中国传媒大学硕士研究生入学考试
《数学分析》考试大纲
一、考试的基本要求
本考试大纲适用于报考中国传媒大学应用数学专业的硕士研究生入学考试。《数学分析》是为招收应用数学专业硕士生而设置的具有选拔功能的水平考试。它的主要目的是测试考生对数学分析各项内容的掌握程度。要求考生熟悉数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法, 具有一定的抽象思维能力、较强的逻辑推理能力和运算能力。
二、考试内容和考试要求
1．极限和函数的连续性
数列的极限、函数的极限；函数的连续性和一致连续性；连续函数的各种性质。
(1)熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。
(2)掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。
(3)熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。
(4)熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理。
2．一元函数微分学
微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。
(1)理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。
(2)熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。
(3)熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理以及Taylor展式。
(4)能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。
(5)掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
3．一元函数积分学
定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。
(1)理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。
(2)掌握定积分的概念，包括可积条件与可积函数类。
(3)掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。
(4)能用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积与侧面积。
(5)理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。
4．无穷级数
数项级数的概念、数项级数敛散的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。
(1)理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。
(2)熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert 判别法与积分判别法。
(3)熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。
(4)熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass判别法、Abel判别法和Dirichlet判别法。
(5)掌握幂级数及其收敛半径的概念，幂级数的性质, 能够将函数展开为幂级数。
(6)了解Fourier级数的概念与性质。
5．多元函数微分学与积分学
多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。
(1)理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。
(2)熟练掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。
(3)熟练掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其应用。
6．含参变量积分
含参变量积分的概念、性质。
(1)了解含参变量常义积分的概念与性质。
(2)熟练掌握变上限积分。
三、考试的基本题型
主要题型可能有：概念题、选择题、填空题、简答题、计算题、证明题等。试卷满分为150分。
四、考试的形式及时间
考试采用闭卷笔试形式。考试时间为180分钟.
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
《数学分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110072、110073、110074 课程名称：数学分析 英文名称：Mathematical Analysis 课程类别：基础课 学时：216（分三个学期上） 学分：11 适用对象: 信息与计算科学专业本科生 考核方式：闭卷考试，平时成绩占30%，期末考试成绩占70% 先修课程：无 二、课程简介 以经典微积分为主要容的数学分析，是信息与计算科学专业学生极其重要的必修基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学习其他基础课和专业课的基础，也是占学时最长、学分最多的一门必修基础课程。其特点是：容多，跨度大，概念抽象，系统性与逻辑性强，思想方法重要，应用广泛。 众所周知，数学是一个分支众多、应用非常广泛的科学体系，是其他各门科学的基础和工具，在整个人类知识体系中占有特殊重要的地位。数学是研究数量关系和空间形式的科学，而研究数量关系和空间形式必须从变量间最本质的联系─── 函数开始起步。数学分析研究的对象与方法是用无穷小分析的方法研究实函数。因此，数学分析正是讲述函数理论的最基本的课程，可以说它是数学这座科学大厦的奠基石，是基础中的基础，它理所当然地被列为数学科学及相关学科最重要的基础课之一，在培养具有良好数学素养的人才方面，它所起的作用是任何其他课程无法相比的。 由于数学分析是几乎所有后继数学课程的基础，又是新生入学后首先接触的重要基础课之一，所以，数学分析这门课程不仅要教会学生循序渐进地领会已抽象出来的普遍结论、掌握扎实的专业基础知识，更重要的是培养学生抽象的逻辑思维能力、使其切实掌握运用数学工具分析问题、转化问题、解决问题的思想和方法。数学分析课程的得失，将直接关系到其它相关数学课程如常微分方程、概率论与数理统计、复变函数与积分变换等教育的成败，关系到学生后继专业课程的学习，对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用，甚至可能会影响他们一生的思维方式。因此，积极开发教学资源，根据学生的具体实际情况，按照课程标准的要施教学，对于提高计算科学系学生的综合素质有着深远的影响。 本课程以课堂讲授为主，辅以多媒体教学、习题课，精讲多练注重理论联系实际。基本容由教师讲授，通过习题课对所学容进行巩固和提高。各章中平行的容可安排学生自学，以提高学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。由于本课程具有很强的几何背景，因此教学中要注意与几何直观相结合，注重理论联系实际，逐步推广使用多媒体教学手段。通过本课程的学习，使学生正确理解和掌
《数学分析》考试大纲 一、考试的性质 数学分析是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。为帮助考生明确考试范围和有关要求，特制订出本考试大纲。 本考试大纲主要根据北京林业大学数学与应用数学本科《数学分析》教学大纲编制而成，适用于报考北京林业大学数学学科各专业（基础数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学）硕士学位研究生的考生。 二、考试内容和基本要求 1．实数集与函数 （1）确界概念，确界原理 （2）函数概念与运算，初等函数 要求：理解确界概念与确界原理，并能运用于有关命题的运算与证明。深刻理解函数的意义，掌握函数的四则运算。 2．数列极限 （1）数列极限的ε一N定义 （2）收敛数列的性质 （3）数列的单调有界法则，柯西收敛准则，重要极限 要求：深刻理解数列极限的ε一N定义，并会运用它验证给定数列的极限；掌握数列极限的性质，并会运用它证明或计算给定数列的极限；掌握数列极限存在的充要条件与充分条件，并能运用这些条件证明或判断数列极限的存在性；掌握重要极限并能运用它计算某些数列极限。 3．函数极限 (1) 函数极限的ε一M定义和ε一δ定义，单侧极限 (2) 函数极限的性质 (3) 海涅定理（归结原则），柯西收敛准则，两个重要极限 (4) 无穷小量与无穷大量的定义、性质，无穷小（大）量阶的比较 要求:理解各类函数极限的定义，并能按定义验证给定的函数极限；掌握函数极限的性质，并能用它证明或计算给定的函数极限。掌握函数极限的归结原则，并能用它来判断函数极限的存在性和计算某些数列极限。掌握函数极限的柯西准则，了解单侧极限的单调有界定理；熟练掌握两个重要极限，并运用它们进行有关函数极限的计算；掌握各类无穷小量与无穷大量的定义与性质，理解无穷小（大）量的阶的概念。 4．函数的连续性 (1) 函数在一点连续，单侧连续和在区间上连续的定义，间断点的类型 (2) 连续函数的局部性质。复合函数的连续性，反函数的连续性。闭区间上连续函数的性质。 (3) 一致连续的定义，初等函数的连续性 要求:深刻理解函数连续性概念，掌握间断点的概念及分类；掌握连续函数的局部性质以及复合函数和反函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质；理解函数在区间上一致连续概念，并能用定义验证给定函数在某区间上为一致连续或非一致连续。
工科数学分析教学大纲 课程编号： 学分：11 学时：165（其中讲课学时：131，习题课学时：34，上机学时：0）先修课程：初等数学 适用专业：机械类、电气类培优班 教材：《高等数学》（上、下册），同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2007年第6版 《高等数学》（上、下册），田立新主编，江苏大学出版社，2007 年第1版 开课学院：理学院 一、课程的性质与任务 工科数学分析是工科院校某些专业的一门重要的基础理论课程。通过这门课程的学习，要使学生系统地获得微积分与常微分方程的基本知识（基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法），培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想方法，使学习受到数学分析的基本概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练，以提高抽象概括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。 二、课程的基本内容及要求 （一）极限与连续 基本要求： 1. 理解极限的概念，理解极限的ε-N，ε-δ，ε-X定义的含义，理解函数左、右极限的概念，掌握极限存在与左、右极限之间的关系，掌握利用极限定义证明某些简单的极限的方法。 2. 掌握极限的性质及四则运算法则。
3. 掌握极限性存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法，了解实数连续性的几个等价命题。 4. 理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小替换求极限。 5. 理解函数在一点处连续和间断的概念，理解函数的一致连续性概念。 6. 了解初等函数的连续性，掌握讨论连续性的方法，会判别间断点的类型。 7. 理解闭区间上连续函数的性质，会用介值定理讨论方程根的存在性。 重点： 极限概念，无穷小量，极限的四则运算，函数的连续性。 难点 极限的定义，实数连续性等价命题，函数的一致连续性概念。 （二）一元函数微分学 基本要求： 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，了解函数的可导性和连续性的关系，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率，了解微分概念中所包含的局部线性化思想。 2. 熟练掌握导数与微分的运算法则及导数的基本公式，了解一阶微分形式的不变性。 3. 熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数的计算，会求分段函数的导数，会计算常用简单函数的n阶导数，会求函数的微分。 4. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。 5. 理解并会用Rolle定理、Lagrange中值定理，了解并会用Cauchy中值定理。 6. 理解函数的极值概念，熟练掌握利用导数求函数的极值，判断函数的增减性、凸性、求曲线的拐点及函数作图（包括求渐近线）的方法，会解决应用题
《数学分析》考试大纲 科目名称：数学分析 科目代码： 617 《数学分析》是数学专业研究生必考的科目，总分值为150分，考试时间为3个小时。 本科目考试的基本知识以华东师范大学数学系编写的《数学分析》（第三版）为基础，除去带*号的内容（包括：第六章§7方程的近似解；第七章§1三实数完备性基本定理的等价性，§3上极限与下极限；第九章§6可积性理论补叙；第十章§6定积分的近似计算）不考，其余内容都是考试所要求掌握的。 参考书目： [1] 华东师范大学数学系,数学分析（第三版）,高等教育出版社，2008 年4月； [2] 陈守信，数学分析选讲，机械工业出版社，2009年9月. 参考题型：河南工业大学2014年硕士研究生入学考试试题（见附页）。
附页 河南工业大学 2014年硕士研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 共 2 页（第 1 页） 一、(24分，每小题8分) 计算下列极限： 1. 1211lim 1)n n n n -→+∞+-（ ； 2. 0x →； 3. lim sin sin sin ).n →+∞+++222 12n （n n n 二、( 48分，每小题12分) 计算下列各类积分： 1. 12sin I dx x π π-=+?； 2. 2sin y x I dy dx x ππππ-=?? ； 3. 第二型曲线积分22 C xdy ydx x y -+?，其中C 为任意简单闭曲线，逆时针为正向； 4. 利用奥高公式计算 ()()()s I x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy =-++-++-+??， 其中S 是八面体1x y z y z x z x y -++-++-+=的外侧. 三、(36分，每小题12分) 完成下列各题 1.(12分) 按步骤做出函数23(1)y x x =-的图像． 2. 求幂级数111(1)(1)2n n n x n ∞=-+++∑的收敛域． 3. 设(,)z z x y =是由方程组 ,,u v u v x e y e z uv +-===， 确定的函数，求当0,0u v == 时的2,dz d z ．
《数学分析》考试大纲 一、课程简介 数学分析是数学专业的基础课之一。主要内容包括：实数理论；极限理论；一元函数和多元函数的微分学理论；级数理论和积分理论。主要培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力；熟练的运算能力与运算技巧；提高建立数学模型、并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 二、考查目标 主要考察考生对数学分析的基本理论和基本方法的理解和掌握情况及抽象 思维能力、逻辑推理能力和运算能力。 三、考试内容及要求 第一章 实数集与函数 一、考核知识点 1、实数：实数的概念；实数的性质；绝对值不等式。 2、函数：函数的概念；函数的定义域和值域；复合函数；反函数。 3、函数的几何特性：单调性；奇偶性；周期性。 二、考核要求 识记：函数的概念和表示方法。 简单应用：会求解或证明简单绝对值不等式；会求函数的定义域和值域。 第二章 数列极限 一、考核知识点 1、数列极限的概念（N -ε定义）。 2、数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性。 3、数列极限存在的条件：单调有界原理、两边夹法则。 二、考核要求 识记：穷小量和无穷大量的概念性质和运算法则，无穷小量与无穷大量的比较。
简单应用： 1、理解和掌握数列极限的概念。 2、会使用N -ε语言证明数列的极限。 3、掌握数列极限的基本性质、运算法则以及数列极限的存在条件(单调有界原理和两边夹法则)，并能运用它们求数列极限。 第三章 函数极限 一、 考核知识点 1、函数极限的概念（δε-定义、M -ε定义）；单侧极限的概念。 2、函数极限的性质：唯一性；局部有界性；局部保号性。 3、函数极限存在的条件：归结原则。 4、两个重要极限。 二、考核要求 识记：单侧极限的概念以及求法。 简单应用： 1、理解和掌握函数极限的概念，会使用语δε-言以及M -ε语言证明函数 的极限。 2、掌握函数极限的基本性质、运算法则，会使用归结原理证明函数极限不存在。 3、掌握两个重要极限并能利用它们来求极限。 第四章 连续函数 一、考核知识点 1、函数连续的概念：一点连续的定义；在区间上连续的定义；单侧连续的定义；间断点的分类。 2、连续函数的性质：局部性质及运算；闭区间上连续函数的性质（最值性、有界性、介值性、一致连续性）；复合函数的连续性；反函数的连续性。 3、初等函数的连续性。 二、考核要求
2020年数学分析考试大纲精品版
《数学分析》考试大纲 一、课程性质和目的 《数学分析》是数学系的一门重要基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限论、单元和多元微积分、级数论、反常积分等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如《微分方程》、《实变函数》、《概率论与数理统计》及有关的《泛函分析》、《微分几何》等限选课程及《普通物理学》等）提供一些所需的基础理论和知识，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。 通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论、习题课、作业、辅导等），使学生对极限思想和方法有较深的认识和理解，从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。 整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法，训练学生举一反三的能力，在单元函数和多元函数相平行的内容以单元函数为主，引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。 二、课程内容 充分条件，必要条件，充要条件，绝对值，不等式，函数，单调函数，周期函数，奇偶函数，复合函数，反函数，初等函数，数列极限，数列极限的性质，单调有界数列，子数列，函数极限，函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，两个重要极限，无穷小量与无穷大
量，闭区间套定理，上确界与下确界，确界存在定理，有限覆盖定理，致密性定理，柯西收敛准则，连续，左连续，右连续，间断点，函数在一点连续的性质，中间值定理，有界性定理，最大值与最小值定理，反函数的连续性定理，一致连续性定理，初等函数的连续性，导数，求导法则，微分，微分与导数的关系，高阶导数，高阶微分，参数方程求高阶导数，费尔马定理，洛尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，洛必达法则，泰勒公式，单调性判别法，极值，凹凸性，拐点，曲线的渐近线，函数作图，不定积分，换元法，分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式积分，无理函数的积分，平面图形的面积，立体的体积，平面曲线的弧长，曲线的曲率，上极限，下极限，数项级数，正项级数，任意项级数，绝对收敛，条件收敛，无穷乘积，无穷积分，瑕积分，反常积分的收敛与发散，反常积分的计算，柯西主值，函数列，函数项级数，一致收敛，非一致收敛，一致收敛级数的性质，幂级数的收敛域，幂级数的性质，幂级数的展开，富里埃级数，富里埃级数的展开，平面点集，多元函数的极限，多元函数的连续性，偏导数，全微分，方向导数，复合函数的偏导数，一阶全微分形式的不变性，高阶偏导数，高阶全微分，泰勒公式，多元函数的极值，隐函数存在定理，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，条件极值，含参变量的定积分，含参变量反常积分的一致收敛，含参变量反常积分的分析性质，欧拉积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第二型曲线积分，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第一型曲面积分，第二型曲面积分，奥高公式，斯托克斯公式。
《数学分析Ⅱ》课程教学大纲 一、《数学分析》课程说明 （一）课程代码：08120002 （二）课程英文名称：Mathematical Analysis （三）开课对象：数学专业本科学生 （四）课程性质： 数学分析是数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年级学生的必修课。 （五）教学目的： 本课程的教学目的是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识,为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础。 （六）教学内容： 本课主要内容分为三个部分：（1）一元微积分（包括极限理论和实数完备性的一系列等价命题）；（2）多元微积分；（3）无穷级数理论（包括广义积分和含参变数积分理论）。其中前两部分主要讲述微积分的基本概念、方法和应用，包括一切相关数学原理的严格证明；第（3）部分讲述线面积分和极限理论在无穷级数、含参数广义积分理论中的深入应用。极限和实数完备性理论、定积分理论以及极限理论的各种应用对学生抽象思维和逻辑推理的训练，对分析数学中必要的方法技巧的掌握都是至关重要的。 （七）学时数、学分数及学时数具体分配 教学时数： 108 学时 学分数： 6 学分 （八）教学方式
以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。 （九）考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。 二、讲授大纲与各章的基本要求 第七章实数的完备性 教学要点: 使学生掌握实数的连续性定理，理解连续性定理的等价性，掌握连续性定理等价性证明的方法及连续性定理的应用。 教学时数:14学时 教学内容: 实数完备性的基本定理 第一节实数集完备性的基本定理（8学时） 一、区间套定理与柯西收敛准则 二、聚点定理与有限覆盖定理 第二节闭区间上连续函数性质的证明（6学时） 一、有界性定理和最值定理的证明 二、一致连续性定理的证明 考核要求： 1、叙述区间套定义(识记) 2、叙述聚点的定义及聚点的等价定义(识记) 3、闭区间套定理的条件和结论证明及证明(识记) 4、Weierstrass聚点原理的条件和结论(识记) 5、应用闭区间套定理证明聚点原理(识记) 7、应用Chauchy收敛准则证明聚点原理(识记) 8、应用聚点原理证明Chauchy准则(识记) 9、证明致密性定理(识记) 10、叙述一个集合的覆盖定义(识记) 11、应用闭区间套定理证明有限覆盖定理(识记) 12、应用聚点原理证明有限覆盖定理(识记) 13、研究关于实数的几个定理的等价性(应用) 14、证明闭区间上的连续函数的有界性，几何解释该定理的证明(识记) 15、证明闭区间上的连续函数的最大最小值定理，几何解释该定理的证明(识记) 16、证明闭区间上的连续函数的介值定理，几何解释该定理的证明(识记) 17、证明闭区间上的连续函数的一致连续性，几何解释该定理的证明(识记) 第八章不定积分
《数学分析12》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：数学分析12 英文名称：Mathematical Analysis 课程编号：2411204 开课专业：数学与应用数学专业 开课学期：第2学期 学分/周学时：6/6 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 《数学分析12》是数学专业的基础学科，是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换为基本容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，在第2学期开设。本课程的教学，对锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法有重要的意义，它不仅关系到能否学好后续课程，对学生未来的发展也将产生重大影响。 3．本课程的教学目的和任务 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。与中学数学的许多容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体积、弧长等有着密切的联系。 通过本课程的学习，使学生掌握不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换等基本容，为学习数学分析3及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗
透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练，达到如下目的： 1、通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义观； 2、使学生正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 本课程是高等院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课，它的任务是使学生获得不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换等方面的系统知识。 它一方面为后继课程如微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、与泛函分析、概率论等等基础课及有关选修课提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。 通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 5．教学时数及课时分配
数学分析考研大纲 第一部分 集合与函数 1、集合 实数集、有理数与无理数的调密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套 定理、聚点定理、有限复盖定理。2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广。 2、函数 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定 理。初等函数以及与之相关的性质。 第二部分 极限与连续 1、 数列极限 数列极限的N ε-定义，收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式 性质） 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关 系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用。 2、 函数极限 各种类型的一元函数极限的定义（εδ-、M ε-语言 ），函数极限的基本性质（唯一 性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限：sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号о与O 的意义。多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二 元函数的二重极限与累次极限的关系。 3、 函数的连续性 函数连续与间断的概念，一致连续性概念。连续函数的局部性质（局部有界性、保号性）， 有界闭集上连续函数的性质（有界性、最值可达性、介值性、一致连续性）。 第三部分 微分学 1、一元函数微分学 （i ）导数与微分 导数概念及其几何意义，可导与连续的关系，导数的各种计算方法，微分及其几何意义、 可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。 （ii ）微分学基本定理及其应用 Feimat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理， Taylor 公式(Peano 余项与 Lagrange 余项)及应用，函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。
包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲 课程编号： 课程性质：基础必修课 适用专业：数学与应用数学专业<本科） 选用教材：《数学分析讲义》<第五版） 刘玉琏等编著 高等教育出版社2008年10月 包头师范学院数学科学学院 函数论教研室
数学分析课程教案大纲 课程编号：课程类型：基础必修课 总学时：352 总学分：20 适用专业：数学与应用数学 先修课程：高中数学 使用教材： 刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月. 参考书： 陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月. 1987年获全国优秀教材一等奖. 华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材 一、课程性质、目地和任务 本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP 二、教案基本要求 在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw 三、教案内容及要求 依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》 第一章函数 §1.1.函数 一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列 §1.2. 四类具有特殊性质地函数 一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数 §1.3.复合函数与反函数 一、复合函数二、反函数三、初等函数
教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983）
（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修
第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。
包头师范学院“数学分析”课程教学大纲《数学分析》教学大纲 课程编号： 课程性质：基础必修课 适用专业：数学与应用数学专业（本科） 选用教材：《数学分析讲义》（第五版） 刘玉琏等编著 高等教育出版社2008年10月 包头师范学院数学科学学院 函数论教研室
数学分析课程教学大纲 课程编号：课程类型：基础必修课 总学时：352 总学分：20 适用专业：数学与应用数学 先修课程：高中数学 使用教材： 刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》（第四版），高等教育出版社，2002年10月。 参考书： 陈传璋等编著《数学分析》（第二版），高等教育出版社，1983年7月。 1987年获全国优秀教材一等奖。 华东师大编《数学分析》，面向21世纪课程教材 一、课程性质、目的和任务 本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业)的一门重要基础课。本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。 二、教学基本要求 在教学中，应注意本课程的整体结构，各部分知识的内在联系，以及与初等数学和后继课程的联系。要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，能综合应用所学知识解决实际问题，并且了解分析学的基本概念及物理、几何意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。 三、教学内容及要求 依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》，本课程教学在第1、2、3、4学期进行，分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》。 《数学分析Ⅰ》 第一章函数 §1.1.函数 一、函数概念，二、函数的四则运算，三、函数的图象四、数列 §1.2. 四类具有特殊性质的函数 一、有界函数，二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数 §1.3.复合函数与反函数 一、复合函数二、反函数三、初等函数 重点掌握：函数的概念，函数的表示，函数的复合运算和具有特殊性质的函数。 第二章极限 §2.1. 数列极限
《数学分析3》课程教学大纲 课程代码：090132108 课程英文名称：Calculus 3 课程总学时：72 讲课：72 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门重要专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学习概率论、数值分析、常微分方程等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1．获得证明一些问题的能力。如二元函数在某点处极限不存在的证明，隐函数（组）存在性的证明，含参变量无穷积分一致收敛性的证明等等。 2．掌握计算一些问题的方法。如多元函数偏导数、全微分、方向导数、极值、梯度、散度、旋度的计算，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算等等。 3．学习辨析一些问题的思维。如一元函数与多元函数极限的联系与区别；一元函数与多元函数极值的联系与区别；二重积分、三重积分与定积分联系与区别等等。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 基本知识：多元函数微积分中的基本概念，包括多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、方向导数，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分，梯度、散度、旋度等等；多元函数微积分中的基本定理，包括隐函数存在定理、格林公式、奥高公式、斯托克斯公式、曲线积分和路径无关的条件等等；多元函数微积分中的典型的分析方法，包括二元函数在某点处极限不存在的证明，隐函数（组）存在性的证明，含参变量无穷积分一致收敛的判别等等；多元函数微积分中的计算方法，包括多元函数偏导数、全微分、方向导数、极值的计算，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算。 基本能力：培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；用数学分析的语言叙述表达自己思想的能力；使学生掌握解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。 基本技能：使学生获得数学分析的基本运算和证明技能。 （三）实施说明 1．本大纲主要依据信息与计算科学专业2017-2020版教学计划、信息与计算科学专业专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《数学分析教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的。 2．课程学时总体分配表中的章节序号在授课过程中可酌情调整顺序，课时分配仅供参考，打“*”号的章节可删去或选学。 3．教学方法：建议本课程采用课堂讲授与讨论相结合的方法，通过习题课和讨论等方式强化重点，通过分散难点，使学生循序渐进的掌握难点。在教学重要注意由易到难，循序渐进。先概念和计算，后理论与方法；先培养初步的分析论证能力和单项解题能力，后强化综合论证能力和解题能力。 4．教学手段：建议采用多媒体等现代化手段开展教学。
第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质
1、实数 (,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示. {}|R x x =为实数--全体实数的集合． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 例： 2.001 2.0009999→L ； 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L . 其中3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-L L L ； ；
《数学分析》专升本考试大纲 一、考试对象 数学与应用数学专升本学生 二、考试目的 《数学分析》是师范院校数学专业的一门重要基础课，既是专升本必考科目之一，也是本考研必考科目之一。 考生应按本大纲的要求了解或理解本科目中涉及的实数的连续性、数列与函数极限和连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学初步和级数敛散性。 考生应掌握或者熟练掌握上述各部分的基本方法，应理解各部分知识结构及知识的内在联系； 考生应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法，正确地判断和证明，准确地计算； 考生能综合运用所掌握知识分析并解决简单的实际问题。 三、考试方法 1、考试方法：（闭卷笔试） 2、记分方式：百分制，满分为100分 3、命题的指导思想和原则 命题的总的指导思想是：全面考查学生对本课程的基本原理、基本概念和主要知识点学习、理解和掌握的情况，特别是灵活解决问题的能力。命题的原则是：题目数量多、份量小，范围广，最基本的知识一般要占60%左右，稍微灵活一点的题目要占20%左右，较难的题目要占20%左右。客观性的题目应占一定的份量。 4、题目类型 单项选择题、填空题、计算题、综合应用题和证明题 四、考试内容、要求 第一章实数集与函数 1、实数 1)了解实数及其性质
2) 掌握绝对值不等式 2、 数集、确界原理 1) 掌握区间与邻域 2) 熟练有界集、确界原理 3、 函数概念 1) 掌握函数的定义和定义域的求法 2) 了解函数的三种表示法 3) 掌握函数四则运算 4) 熟练掌握复合函数定义及符合函数的分解 5) 了解反函数的定义及求法 6) 掌握初等函数的定义及其图形 4、 具有某些特性的函数 1) 熟练掌握有界函数定义及其性质 2) 熟练掌握单调函数定义及其性质 3) 熟练掌握函数奇偶性判别法及其性质 4) 熟练掌握周期函数及其性质 第二章 数列极限 1、数列极限的概念 1) 熟练掌握极限定义并运用定义证明极限 2) 掌握无穷小数列 2、熟练掌握收敛数列的性质及极限求法 3、熟练掌握数列极限存在的条件 第三章 函数极限 1、函数极限的概念 1) 掌握x →∞时函数的极限 2) 掌握0x x →时函数的极限 2、函数极限的性质
导数公式: = scc 2 x / 2 (cfgx)'= -cscr (secx)r = secx ?tgx (esc x\ = - esc x ? etgx (a x \ = a x \na (arccosx)'=——/ yjl-x 2 — 2 I n = Jsin" xdx = jcos M xdx 0 (log. x\ = 1 x\na (arcctgx)f = 1 l + x 2 基本积分表： ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + C Jese xdx = ln|csc x - etgx + C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dx cos 2 x dx sin 2 x |sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + C dx ~2 2 a +x dx 2 7 x -er dx a 2 -x 2 dx \la 2 -x 2 x-a 2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C 2a a-x = = arcsin —+ C a jsec x ? tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + C ia x dx = ———C J Inez jshxdx = chx + C ^chxdx = shx + C J 岛 T 777 " ^x 2 +a 2 dx = — y/x 2 + a 2 + — ln(x + y/x 2 +a 2 ) + C 2 _________ ____________________ 2 JVx 2 -a 2d x = ~ J 兀2 _ — In 兀 + — cz 厶 + C JJ/ x = *罷 三角函数的有理式积分： 2 一 + — arcsin — + C 2 a sinx = 2u l + u 2 cosx = 1 -M 2 1 + w 2 U=tg 2 dx = 2du l + w 2 (arctgx)f = 1 l + x 2 /r 2 (arcsin x)f