高三（文科）数学试卷
注意事项：
1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将第I 卷（选择题）答案用2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
第I 卷（选择题 60分）
一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）
1.已知命题0:p x R ?∈，使0sin 2x =；命题:0,2q x π??
?∈ ???
，sin x x >，则下列判断正确的是（ ）
A ．p 为真
B ．q ?为假
C ．p q ∧为真
D ．p q ∨为假
2.“0x >”是“2
2
1
2x x +
≥”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合{}
=lg 1M x x <， {}
2
35120N x x x =-++<则（ ）
A. N M ?
B. R C N M ?
C. ()43,10,3M N ??
?=?-∞-
???
D. ()(]0,3R M C N ?=
4.已知函数()f x 的定义域是[]
0,2，则函数()1122g x f x f x ?
??
?=+
+- ? ?????
的定义域是
（ ） A. 1,12?????? B. 1
,22??????
C. 13,22??
????
D. 31,2??????
5.函数)
3ln
y x x =+的图象大致为（ ）
A B. C. D.
6.已知函数()22log x
f x x =+， ()12
2log x g x x -=-， ()22log 1x
h x x =-的零点分别为
,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为( )
A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. b a c <<
7.已知是的导函数，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数()f x 的零点为1x ， ()422x
g x x =+-的零点为2x ， 120.25x x -≤， ()
f x 可以是（ ）．
A. ()2
1f x x =- B. ()24x
f x =- C. ()()ln 1f x x =+ D. ()82f x x =-
9.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[]a b ，同时递增或同时递减时，把区间[]
a b ，叫做函数()y f x =的“不动区间”.若区间
[]12，
为函数2x
y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（ ）
A. (]
02， B. 12??+∞????， C. 122??????， D. [)1242??
?+∞????，，
11.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设()()4242
f f a -=-，则下列不等式
正确的是（ ）
A. ()()24a f f <'<'
B. ()()24f a f '<'<
C. ()()42f f a ''<<
D. ()()24f f a ''<< 12.已知函数()()
952
41
1m m f x m m x
--=--是幂函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，
()()()12120x x f x f x ??-->??，
若,ab R ∈，且0,0a b a b +><，则()(
)f a f b +的值
（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断
第II 卷（非选择题 90分）
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。） 13.已知函数()()
2
2(1)
{
691x
x f x x x x >=-+≤，则不等式()()1f x f >的解集是_______．
14.已知函数在点处的切线方程为
，则函数
在点
处的切线方程为__________．
15.已知命题p ：“ ?x ∈[1,2]， 230x a -≥”，命题q ：“?x ∈R ， 2
220x ax a ++-=”，
若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是____________
16.如图所示，放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，
y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：
①若－2≤x ≤2，则函数y ＝f (x )是偶函数； ②对任意的x ∈R，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；
③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．
其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题（本题有6小题，共70分。）
17. （本题10分）已知命题:P x R ?∈， 220x x a +-=；命题Q ：当1,33x ??∈????
时，
4
x a x
+
>恒成立.若P Q ∨是真命题，且P Q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 18. （本题12分）已知三个集合： (
){
}
2
2R|log 58 1
A x x x =∈-+=，
{
}
2
28
R|2 1 x
x B x +-=∈=，
{}
22R|190 C x x ax a =∈-+->.
（I ）求A B ?；
（II ）已知,A C B C ?≠??=?，求实数a 的取值范围. 19. （本题12分）已知函数()()27
412
01x x f x a a a --=->≠且．
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集； （2）当[]0,1x ∈时，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 20. （本题12分）已知函数()()2
2ln f x x x a x a =-+∈R .
(1)若函数在1x =处的切线与直线420x y --=垂直,求实数a 的值; (2)当0a >时,讨论函数的单调性.
21. （本题12分）已知函数()22x
x
f x λ-=+?为偶函数．
(Ⅰ)求()f x 的最小值；
(Ⅱ)若不等式()()2f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最小值.
22. （本题12分）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告
总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟.
（Ⅰ）用,x y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;
（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?
高三文科数学试卷
参考答案
一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）
1.B
2.A
3.D
4.C
5.B
6.A
7.B
8.D
9.B 10.C 11.B 12.A
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。） 13.()(),12,-∞?+∞ 14.
15.a≤－2或1≤ a≤3 16.①②④
三、解答题（本题有6小题，共70分。）
17. （本题10分）解：当P 为真命题时， 440a ?=+≥，解得1a ≥-； 当Q 为真命题时， ()4f x x x =+
在区间1,23??
????
上单调递减，在区间[]2,3上单调递增， min 44x x ?
?+= ??
?，则4a <.
由于P Q ∨是真命题，且P Q ∧为假命题，则命题,P Q 一真一假.
(1)若P 真Q 假，则1
{
4
a a ≥-≥，解得4a ≥； (2)若P 假Q 真，则1
{
4
a a <-<，解得1a <-. 综上所述，实数a 的取值范围为()[
),14,-∞-?+∞. 18. （本题12分）解：(1)
{}
{}2R|58 2 2,3A x x x =∈-+==,
{}
{}2R|280 2,4B x x x =∈+-==-,
{}2,3,4.A B ∴?=-
(2)
,A C B C ?≠??=?,
2,4,3.C C C ∴?-?∈
设()2
2
19f x x ax a =-+-，
则()()()222
2
22222190,
{444190, 333190.
f a a f a a f a a =-+-≤=++-≤=-+->
即35,
{22 2 5.
a a a a -≤≤-≤≤-+-或
解得3 2.a -≤<-
所以实数a 的取值范围是[
)3,2.--
19. （本题12分）解：（1
）由于122a -==，于是不等式()0
f x < 即为()1
4127
2
2
2
x x -
--<．．．．．．．．．2分
所以()127412x x -=-
-，解得15
8
x <．
．．．．．．．．．．．．4分 即原不等式的解集为15,
8?
?
-∞ ???
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由()()22414227lg 241lga x lg lg 0128
x x a a x x a --
lg
128
a
f x x a =+，则()
f x 为一次函数或常数函数，由[]0,1x ∈时， ()0f x <恒成立得：
()()242
4
1lg lg 010lg 0321128128320001280128lg 0128a f a a a a f a a a ?+???????<
??
<<
， 又0a >且1a ≠，∴()1,128a ?∈??
?
．
．．．．．．．．．．12分 20. （本题12分）解：函数定义域()0,∞+,求导得()'22a
f x x x
=-+, (1)由已知得()'12124f a =?-+=-,得4a =-;
(2) ()222'22(0)a x x a
f x x x x x
-+=-+=
>,
记48a ?=-, (i)当0?≤即1
2
a ≥
时, ()'0f x ≥,函数()f x 在()0,∞+上单调递增; (ii)当0?>即12a <
时,令()'0f x =,
解得111122
x x ==. 又0a >,故210x x >>.
当()()120,,x x x ∞∈?+时, ()'0f x >,函数()f x 单调递增, 当()12,x x x ∈时, ()'0f x <,函数()f x 单调递减. 综上所述,当1
2
a ≥时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增; 当1
2
a <
时,函数()f x 在()()120,,,x x ∞+单调递增, 函数()f x 在()12,x x 单调递减.
21. （本题12分）解：(Ⅰ) 由题意得()()f x f x -=， 即2222x x x x λλ--+=+在R 上恒成立， 整理得(1λ-)(22)x x --=0在R 上恒成立, 解得1λ=， ∴()22x
x
f x -=+．
设120x x ≤<，
则()()()
1122
122222x x x x
f x f x ---=+-+ ()(
)2
112
12
221222x x x x x x +--=
，
∵120x x ≤<， ∴211
2
220,120x
x
x x +->-<,
∴
()(
)2
112
12
2212022x x x x x x +--<,
∴()()12f x f x <，
∴()f x 在[
)0,+∞上是增函数．
又()f x 为偶函数，
∴()f x 在(),0-∞上是减函数． ∴当0x =时， ()f x 取得最小值2. (Ⅱ)由条件知()2222
2x
x f x -=+= ()()2
2
2222x x f x -??+-=-??．
∵()()2f x f x m ≥-恒成立，
∴()()2m f x f x ≥-= ()()2
2f x f x ??-+??恒成立．
令()()()()2
2
19g x 224f x f x f x ?
???=-++=--+??????
由(Ⅰ)知()2f x ≥，
∴()2f x =时， ()g x 取得最大值0， ∴m 0≥,
∴实数m 的最小值为0．
22. （本题12分）解：（I ）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分
钟，则x ， y 满足的数学关系式为300,
50020090000,
{ 0,
0,
x y x y x y +≤+≤≥≥
该二次元不等式组等价于300,
52900,
{
0,0,
x y x y x y +≤+≤≥≥
做出二元一次不等式组所表示的平面区域
（II ）设公司的收益为z 元，则目标函数为： 30002000z x y =+
考虑30002000z x y =+，将它变形为3122000
y x z =-+. 这是斜率为32-，随z 变化的一族平行直线，当截距
1
2000
z 最大，即z 最大. 又因为,x y 满足约束条件，所以由图可知，
当直线3122000y x z =-
+经过可行域上的点A 时，截距12000
z 最大，即z 最大.
解方程组
300,
{
52900
x y
y y
+=
+=，
得()
100200
A，,
代入目标函数得
min 30001002000200700000
z=?+?=.
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.