概率论习题及典型题解

习题及典型题解 第一章 选择题

★1.事件,A B 恰有一个事件发生的事件是( ). (A);AB (B);A B (C);AB

AB (D).AB

★2.事件,,A B C 中恰好有一个事件发生的事件是( ). (A);ABC ABC ABC (B);ABC

(C);ABC ABC ABC

(D).A B C A

★3.事件E ={事件,,A B C 至少有一个发生},则E 的表示不正确的是( ). (A);A B C (B);ABC Ω- (C)));(()(B A C A B A -+-+ (D).AB AC BC Ω- D

(和A B +即并A B ,当,A B 互斥(AB φ=)时,A B 常记为.A B +) ★4.事件,,A B C 中恰好有两个事件发生的事件是( ).

(A);ABC ABC ABC ABC

(B);AB AC BC (C);ABC ABC ABC

(D).A B C 答案C

★5.事件E ={事件,,A B C 至少有两个发生},则E 的表示不正确的是( ).

(A);BC A C B A C AB ABC +++ (B);AB AC BC (C);BC A C B A C AB ++

(D).AB BC

AC Ω-

C

★6.设,A B 为两事件,1(),3P A =23(|),(|),35

P A B P B A ==则()P B =( ).

(A)1;5 (B)2;5 (C)3;5 (D)4.5

答案A

★7.设()0.5,(|)0.8,P A P B A ==则()P AB =( ). (A)0.5; (B)0.6; (C)0.8; (D)0.4. D

★8.设,3.0)(,4.0)(==B A P A P 则(|)P B A =( ). (A)0.5; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8. A

9.已知事件A 与B 互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则P(A ∪B)= ( ). (A) 0.5; (B) 0.6; (C) 0.3; (D) . 0.2. 10.已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A ∪B)=0.5, 则P(AB)=( ). (A) 0.1; (B) 0.9; (C) 0.3; (D) . 0.2. 11.已知P(A ∪B)=0.7, P(B)=0.3, P(AB)=0.2, 则P(A)=( ). (A) 0.2 ; (B) 0.6 ; (C) 0.4 ; (D) 0.5 .

☆12.某办公室10名员工编号从1到10,任选3人其最大编号为5的概率为( ). (A)1;12 (B)1;20 (C)1;5 (D)1.4

答案B

★13.一批产品共50件,其中有5件次品,任取2件,无次品的概率为( ).

(A);101 (B);109 (C);245

99 (D).245198

D 245250198245

C C = 14.从1～9九个数字中,任取3个排成一个三位数,则所得三位数为偶数的概率是( ). (A)

49

; (B)

59

; (C)

13

; (D)

19

.

15.已知,4.0)(,8.0)(,5.0)(===AB P B P A P 则=)|(B A P ( ). (A) 0.4; (B) 0.5; (C)0.8; (D) 0.6.

16.设P (A )=0.5, P (B )=0.6, P (B |A )=0.8, 则P (AB )= ( ). (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C) 0.8 ; (D) 0.4.

17.设P (A )=0.5, P (B )=0.6, P (B |A )=0.8, 则P (A ∪B )= ( ). (A) 0.5 ; (B) 0.6 ; (C) 0.7 ; (D) 0.8.

18.已知事件A 与B 相互独立，P(A)=0.5, P(B)=0.4, 则P(AB)= ( ).

(A) 0.5 ; (B) 0.4 ; (C) 0.2 ; (D) 0.1.

19.已知事件A 与B 相互独立，P(B) =0.5, P(AB) =0.1, 则P(A)= ( ).

(A) 0.5 ; (B) 0.4 ; (C) 0.2 ; (D) 0.1.

★20.设11(),(),32

P A P B ==且,A B 独立,则=)(B A P ( ).

(A)1/3; (B)1/2; (C)2/3; (D)5/6. C

21.对于任意两个事件A , B , 有P (A -B )=( ).

(A) P(A )-P (B ); (B) P (A )-P (B )+P (AB ); (C) P (A )-P (AB ) (D)()()-()P A P B P AB + 22.已知P (A )=0.6，()P AB =0.4，则()P A B -=（ ）。

(A) 0.4 ; (B) 0.2 ; (C) 0.24 ; (D) 0.6 .

☆23.设事件,A B 独立,()0.8,()0.5,P A P B ==则()P AB =( ).

★24.设C B A ,,两两独立,()0.2,()0.4,()0.6,()0.96,P A P B P C P A B C ====则

()P A B C =( ). (A)0.24, (B)1, (C)0.8, (D)0.52.

C

★25.事件,A B 独立的等价条件以下不正确的是( ). (A)(|)();P A B P A = (B)(|)(|);P B A P B A = (C)(|)(|)1;P B A P B A += (D)(|)(|) 1.P B A P B A += 答案D

填空题

1.事件,,A B C 中至少有一个事件发生的事件是 .

2.事件,,A B C 都不发生的事件是 .

3.事件,A B 都发生而C 不发生的事件是 .

答案ABC 或AB C -或AB ABC -

4.已知P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(AB)=0.4,则P(A ∪B)= .

5.已知事件A 与B 互不相容，P(A)=0.3, P(B)=0.4, 则P(A ∪B)= .

6.已知P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A ∪B)=0.6, 则P(AB)= .

7.设事件,A B 独立,则恰有一个发生的概率是 .

答案()()()2()()()2()()P AB AB P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+- 8.设事件,,A B C 独立,则恰有两个发生的概率是 . 答案()()()()3()P ABC ABC ABC P AB P AC P BC P ABC ++=++-

()()()()()()3()()()P A P B P A P C P B P C P A P B P C =++- 9.事件,,A B C 至少有两个发生的概率是 . 答案()()P AB AC BC P ABC ABC ABC ABC =+++

()()()2()P AB P AC P BC P ABC =++-

10.事件,,A B C 恰有一个发生的概率是 .

答案()P ABC ABC ABC ++=()()P A B C P AB AC BC -

()()()2[()()()]3()P A P B P B P AB P AC P BC P ABC =++-+++

11.盒子内有标号0到9十个球，随机从中任取三个球，则取到的三个球的号码含有9的概率为 . 3/10

12.某地共有10000辆的面包车牌号从00001到10000,偶然遇到的一辆面包车的牌号含有数字8的概率为 .

将面包车牌号修改为从0000到9999不影响样本总数和有利数,牌号不含有数字8的概

率为4

90.656110??= ???,因此牌号含有数字8的概率即答案为4

910.343910??

-= ???

★13.产品中有10件次品, 90件正品,抽取5件至少有一件次品的概率为 .

答案41625.058375.0115100

590

=-=-C C

○14.设N 件产品中有D 件是不合格品，从这N 件产品中任取2件产品，则2件都是不合格品的概率为 .

答案22D

N

C C

15.某批产品共30件,其中有4件次品,从中任取3件无次品的概率为 .

答案3263301300.6404203

C C ==

16.产品经两道独立工序,各工序次品率均为2.0,则产品是正品概率为 .

答案216

(10.2)25

-=

★17.产品经三道独立工序,每道工序次品率均为2.0,则产品是次品的概率为 .

361

1(10.2)125

--=

★18.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只,恰有2只红球的概率为 .

答案35183

7

1324=C C C ☆19.从装有4只红球和3只黑球的袋中任取3只,恰有1只红球的概率为 .

答案1243371235

C C C =

20.设M 件产品中含m 件次品,从中任取两件至少有一件次品的概率为 .

答案22

1M m

M C C --或1122

(21)(1)m M m m M

C C C m M m M M C -+--=- 21.从4双不同尺码鞋子中任取2只不成双的概率为 .

答案762826)(22

8

21224=?=C C C 22.从5双不同的鞋子中任取4只，至少有两只配成一双的概率为 .

答案1212254254

10()120101321021

C C C C C ++== 23.从一副52张的扑克牌中任取3张,其中至少有两张花色相同的概率为 .

三张牌花色均相同数目13413C C ，三张牌有两种花色数目121

41339,C C C 因此所求概率为

13121413413393

5213312

0.6024.22100

C C C C C C +=≈ 或 先计算三张牌花色均不相同的概率，无妨设第一张牌为红桃，则花色花色均不相同

概率为

3926,5150因此所求概率为3926

10.6024.5150

-≈ 24.从一副52张的扑克牌中任取2张花色相同的概率为 .

答案12

4133524

.17

C C C =或设第一张为红桃,A 另一张为红桃的概率为124.5117=

★25.袋中有a 只红球,b 只黑球,有放回摸球,则{P 第k 次摸球首次摸到红球}= .

1

1()

k k k

b a ab a b a b a b --??

= ?+++?? 26.在贝努利试验中每次试验成功的概率为,p 试验进行到成功与失败均出现时为止,则试验次数的分布律为 .答案11()(1)(1),2,3.k k k p P X k p p p p k --===-+-=??? ○27.在贝努利试验中,()P A p =,则在出现3次A 以前出现3次A 的概率为 .

(最多需试验5次,因为5次试验中或者至少出现3次A ,或者至少出现3次A )

{P 贝努利试验5次试验中至少出现3次A }33244

555.C p q C p q p =++ 或{P 出现3次A 以前出现3次}A 5

3{k P ==∑共试验k 次,出现3次A 以前出现3次.A }

5

3

{k P ==∑前1k -次贝努利试验出现2次A ,且第k 次试验出现A }

21222234p p C p q p C p q p =?+?+?31323234.p C p q C p q =++ 两结果相等.若试验未达5次,假设继续试验至5次为止,则

321323234()()p p q C p q p q C p q ++++3213232

34()()p p q C p q p q C p q =++++

0123211425234232()()C C C p q C C p q C p =+++++33244

555.C p q C p q p =++ 28.已知P(A)=0.4, P(B)=0.6, P(AB)=0.3, 则P(A ︱B)= . 29.已知P(A)=0.6, P(B)=0.7, P(B ︱A)=0.5，则P(AB)= .

30.有编号1，2，…，50的五十张考签，学生从中抽取一张进行考试，抽后不再放回，已知甲生已抽到前十号考签中的一个，则乙生抽得前十号考签的概率为 ． 31.已知事件A 与B 相互独立，P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(AB)= . ★32.设,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P 则=)(AB P .7.0

33.设事件A , B 相互独立, P (A )=0.4, P (B ) =0.6, 则P (A ∪B )= . 0.76

34.甲,乙独立地向目标射击,中靶率依次为0.8,0.7,则都中靶的概率为 . 35.设事件A 与B 相互独立，P (A )=0.5，P (B )=0.4，则 P (A B ?)= ． 36.设A ，B 为两个事件，P (A )=0.5，P (A －B )=0.2，则 P (AB )= ．

★37.已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,1()()6

P AC P BC ==,则C B A ,,全不发生

的概率为 .712

@38.将n 只相同的球,随机放入k 只不同的合子,共有多少种不同放法 .

k 只不同合子有1k -只壁,将n 只相同的球分成k 组,每组球数可为0.1k -个壁和n 个球

排成一排有111k n

n k n k C C -+-+-=种排法,每一种排法对应一种不同的放球入合的方法. 计算题

1.有10张卡片, 分别编号从1到10,任意选3张记录其号码,求 (1)最小号码为5的概率; (2)最大号码为5的概率.

(1) 25310101,12012C C ==(2) 2

431061.12020

C C ==

2.从数字9,...,1,0中任选三个不同的数字,计算下列事件概率: 1A ={不含3和7};2A ={含3或7};3A ={含3但不含7}.

;15

7

!3/8910!3/678)(310381=????==C C A P

;15

8

1571)(1)(12=-=-=A P A P

.307

!3/8910!2/78)(3

10

28113=???==C C C A P 又法.记B ={含3};C ={含7}.

;103)()(==C P B P ;15

1

!3/89108)(31018=??==C C BC P

)(1)(1)(21C B P A P A P -=-=

;15

7

1511031031)()()(1=+--=+--=BC P C P B P

;15

8

1571)(1)(12=-=-=A P A P

或 ;15

8151103103)()()()()(2=-+=

-+==BC P C P B P C B P A P

;15

7

1581)(1)(21=-

=-=A P A P ★3.某市发行,,A B C 三种期刊,在居民中订A 期刊比例有45%,订B 期刊有35%,订C 期刊有30%,同时订,A B 两期刊有10%,订,A C 两期刊有8%,订,B C 两期刊有5%,同时订三种期刊有3%.表示下列事件并计算其比例:(1){只订A 期刊};(2){只订,A B 两期刊};(3){只订一种期刊};(4){正好订两种期刊};(5){至少订一种期刊};(6){不订任何期刊}. 记事件A ={订A 期刊};B ={订B 期刊};C ={订C 期刊}. (1)ABC ={只订A 期刊};

()(())()(())P ABC P A B C P A P A B C =Ω-=-

()()P A P AB AC =-()()()()P A P AB P AC P ABC =--+ 0.450.10.080.030.3.=--+=

或 ||||||||||||||ABC A AB AC A AB AC ABC =-=--+

(2)ABC ={只订,A B 两期刊};

()()()0.10.030.07.P ABC P AB P ABC =-=-=

(3)ABC BAC CAB ++={只订一种期刊}; (4)ABC ABC ABC ++={正好订两期刊}; (5)A B C ={至少订一种期刊};

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AB P BC P ABC =++---+ 0.450.350.300.10.080.050.030.9.=++---+=

或 ||||||||||||||||A B C A B C AB AC BC ABC =++---+

(6)ABC ={不订任何期刊}.

★4.设某批产品共30件,其中有4件次品,现从中任取3件,求:(1)其中无次品的概率;(2)其中恰有2件次品的概率.

答案(1)3263301300.6404.203C C == (2)1226433039

0.0384.1015

C C C ==

☆5.设甲袋中有M 只红球,N 只黑球;乙袋中有m 只红球,n 只黑球.先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球放入甲袋.计算:(1)甲袋中黑球数减少的概率;(2)乙袋中黑球数不变的概率.

☆6.设甲袋中有M 只红球,N 只黑球;乙袋中有m 只红球,n 只黑球.先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球放入甲袋.计算:

(1)甲袋中红球数增加的概率;(2)甲袋中红球数不变的概率.

记事件A ={甲袋中取出红球},B ={乙袋中取出红球}.

(1)AB ={甲袋中红球数增加}={甲袋取出黑球,乙袋取出红球}.

()()(|).1()(1)

N m Nm

P AB P A P B A M N m n M N m n ==?=++++++

(2)AB ={甲袋,乙袋均取出红球},AB ={甲袋,乙袋均取出黑球}.

1(1)

()()(|),1()(1)M m M m P AB P A P B A M N m n M N m n ++==?=++++++

1(1)

()()(|).1()(1)

N n N n P AB P A P B A M N m n M N m n ++==?=++++++

因此甲袋中红球数不变的概率为

(1)(1)

()()().()(1)

M m N n P AB AB P AB P AB M N m n ++++=+=

+++

★7.车间第1,第2台车床加工的零件放在一起,产量比例为2:1次品率依次为0.03,0.02.计算:(1)任取一只零件是次品的概率;(2)若取出的零件是次品,是第2台车床加工的概率.

记事件B ={取得次品},样本空间的划分i A ={零件由第i 台车床加工},1,2.i =

(1)全概率公式得

1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+

2120.030.020.0267.121275

=?+?==++ (2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为

2222()()(|)

(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==

1

0.02

112.2140.030.021212

?+==?+?++

又法.静态样本统计模型,古典概型.依据频率渐近稳定于概率,设总产量150n =件;第1,第2车床产量||(),1,2,i i A nf A i ==依次为100,50件;

次品数||||(|),1,2,i

i i AB A f B A i ==依次为1000.033;500.021?=?=件.

(1)条件(局限)空间B 总数,总次品数

||||||(|)314i i i i i B A B A f B A ===+=∑∑件,总次品率为

||42

()0.0267.15075

B P B n =

===

(2)由贝叶斯公式,次品是第2台车床加工的概率为

22||11(|).||314

A B P A B B ===+ 8.某工厂甲、乙两个车间生产同一种产品，两车间产品的次品率分别为0.03和0.02，生产的产品放在一起，且甲车间的产量比乙车间的产量多一倍．求该厂产品的合格率. 9.学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果不知道问题的正确答案时,就作随机猜测,现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求确实知道正确答案的概率：(1)知道正确答案概率是0.5；(2)知道正确答案的概率是0.2． 设事件A ={知道正确答案},B ={题目答对},则

(1)()(|)0.51

(|)0.8()(|)()(|)0.510.50.25

P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?=

==+?+?； (2)()(|)0.21

(|)0.5()(|)()(|)0.210.80.25

P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?=

==+?+?． 10.已知袋中有10只白球3只黑球, 在其中取二次, 每次随机地取一只, 取后不放回, 求第二次取出的是黑球(记为事件B )的概率.

11.将信息编码为A 和B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为02.0;B 被误收作A 的概率为01.0,编码A 与B 传送频繁程度为1:2,计算: (1)接收站收到信息A 的概率;(2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }.

(1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=

01.0211)02.01(212?++-?+=;6567.001.03

198.032=?+?= (2) )()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==.00508.06567

.001

.03

1

=?=

★12.将信息编码为A ,B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为2.0,B 被误收作A 的概率为1.0,发出编码A ,B 的概率依次为4.0,6.0,计算: (1)接收站收到信息A 的概率;(2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=

;52.01.04.0)2.01(6.0=?+-?=

(2) )

()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P =

=.07692.0524

52.01.04.0==?= ★13.某公司第1,2,3车间生产同一产品,产量依次为60%,30%,10%;次品率依次为3%,4%,6%.计算:(1)总产品中任取一件产品是次品的概率;(2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率.

记事件B ={任取的一件产品是次品},i A ={产品由第i 车间生产},1,2,3.i =

(1)全概率公式得

)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++= 60%3%30%4%10%6% 3.6%.=?+?+?= (2)由贝叶斯公式得

)

()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P =

=30%4%1

.3.6%3?== ☆又法.静态样本统计模型,古典概型．依据是频率渐近稳定于概率．设总产量1000n =件;

第i 车间产量||()i i A nf A =依次为600,300,100件;次品数||||(|)i

i i AB A f B A =依次为6003%18,3004%12,1006%?=?=?=件.

(1)条件(局限)空间B 总数,总次品数||||||(|)1812636i i i i i B A B A f B A ===++=∑∑件

,总次品率为||36

() 3.6%.1000

B P B n =

== (2)随机检出的一件次品是第2车间生产的概率为22||121

(|).||363

A B P A B B =

== 14.市场上某商品由甲厂,乙厂及丙厂生产.甲厂产品占50%;乙厂产品占30%;丙厂产品占20%.甲厂产品合格率为88%;乙厂产品合格率为70%;丙厂产品合格率为75%.计算： (1)在市场上任意购买一件这种商品是合格品的概率; (2)在市场上已购买的一件不合格品是乙厂生产的概率.

B ={任购一商品是合格品},1A ={商品是甲厂生产},2A ={商品是乙厂生产},3A ={商品是丙

厂生产}.

(1)全概率公式得

)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++= 0.50.880.30.70.20.750.80.=?+?+?= (2)由贝叶斯公式得

)

()

()|(22B P B A P B A P =

=

)(1)|()(22B P A B P A P -=8.01)7.01(3.0--?=209

=0.45.

15.某公司产品部件由甲、乙和丙厂提供,各厂所占份额为2:3:8,次品率依次为8%,4%,3%.从产品中抽取检验出一件次品,则次品由哪厂生产的可能性最大.

记事件B ={任取的一件产品是次品},i A ={产品由第i 厂生产},1,2,3.i = 甲、乙和丙厂次品贡献（分支）概率依次为()()(|),1

,2,3.i i i P AB P A P B A i ==各厂次品贡献概率之比为123238

():():()8%:4%:3%238238238

P A B P A B P A B =

???++++++ 28:34:8316:12:244:3:6.=???==

因此次品由丙厂生产的可能性最大,概率为366

(|).43613

P A B =

=++ 在无其他信息或依据的条件下,判断通常最可靠.

☆.全概率公式模型.设第i 类球有i n 个,其中有i a 只红球,总数,i i n n =∑红球总数

,i i a a =∑任取一球为红球的概率.记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类球},1,2,.i =

第i 类球占总数比例,i i n w n =

其红球比例.i i i

a f n = ()()(|)i i i P B P A P B A =∑(各划分下条件概率以其划分概率加权平均)

i i i w f =∑(各类球红球比例i f 以其球数比例i w 加权平均)

i i

i

i

n a n n =∑.i i a a n n ==∑

☆.全概率公式模型.第i 省份人口i l 有劳动力i a 人,计算劳动力人口比例f .

总人口,i i l l =∑总劳动力,i i a a =∑第i 省人口比重,i i l w l =其劳动力比例.i i i

a

f l =

i i a a

f l l ==∑(各省贡献率之和)

i i i i i i i

l a

w f l l ==∑∑(各省劳动力人口比例i f 以其人口比重i w 加权平均)

()(|)i i i P A P B A =∑(各划分下条件概率以其划分概率加权平均)

().P B =以上步骤可倒.

☆.全概率公式与贝叶斯公式模型.设第i 类盒子i n 个,每盒都有i l 只球,其中i a 只红球,盒

子总数,i i n n =∑任取一盒子,再从盒子中任取一只球.计算:

(1)取到红球的概率;

(2)在红球出现的条件下,取到第,(1,2,.)i i =类盒子的概率.

记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类盒子},1,2,.i =(参下题)

(1)全概率公式为()()()(|).i i i i i i i i i

n a

P B P A B P A P B A n l ===∑∑∑

(2)贝叶斯公式为()()(|)(|),1,2,.()()

i i

i i i i

i i i i i

n a P A B P A P B A n l P A B i n a P B P B n l

=

===∑

☆.设有三类盒子共5个,第一类盒子有2个,每个盒子中有2只红球,1只黑球;第二类盒子有2个,每个盒子中有3只红球,1只黑球;第三类盒子有1个,其中有10只黑球.从这些盒子中任取一个盒子,再从取出的盒子中任取一只球.计算: (1)取到红球的概率;

(2)在红球出现的条件下,取到第,(1,2,3)i i =类盒子的概率. 记事件B ={取到红球},i A ={取到第i 类盒子},1,2,3.i = (1)全概率公式为

33

11()()()(|)i i i i i P B P A B P A P B A ====∑∑22238917.53543030

+=?+?=

= (2)贝叶斯公式为

111122()()(|)88

53(|);17()()891730P A B P A P B A P A B P B P B ?

=====+

222223()()(|)99

54(|);17()()891730P A B P A P B A P A B P B P B ?

=====+

333310

()()(|)0

5(|)0.17()()8930

P A B P A P B A P A B P B P B ?=====+

☆16.袋中有相同形状的3只白球,4只红球和若干只黑球,依次摸出所有球,计算红球比白球早出现的概率.答案P {红球比白球早出现}4/7.= 第二章

☆.定理 设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则

()Y g X =是连续型变量,密度为

(())|()|,()(),

()0,X

Y f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=?=??

极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤

()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导, ()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<

2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥

()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导, ()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<< 因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 选择题

1.设X 的分布律为

则a 为（ ）．

(A) 0.2; (B) 0.3; (C) 0.4; (D) 0.1.

2.设随机变量X 的分布列为5,4,3,2,1,15)(==

=k k k X P ，则=<<)2

5

21(X P ( ). (A) 51 (B) 52 (C) 53 (D) 154

A

3.某厂生产电子元件,其产品的次品率为p ,现从一大批这类产品中任意地连续取出3件，次品数为X ，则(2)P X ≤的值是( ).

(A) 223)1(3)1(3)1(p p p p p -+-+-，(B)31(1)p --，(C)23(1)p p -，(D) 31p - D

4.设随机变量X 的密度函数为201

()0cx x f x ?≤≤=??其他，则c =( ).

(A) 1 ; (B) 3 ; (C) 1/2 ; (D) 1/3.

5.设变量X 的密度21,01,

()0,cx x f x ?+≤≤=??其他,则c =( ).

(A)0;

(B)3;

(C)2;

(D)1/3.

A

6.已知变量X 的分布20,0,(),01,1,

1.x F x x x x ≤??=<≤?>?? 则112P X ?

?-≤

(A)1; (B)0; (C)1/4; (D)3/4.

7.设变量X 的密度为()f x ,且()()f x f x =-,分布为()F x ,则对任意实数a ,有( ).

(A)0

()1()d a F a f x x -=-?; (B)0

1()()d 2a F a f x x -=-?; (C)()()F a F a -=; (D)()2()1F a F a -=-. B

8.设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数( ). (A)连续函数; (B)有一个间断点; (C)阶梯函数; (D)有两个间断点. 答案B

9.)(x Φ是标准正态分布函数,则=≤≤-)(a X a P ( ). (A);2/1)(-Φa (B);1)(2-Φa (C));(a Φ (D)).(1a Φ- B

★10.设变量X 密度,},4)3(exp{21)(2

R x x x f ∈+-=π

则下列变量( )).1,0(~N

(A);23+X (B);2

3+X (C)

;23-X

B

11.设随机变量~(2,4)X N ,则下列变量( ))1,0(~N .

(A) (B)2;2X - (C);2X (D).4X 答案B

★11.设X 服从正态分布2(,)N μσ,则随着σ的增大,概率(2)P X μσ-<( ). (A)单调增加;

(B)单调减小;

(C)保持不变;

(D)增减不定.

C

○12.A地到B地有两条线路,第一条线路较短但交通拥挤,所需时间(分钟)~(50,100)

X N;第二条线路较长但意外阻塞较少,所需时间~(60,16)

Y N.(1)若有70分钟可用,应走哪条线路;(2)若只有65分钟可用,应走哪条线路( ).

(A)均应走第一条路; (B)均应走第二条路;

(C)70分钟走第一条路,65分钟走第二条路;(D)70分钟走第二条路,65分钟走第一条路.

(1)走第一条路线能及时赶到的概率

7050

(70)(2)0.9772,

10

P X

-

??

≤=Φ=Φ=

?

??

走第二条

路线能及时赶到的概率

7060

(70)(2.5)0.9938,

4

P Y

-

??

≤=Φ=Φ=

?

??

在这种场合应走第二

条路.(2)走第一条路线能及时赶到的概率

6550

(65)(1.5)0.9332,

10

P X

-

??

≤=Φ=Φ=

?

??

而

走第二条路线能及时赶到的概率

6560

(65)(1.25)0.8944,

4

P Y

-

??

≤=Φ=Φ=

?

??

此时以走第

一条路更为保险.D 填空题

1.已知随机变量X只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次为1351

,,,, 2488

c c c c

则

c= .

★2.设离散型随机变量X

则X的分布函数为.

答案

(10)0,1,

(1)(20)(1)1/2,12,

()

(2)(30)(1)(2)5/6,23,

(3)1, 3.

F x

F F P X x

F x

F F P X P X x

F x

-=<

?

?=-===≤<

?

=?

=-==+==≤

?=≥

?

★3.设离散型随机变量X

则X的分布函数为.

答案

0,0,

(0)(0)0.3,01,

()

(1)(0)(1)0.5,12,

(2)1, 2.

x

F P X x

F x

F P X P X x

F x

<

?

?===≤<

?

=?

==+==≤

?=≥

?

4.设X的分布列为

则2

Y X

=的分布列为. ★5.设随机变量X的分布列为

则2Y X X =+的分布列为 . 答案(0)5/12,(2)7/12P Y P Y ====

6.设随机变量X 的概率分布为()(1,2,...),!

k C P X k e k k λ

λ-===且0λ>，则C = .

1

(1)e λ---

7.设某射手对某一目标进行独立射击,每次射击的命中率均为p ,若以X 表示射击进行到击中目标为止时所需的射击次数,则X 的分布律为 . 1()(1),1,2,.

k P X k p p k -==-=

8.设连续型变量X 的分布2

,0,

()0,

0.x A Be x F x x -??+>=?≤??则=A ,=B .

由分布性质得2

2

2000

0lim ()lim (),1()lim (),x x x x x F x A Be A B F A Be A -

→→+-→-∞?==+=+????=+∞=+=??

答案1=A ,1-=B 9.已知连续型随机变量X 密度函数)(x f =1,0,

kx +??? 02,

x ≤≤其它.则k =

10.设随机变量X 的密度函数为501

()0

cx x f x ?≤≤=??其他，则c = .

11.设随机变量X 的密度函数为)(x f =2640k

x ?≤≤?

???其他，则k = .

12.已知随机变量X 密度函数)(x f =2,0,x ???

01,

x ≤≤其它.则X 分布函数)(x F = .

13.已知变量X 密度)(x f =1

1,20,x ?-+????其它.

02,

x ≤≤则X 的分布函数)(x F = .

答案????

???≥<≤+-<=.

2,1,20,41,0,0)(2x x x x x x F

★14.已知变量X 的分布函数为1,0,

()0,x e x F x -?->=??其他.

则(13)P X <≤= .

答案13e e ---

15.已知随机变量X 的分布函数30,0,(),01,1,

1.x F x x x x ≤??=<≤?>??则1

142P X ??≤

16.一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2(),600.a

f x x x

=≥若随机独立抽取3件产品,

则恰有两件寿命大于1200小时的概率为 . 答案3/8,(600)a =

17.一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2(),600.a

f x x x

=≥若随机独立抽取3件产品,

则恰有两件寿命大于800小时的概率为 . 答案27/64,(600)a =

○18.一设备开机后无故障工作时间服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则设备由于故障关机的概率是 ；每次开机无故障工作的时间的分布函数 . 答案2/51;e --/51,02,

()1, 2.x e

x F x x -?-≤<=?≥?

19.若~(0,1)X N ，()x Φ是标准正态分布函数，(1)Φ=0.8413，则{}11P X -<<= . ○20.设随机变量X ~)2,1(2N ,则概率=≤≤)5.32(X P .

)975.0)96.1(,894.0)25.1(,841.0)1(,691.0)5.0((=Φ=Φ=Φ=Φ答案203.0

203.0691.0894.0)5.0()25.1(215.3212

12)5.32(=-=Φ-Φ=???

???-≤-≤-=≤≤X P X P 62．

21.设随机变量~(3,16)X N ,则随机变量3

~4

X Y -= . 计算题

1.设X

求: (1)(3),(3)P X P X <≥2.已知随机变量X 只能取1,0,1,2-四个数，相应的概率分别为 1357,,,24816c c c c

，确定常数c ，并求概率{01}P X <≤. 3.

试求:(11),(11)P X P X -≤<-<≤4.

求: (1)(3),(2),P X P X <≥(4|2)P X <≥5.

求: (1)(3),(2),P X P X <≥(4|2)P X <≠6.已知在3重贝努里试验中，事件A 发生次数X 的概率分布律为

3313()()(),0,1,2,344

k k

k P X k C k -==?=。

求（1）事件A 至少出现1次的概率；（2）事件A 至多出现1次的概率。.

7.袋中有7个球，其中4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的

概率分布律，并求不少于2个红球的概率.

8.在编号为1至5的球中任选3只,求最大号码X 的分布列.

22

343335551133

{3},{4},{5}.10105

C C P X P X P X C C C =========

通式.5,4,3,20)

2)(1()(35

21=--===-k k k C C k X P k

或.5,4,3,20)2)(1()1()()(35

213

53

1

3=--==-=-≤-≤==--k k k C C C C C k X P k X P k X P k k k 9.设有10件产品，其中有两件次品，今从中连取三次，每次任取一件不放回，以X 表示所取得的次品数，试求：（1）X 的分布律；（2）222Y X =+的分布列。

X

由X

10.设随机变量X 具有分布函数 3

1

()(2)248

14

F x x x x ?

??????

=-≤<≥.求（1）X 的概率密度；（2）(13)P X <<；（3）(3)P X <

11.设随机变量X 具有密度2(1)01

()0Ax x x f x ?-<<=?

?

其他

.(1)求常数A ；(2)求X 的分布函数；(3)求X 的取值落在区间11

[ , ]32

内的概率.

12.设随机变量X 的密度函数为20()0

x ke

x f x -?????≤<+∞=其他，求：（1）常数k ；（2）概

率P {5

13.设随机变量X 的分布函数为()F x =31e ,0,

x -?-?? 0,

0.x x >≤求{1}P X >及{11}P X -<<,并

求X 的密度函数.

★14.设变量X 密度(1),01,

()0,.

Cx x x f x -<

?其它计算:(1)常数;C (2)X 的分布函数.

(1) ()111

230001()(1)32,66C C f x dx Cx x dx x x ==-=-=?? 因此, 6.C = (2) 230

()()6(1)32,x

x

F x f x dx x x dx x x ==-=-??

因此,变量X 的分布函数为230,0,

()32,01,1, 1.F x x x x x

=-≤≤??>?

15.设2~(,),X N μσ求(||),P X μσ-<及(||3)P X μσ-<.

由()X x x P X x P μμμσσσ---????

≤=≤=Φ ? ?????

得

()(1),()(1)1(1),P X P X μσμσ<+=Φ<-=Φ-=-Φ

(||)()P X P X μσμσμσ-<=-<<+()()P X P X μσμσ=<+-<- (1)(1(1))2(1)120.8413410.6827,=Φ--Φ=Φ-=?-= (||3)2(3)120.9986510.9973.P X μσ-<=Φ-=?-=

★16.设随机变量X 服从正态分布.(1)如果2

~(3,2),

X N 计算(25);P X ≤≤(2)如果2~(,),

X N μσ计算(||3).P X μσ-< (1) 5323(25)(1)(0.5)122P X --????

≤≤=Φ-Φ=Φ+Φ- ? ?????

0.84130.691510.5328.=+-=

(2) (||3)3X P X P μμσσ?-?

-<=< ???

2(3)120.9986510.9973.=Φ-=?-=

17.恒温箱系由温度调节器根据箱内温度的变化而调整,如果将温度调节器定在,C μ箱内温度T ~2(,).N μσ

(1)若94,1,C μσ==求箱内温度在93至95C 的概率;

(2)若0.5,σ=要让温度不低于95C 的概率为0.95,应将调节器设定为多少度. (1) 所求概率为

95949594(9395)22P T --????

≤≤=Φ-Φ ? ?????

2(0.5)120.691510.3880.=Φ-=?-= (2) 由题意

95(95)10.95,0.5P T μ-??

≥=-Φ= ???

950.05,0.5μ-??

Φ= ???

1195(0.05)(0.95) 1.645,0.5μ---=Φ=-Φ=- 95 1.6450.5,95.8225.μμ=+?= 因此取96.C μ=

18.设随机变量X 的密度为(1)(1),0,01,()0,x x f x ααα?+-><<=??其他.

计算:随机变量1

Y X -=的密度.

当1y ≤时,1Y X -=的分布()0Y F y =,当1y >时,

111()()()1(),Y X F y P X y P X y F y ---=≤=≥=- 两边对y 求导,得Y 的密度为

11()()()Y X f y f y y --'=

2211

(1)(1)(1)(1), 1.y y y y y

ααααα--=+-=+->

又法 反函数2111,(),|()|,X x y x y Y y y

'===由变量函数密度公式得

()(())|()|Y X f y f x y x y '=

2211

(1)(1)(1)(1), 1.y y y y y

ααααα--=+-=+->

19.设随机变量X 的密度为2(1),01,

()0,x x f x -<

计算:随机变量1Y X -=的密度.

当1y ≤时,1Y X -=的分布()0Y F y =,当1y >时,

111()()()1(),Y X F y P X y P X y F y ---=≤=≥=- 两边对y 求导,得Y 的密度为

11()()()Y X f y f y y --'=

3211

2(1)2(1), 1.y y y y y

-=-=->

又法 反函数2111,(),|()|,X x y x y Y y y

'===由变量函数密度公式得

()(())|()|Y X f y f x y x y '=

3211

2(1)2(1), 1.y y y y y

-=-=->

20.设随机变量X ~)1,0(N ,计算变量e X Y =的密度函数. 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,

()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为

''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ??=Φ=

={}

2

(ln ),0,2()0.

Y y y f y ->=? 或 反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ??=

={}

2(ln ),0.2y y =-> ★21.设随机变量X ~2(,)N μσ,计算:随机变量e X Y =的密度函数. 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,

()()(e )(ln )(ln ),X

Y X F y P Y y P y P X y F y =≤=≤=≤=

因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln )Y X X X f y F y f y y f y y

===

{}

2

2(ln ),0,2()Y y y f y μσ-->=?

又法.反函数'1ln ,ln ,,y y X Y x y x y

===

'1()()(ln )Y X y y X f y f x x f y y =

={}

22(ln ),0.2y y μσ-=

->

★22.设随机变量X ~)1,0(N ,计算:随机变量2Y X =的密度.

当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时

,

2()()()(Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤

(X X F F =-

两边对y 求导得Y 的密度函数为

2

,0,()0.

y

Y y f y ->=?

又法

反函数支12()()x y x y ==

由随机变量函数密度公式得

''

'112211()(())|()|(())|()|2(())()Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y =+=

22,0.y y

y --==> 23.设随机变量X ~)1,0(N ,计算:变量||Z X =的密度. ||Z X =的分布函数为()()(||)Z F z P Z z P X z =≤=≤,

当0z ≤时,()0Z F z =;当0z >时,()()()()2()1Z F z P z X z z z z =-≤≤=Φ-Φ-=Φ-. 因而Z

的密度函数为{}

2,0,()2

0.

Z z z f z ->=≤? 或 1(),x z z =-2(),x z z

={}

2''

1122()(())|()|(())|()|,0.2Z X X z f z f x z x z f x z x z z =+=

->

24.设随机变量X 密度{}

2

22

exp ,0,()20,0.

X x x x f x x σσ?->?

=?≤??计算:变量2Y X =的密度. 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时

,

2

()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤== 因而Y

的密度为''()Y X X X f y F f f === {}

221exp ,0.()220,0.

Y y

y f y y σσ

?->?=??≤? 即Y 指数分布2.2y E σ??

???

又法.

反函数'y y X x x ===

'()()Y X y y X f y f x x f ==

}{}

2221exp ,0.222y y y σσσ=-=->

★特例:当21σ=时,变量2Y X =的密度.

25.设随机变量X 的密度函数为22,0,(1)()0,0.x x f x x π?

>?

+=??

求ln Y X =的密度函数.

反函数,,Y y y X e x e =='22()()(),.(1)

y

y y Y X y y X y e f y f x x f e e y R e π===∈+

★26.设变量X 服从参数为1的指数分布,计算:

变量Y =的密度. 当0y ≤时

,Y =()0Y F y =,当0y >时

,

22()())()(),Y X F y P Y y P y P X y F y =≤=≤=≤= 两边对y 求导得

222()()()2,y Y X f y f y y ye -'== 因而Y 的密度为

{

22,0,

()0,0.

y Y ye y f y y ->=

≤ 或 反函数22,(),|()|2,X Y x y y x y y '===由变量函数密度公式得

()(())|()|Y X f y f x y x y '=

2

2,0.y ye

y -=>

第三章 选择题

★1.关于二维随机变量下列叙述不正确的是( ). (A)联合分布决定边缘分布; (B)边缘分布不能决定联合分布; (C)联合分布不同,边缘分布可能相同; (D)边缘分布之积即为联合分布. 答案D

2.设指数分布12(),()X E Y E λλ相互独立,则(,)P X x Y y ≥≥= ( ). A.1212()1x y x y e e e λλλλ---+--+ B.12()x y e λλ-+ C.12()1x y e λλ-+- D.1212()x y x y e e λλλλ---++- 1()(),x P X x P X x e λ-≥=≥=2()(),y P Y y P Y y e λ-≥=≥= 1212()(,)()()x y x y P X x Y y P X x P Y y e e e λλλλ---+≥≥=≥≥== B

3.设指数分布12(),()X E Y E λλ相互独立,则(,)P X x Y y ≥≥=或( ). A.1212()1x y x y e e e λλλλ---+--+ B.12()x y e λλ-+ C.12()1x y e λλ-+- D.1212()x y x y e e λλλλ---++- 1212()(,)()()(,)x y x y P X x Y y P X x P Y y P X x Y y e e λλλλ---+≥≥=≥+≥-≥≥=+-或 D

4.已知二维变量sin(),0,,

(,)~(,)40,.

C x y x y X Y f x y π?

+≤≤?=??

其他则C 的值为( ).答案D

5.设二维变量211,02,,03(,)~()0,x y x xy X Y f x ?≤≤≤≤

+?

=??其它,则(1)P X Y +≥=( ).

可先计算{1}P X Y +< 填空题

1.设,X Y 为随机变量11(0),(0),23P X P Y ≥=≥=且1

(0,0),6

P X Y ≥≥=则

(max(,)0)P X Y <= , (min(,)0)P X Y <= .

事件(0),(0),A X B Y =≥=≥(max(,)0)(0,0),X Y X Y AB <=<<=且

(min(,)0)(0,0).X Y X Y A B <=<<=或用加法（容斥）公式.

2.设变量,X Y 独立同0-1分布,1(1)2

P X ==,则变量m i n {,}Z X Y =的分布列

是 .31

(0),(1).44

P Z P Z ====

3.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X 的分布列为 .

22

343335551133

{3},{4},{5}.10105

C C P X P X P X C C C =========

通式.5,4,3,20)

2)(1()(35

21=--===-k k k C C k X P k

或.5,4,3,20)2)(1()1()()(3

5

2

1

35313=--==-=-≤-≤==--k k k C C C C C k X P k X P k X P k k k 4.在编号为1至5的球中任选3只,最大号码X 的分布函数为 .

0,

3,0.1,34,()0.4,45,1,

5.x x F x x x

=?

≤

答案11,,36αβ==或1,.63

αβ==

6.设二维变量),(Y X 边缘独立,联合分布阵列如下,则α= ,β= .

两行成比例,1:218:9131:61:===βα答案3

=α,9=β.

7.用联合分布(,)F x y 表示概率(,)P X a Y b >≤= .

概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章

第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

概率论第一章课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得

（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．

概率论与数理统计习题及答案第七章

习题7-1 1.选择题 (1)设总体X 的均值口与方差 /都存在但未知，而X 1,X 2,L ,X n 为来 自X 的样本，则均值 口与方差 (T 2的矩估计量分别是 (). (A) X 和 (B) 1 n X 和—(X n i 1 i )2 . (C) 口和 2 (T ? 1 (D) X 和一 n n (X i i 1 x)2. 解 选 (D). (2) 设X : U[0, ],其中 e >0为未知参数，又X ,,X 2,L ,X n 为来自总体 X 的样本 ,则e 的矩估计量是( ). (A) X . (B) 2X . (C) max{X i }. (D) m i^ X i } . 解选(B). 2.设总体X 的分布律为 其中0v B v 为未知参数,X1, X 2,…,X.为来自总体X 的样本，试求e 的矩 估计量. 解 因为 E (X )=(- 2)x3 e +1x(1 -4 e )+5x e =1-5 e ,令 1 5 X 得到 的矩估计量为 3.设总体X 的概率密度为

f(x ；) (1)x ,0 x 1, 0, 其它? 其中 0> -1是未知参数，X,冷… ,X n 是来自 X 的容量为n 的简单随机样本 求 ： (1) 的矩估计量； ⑵ 0的极大似然估计量? 解 总体X 的数学期望为 - 1 9 2X 1 令E(X) X ,即一1 X,得参数B 的矩估计量为？ ? 2 1 X 设X 1, X 2,…,x n 是相应于样本X 1, X 2,…,X n 的一组观测值，则似然函 数为 n (1)n X i , 0 x i 1, i 1 0, 其它. In x i 1 In X i i 1 4.设总体X 服从参数为 的指数分布，即X 的概率密度为 E(X) 1 xf(x)dx o ( 1)x dx 当 00 且 In L nln( 1) In X i , dln L n In x =0,得 0的极大似然估计值为 而0的极大似然估计量为

上海工程技术大学概率论第一章答案

习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ;

概率论复习题及答案

复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；

(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．

概率论与数理统计(经管类)第七章课后习题答案word

习题7.1 1.设总体X服从指数分布 试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100. 求的估计值. 解: 似然函数为 令 得 2.设总体X的概率密度为 其他 试求(1)的矩估计的极大似然估计 解: (1) 的矩估计 (2) 似然函数为

令 解得 3.设总体X服从参数为的泊松分布试求的矩估计和极大似然估计(可参考例7-8) 解:由服从参数为的泊松分布 由矩法,应有 似然函数为 解得的极大似然估计为 习题7.2 1.证明样本均值是总体均值的相合估计 证: 由定理知是的相合估计 2.证明样本的k阶矩是总体阶矩的相合估计量 证: 是的相合估计 3.设总体为其样品试证下述三个估计量 (1) (2)

(3) 都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证: 都是的无偏估计 故的方差最小. 4.设总体其中是未知参数又为取自该总体的样品为样品均值 (1)证明是参数的无偏估计和相合估计 (2)求的极大似然估计 (1)证: 是参数的无偏估计 又 是参数的相合估计 (2)故其分布密度为 其他 似然函数 其他 因对所有有

习题7.3 1.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度.现从中 抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的求的置信度的置信区间 解: 置信度为的置信区间是 2.设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的 寿命(单位:万千米)如下: 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 试求平均寿命的的置信区间(例7-21,未知时的置信区间) 解:查分布表知 平均寿命的的置信区间为 3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从 其中未知现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得 求两总体方差比的置信度0.90的置信区间. 解:此处 的置信度0.90的置信区间为: 4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布,若 (1)已知滚珠直径的标准差毫米; (2)未知标准差

同济大学版概率论与数理统计——修改版答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<

概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案

第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34

概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。

概率论第一章答案

.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案

每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c

大学概率论与数理统计试题库及答案a

< 概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则 a =________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=

大学概率论与数理统计必过复习资料试题解析(绝对好用)

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或

大学概率统计试题及答案 (1)

)B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件

8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ?

概率论与数理统计 习题(5)答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量， 且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少

概率论与数理统计经典考试题型

概率论经典考试题型 一，选择题 1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( ) (A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B = (C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且 ()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ） 2 总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n k k X n X 1 1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N (C) )(n t (D) )1(-n t 3. 已知相互独立的随机变量 ~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则

。 4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ?=则 。 5. 已知随机变量X 的概率密度为 2,0,()0,0.x ae x f x x -?>=?≤? 则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。 7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知， n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则 μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估 计量 。

8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是 相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率. 9 已知(,)X Y 的联合分布率如下: 求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。

概率论与数理统计课后答案第7章

第7章 假设检验 7.1 设总体2 (,)N ξ μσ~，其中参数μ ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些 是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0 H μ =. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,,,ξξξ 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题 0010 :,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥ ，试决定常数c ，使检验的显著性水平为0.05 解：因为(,9) N ξ μ~，故9(, )25 N ξ μ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||) 53521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=???? 55( )0.975, 1.96 3 3c c Φ==，所以c =1.176。 7.3 设子样1225,,,ξξξ 取自正态总体 2 0(,)N μσ，2 σ已知，对假设检验 001 0:,:H H μμμμ =>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=> ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=0.05，20σ=0.004，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误的概率。

解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, ) n N σξ μ~，此时 00 0000 0()c P c P n n ξμμα ξσσ?? --=≥=≥ ??? 所以， 00 10 c n α μμσ--=，由此式解出00 10c n ασμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(,) n N σξ μ~，此时 01010 1000 010 ()( )( ) () c P c P n n c n n n n ααμ ξμβξσσσμμμμ σσμμμσ--??--=<=< ?? ? +--=Φ=Φ-=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 010 0.9511() 0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274 n αμμβμσμ---=-Φ- -=-Φ- =-Φ-=Φ= 7.4 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为() f x 的母体，对 () f x 考虑统 计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ???其他 其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2m in αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=? ?其他 （c 为检验的拒绝域）

概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后参考答案

精心整理 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ， B ， C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ， B ， C 都不发生； （5）A ，B ，C （6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，?B )=0.3，求P （. 【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7, （1AB （2AB 【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得 =14+14+13?112=34 7.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”， 则样本空间Ω中样本点总数为13 52n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为 8. （1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故

P （A 1）= 5 17 =（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67 )5 (3)设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1?P (A 1)=1?(1 7 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n