直线相关系数更能真实反映两变量间的联系。

时间序列分析

时间序列分析(Time series analysis)是一种动态数据处理的统计方法。该方法基于随机过程理论和数理统计学方法,研究随机数据序列所遵从的统计规律,以用于解决实际问题。它包括一般统计分析(如自相关分析,谱分析等),统计模型的建立与推断,以及关于时间序列的最优预测、控制与滤波等内容。经典的统计分析都假定数据序列具有独立性,而时间序列分析则侧重研究数据序列的互相依赖关系。后者实际上是对离散指标的随机过程的统计分析,所以又可看作是随机过程统计的一个组成部分。例如,记录了某地区第一个月,第二个月,……,第N个月的降雨量,利用时间序列分析方法,可以对未来各月的雨量进行预报。

参考自:科学技术方法大辞典

时间序列是按时间顺序的一组数字序列。时间序列分析就是利用这组数列,应用数理统计方法加以处理,以预测未来事物的发展。时间序列分析是定量预测方法之一,它的基本原理:一是承认事物发展的延续性。应用过去数据,就能推测事物的发展趋势。二是考虑到事物发展的随机性。任何事物发展都可能受偶然因素影响,为此要利用统计分析中加权平均法对历史数据进行处理。该方法简单易行,便于掌握,但准确性差,一般只适用于短期预测。时间序列预测一般反映三种实际变化规律:趋势变化、周期性变化、随机性变化。

时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据,通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。它一般采用曲线拟合和参数估计方法(如非线性最小二乘法)进行。时间序列分析常用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。

时间序列建模基本步骤是:①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。②根据动态数据作相关图,进行相关分析,求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期,并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象,则应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点,则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列,例如采用门限回归模型。

③辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列,可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列,可用通用ARMA模型(自回归滑动平均模型)及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARMA模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一

般都采用ARMA模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算,化为平稳时间序列,再用适当模型去拟合这个差分序列。

时间序列分析主要用于:①系统描述。根据对系统进行观测得到的时间序列数据,用曲线拟合方法对系统进行客观的描述。②系统分析。当观测值取自两个以上变量时,可用一个时间序列中的变化去说明另一个时间序列中的变化,从而深入了解给定时间序列产生的机理。③预测未来。一般用ARMA模型拟合时间序列,预测该时间序列未来值。④决策和控制。根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上,即预测到过程要偏离目标时便可进行必要的控制。

方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA)

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什么是方差分析

方差分析(ANOVA)又称“变异数分析”或“F检验”,是R.A.Fisher发明的,用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。

由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素,另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

一个复杂的事物,其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素,各因素之间的交互作用,以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中,把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量,采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和,这是一个很重要的思想。

经过方差分析若拒绝了检验假设,只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息,应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。

1、多个样本均数间两两比较

多个样本均数间两两比较常用q检验的方法,即Newman-kueuls法,其基本步骤为:建立检验假设-->样本均数排序-->计算q值-->查q界值表判断结果。

2、多个实验组与一个对照组均数间两两比较

多个实验组与一个对照组均数间两两比较,若目的是减小第II类错误,最好选用最小显著差法(LSD法);若目的是减小第I类错误,最好选用新复极差法,前者查t 界值表,后者查q'界值表。

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方差分析的基本思想

基本思想:通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小,从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想:

如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值(mmol/L)如下:患者:0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11

健康人:0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.

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问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同?

从以上资料可以看出,24个患者与健康人的血磷值各不相同,如果用离均差平方和(SS)描述其围绕总均数的变异情况,则总变异有以下两个来源:组内变异,即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等;

组间变异,即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。

而且:SS总=SS组间+SS组内v总=v组间+v组内

如果用均方(即自由度v去除离均差平方和的商)代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响,则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商(即F值)与1相比较,若F值接近1,则说明各组均数间的差异没有统计学意义,若F值远大于1,则说明各组均数间的差异有统计学意义。实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表(方差分析用)获得。

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方差分析的分类及举例

一、单因素方差分析

(一)单因素方差分析概念理解步骤

是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,因此称为单因素方差分析。

例如,分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响,考察地区差异是否影响妇女的生育率,研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。

单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如,上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入;控制变量分别为施肥量、地区、学历。

单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为:观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此,单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分,用数学形式表述为:S ST=SSA+SSE。

单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例,推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

(二)单因素方差分析原理总结

容易理解:在观测变量总离差平方和中,如果组间离差平方和所占比例较大,则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的,可以主要由控制变量来解释,控制变量给观测变量带来了显著影响;反之,如果组间离差平方和所占比例小,则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的,不可以主要由控制变量来解释,控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响,观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

(三)单因素方差分析基本步骤

? 1、提出原假设:H0——无差异;H1——有显著差异

? 2、选择检验统计量:方差分析采用的检验统计量是F统计量,即F值检验。

? 3、计算检验统计量的观测值和概率P值:该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。

? 4、给定显著性水平,并作出决策

(四)单因素方差分析的进一步分析

在完成上述单因素方差分析的基本分析后,可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论,接下来还应做其他几个重要分析,主要包括方差齐性检验、多重比较检验。

1、方差齐性检验

是对控制变量不同水平下各观测变量总体方差是否相等进行检验。

前面提到,控制变量不同各水平下观测变量总体方差无显著差异是方差分析的前提要求。如果没有满足这个前提要求,就不能认为各总体分布相同。因此,有必要对方差是否齐性进行检验。

SPSS单因素方差分析中,方差齐性检验采用了方差同质性(homogeneity of v ariance)检验方法,其原假设是:各水平下观测变量总体的方差无显著差异。

2、多重比较检验

单因素方差分析的基本分析只能判断控制变量是否对观测变量产生了显著影响。

如果控制变量确实对观测变量产生了显著影响,进一步还应确定控制变量的不同水平对观测变量的影响程度如何,其中哪个水平的作用明显区别于其他水平,哪个水平的作用是不显著的,等等。

例如,如果确定了不同施肥量对农作物的产量有显著影响,那么还需要了解10公斤、20公斤、30公斤肥料对农作物产量的影响幅度是否有差异,其中哪种施肥量水平对提高农作物产量的作用不明显,哪种施肥量水平最有利于提高产量等。掌握了这些重要的信息就能够帮助人们制定合理的施肥方案,实现低投入高产出。

多重比较检验利用了全部观测变量值,实现对各个水平下观测变量总体均值的逐对比较。由于多重比较检验问题也是假设检验问题,因此也遵循假设检验的基本步骤。

介绍几种常用检验统计量的构造方法

(1)LSD方法

LSD方法称为最小显著性差异(Least Significant Difference)法。最小显著性差异法的字画就体现了其检验敏感性高的特点,即水平间的均值只要存在一定程度的微小差异就可能被检验出来。

正是如此,它利用全部观测变量值,而非仅使用某两组的数据。LSD方法适用于各总体方差相等的情况,但它并没有对犯一类错误的概率问题加以有效控制。

(2)S-N-K方法

S-N-K方法是一种有效划分相似性子集的方法。该方法适合于各水平观测值个数相等的情况,

3、其他检验

(1)先验对比检验

在多重比较检验中,如果发现某些水平与另外一些水平的均值差距显著,如有五个水平,其中x1、x2、x3与x4、x5的均值有显著差异,就可以进一步分析比较这两组总的均值是否存在显著差异,即1/3(x1+x2+x3)与1/2(x4+x5)是否有显著差异。这种事先指定各均值的系数,再对其线性组合进行检验的分析方法称为先验对比检验。通过先验对比检验能够更精确地掌握各水平间或各相似性子集间均值的差异程度。

(2)趋势检验

当控制变量为定序变量时,趋势检验能够分析随着控制变量水平的变化,观测变量值变化的总体趋势是怎样的,是呈现线性变化趋势,还是呈二次、三次等多项式变化。通过趋势检验,能够帮助人们从另一个角度把握控制变量不同水平对观测变量总体作用的程度。

二、多因素方差分析

(一)多因素方差分析基本思想

多因素方差分析用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测变量产生显著影响。这里,由于研究多个因素对观测变量的影响,因此称为多因素方差分析。多因素方差分析不仅能够分析多个因素对观测变量的独立影响,更能够分析多个控制因素的

交互作用能否对观测变量的分布产生显著影响,进而最终找到利于观测变量的最优组合。

例如:

分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响时,可将农作物产量作为观测变量,品种和施肥量作为控制变量。利用多因素方差分析方法,研究不同品种、不同施肥量是如何影响农作物产量的,并进一步研究哪种品种与哪种水平的施肥量是提高农作物产量的最优组合。

(二)多因素方差分析的其他功能

1、均值检验

在SPSS中,利用多因素方差分析功能还能够对各控制变量不同水平下观测变量的均值是否存在显著差异进行比较,实现方式有两种,即多重比较检验和对比检验。多重比较检验的方法与单因素方差分析类似。对比检验采用的是单样本t检验的方法,它将控制变量不同水平下的观测变量值看做来自不同总体的样本,并依次检验这些总体的均值是否与某个指定的检验值存在显著差异。其中,检验值可以指定为以下几种:

观测变量的均值(Deviation);

第一水平或最后一个水平上观测变量的均值(Simple);

前一水平上观测变量的均值(Difference);

后一水平上观测变量的均值(Helmert)。

2、控制变量交互作用的图形分析

控制变量的交互作用可以通过图形直观分析。

(三)多因素方差分析的进一步分析

在上述案例中,已经对广告形式、地区对销售额的影响进行了多因素方差分析,建立了饱和模型。由分析可知:广告形式与地区的交互作用不显著,先进一步尝试非饱和模型,并进行均值比较分析、交互作用图形分析。

1、建立非饱和模型

2、均值比较分析

3、控制变量交互作用的图形分析

三、协方差分析

(一)协方差分析基本思想

通过上述的分析可以看到,不论是单因素方差分析还是多因素方差分析,控制因素都是可控的,其各个水平可以通过人为的努力得到控制和确定。但在许多实际问题中,有些控制因素很难人为控制,但它们的不同水平确实对观测变量产生了较为显著的影响。

例如,在研究农作物产量问题时,如果仅考察不同施肥量、品种对农作物产量的影响,不考虑不同地块等因素而进行方差分析,显然是不全面的。因为事实上有些地块可能有利于农作物的生长,而另一些却不利于农作物的生长。不考虑这些因素进行分析可能会导致:即使不同的施肥量、不同品种农作物产量没有产生显著影响,但分

析的结论却可能相反。

再例如,分析不同的饲料对生猪增重是否产生显著差异。如果单纯分析饲料的作用,而不考虑生猪各自不同的身体条件(如初始体重不同),那么得出的结论很可能是不准确的。因为体重增重的幅度在一定程度上是包含诸如初始体重等其他因素的影响的。

(二)协方差分析的原理

协方差分析将那些人为很难控制的控制因素作为协变量,并在排除协变量对观测变量影响的条件下,分析控制变量(可控)对观测变量的作用,从而更加准确地对控制因素进行评价。

协方差分析仍然沿承方差分析的基本思想,并在分析观测变量变差时,考虑了协变量的影响,人为观测变量的变动受四个方面的影响:即控制变量的独立作用、控制变量的交互作用、协变量的作用和随机因素的作用,并在扣除协变量的影响后,再分析控制变量的影响。

方差分析中的原假设是:协变量对观测变量的线性影响是不显著的;在协变量影响扣除的条件下,控制变量各水平下观测变量的总体均值无显著差异,控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。检验统计量仍采用F统计量,它们是各均方与随机因素引起的均方比。

(三)协方差分析的应用举例

为研究三种不同饲料对生猪体重增加的影响,将生猪随机分成三组各喂养不同的饲料,得到体重增加的数据。由于生猪体重的增加理论上会受到猪自身身体条件的影响,于是收集生猪喂养前体重的数据,作为自身身体条件的测量指标。

方差分析的应用条件为①各样本须是相互独立的随机样本;②各样本来自正态分布总体;③各总体方差相等,即方差齐性。

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方差分析的主要内容

根据资料设计类型的不同,有以下两种方差分析的方法:

1、对成组设计的多个样本均数比较,应采用完全随机设计的方差分析,即单因素方差分析。

2、对随机区组设计的多个样本均数比较,应采用配伍组设计的方差分析,即两因素方差分析。

两类方差分析的基本步骤相同,只是变异的分解方式不同,对成组设计的资料,总变异分解为组内变异和组间变异(随机误差),即:SS总=SS组间+SS组内,而对配伍组设计的资料,总变异除了分解为处理组变异和随机误差外还包括配伍组变异,即:SS总=SS处理+SS配伍+SS误差。整个方差分析的基本步骤如下:

1、建立检验假设;

H0:多个样本总体均数相等;

H1:多个样本总体均数不相等或不全等。检验水准为0.05。

2、计算检验统计量F值;

3、确定P值并作出推断结果。

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