2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测
数 学（理科） 2013.4
1. 已知{}{}
24,Z ,13M x x x N x x =-≤≤∈=-<<，则M N = A ．()1,3-
B ．[2,1)-
C ．{}0,1,2
D ．{}2,1,0--
2．已知复数z 的实部为1，且2z =，则复数z 的虚部是
A ．
B
C ．
D ．3．已知数列}{n a 是等差数列，若3,244113==+a a a ，则数列}{n a 的公差等于 A ．1
B ．3
C ．5
D ．6
4. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是 A ．30 B ．60 C ．70 D ．80 5．函数()sin 2f x x ππ??
=+
??
?
，]11[，
-∈x ,则 A ．()f x 为偶函数，且在]10[，
上单调递减； B ．()f x 为偶函数，且在]10[，
上单调递增； C ．()f x 为奇函数，且在]01[，
-上单调递增； D ．()f x 为奇函数，且在]01[，
-上单调递减. 6．下列命题中假．命题．．
是 A ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；
C ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．
7．直线0102=-+y x 与不等式组0024320
x y x y x y ≥??≥?
?-≥-??+≤?表示的平面区域的公共点有
A ．0 个
B .1 个
C .2个
D .无数个
8．将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法： ①()f x 的值域为[0,2]； ②()f x 是周期函数；
③( 1.9)()(2013)f f f π-<<；
第4题图
第8题图
④
6
9
()2
f x dx π=?
.
其中正确的说法个数为:
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题) 9．命题“?0x ∈R ，0
x e
≤0”的否定是 .
10. 已知向量,a b
满足1,==
a b ()-⊥a b a , 向量a 与b 的夹角为 .
11．若二项式()12n
x +展开式中3
x 的系数等于2
x 的系数的4倍，则n 等于 .
12．已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上,则圆C 的方程为 . 13．将集合{22s
t
+|0s t ≤<且,s t Z ∈}中的元素按上小下大， 左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列 的数记为i j b （0i j ≥>）,则65b = . (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ= 的交点分别为A B 、，则线段AB 的垂直平分线的 极坐标方程为 ．
15．（几何证明选讲）如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O
相切于点C ， AD CE ⊥于D ，若1AD =，设ABC θ∠=， 则sin θ=______．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限， 已知(1,3)A -.
（1）若OA OB ⊥,求tan α的值； （2）若B 点横坐标为4
5
,求AOB S ?. 17．（本题满分12分）
356910
12
第13题图
D
C
第15题图
市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否
堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A 、B 、D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是
110,道路C 、E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是1
5
，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到. （1）求李生小孩按时到校的概率； （2）李生是否有七成把握能够按时上班？ （3）设ξ表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数，求ξ的均值.
18．（本题满分14分）
如图甲，设正方形ABCD 的边长为3,点E F 、分别在A B C D 、上,并且满足22AE EB CF FD ==，,如图乙,将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置,使点1A 在平面EBCF
上的射影G 恰好在BC 上． （1）证明：1//A E 平面1CD F ；
（2）求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值．
19．（本题满分14分）
在平面直角坐标系内，动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切. （1）求动圆圆心C 的轨迹2C 的方程；
（2）中心在O 的椭圆1C 的一个焦点为F ,直线l 过点(4,0)M .若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在曲线2C 上，且直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C 的长轴长取得最小值时的椭圆方程.
20．（本题满分14分）
B
E C
D F
图甲
1
A
E
F
C
1D
图乙
A
第18题图
某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，
环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，
1个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度()f x 与时间x (小时)的关系可近似地表示为：6203
63
()1 36
6
x x x f x x x ?--≤
?-≤≤??,只有当污染河道水中碱的浓
度不低于
1
3
时,才能对污染产生有效的抑制作用. （1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？ （2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到
1
3
时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为()g x ,求()g x 的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．）
21．（本题满分14分）
设函数1
2
2
0()x f x x e
-=?，记0()f x 的导函数01()()f x f x '=，1()f x 的导函数12()()f x f x '=，
2()f x 的导函数23()()f x f x '=，…，1()n f x -的导函数1()()n n f x f x -'=，1,2,n = .
（1）求3(0)f ； （2）用n 表示(0)n f ；
（3）设231(0)(0)(0)n n S f f f +=+++ ，是否存在*
n N ∈使n S 最大？证明你的结论.
理科数学评分参考
一、填空题 CDBCABBC
二、填空题
9．?x ∈R ，x e >0 10．
4
π 11．8 12．()()22
115x y -+-= 13．80 14
．sin 42πρθ?
?+= ??
?（或1cos sin =+θρθρ） 15．13
三、解答题
16．⑴解法1、
由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα， ……1分 (1,3)OA =- ，(cos ,sin )OB αα=
……2分
OA OB ⊥，得0OA OB ?=
……3分
∴cos 3sin 0αα-+=，1
tan 3
α= ……4分
解法2、
由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα ……1分 3OA k =-， tan OB k α= ……2分 ∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ?=- ……3分
3tan 1α-=-， 得1
tan 3
α= ……4分
解法3、 设) , (y x B ，（列关于x 、y 的方程组2分，解方程组求得x 、y 的值1分，求正切1分） ⑵解法1、
由⑴OA == 记AOx β∠=， (,)2
π
βπ∈
∴sin 10β==
，cos 10β==-
（每式1分） ……6分 ∵1OB = 4cos 5α=
，得3
sin 5α==（列式计算各1分） ……8分
43sin sin()10510510
AOB βα∠=-=+=（列式计算各1分） ……10分
∴11sin 12210
AOB S AO BO AOB ?=∠=?
3
2=（列式计算各1分） ……12分 解法2、
由题意得：AO 的直线方程为30x y += ……6分
则3sin 5α== 即43
(,)55
B （列式计算各1分） ……8分
则点B 到直线AO
的距离为d =
=1分） ……10分
又OA ==
∴113222
AOB S AO d ?=
?==（每式1分）…12分
解法3、
3
sin
5
α==即
43
(,)
55
B（每式1分）……6分即：(1,3)
OA=-
，
43
(,)
55
OB=
，……7分
OA==1
OB=
，
43
13
cos
OA OB
AOB
OA OB
-?+?
?
∠===
……9分（模长、角的余弦各1分）
∴sin AOB
∠==……10分
则
113
sin1
222
AOB
S AO BO AOB
?
=∠==（列式计算各1分）……12分
解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）
17．⑴因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是
1
10
和
1
5
，
因此从甲到丙遇到拥堵的概率是
11113
0.15
2102520
?+?==（列式计算各1分）……2分所以李生小孩能够按时到校的概率是10.1585%
-=；……3分
⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是
17
20
，……4分丙到甲没有遇到拥堵的概率也是
17
20
，……5分甲到乙遇到拥堵的概率是
1111112
3103103515
?+?+?=，……6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是
213
1
1515
-=，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是
1717133757
0.8
2020156000
??=<，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）……8分
⑶依题意ξ可以取0,1,2. ……9分
(0)
Pξ==
1317221
1520300
?=,(1)
Pξ==
21713373
152********
?+?=,(2)
Pξ==
236
1520300
?=,…11分分布列是：
2217368517
0+1+2=
30030030030060
Eξ=???=. ……12分
18．⑴证明：在图甲中，易知//AE DF ,从而在图乙中有11//A E D F ， ……1分
因为1A E ?平面1CD F ，1D F ?平面1CD F ，所以1//A E 平面1CD F （条件2分）……4分 ⑵解法1、
如图,在图乙中作GH EF ⊥，垂足为H ，连接
A H ，
由
于平面
{
}{
}24
,Z ,M x x x N =-
≤≤
∈
，
则
{}{
}24,
M x x =-
≤，
??????????????????????????????????????????????????……5分
所以 EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4
1
AGH ，
A B E C D F
图甲 1
A E
F C 1D 图乙
G M
H 耓 EMBED"???atio 聎.DSMT4 ?? 则
1EF A H
⊥，
……6分
所以1A HG ∠平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的平面角， ……8分 图甲中有EF AH
⊥，又GH EF ⊥，则A G H 、、三点共线， ……9分
设CF 的中点为M ，则1
MF =，易证ABG EMF ???，所以，1BG MF ==，AG =……
11分（三角形全等1分）
又由ABG AHE ?? ，得1AB AE A H AH AG === ……12分 于是，HG AG AH =-= ……13分
在1
Rt AGH ?中，112
cos 3
HG AGH A H ∠==，即所求二面角的余弦值为23．……14分
解法2、
如图,在图乙中作G H E F ⊥，垂足为H ，连接1A H ，由于1
AG ⊥平面E B C F ，则1A G EF ⊥， ……5分
E ?ion.D C 聄SMT4
G 图丙
所以EF ⊥平面1
AGH ，则1E F AH ⊥，图甲中有EF AH ⊥，又G H E F ⊥，则A G H 、、三点共线， ……6分
设CF 的中点为M ，则1MF =，易证ABG EMF ???，所以1BG MF ==
，则AG =
又由ABG AHE ??
，得1AB AE A H AH AG ===
……7分
于是，HG AG AH =-=
在1Rt AGH ?
中，1AG ===……8分
作//GT BE 交EF 于点T ，则TG GC ⊥，以点G 为原点，分别以1GC GT GA 、、所在直线为x y z 、、轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)G 、(1,1,0)E -、(2,2,0)F
、
1A
，则1(1,3,0)(1,1EF EA ==-
，（坐标系、坐标、向量各1分） ……11分
显然，1GA =
是平面BEFC 的一个法向量， ……12分
设(,,)n x y z = 是平面11A EFD 的一个法向量，
则130,
n EF x y n EA x y ?=+=??=-+=?? ，
即3,x y z =-???=-??，
不妨取1y =-
，则(3,1n =-
， ……13分
设平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，所以
，
112|2
c o s 3||||G A n G A n θ== ，所以，平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面
角的余弦值为2
3
． ……14分
19．⑴由题可知，圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等 ……2分
由抛物线定义知,C 的轨迹2C 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线 ……4分 （确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）
所以动圆圆心C 的轨迹2C 的方程为24y x =. ……5分 ⑵解法1、
设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22
m n
， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以
(4)221n
m k n k m ?=-?????=-??，即80km n k m nk -=??+=?，解之得2228181k m k k n k ?=??+??=-?+?
（中点1分，方程组2分，化简1分） ……8分 将其代入抛物线方程，得：2
222
88()411k k k k
-=?++，所以21k =. ……9分 联立 2222(4)1
y k x x y a
b =-??
?+=??，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分
由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ?=--+-≥，得2216a b +≥， ……12分 注意到221b a =-，即2217a ≥
，所以a ≥
，即2a ≥ ……13分
因此，椭圆1C
.此时椭圆的方程为22
+
1171522
x y =. ……14分 解法2、
设2,4m P m ??
???
，因为O P 、两点关于直线l 对称，则=4OM MP =， ……6分
即4=，解之得4m =± ……7分
即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限，且直线与抛物线交于,A B .则
11AB
OP
k k =-=,于是直线l 方程为4y x =-（斜率1分，方程1分） ……9分
联立 222241
y x x y a
b =-??
?+=??，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-= ……11分
由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ?=--+-≥，得2216a b +≥， ……12分 注意到221b a =-，即2217a ≥
，所以a ≥
，即2a ≥ ……13分 因此，椭圆1C
. 此时椭圆的方程为22
+
122
x y =. ……14分
20．⑴由题意知03612 633x x x ≤
x x ≤≤??
?-≥?? ……2分
解得13x ≤<或34x ≤≤，即14x ≤≤ ……3分 能够维持有效的抑制作用的时间：413-=小时. ……4分 ⑵由⑴知，4x =时第二次投入1单位固体碱，显然()g x 的定义域为410x ≤≤ ……5分 当46x ≤≤旦?箬一?投┾1单位噺佗碱辈有残煑,故?? EM 聂Ed"Equation/3
()g x =1 6x ??
- ???+?? EMCED ??quaU?ol.3 (4)626(4)3x x ??---??-+??
=S EM ?UD Equatio ??3 ?116331
x x ---; 0! ? 0 ` ……6分 当? EM 聂ED Mquation.3 610x <≤时，第一欠抱放0单位哸体碱已无殛留$?
彑67x <≤09时，? EMBED EqtatioN.3 A =?
;?$? ? 蠠
Р" !……7分耍??时， ? EM 聂ED Equatio ?.3 ?老
; ?
$ ……8分
??时， ? EM 聂ED Equatio ?.3 ?老
; ? $ ……8分
牀以? ?MB ?D ?EquatIon.3 11646
33186()67361
5 71036x x x x g x x x x x ?--≤≤?-??=--<≤?-??-<≤??
?Р 0 ? 0耠?( ? ? `" ` ?…9分
当46x ≤≤时， 09 EM@EF Equat)on.3
A
=
101610()3
313x x --+≤--
=103-当且仅当1631
x x -=-时取“=”,
即1[4,6]x =+（函数值与自变量值各1分）……11分 当610x <≤时，第一次投放1单位固体碱已无残留，
当67x <≤时， 2261(5)(7)()0(1)66(1)
x x g x x x +-'=-=>--，所以()g x 为增函数; 当710x <≤时，()g x 为减函数;故 max ()g x =1(7)2
g =， ……12分
又101(032--=>,
所以当1x =+时，水中碱浓度的最大
值为103
-……13分 答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的悑刷作用的时间为?
小时；第一次投放
1+小时后,
水中碱浓度的辞到最奧?为103
-? ? (……14分 r1．⑴易得,Ь $ ( ……?分
EMBED Eauation.DS 聍?4$ ????????????????????????РР?????????…??分
?不失一?怇，设函数?? EM ??D$E ?u!tion.DSET6
? EMBDD ?qu ?tion.DSMT4??，其中 ?，帼数{}{}24,Z ,13M x x x N x x =-≤≤∈=-<
对1()n f x -求导得：2111111()[(2)()]x n n n n n n f x a x a b x b c e λλλλ------'=?++?++?? ……4分
故由1()()n n f x f x -'=得： EMBED Equation.DSMT4 ①， ②， ……5分 EMBED Equation.DSMT4 ③
由①得： EMBED Equation.DSMT4 ， ……6分
代入②得： EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，其中1,2,n =
故得：12,n n b n n N λ-=?∈. ……7分 代
入③得：212n n n c n c λλ--=?+?，即 ，其中{}{}24,Z ,13M x x x
N x x =-≤≤∈=-<
故得：{}{}24,Z ,13M x x x N x x =-≤≤∈=-<<，??????????????????????????????
……??分 将
代入得：
?????
分（2）由（1）知，
当
PAGE 86
{}{}
M x x x N x x
=-≤≤∈=-<<
24,Z,13
，故当
最大时，n为奇数. ……10分
21(2)n k k =+≥
理科试题参考答案 第 91 页 共 91 页 PAGE 91
Equation.DSMT4 21212221(0)(0)k k k k S S f f +-++-=+ ……11分
又 EMBED Equation.DSMT4 ，21211(0)2(21)()2
k k f k k -+=+- 221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-211(21)(1)()02
k k k -=+--<， 2121k k S S +-∴<，因此数列{}21(1,2,)k S k += 是递减数列 ……12分
又12(0)2S f ==，{}{}24,Z ,13M x x x N x x =-≤≤∈=-<<， ……
????分
故当{}{}2
4M x =-或{}{}2
M =时，n S