当前位置：文档之家› 2011高三数学一轮精品复习学案：对数函数与幂函数 2

2011高三数学一轮精品复习学案：对数函数与幂函数 2

2011版高三数学一轮精品复习学案：对数函数、幂函数

【高考目标定位】

一、考纲点击 1、对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数y=a x 与对数函数log x a y =互为反函数（0,1a a >≠且） 2、幂函数

（1）了解幂函数的概念。

（2）结合函数y=x ，y=x 2

，y=x 3

，1

y x

=，1

2y x =的图象，了解它们的变化情况。

二、热点提示 1、对数函数

（1）对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主。

（2）以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题。

2、幂函数

（1）常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质；

（2）多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。

【考纲知识梳理】

一、对数函数 1、对数的概念（1）对数的定义

如果(01)x

a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N

a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数

表格 1

（1）对数的性质（0,1a a >≠且）： ①1

log 0a =，②log 1a

a =，③log N

a a N =，④log N

a a N =。

（2）对数的重要公式： ①换底公式：

log log (,1,0)log N N

a b

a b N =>均为大于零且不等于； ②1

log log b a a

，推广log log log log a b c a b c d d = 。（3）对数的运算法则：

如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①

N M MN a a a log log )(log +=；

②N M N M

a a a

log log log -=；

③

∈

=n M n M a n a (log log R ）；

④

b m n

b a n a m log log =

。

3、对数函数的图象与性质

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。二、幂函数 1、幂函数的定义

形如y=x α

（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x 3

，y=x 2

，y=x ，1

y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0；当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3

，y=x 2

， y=x ，12

y x =， y=x -1；当0

y x = ，y=x ， y=x 2，y=x 3 。 3、幂函数的性质

（一）对数函数一、对数的化简与求值对数的化简与求值的基本思路

（1）利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；

（2）利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、

幂再运算；

（3）约分、合并同类项，尽量求出具体值。〖例1〗计算

（1）

(lg 2)lg 2lg50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+；（3）1

.0lg 21

036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2

3--+?

解：（1）原式

(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；

（2）原式

lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3

(

()(()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+

3lg 25lg35

2lg36lg 24=

；

（3）分子=

3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2

=++=++；分母=

41006

lg 26lg 101100036lg

)26(lg =-+=?-+；

∴原式=43

。

二、比较大小 1、相关链接

（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则log a f(x)>log a g(x)?f(x)>g(x)>0; ②00,g(x)>0,则log a f(x)>log a g(x) ?0

（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。 ①若a>b>1，如图1.

当f(x)>1时，log b f(x)>log a f(x); 当0 log b f(x).

②若1>a>b>0,如图2。当f(x)>1时，log b f(x)> log a f(x); 当1>f(x)>0时，log a f(x)> log b f(x). ③若a>1>b>0。

当f(x)>1时，则log a f(x)> log b f(x); 当0

①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值） 2、例题解析

〖例〗对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log (a a a a a

+<+ ②1log (1)log (1a a a a

+>+； ③111;a

a a a

④111;a

+>其中成立的是（）

（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④

分析：从题设可知，该题主要考查log a y x =与x

y a =两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。

解答：选D。∵0

,1+a<1+

,∴

log(1)log(1)

a a

+>+,

a a

a a+

+>即

②④正确。

三、对数函数性质应用

1、相关链接

（1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。

（2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。

（3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤

①确定定义域；

②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x)

③分别确定这两个函数的单调区间；

④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。

2、例题解析

〖例〗设函数

()()()x

12.

(1)求()x f

的单调区间;

(2)若当

∈1

时,(其中

718

e)不等式()m

f<恒成立,求实数m的

取值范围;

(3)试讨论关于x的方程:

()a

=2在区间[]2,0上的根的个数.

解（1）函数的定义域为(),

,1+∞

()()()

. 1分

由

()0>

f得0

x; 2分

由

()0<

f得0

-x, 3分

则增区间为()

+∞

,0,减区间为()0,1-. 4分

(2)令

()(),0

得0

x,由(1)知()x f在??

-0,1

e上递减,在[]1

,0-

e上递增,

6分

由,21112+=??? ??-e e f ()212

-=-e e f ,且21222+>-e e ,

8分

???--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成

立.

9分

(3)方程

(),2

a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则 ()11

121+-=

='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x .

所以g (x )在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g (0)=1，g (1)=2-2ln2，g (2)=3-2ln3，∴g (0)＞g (2)＞g (1) 10分所以，当a ＞1时，方程无解；当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解，当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解；当a =2-2ln2时，方程有一个解；

当a ＜2-2ln2时，方程无解. 13分字上所述，a )2ln 22,(),1(--∞+∞∈ 时，方程无解；

]1,3ln 23(-∈a 或a =2-2ln2时，方程有唯一解；

]3ln 23,2ln 22(--∈a 时，方程有两个不等的解.

14分

注：解决对数函数问题，首先要看函数的定义域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用定义，也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。

四、对数函数的综合应用

〖例1〗（12分）已知过原点O 的一条直线与函数8log y x =的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y ，轴的平行线与函数8log y x =的图象交于C 、D 两点。（1）证明点C 、D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标。

分析：（1）证明三点在同一条直线上只需证明OC OD k k =；（2）解方程组得1x ，2x ，代入解析式即可求解。

解答：（1）设点A ，B 的横坐标分别为1x 、2x ，由题设知1x >1，2x >1 则点A 、B 的纵坐标分别为81log x 、82log x 。因为A 、B 在过点O 的直线上，所以

8182

log log x x x x =

，

点C 、D 的坐标分别为（1x ，21log x ）、（2x ，22log x ）由于81

218122828log log 3log ,log 3log log 2

x x x x x =

OC 的斜率为1k =

21113log log x x x x =

， OD 的斜率为82

22222

3log log x x k x x =

，由此可知12k k =，即O 、C 、D 在同一直线上。

注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到1x 与2x 关系无法进行正确地转化，并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对1x 、2x 的范围没有搞清楚。

（2）由于BC 平行于x 轴，知21log x =82log x ，

即得21log x =221log 3

x ，3

21x x =

代入281182log log x x x x =，得3

181181log 3log x x x x = 由于11x >，知81log 0,x ≠故3

113x x =

考虑11x >

，解得1x =

于是点A

8log

注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。

〖例2〗设A 、B 是函数y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为a 和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x 图象交于点C, 与直线AB 交于点D

（1）求点D 的坐标；

（2）当△ABC 的面积大于1时, 求实数a 的取值范围

解：（1）易知D 为线段AB 的中点, 因A(a, log 2a ), B(a+4, log 2(a+4))，所以由中点公式得D(a+2, log 2

)

4(+a a )

（2）S △ABC=S 梯形AA ′CC ′+S 梯形CC ′B ′B- S 梯形AA ′B ′B=…=

log2)4()2(2

++a a a ,

其中A ′,B ′,C ′为A,B,C 在x 轴上的射影

由S △ABC= log2)4()2(2

++a a a >1, 得0< a<22－2

（二）幂函数一、幂函数定义的理解 1、相关链接

（1）根据幂函数的定义，如果()f x =x α是幂函数，则x α的系数必须为，且α为常数。（2）几个具体函数的定义 ①正比例函数(0)y kx k =≠； ②反比例函数(0,0)k

y k x x

≠≠； ③一次函数(0)y kx b k =+≠； ④二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠； ⑤幂函数y x α

=（R α∈） 2、例题解析

〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3，m 为何值时，f(x)：（1）是正比例函数；（2）是反比例函数；（3）是二次函数；（4）是幂函数。

分析：（1）（2）（3）（4）可根据函数的定义列出等式或不等式求解。

解答：（1）若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1，解得m=-4/5，此时m 2-m-1≠0，故m=-4/5。（2）若f(x)是反比例函数，则5m-3=-1，解得m=-2/5，此时m 2-m-1≠0，故m=-2/5。（3）若f(x)是二次函数，则-5m-3=2，即m=-1，此时m 2-m-1≠0，故m=-1。（4）∵f(x)是幂函数，故m 2-m-1=1，此时m 2-m-2=0，解得m=2或m=-1。综上所述，（1）当m=-4/5时，f(x)是正比例函数；（2）当m=-2/5时，f(x)是反比例函数；（3）当m=-1时，f(x)是二次函数；（4）当m=2或m=-1时，f(x)是幂函数。二、幂函数的图象及应用 1、相关链接

幂函数y x α=的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：（1）α的正负：α>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

（2）曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸；

（3）α=

（其中m N *∈，n Z ∈且,m n 互质）。 ①当n 为偶数时，()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称； ②当,m n 都为奇数时，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称；

③当m 为偶数，n 为奇数时，()f x 为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。注：幂函数的图象无论α取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。 2、例题解析

〖例1〗已知点在幂函数()f x 的图象上，点124?

?- ??

?，，在幂函数()g x 的图象上．

问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可．

解答：设()m f x x =，则由题意，得2m =， ∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1

(2)4

n =-， ∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出

()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知：

（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；

（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．

注：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠．

〖例2〗已知函数2245

()44

x x f x x x ++=++

（1）求()f x 的单调区间；

（2）比较()f π-与(f 的大小解答：（1）方法一：

2245()44

x x f x x x ++=++=1+2(2)x -+，其图象可由幂函数2

y x -=向左平移2个单位，再向

上平移1个单位得到，如图：

所以该函数在(2,)-+∞上是减函数，在(,2)-∞-上是增函数。

方法二：2245()44x x f x x x ++=++=1+2

(2)x -+，设在定义域内12x x <，则

()()()()

()

()()

121221212

212141

()[12][12]2222x x x x f x f x x x x x x x ---++-=++-++=

++++ ()()1221,2()()0,()2x x f x f x y f x ∈-∞-->=-∞-当，时，在，上是增函数，

()2-∞-即增区间为，；

()()()∈∞∞∞1221当x ,x -2,+时，f(x )-f(x )<0,y=f(x)在-2,+上是减函数，即减区间为-2,+。

（2）∵图象关于直线2x =-对称，又∵

2()2(2)222ππ---=-<---=

-()2f f π??∴->- ? ???

。三、幂函数中的三类讨论题

所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．

类型一：求参数的取值范围

〖例1〗已知函数

223

()()m m f x x

m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m

的值，并确定()f x 的解析式．

分析：函数

()()m

m f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，

且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．

解：∵()f x 是偶函数，∴2

23m m -++应为偶数．

又∵(3)(5)f f <，即2

223

233

m m m -++-++<，整理，得223

5m m -++??

< ???

，∴2

230m m -++>，

∴

312m -<<

．

又∵m ∈Z ，∴0m =或1．

当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2

232m m -++=为偶数．

故m 的值为1，2

()f x x =．

评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

类型二：求解存在性问题

例2 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数

(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

解：∵2()f x x =，则42

()(21)1g x qx q x =-+-+．

假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，设

x x <，

则

(

)

()g x g x

-=-+

122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若

(]

124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，

∞上是减函数，

则应有22

12()(21)0q x x q +--<恒成立．

∵14x <-，24x -≤，∴

1232x x +>．而0q <， ∴

12()32q x x q +<.．从而要使2

()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即

130q -

≤．

若12(40)x x ∈-，，

，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有22

12()(21)0q x x q +-->恒成立．

∵140x -<<，240x -<<，

∴221232x x +<，而0q <，∴

12()32q x x q +>．要使2

()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即

130q -

≥．

综上可知，存在实数1

30q =-

，使得()g x 在(]4--，∞上是减函数，且在(40)-，

上是增函数．

注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况

例3 讨论函数

221

()k

k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．

分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．

解：（1）当2

0k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数；（2）当2

210k k --=

时，1k =

1k =

（3）22

0210k k k k ?+>??--

即01k <<时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小；（4）当2

0210k k k k ?+>??-->??，，即1k <-

或1k >x 的增大而

增大；

（5）当22

0210k k k k ?+

即10k <时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；

（6）当22

0210k k k k ?+??，，

，即11k -<<-时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减

小．

评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．

幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．

【感悟高考真题】

1、（2008年湖南卷13）设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数

()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .

(-1,2)

2、（2009重庆卷文）记3()log (1)f x x =+的反函数为

()y f x -=，则方程

1()8f x -=的解x = ．

【答案】2 解法1由

3()log (1)

y f x x ==+，得13y x -=，即1()31f x x -=-，于是由

318x -=，解得2x =

解法2因为1()8f x -=，所以3(8)log (81)2

x f ==+=

3、（2009北京文）为了得到函数

10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上

所有的点（）

A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C

解析：本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A ．()()

lg 31lg103y x x =++=+，

B ．

()()lg 31lg103y x x =-+=-，

C ．

()3lg 31lg 10x y x +=+-=， D ．

()3lg 31lg

10x y x -=--=.

故应选C .

4、（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3

y x =和

215

94y ax x =+

-都相切，

则a 等于

A ．1-或25-64

B ．1-或214

C ．74-或25-64

D ．7

4-或7

答案：A

【解析】设过(1,0)的直线与3

y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为

320003()y x x x x -=-

即

32y x x x =-，又(1,0)在切线上，则

x =或

032x =-

，

当

00x =时，由0y =与

2159

4y ax x =+

-相切可得

64a =-，当

032x =-

时，由272744y x =-与215

4y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A .

5. （2010全国卷2理数）（2）.函数

1ln(1)

(1)2x y x +-=

>的反函数是

（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）21

1(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）

211(R)x y e x +=+∈ 【答案】D

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得

，即

，又

；

∴在反函数中

，故选D.

6. （2010陕西文数）

7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是

[C]

（A ）幂函数

（B ）对数函数

（C ）指数函数

（D ）余弦函数

解析：本题考查幂的运算性质

)()()(y x f a a a y f x f y x y x +===+

7. （2010上海文数）9.函数3()log (3)

f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是

(0,-2) 。

解析：考查反函数相关概念、性质法一：函数3()log (3)

f x x =+的反函数为

33-=x

y ，另x=0，有y=-2 法二：函数

3()log (

3)f x x =+图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数

3()log (3)

f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2）

【考点精题精练】

一、选择题

1、（湖北黄冈中学·2010届高三10月月考）已知函数

213

()log (2)f x x x =+，则()f x 的单调增

区间为（D ）

A ．1(,4-∞-

B ．1(,)4

-+∞ C ．(0,)+∞ D ．1(,)2-∞-

7答案：D

解析：令220x x +>且14x <-

，即得()f x 的单调增区间为1(,)2

-∞-． 2、设1

32,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，则的值为，（ C ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解：C

)12(log )2(2

3=-=f ，

e e

f f 2

2))2((10=

=-。

3、（2010届·山东烟台开发区高三月考） 11．已知函数2log ()

a y ax x =-在区间[2，4]

上是增函数，则实数a 的取值范围是（B ）

A ．1

(,1)U(1,)

2+∞ B ．(1,)+∞ C ．1(,1)4 D ．

(0,8 4、（2010届·山东省实验高三一诊（文）） 10．函数|

log |)(3x x f =在区间[]b a ,上的值

域为[]1,0，则a b -的最小值为( B ) A ． 31 B. 32

C.1

D.2

5、（2010届·湖南省箴言中学高三一模（文）） 3.

已

知

y x m y x 2

o g l

o g ,10+=<<<，则有 ( A )

A 0

B 10<

C 21<

D 2>m 6、（2009年·山东运河中学10月月考）

12．已知函数

f （x ）＝

???

??>≤)

1(l o g )1(22

1x x x x

，则f （1－x ）的图象是（ D ）

A B C D

7、幂函数y=x m ，y=x n ，y=x p 的图象如下图所示，则（ C ）

A ．m ＞n ＞p

B ．m ＞p ＞n

C ．n ＞p ＞m

D ．p ＞n ＞m

8、当x ∈(1，+∞)时，幂函数y=x α的图象恒在y=x 的下方，则α的取值范围是（ B ） A ．0＜α＜1 B ．α＜1 C ．α＞0 D ．α＜0

9、

则（ A ）

10、函数

(42)

(1)

y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围

是（ B ）．

Ａ．1

2)，Ｃ．(22)-，Ｄ．(11--+ 解析：要使函数

(42)

(1)

y mx x m m mx -

=++++-+的定义域是全体实数，可转化为

2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且2

44(2)0m m ?=-+<．

解得1m >．故选（Ｂ）

11、设集合

B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{22

等于（ A ）

A ．}1|{>x x

B ．}0|{>x x

C ．}1|{-

D ．}11|{>-

12．函数

),1(,11

+∞∈-+=x x x y 的反函数为

（ B ）

A ．)

,0(,11+∞∈+-=x e e y x x

C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x

D ．)

0,(,11

-∞∈-+=x e e y x x

二、填空题

1、函数的定义域是______，单调减区间是_______

2、___-4____。

3、函数

2ln(45)y x x =-++4、

，如果f(x)是反比例函数，则m=___-1___，如果f(x)是幂函数，则m=___2___．

三、解答题

1、若44

(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．

解析：作出幂函数4

y x =的图象如图．

由图象知此函数在(0)(0)-+ ，

，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，4

4x x =．于是有44

(1)(32)m m +<-，即

132m m

+<-．

又∵幂函数4

y x =在(0)+，

∞上单调递增， ∴

132m m

+<-，解得

3m <

，或m ＞4．

上述解法意识到幂函数

(0)y x α

α=>在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展．

2、在对数函数y =log 2x 的图象上(如图)，有A 、B 、C 三点，它们的横坐标依次为a 、a ＋1、a ＋2，其中a ≥1，求△ABC 面积的最大值．

解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a )，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，

log 2(a ＋2))，则△ABC 的面积

S=)]

2(log [log 2)]2(log )1([log 2)]1(log [log 222222++-++++++a a a a a a

22)]2([)1)(2(log 21+++=a a a a a )2()1(log 212

++=a a a a a a a 212log 21222+++=)211(log 2122a a ++=

因为1≥a ,所以34log 21311(log 2122m ax =+=

对数与对数函数

对数与对数函数【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10， 1 2 的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)．【基础再现】 1．对数的定义如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1) ①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________. (3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M N ＝____________； 3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质

5 指、对函数的关系 ③log a M n＝__________(n ∈R)； ④log am M n＝ n m log a M. 【例题选讲】例1 ⑴27 log 9 ，⑵81 log 43 ，⑶()()3 2 log 3 2 - + ，⑷625 log 34 5 例2 ⑴ = ⑵2 5 log()a -= ⑶ 3 log1= = ⑷2 (lg5)lg2lg50 +?＝. ⑸()2 151515 log5log45log3 ?+ 例4 ⑴已知 3 log2a =，35 b=用a b ，表示log

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数 1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂（1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数 1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。（2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。

幂函数指数函数对数函数复习课教学设计

《幂函数指数函数对数函数复习课》教学设计教学内容分析基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型。根据我所任教的学生的实际情况，本节课是学生在已掌握了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的基础上，运用所学函数知识来解决一些实际问题，培养学生数学应用意识。学生学习情况分析学生通过本章学习，已经了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题。课标要求掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质. 掌握指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用。教学目标（一）知识目标 1. 掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质，并应用性质解决简单问题。 2. 通过指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，渗透数形结合、分类讨论、等价转化等思想。（二）能力目标 1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力。 2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力。 3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力。（三）价值目标 1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质。 2．培养学生观察分析、抽象概括能力、数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力。 3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用。教学重点：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质。教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用。教学方法：启发发现法，分小组讨论展示。教学过程：一、基础知识梳理： 1、三类函数的定义：幂函数指数函数对数函数 2、函数性质： 1）幂函数α x y =（α为常数，R ∈α）幂函数的定义域、值域、奇偶性要结合具体的α值来看，但无论α取何值，幂函数的图像一定过定点（1,1）当0<α时，在),0(+∞上，函数单调；

对数函数及其性质学案

§2.2.2对数函数及其性质学案一．学习目标 1．知识技能 ①了解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养严谨的科学态度. 二．学习重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质. 2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 三．学法指导 1．复习指数式与对数式的转化各个字母的取值范围和对数运算法则. 2．动手画图并观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 3．做题时要注意数形结合的思想方法的应用. 四．复习回顾 1.指数式a b =N 中各个字母名称及其取值范围是： a 叫取值范围是： , b 叫取值范围是 , N 叫取值范围是将指数式a b =N 改写成对数式为 ,其中各个字母名称及其取值范围是： a 叫取值范围是： , b 叫取值范围是 , N 叫取值范围是 2.log 1a = l o g a a = l o g n a M = 2(1)log 1= 12 (7)log 1= 2(2)log 2= 12 (8)log 2= 2(3)log 4= 12(9)log 4= 2(4)log 8= 12(10)log 8= 2(5)log 16= 12(11)log 16= 2(6)log 0.5= 12(12)l o g 0. 5=

五、课前预习 1.定义：叫对数函数 (1)对数函数的自变量是； (2)对数函数的定义域是； (3)对数函数的值域是； (4)对数函数的定义中应注意什么？ 2.用描点法画出2y log x =和12 y log x =的图象两图象间的关系 3. 同一个坐标系中画出4log y x =，3log y x =，13 log y x =和14 log y x =的图象

指数函数对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数 1、幂的有关概念正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:

a y x =有下列性质：（1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数．（2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近．（3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．