包头市第三十三中学高三年级期中II 考试
数学（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合2{|||,},{|0,}A x x x x R B x x x x R ==∈=+≥∈，则A ∩B=（ B ） A.[-1，0] B.[0，+∞） C.[1，+∞） D.（- ∞，-1） 2．已知点
A （-1,0）,B(1,3),向量a =（2k-1,2）,若,A
B a ⊥
则实数
k 的值
为（B ）
A.-2
B.-1
C.1
D.2 3．复数
Z=
()
2
(1)1i i +-的共轭复数是（A ）
A. -1-i
B.1i -+
C.
1122i + D. 1122
i -
4．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A.144 B.18 C.54 D.72 5．设复数Z 满足Z(2-3i)=6+4i (i 为虚数单位)，则Z 的模为（ ） A.4 B.6 C.2 D.8 6．若A+B=3
π
,tanA+tanB=
3
3
,则cosA ?cosB 的值是（ ）
A.343 C. 3237．已知与均为单位向量，它们的夹角为060，则|3-|=（ ） A.2313678．设数列{n a }是等差数列，且2158,5a a =-=，n S 是数列{n a }的前n 项和，则（ ）
A.910S S <
B. 910S S =
C. 1110S S <
D. 1110S S = 9．f(x)=x lnx, 若0()f x '=2，则0x =（ ） A.ln2 B.1
ln 22
C. e
D. 2e 10．a ，b
是正实数，则2211
()()a b b a
+++的最小值为（ ）
A.10
B.4
C.16
D.8
11．已知A,B,C 三点共线，O 是这条直线外的点，满足
2,OA OC OB A BC +=
则点分的比为（ ）
A.12
B.13-
C. 1
2
- D. 13 12．设变量x,y
满足约束条件,
22,2,y x x y x ≥??+≤??≥-?
则
z = x -3y 的最小值为（ ）
A.4
B.- 4
C.- 8
D.8 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13.在边长为1的等边ABC ?中，设
a BC =,
b CA =,
c AB =.则a b b c c a ?+?+?=
14. 已知数列{n a }的通项n a 与前n 项和n S 之间满足关系23,n n S a =-则
n a = .
15.
?
ABC 中，a,b,c 成等比数列，则
cos(A-C)-cos(A+C)-2sin 2B= .
16.观察下列等式：332333233332123,1236,123410,......+=++=+++=根据上述规律，第五个等式为 . 三．解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知函数f(x) = 2asin 2x+2sinx cosx-a 的图象过点（0，
）
。 （1）求常数a ；
（2）当x ∈[0,2
π] 时，求函数f(x)的值域。
18．（本小题满分12分）已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且3155,225a S ==。 （1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设22n
a n
b n =+，求数列{n b }的前n 项和n T 。
19．（本小题满分12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积
为4800m 3, 深为3m, 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
20．（本小题满分12分）设数列{n a }满足112,2n n n a a a +=-=。 （1）求数列{n a }的通项公式；
（2）令n n b na =，求数列{n b }的前n 项和n S 。
21．（本小题满分12分）设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且513334,9a a S +==。 （1）求数列{n a }的通项公式及前n 项和公式；
（2）是否存在正整数m ，使得140,,m a a a 成等比数列？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
22. （本小题满分12分）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2-9a 2x+a.3。 （1）设a=1，求函数f(x)的极值；
（2）若a>1
4
，且当x ∈[1,4a]时，|()f x '|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围。
高三数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共60分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B A D C A D B C D C
C
二．填空题：每小题5分，共20分。 13.32
- 14.
1
13()24
n - 15.0 16.333333212345621+++++=. 三．解答题：共6小题，共70分。 17．(本小题满分10分)
解：（1）把点（0，—3）代入函数表达式，得—3=2asin 20+2sin0cos0-a ，
化
简
得
a=3…………………………………………………………………………………….4分 （
2
）
f(x)=2sin 2x+2sin2x-=sin2x-cos2x=2sin(2x-3
π
)……………
………6分
因
为
≤
x
2
π
≤
,所以
223
33
x π
π
π-
≤-
≤………………………………………8分
所以—≤sin(2x-3π)≤1
，所以—≤2sin(2x-3
π)≤2，
故
f(x)的值域为[
3
-，
2] …………………………………………………….10分 18．(本小题满分12分)
解：（1）设等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，由题意， 得
1125,
1514
15225,2
a d a d +=??
??+=?? ………………………………………………………….2分 解
得
：
11,2,
a d ==所以
21n a n =-， (6)
分
（
2）
122422
n a n
n b n n =+=
?+，…………………………………………………………8分2121
...(44...4)2(12...)2
n n n T b b b n =+++=+++++++ (10)
分
12244224633
n n n n n n +-=++=?++-…………………………………………………
…12分
19． (本小题满分12分)
解：设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元。
()4800
z 150120(23x 23y)240000720x y 3
=?+?+?=++根据题意，….…….4分
由容积为4800m
3
,可得3xy=4800,因此
xy=1600………………………….…… ……..6分 故240000+720（x+y ）≥240000+7202xy ?即
Z ≥240000+72021600?,Z ≥297600……………………………………………….. 8分 当
x=y=40
时
，
等
号
成
立。……………………………………………… …..………….. 10分 所以，将水池的地面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低造价为
297600
元。 ……………………… ……………….12分. 20．(本小题满分12分)
解：（1）由已知，当n ≥1时，111211()()...()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+………2分
2
112(21)(222...2)2221
n n
n n a ++-=++++=+=-， (5)
分
而12a =符合上式，所以数列{n a }的通项公式
2n n a = (6)
分
（2）由232,122232...2,(1)n n n n n b na n S n ==?=?+?+?++?知 从而23121222...(1)22,(2)n n n S n n +=?+?++-?+
（1）—（2）得：2311222...22,n n n S n +-=?++++-? (9)
即
(21)21n n S n =-+ ………………………………………………………………
…… 12分
21．(本小题满分12分)
解：（1）设等差数列{n a }的公差为d ，由已知得513234
,39
a a a +=??=?……………………
2分 即
11
817
,3a d a d +=??
+=?得
：
11,2a d ==， (4)
分
故
221,n n a n S n =-= ………………………………………………………
………6分
（2）要使140,,m a a a 成等比数列，必须22140,1(2401)79m a a a ==??-=即(2m-1)，
…………………………………
……………..9分
因为79不是完全平方数，故方程279=(2m-1)无正整数解，因此不存在正整数m ， 使
得
140
,,m a a a 成等比数
列 ………………………………………………………….12分 22. (本小题满分12分)
解：（1）当a=1时，对函数求导数，得()f x '=3x 2-6x-9，
令
()
f x '=0，解得
121,3
x x =-=……………
…………………………….………3分 列表讨论f （x ）,
()f x '的变化情况：
所以f(x)的极大值是f(-1)=6，极小值为
f(3)=
-26…………………………………………6分 (2)22963)(a ax x x f --='的图象是一条开口向上的抛物线， 关
于
直
线
x=a
对
称……………………………………………………………………….… 7分
若
1
1,()a 4
a f x '<≤则在[1,4]上是增函数， 22()a f (1)=3-6a-9a f (4a)=15a f x '''从而在[1,4]上的最小值是，最大值是，
22f (x)|12a,-12a 3x 6912ax a a '≤≤--≤由|得，
22f (1)=3-6a-9a -12a,(4)1512f a a a ''≥=≤于是有且 (9)
分
14
f (1)-12a,-a (4)12035
f a a a ''≥≤≤≤≤≤
由得1;由，得11414
(,1][,1][0,],(,]43545
a a ∈?-?∈所以即 …………………………………..……..
10分
2>1,|f (a)|=12a 12,[1,4]|f (x)|12a a x a ''>∈≤若a 则故当时，不恒成立 (11)
分
所以使|f (x)|12a x '≤∈（[1,4a]）恒成立的
a 的取值范围是
14
(,]45
…………………….12分