小升初名校真题专项测试-----几何篇（二）
测试时间：15分钟姓名_________ 测试成绩_________ 1、求下图中阴影部分的面积：（05年101中学入学测试题）
【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
2、从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表
面积是_________平方厘米. （06年清华附中入学测试题）
【解】最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为(8×7+8×6+7×6) ×2-6×6×2=220.
3、有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米. （06年三帆中学考试题）
【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），
每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．
4、右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（π＝3.14）
（06年西城某重点中学测试题）
7的小圆的周长加上1个大圆的周长，即7×π
5、有四个半径为3
【解】如图，连接四个圆心，那么有阴影部分面积为正方形面积减去4个1
圆的面积。
则阴影部分面积为(3×2)2
6、一千个体积为1大正方体表面涂油
【解】：共有10×10×10＝1000个小正方体，其中没有涂色的为(10－2)×(10－2)×(10－2)＝512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000－512＝488个。
第三讲小升初专项训练几何二：圆和立体
引言：立体图形是近两年来小生初的考察新热点，由于立体图形考察学生的空间想象能力，更反映学生的本身潜能，所以越来越受到学校的欢迎；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。
【典型题目解析】：
一、圆与扇形
【例1】．（★★★）在图中，一个圆的圆心是O，半径r＝9厘米，∠1＝∠2＝15o。那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14.）
[方法一]：
[思路]：要求扇形面积，只有知道圆心角的度数，所以我们退求圆心角。
解：各角标号后见下图，因为OA=OB=OC=半径，∠1＝∠2＝15o，所以∠3＝∠1＝∠2＝∠4＝15o∠1+∠3＝15o+15o =30o，∠5＝∠6＝180o-30o=150°，所以∠7＝360o-150°×2=60°
所以面积=（60/360）×π×9×9=42.39
[总结]：基础知识一定要牢记，象这种题就是考察学生的基础知识能力。
[方法二]：运用定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
解：圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．这样的话，我们很快发现∠7＝2×（∠1+∠2）＝2×（15o+15o）=60°，所以面积=（60/360）×π×9×9=42.39
[总结]：这种结论的运用对解题速度的提高有很大的提升，所以见过以后尽量学会运用！
【例2】、（★★★★）如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1。求阴影部分的面积。
[方法]：面积的加减
[思路]：由于直接求阴影面积太麻烦,所以我们考虑用增加面积的方法来构造新图形.
解:由图可见,阴影面积等于1/6大圆面积减去一个小圆面积,再加上120°的小扇形面积
×5÷6
所以面积=
【例3】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？
【解】：（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，
所以羊活动的范围是
二、立体几何
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
【例4】.（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
[方法一]：
[思 路]：整体看待面积问题。
解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1，
所以，总计9×2+7×4=18+28=46。
[方法二]：
[思 路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积
解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。
[方法三]：直接数数。
[思 路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。
【例5】．（★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
[方法一]：
[思 路]：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去是都还是面积不变的，
特别是从上往下看是，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加
了3个小正方体的各自侧面。
解：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，增加的面积1×4+(
21×21)×4+(41×41)×4，所以总共面积为24+1×4+(21×21)×4+(41×41)×4=294
1 [方法二]：
[思 路]：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被去掉了一个1×1的小正方形，但是内部增加了5个1×1的面，所以总共增加了4
个1×1的面，即正方形小洞的4个侧面-同样，再往下挖掉一个边长为
21的正方体后，大正方体的表面积又增加4个21×21的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为4
1厘米的正方体后，大正方体的表面积又增加了4个41×4
1的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积=24+1×4+(21×21)×4+(41×41)×4=294
1 [总 结]：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生必须学会如何看待面积的变化。
【例6】．（★★）如图是一个边长为4厘米的正方体，分别从前后、左右、上下各面的中心处向内挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具。它的表面积是多少平方厘米？
[方法一]：
4-1×2=2厘米，说明挖去小正方体后，大正方体的中心还是实心的。每挖去一个小正方体表面积增加1×
1×4=4平方厘米。共挖去6个小正方体，表面积共增加4×6=24平方厘米。
解答：原来表面积=4×4×6=96平方厘米，新增表面积=1×1×4×6=24平方厘米，现在表面积=96+24=120平方厘米。
[拓 展]：如果上题中挖去的是边长为1的正方形，但高是1.5呢？求产生新图形的表面积？
【例7】（★★★）现有一个棱长为1cm 的正方体，一个长宽为1cm 高为2cm 的长方体，三个长宽为1cm 高为3cm 的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。
例：
【解】：立体图形的形状如下图所示。（此题十分经典）
从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；
从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；
从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；
隐藏着的面积有2cm2。
一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。
【例8】．（★★）有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？
[方法一]：
[思路]：等积变化问题，抓住体积不变。
解答：将石子看成水，那么就相当于大小两桶水分别倒入空的中、小池，中池水面高6厘米，小池水面高4厘米，由此得出中水池中石子的体积相当于3×3×0.06 ，同理小池中的石子的体积相当于2×2×0.04 ，这样把这么多的水都倒入大水池中，这样升高了：（3×3×0.06+2×2×0.04）÷（6×6）=7/360米=35/18厘米。
[方法二]：
[思路]：
解：将体积相等的碎石放入不同的水池中，水面升高的高度比是水池底面积比的反比。
大正方形水池的底面积是6×6=36平方米。
中正方形水池的底面积是3×3=9平方米。
小正方形水池的底面积是2×2=4平方米。
大、中正方形水池的底面积比是36：9=4：1。将放入中水池，使中水池的水面升高6厘米的碎石放入大水池中。则大水池水面升高6×1/4=6/4厘米=3/2厘米。
大、小正方形水池的底面积比是36：4=9：1。将放入小水池，使小水池的水面升高4厘米的碎石放入大水池中。则大水池水面升高4×1/9=4/9厘米。
3/2+4/9=35/18厘米。
将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了35/18厘米。
[总结]：等积变化是很重要的知识点，要求学生必须学会运用。
【例9】．（★★★）今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体。现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体。问剩下的体积是多少立方厘米？
[思路]：切下的体积要最大，我们就看能切下的最大边长是多少。因为21>15>12，所以第一块切下的是12×12×12；把剩余部分看成12×15×（21-12）的长方体，15>12>(21-12),所以第二块切下
的是9×9×9；同理，第三块切下的是6×6×6。
解答：原来体积=21×15×12=3780立方厘米，切下的第一块体积=12×12×12=1728立方厘米，切下的第二块体积=9×9×9=729立方厘米，切下的第三块体积=6×6×6=216立方厘米，
剩下的体积=3780-1728-729-216=1107立方厘米。
[总结]：题目的思路与平面问题中长方形中切最大的正方形的思路相同，可以联系看待。
【例10】．（★★★）某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图6-9所示在三个方向上加固。所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，由这个长方体包装箱的体积是多少立方米？
[方法一]：
[思路]：如果将三条尼龙绳长各减去5厘米，则它们的长度分别等于长方体长加宽的2倍、长加高的2倍和高加宽的2倍，由此即可算出长方体邮件包装箱的长、宽、高.
解：去掉接头处重叠的5厘米，三条尼龙条分别长360、400和480厘米.将它们都除以2，则得到的180、200和240厘米，分别是立方体长加宽、长加高和宽加高的长度.那么180+200+240=620厘米则是2倍的长加高加宽的长度. 因此该立方体长+高+宽=310厘米.那么310—180、310—200和310—240就分别是立方体的高，宽和长，即130厘米、110厘米和70厘米.
从而该立方体的体积为 1.3×1.1×0.7=1.001立方米.
[方法二]：
[思路]：设方程
解答：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则：
2(x+y)=365-5，2(y+z)=405-5，2(z+x)=485-5，
x+y+z=310厘米,x=110厘米=1.1米，y=70厘米=0.7米，z=130厘米=1.3米，
所以，长方体的体积=1.3×1.1×0.7=1.001立方米。
【例11】、（★★★★）用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方形体，如下图；大正方体内的对角线AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个？
[思路]：因为对角线穿过的都是红色小正方体，所以我们从红正方体入手，找出红色的用了多少个，这样我们通过总共的减去红色的就是无色小正方体的个数。
解：对角线AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方体中除了正中央的那个小正方体，每条对角线都没穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过的小正方形个数：
（401-1）÷4+1=101
这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成，因此大正方体由101×101×101个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有101×101×101-401=1029900。
【例12】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？
【解】：正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；
由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。
所以共有正方体 22＋4=26（个）。
由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。
【例13】（★★★★）左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。
【解】：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。
（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。
（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定
其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。
边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。
（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如右上图
【例14】（★★★）有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？
【解】：
设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3。一个甲种木块的体积是1×1×1=1；一个乙种木块的体积是2×2×2=8；一个丙种木块的体积是3×3×3=27。
3+2=5。则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是5。体积是5×5×5=125。
需要丙种木块1块，乙种木块1+1×2+2×2=7块。
丙种木块的体积是27，乙种木块的体积是8×7=56。
125-27-56=42。需要甲种木块42/1=42块。
1+7+42=50块。
【课外知识】
剪正方体
此题旨在培养同学们的空间想象力和动手能力
将一个正方体（图1）剪开可以展成一些不同的平面图形（图2）。
图1正方体
（1）（2）（3）（4）
图2 正方体的平面展开图
其中的图2的（1），（2）都是“带状图”，好像是一条完整的削下来的苹果皮。仔细观察（1），（2）两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用”，除了两头的两个正方形以外。再观察图（3）和图（4），由于这两个图中每个都有一个正方形（粉色）有两条以上的边（图（3）有3条，图（4）有4条）与周围的正方形“共用”。所以图（3）和图（4）都不是“带状图”。
问题1：运用你的空间想象力或者动手将图2的四个图折成正方体。
问题2：除了图（1）和图（2）以外还有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，你能找出来吗？
答案：
小升初专项模拟测试题---几何（二）
1、（★★★）如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积。
解：阴影部分由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了.由已知若分别连结AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°，即∠AO2B＝120°。
这样就可以求出以O 2为圆心的扇形AO 1BO 2的面积，然后再减去三角形AO 2B 的面积，就得到弓形面积，三角形AO 2B 的面积就是二分之一底乘高，底是弦AB ，高是O 1O 2的一半。
2、（★★）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、
3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？
解：原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形
3、（★★）如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？
解：没打洞之前正方体表面积共 6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面积减少 6又增加 6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.
4、（★★★）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？
解：如图，可有如下三种情况比较后可知：
（1）30×10×5=1500立方厘米
（2）35×10×5=1750立方厘米
（3）20×20×5=2000立方厘米
最后一个容积最大。
5、（★★★）如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。
解：412平方厘米
所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积正六边
可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么∠AOC＝120°，又知四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC＝120°，这样就得求出扇形的面积。
＝1040—628＝4１2（平方厘米）
6、右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
答案:48平方厘米
7、如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
答案:100平方米
8、有一个棱长为2的正方体，在它的上面依次摞放一些其他的正方体（如右图），已知所有这个物体的表面积超过39，求至少有几个正方体摞在一起
（06年实验中学培训部测试题）
答案:6个
高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相 邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫 做棱柱。 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ?L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 侧棱垂直于底面底面为矩形 侧棱与底面边长相等 棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所 成 的 角 分 别 是 αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱 柱的高） 2.圆柱 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 侧面 母线
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一) 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学过程： 一、创设情景，揭示课题 1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？ 2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间围上研究过哪些？ 3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算. 二、讲授新课：
1. 教学棱柱、棱锥的结构特征： ①提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？ ②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？ ③定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱. →列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线. ④分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’ ⑤讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？ ⑥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. →讨论：棱锥如何分类及表示？ ⑦讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？ 棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. 2. 教学圆柱、圆锥的结构特征： ①讨论：圆柱、圆锥如何形成？ ②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥. →列举生活中的棱柱实例→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法 ③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→柱体、锥体. ④观察书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体. 3.质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
第8讲立体几何中的向量方法(二) 【2014年高考会这样考】 考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小．【复习指导】 复习中要掌握空间角的类型及各自的范围，掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系． 基础梳理 1．空间的角 (1)异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (3)二面角的平面角 如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．
2．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的 大小θ＝〈AB →，CD →〉． (ⅱ)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 三种成角 (1)异面直线所成的角的范围是? ?? ??0，π2； (2)直线与平面所成角的范围是???? ??0，π2； (3)二面角的范围是[0，π]． 易误警示 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 双基自测 1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是( )． A ．90° B ．30° C ．45° D ．60° 解析 ∵cos 〈a ，b 〉＝12·2 ＝12，
１ 一、选择题 1. 如图，在体积为 1的三棱锥A BCD -侧棱A B A C A D ，，上分别取点E F G ，，，使21AE E B AF F C AG G D ===∶∶∶∶，记O 为三平面BCG CD E DB F ，，的交点，则三棱锥O BCD -的体积 等于（ ） Ａ． 1 9 Ｂ． 18 Ｃ． 17 Ｄ． 14 2. 木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积是地球表面积的（ ） Ａ．60倍 Ｂ． Ｃ．120倍 Ｄ． 3. 三棱锥P ABC -中，PA PB PC ，，互相两两垂直，且14PC PA x PB y x y ===+=，，，，则三棱锥 P ABC -体积的最大值（ ） Ａ．1 Ｂ．1 3 Ｃ． 23 Ｄ．不存在 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点所确定的过该直线的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．至多3个 5. 异面直线a b a b c ，，⊥，与a 成30 角，则c 与b 成角范围是（ ） Ａ．[6090] ， Ｂ．[3090] ， Ｃ．[60120] ， Ｄ．[30120] ， 6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，表面的对角线与1AD 成60 的有（ ） Ａ．4条 Ｂ．6条 Ｃ．8条 Ｄ．10条 7. 如果两面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到αβ，和棱l 的距离分别为4 和为（ ） Ａ．45 或30 Ｂ．15 或75 Ｃ．30 或60 Ｄ．15 或60 8. 下列四个命题，下确的结论个数有（ ） ①若三条直线两两相交，则它们组成的图形为平面图形 ②一条直线和一个点确定一个平面 ③若四点不共面，则每三点一定不共线 ④三条平行线确定三个平面 Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 9. 下列命题中正确的是（ ） Ａ．两条直线可以确定一个平面 Ｂ．一组对边平行的四边形是平面图形 Ｃ．一个点与一条直线可以确定一个平面 Ｄ．两两相交的三条直线一定共面 10. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ） ①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行 ②平行于同一条直线的两条直线 ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交 ④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a b ∥，c d ∥，且a d ∥，那么b c ∥ Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③ 11. 下列说法中错误．．的个数是（ ） ①过平面外一点有一条直线和该平面平行 ②过平面外一点只有一条直线和该平面平行 ③过平面一点外有且只有一条直线和该平面平行 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 A E B F O C G D
第三讲 几何——曲线形面积与立体几何 ---- w，?顷■■ - _斤 知识点拨 圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面，因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知 识链接性好的学生. 、与圆的面积相关的方法: ⑴割补、平移、旋转法：涉及到圆或扇形与其他图形的组合图形的面积无法用公式直接求出，但通过几个 减计算. ⑶容斥关系法：本质上还是割补法，只是涉及到面积的重复统计，需要将多计的面积去除. 二、立体几何相关的方法： ⑴拼接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算. ⑵三视图法：主要适用于求正方体积木塔图形的表面积计算，以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面. ⑶切片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算，将立体图形沿某个方向切成多片， 化立体为平面. ⑷套模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图，以最适合该立体图形的基本几何图形为模型，再在该图形上进行切割. 如例题精讲 模块一、曲线形面积 【例1】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）. 60
【例2】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角 形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留n） 【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米.如下图所示，三角形由位置I 绕A点转动，到达位置H,此时B , C点分别到达B1, C1点；再绕B1点转动，到达位置川，此时A , G点分别到达A2, C2点?求C点经C1到C2走过的路径的长. 【例3】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC 60，此时BC长5厘米.以点B为中心，将ABC 顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（n取3） 【巩固】（2008年学而思杯”数学试题）如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC 2厘米，AC 4厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为____________________________ .（n 3.14）A 【例4】如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米?现在以C点为圆心，把三角形ABC 顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是______________ 平方米.（n 3.14）
专题八 立体几何初步 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 答案部分 1．C 【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底 面垂直的四棱锥，如图所示， D C B A P 易知，BC AD ∥，1BC =，2AD AB PA ===，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PAD ?，PAB ?为直角三角形，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ， PA BC ⊥，又BC AB ⊥，且PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ，又PB ?平面 PAB ． BC PB ⊥，∴PBC ?为直角三角形，容易求得3PC = ，CD = ，PD =，故PCD ?不是直角三角形，故选C ． 解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ABCD -，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C ． P D C B A 2．B 【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长 16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则2=MS ，4=SN ，则从M 到N =B ． S N M 图① 图②
3．A 【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以 是虚线，结合榫头的位置知选A ． 4．B 【解析】设等边三角形ABC 的边长为x ，则 2 1sin 60932 x =6x =． 设ABC ?的外接圆半径为r ，则6 2sin 60 r =，解得r =，所以球心到ABC ?所 在平面的距离2d = =， 则点D 到平面ABC 的最大距离146d d =+=，所以三棱锥D ABC - 体积的最大值max 11 6633 ABC V S ?= ?=?=B ． 5．D 【解析】如图以1AA 为底面矩形一边的四边形有11AAC C 、 11AA B B 、11AA D D 、11AA E E 4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D ． E 1 E A A 1D C D 1 C 1B 1 B 6．C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体 的体积1 (12)2262 V = ?+??=．故选C ． 7．B 【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形 之和为1 2(24)2122 ? +?=．选B ． 8．B 【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高 为4的圆柱，其体积2 13436V =π??=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆 柱的一半， 其体积221 (36)272 V = ?π??=π，
学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版 【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆 的标准方程为（ ） A ．221259x y += B ．221259y x += C ．22179y x += D ．22 179 x y += 【例2】 已知椭圆22 15x y m +=的离心率10e 5= ，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．25 3 或3 【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的 轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率1 2 e = ，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．22143x y += B ．22186x y += C ．2 212 x y += D ．2 214 x y += 【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2 =，右焦点为(0)F c ，，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ， （ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 【例6】 已知22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >或1m <- B ．2m >- C ．12m -<< D ．2m >或21m -<<- 【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ； 典例分析
必修2第二章 单元测试题 学号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A 、A B α? B 、AB α? C 、由线段AB 的长短而定 D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 A 、三点确定一个平面 B 、四边形一定是平面图形 C 、梯形一定是平面图形 D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60 o 角 5、若直线l //平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是 A 、l //α B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、l 与a 没有公共 点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与 EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面ABC 内 D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ， a ∥ b ，则a ∥M ；③若a ⊥ c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于
第四讲立体几何题型归类总结 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r=（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. B
注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：23 44,3 S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径） 1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的
平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式： S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=2 22rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2 r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 侧面 母线 B
高中数学必修2《立体几何初步》单元测试一 一、填空题（每小题5分，共70分） 1. 如图是长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_ _ 块木块堆成。 2、给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 其中错误命题的个数为 3．已知a 、b 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ?α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是________________。 4.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行； （3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题．．． 的序号 （写出所有真命题的序号） 5、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 . 6、已知二面角α—l —β为60°，若平面α内有一点A 到平面β的距离为3，那么A 在平面β内的射影B 到平面α的距离为 . 7、如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为 8、以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角B AD C --等于 .时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形。 9、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、、DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。 给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第1题图 主 视图 左视图 俯视图
第十八讲 用传统方法解立体几何问题 一、 基础知识点： 模块化书写范式： 知识点一 直线与平面平行 1．判定定理 l αααα? ? ?????? 2. b α βαβ? ? ????? ＝ 1．判定定理 b ββ?? ， //,//,b A m b n n B ββ=??=
2 b a ββα? ? ?????? ＝＝1．直线与平面垂直的定义 条件：直线l 与平面α内的任一条直线都垂直． 结论：直线l 与平面α垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 b 1．定义 ○ 1一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ○ 2直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 注：（1）一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内， 就说它们所成的角是0的角，可见，直线和平面所成的角的范围是0 ,90???? ． （2）直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影.
（3）试着与向量夹角，直线倾斜角，直线夹角，异面直线夹角范围作比较！ （4）线面角的实质是什么？两直线夹角！ （5）考试中一般先要证出哪个角是所求的线面角，再来求其度数！当然，若是用间接法， 可以省去第一步！ 2．平面与平面垂直的判定定理 3 a βββ?=? ???? ?⊥? 1. 三垂线定理: (1)斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影． 注：垂线段比任何一条斜线段短． ⑵三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和 这条斜线垂直. 即 ,a PA a OP a OA OA ααα?,⊥,? ?⊥?⊥?? 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线的射影垂直.即 ,,a PA A a OA a OP O OP αααα?,⊥,? ?⊥?⊥∈?? 垂足为 注：（1）三垂线定理要而言之为：垂直斜线?垂直射影 （2）三垂线定理在高考中不能直接用，但是如果知道它，对于我们看问题将会非常简便， 无非就是再证一遍而已。切记！切记！
【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ??∈+∞????，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒 成立，则实数m 的取值范围是 ． 典例分析 恒成立与有解问题
【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．1 8 a >- C ．18a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤
【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(] [)14-∞-+∞，， B ．(] [)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．
第3课时立体几何中的翻折问题和探索性问题［考情分析］翻折问题和探索性问题是近年来高考立体几何中的常见题型?翻折是联结平面几何与立体几何的纽带，实现平面向空间的转化；探索性问题常以动点形式出现，是带着解析几何的味道出现在立体几何中的神秘杀手，让很多学生不知所措！对于这两类题目，破题的秘诀是“以静制动，静观其变！” 热点题型分析 热点1翻折问题 1 ?处理好翻折问题的关键是抓住两图的特征关系，画好翻折前后的平面图形与立体图形， 并弄清翻折前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析 问题和解决问题的依据. 2 ?以翻折棱为基准，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，分别位于两个半平面内的几何元素之间的关系一般是变化的?垂直于翻折棱的直线翻折后，仍然垂直于翻折棱. 1 (2019 ?河北五校联考)如图1，在直角梯形ABCD中，/ ADC= 90°, AB// CD, AD= AB= 2, E为AC的中点，将△ ACD& AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2. 在图2所示的几何体D- ABC中: (1) 求证：BCL平面ACD (2) 点F在棱CD±,且满足AD//平面BEF求几何体F-BCE的体积. 解(1)证明：??? AC= .A D + cD= 2 2,/ BAC=Z ACD= 45°, AB= 4,???在△ ABC中， B C=A C+A B—2AC^ ABx cos45 = 8, ? A B=A C+B C= 16,.?. ACL BC ???平面ACDL平面ABC平面ACD?平面ABC= AC BC?平面ABC「. BCL平面ACD (2) T AD/平面BEF AD?平面ACD 平面ACD?平面BEF= EF, ? AD// EF, ?/ E 为AC的中点，? EF ACD的中位线, 由(1)知,V F—BCE= V B—CEF= — X & CE F X BC 3 S A CE=4S^AC= 4 X2 X2X 2= 2 ,
高中数学第一章立体几何初步1.1简单旋转体学案北师 大版必修212250513 [学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类. 【主干自填】 几种简单旋转体
【即时小测】 1．思考下列问题 (1)铅球和乒乓球都是球吗？ 提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义． (2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？ 提示：它们的底面都不是圆，而是圆面． 2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥 C．球D．圆台 提示：C 由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面． 3．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 提示：D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误． 例1 有下列说法： ①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；
②球的直径是球面上任意两点间的连线； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球． 其中正确的序号是________． [解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误． [答案]① 类题通法 透析球的概念 (1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆． (2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义． [变式训练1]下列命题： ①球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ②球面上任意三点可能在一条直线上； ③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面． 其中正确的命题序号为________． 答案③ 解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错； ②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确. 例2 下列命题： ①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱的任意两条母线平行； ④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥． 其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行
4. 、选择题 1. 2. 3. 第8讲立体几何中的向量方法（二） 两平行平面 a , 3分别经过坐标原点 1,0,1），则两平面间的距离是（ 3 A. 2 B. C. 解析两平面的一个单位法向量 答案 B n o = 已知向量m n 分别是直线l 和平面 l 与a 所成的角为 A . 30° B. 60° 解析 答案 设I 与a 所成的角为9，则 O 和点A （2,1,1），且两平面的一个法向量 n =（— ,；3 .3 '2 孑，0, ￥，故两平面间的距离 的方向向量、法向量, C. 120° sin 9= |cos 〈m n > cos 〈 m D. d = | OA n o | n >=— ￡ 则 150° 9 = 30°. ABC — A 1B1GD 中，AB= AA = 2, AD= 1, E 为CC 的中点，则异面直线 BC 与AE 所 成角的余弦值为 /V . . s 10 长方体 ). °迺 10 解析 建立坐标系如图， 则 A (1,0,0),日0,2,1),巳1,2,0) , C (0, 2,2). BC = ( — 1,0,2) ,AE = ( — 1,2,1), cos 〈 BC, AE 〉 BC ? AE ^30 "~f__ = 70. I BC || AE 所以异面直线 BC 与AE 所成角的余弦值为 千^0 答案 B 已知直二面 角 a , ACL l , C 为垂足，点 B € 3 , BDL l , D 为垂足，若 AB= 2, AC = BD= 1,贝U CD=( A . 2 B. ■■3 C. 解析 如图，建立直角坐标系 D-xyz ，由已 .1
第3讲数列的小伙伴们 满分晋级 数列3级 等差数列深入 数列2级 数列的小伙伴们 数列1级 与数列的第一次 亲密接触 知识切片 <教师备案>本讲内容分成两部分：3．1等比数列的基本量；3．2等比数列的性质初步．本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡．本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些 具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公 式以及正确计算等比数列的项数．再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质．希 望把概念分开讲解，分别配例题．国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽 量不用了，由汉诺塔引入．
等比数列引入 汉诺塔 在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神 大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片 ．．．．．．． ，不管在哪根柱子上，小．圆盘 ．． 必在大 ．．． 圆盘 ．． 上面 ．． ．当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽．故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题．” 汉诺塔初始模型 64 63 62 2 1 C B A ??? ??? 要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n个圆盘，要从A移动到C，至少需要移动的次数为 n a．易知12 n=，时， 12 13 a a == ，，3 n=的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B上，要 2 3 a=次，再将最大的那个移到C上，要1次，最后将B上的两个移到C上，要 2 3 a=次，总共要 2 217 a+=次． 对于一般的n，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1 n-个圆盘移到B上，要 1 n a - 次；然后将最大的那个盘子移到C上，要1次移动；最后再将B上的那1 n-个圆盘移到C上，要 1 n a - 次．这种方法 需要的次数为 111 121 n n n a a a --- ++=+． n－1 1 n ??? ??? A B C 22 C B A ??? ??? n 1 n－1 ①② 3.1等比数列基本量计算
立体几何教案第二章多面体与旋转体棱柱（一）教案教学目标 1．掌握棱柱的概念、性质，分类及表示方法； 2．培养学生的观察能力，抽象概括能力； 3．通过棱柱的教学逐渐培养学生的辩证唯物主义观点． 教学重点和难点 棱柱的概念及性质． 教具 长方体、六棱柱、五棱柱、底面是梯形的四棱柱模型、橡皮． 教学设计过程 上一章我们研究了点、线、面间的位置关系，本章我们将研究几何体、多面体和旋转体．本节课我们先研究多面体中的棱柱．（板书：§1．棱柱） 请同学们打开自己的文具盒．观察一下铅笔盒、六棱铅笔、橡皮，是否注意到它们在形状上都有什么共同的特点？ 为了便于学生观察，教师把做好的模型摆在讲台上让学生仔细观察后，再把它们的直观图画在黑板上，比例适当，并请同学们注意教师的画法．（要求教师做好示范） 通过观察，让学生们总结出它们的共同特征：①有两个面互相平行；②其余各面的交线也互相平行，因此各面为平行四边形． 定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱． （板书：一、定义：……） 二、各部分的名称（板书） 1．两个平行的面叫做棱柱的底面． 2．其余各面叫做棱柱的侧面． 3．侧面与底面的交线叫做底面的边． 4．侧面的交线叫做棱柱的侧棱．
5．侧面与底面的公共点叫做棱柱的顶点． 6．侧棱与底面的边叫做棱柱的棱． 7．不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线． 8．两底面间的距离叫做棱柱的高． 三、重要截面． 截面用一个平面去截棱柱，与各面的交线组成一个封闭的图形． ．平行于底面的截面．1 ．垂直于侧棱的截面叫直截面．2 ．过不相邻的两条侧棱组成的平面 叫对角面．3 底面：ABCDE，A1B1C1D1E1 或AC，A1D1 侧面：ABB1A1，BCC1B1，…… 或AB1，BC1， 底面的边：AB，A1B1，BC1，…… 侧棱：AA1，BB1，…… 顶点：A，B，A1，B1，…… 对角线：BE，…… 高：OO1 平行于底面的截面：A2B2C2D2E2或A2C2 直截面：A′B′C′D′E′，或A′C′ 对角面：ACC1A1或AC1． （教师把五棱柱标上字母．结合图形说明定义及各部分的表示方法） 练习： 1．在图3中，请同学们指出棱柱的底面、侧面、侧棱、对角线，并画出它们的高． AB1是棱柱的对角线吗？2．在图3中，（强调侧棱与底面的关系）′为什么是棱柱的高？侧棱AA（直棱柱）．3在图3中， 4．画出几个棱柱中的一个与底面平行的截面、直截面、对角面．