2013年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形
【基础知识回顾】
一、锐角三角函数定义：
在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数
【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关
2、取值范围
二、特殊角的三角函数值：
αsinαcosαtanα
300
450
600
【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆
2、当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而
3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=
sin A
⑵若∠A+∠B=900，则sinA= cosA.tanB= 】
三、解直角三角形：
1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形
2、解直角三角形的依据：
RT∠ABC中，∠C900 三边分别为a、b、c
⑴三边关系：
⑵两锐角关系
⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA
sinB cosB tanB
【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是
当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】
3、解直角三角形应用中的有关概念
⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角
⑵坡度坡角：如图：
斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得
夹角为用字母α表示，则i=h l
=
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角
如图：OA表示OB表示
OC表示（也可称西南方向）
3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：
⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）
⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形
⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案
【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】
【重点考点例析】
考点一：锐角三角函数的概念
例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）
A．1
2
B．
5
5
C．
10
10
D．
25
5
思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O，
根据网格的特点，CD⊥AB，
在Rt△AOC中，
CO=22
11
+=2；
AC=22
13
+=10；
则sinA=OC
AC
=
25
5
10
=．
故选B．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
对应训练
1．（2012?贵港）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB 的值等于（）
A．
5
5
B．
5
2
C．
3
2
D．
1
2
1．A
考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．
专题：计算题．
分析：过A作AC⊥x轴于C，利用A点坐标为（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．
解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C，
∵A点坐标为（2，1），
∴OC=2，AC=1，
∴OA=22
OC AC
+=5，
∴sin∠AOB=
15
5
5
AC
OA
==．
故选A．
点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．
考点二：特殊角的三角函数值
例2 （2012?孝感）计算：cos245°+tan30°?sin60°=．
思路分析：将cos45°=
2
2
，tan30°=
3
3
，sin60°=
3
2
代入即可得出答案．
解：cos245°+tan30°?sin60°=1
2
+
3
3
×
3
2
=
1
2
+
1
2
=1．
故答案为：1．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
对应训练
（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．
思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
解：原式=13
3
22
+?=
13
22
+=2．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形
例3 （2012?安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．
6．思路分析：过C 作CD ⊥AB 于D ，求出∠BCD=∠B ，推出BD=CD ，根据含30度角的直角三角形求出CD ，根据勾股定理求出AD ，相加即可求出答案． 解：
过C 作CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD ，
∵∠A=30°，AC=23， ∴CD=3， ∴BD=CD=3， 由勾股定理得：AD=
22AC CD =3，
∴AB=AD+BD=3+3， 答：AB 的长是3+3．
点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 对应训练
3．（2012?重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）
3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．
专题：计算题．
分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC ，相加即可求出答案．
解答：解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵∠BAC=90°， ∴∠C=180°-90°-60°=30°， ∴BC=2AB=4，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC=2
2
224223BC AB -=-=，
∴△ABC 的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23． 答：△ABC 的周长是6+23．
点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
考点四：解直角三角形的应用
例 4 （2012?张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=32千米，请据此解答如下问题：
（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45） （2）求∠ACD 的余弦值． 考点：解直角三角形的应用．
分析：（1）连接AC ，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=152千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可．
解：（1）连接AC
∵AB=BC=15千米，∠B=90°
∴∠BAC=∠ACB=45° AC=152千米 又∵∠D=90°
∴AD=22
-AC CD =2
2
(152)(32)123-=（千米）
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC+18 6 ≈157（平方千米）
（2）cos ∠ACD=
CD 321
==AC 5
152
点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练
6．（2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．
（1）求B 、C 两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，
3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）
考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．
分析：（1）由于A 到BC 的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC
的距离；
（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可．
解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，
∴BC=AC?tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．
法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD，
∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°，
∴AD=60，CD=303，BC=60+303≈112（米）
（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）
∴此车没有超过限制速度．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．
【聚焦山东中考】
1．（2012?济南）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）
A．1
3
B．
1
2
C．
2
2
D．3
1．A
考点：锐角三角函数的定义．
专题：网格型．
分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
解答：解：由图形知：tan∠ACB=21 63 ，
故选A．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．2．（2012?滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）
A．不变B．缩小为原来的1
3
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
2．A
分析：由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变．
解答：解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．
故选A．
点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．
3．（2012?烟台）计算：tan45°+ 2cos45°= ．
3．2
考点：特殊角的三角函数值．
分析：首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解．
解答：解：原式=1+2×
2
2
=1+1=2．
故答案是：2．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．
4．（2012?济宁）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA- 1
2
|+（sinB-
2
2
）2=0，则∠C= ．
4．75°
考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．
分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA- 1
2
=0，sinB-
2
2
=0，然后根据特
殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．
解答：解：∵|cosA-1
2
|+（sinB-
2
2
）2=0，
∴cosA- 1
2
=0，sinB-
2
2
=0，
∴cosA=1
2
，sinB=
2
2
，
∴∠A=60°，∠B=45°，
则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°，
故答案为：75°．
点评：此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．
5．（2012?潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
解答：解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，AD=
CD21
==21 3
tan303
3
=36.33，
在Rt△BDC中，BD=
CD21
==7 3
tan303
=12.11，
则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）。
（2）∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1×3600=43560，
∴该车速度为43.56千米/小时，
∵大于40千米/小时，
∴此校车在AB路段超速．
点评：此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
6．（2012?青岛）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）
（1）求教学楼AB的高度；
（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin22°≈3
8
，cos22°≈
15
16
，tan22°≈
2
5
）
6．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=AM ME
，
求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cos22°=ME
AE
，求出AE即可．
解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF+FC=x+13，
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，
tan22°=AM ME
，
则x-2 x+13 =2 5 ，
解得：x=12．
即教学楼的高12m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25．
在Rt△AME中，cos22°=ME AE
．
∴AE=ME cos22° ≈25 15 16 ≈27，即A、E之间的距离约为27m．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=AM
ME
是解题关键．
【备考真题过关】
一、选择题
1.（2012?哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）
A．2
3
B．
3
5
C．
3
4
D．
4
5
1.D
考点：锐角三角函数的定义．
分析：根据锐角三角函数的定义得出sin∠B= AC
AB
，代入即可得出答案．
解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴sin∠B=AC
AB
=
4
5
，
故选D．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生对锐角三角函数的定义的理解和记忆，题目比较典型，难度适中．
2．（2012?青海）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）
A．4
5
B．
3
5
C．
3
4
D．
4
3
2．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
解答：解：∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴AB=2CD=10，
根据勾股定理，BC=22
AB AC
-=22
106
-=8，
tanB=AC
BC
=
6
8
=
3
4
．
故选C．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．
3．（2012?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 2
3
，则BC的长为（）
A．4 B．25C．1813
13
D．
1213
13
3．考点：锐角三角函数的定义．
分析：根据cosB= 2
3
，可得
CB
AB
=
2
3
，再把AB的长代入可以计算出CB的长．
解答：解：∵cosB=2
3
，
∴CB
AB
=
2
3
，
∵AB=6，
∴CB=2
3
×6=4，
故选：A．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c 的比叫做∠A的余弦．
4．（2012?天津）2cos60°的值等于（）
A．1 B．2C．3D．2
4．A
考点：特殊角的三角函数值．
分析：根据60°角的余弦值等于1
2
进行计算即可得解．
解答：解：2cos60°=2×1
2
=1．
故选A．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
5．（2012?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）
A．1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
5．C
考点：特殊角的三角函数值．
分析：根据AB=2BC直接求sinB的值即可．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA=BC
AB
=
1
22
BC
BC
；
∴∠A=30°∴∠B=60°
∴sinB=
3
2
。
故选C．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题时，直接利用正弦的定义求解即可．6．（2012?杭州）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°
B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54°
D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
6．考点：解直角三角形；点到直线的距离；平行线的性质．
分析：根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、B；过A
作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出
AD=AOsin36°，AO=AB?sin54°，求出AD，即可判断C、D．
解答：解：
A、B到AO的距离是指BO的长，
∵AB∥OC，
∴∠BAO=∠AOC=36°，
∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，
∴sin36°=BO AB
，
∴BO=ABsin36°=sin36°，
故本选项错误；
B、由以上可知，选项错误；
C、过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=54°，
∵sin36°=AD AO
，
∴AD=AO?sin36°，
∵sin54°=AO AB
，
∴AO=AB?sin54°，
∴AD=AB?sin54°?sin36°=sin54°?sin36°，故本选项正确；
D、由以上可知，选项错误；
故选C．
点评：本题考查了对解直角三角形和点到直线的距离的应用，解此题的关键是①找出点A 到OC的距离和B到AO的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
7．（2012?宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米
7．D
考点：解直角三角形的应用．
专题：探究型．
分析：直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC?tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．
解答：解：∵AB ⊥BC ，BC=24米，∠ACB=27°，
∴AB=BC?tan27°，
把BC=24米，tan27°≈0.51代入得， AB≈24×0.51≈12米． 故选D ．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
8．（2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）
A ．100m
B ．1003m
C ．150m
D ．503m
8．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据题意可得3
3
BC AC =，把BC=50m ，代入即可算出AC 的长，再利用勾股定理算出AB 的长即可．
解：∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，
∴
3
3
BC AC =， ∵BC=50m ， ∴AC=503 m ， ∴AB=
22AC CB +=100m ，
故选：A ．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比．
1．（2012?泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）
A．10米B．10米C．20米D．
米
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析：首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC ﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
解答：解：∵在直角三角形ADC中，∠D=30°，
∴=tan30°
∴BD==AB
∴在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，
∴BC==AB
∵CD=20
∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20
解得：AB=10．
故选A．
点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
2．（2012?深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）
A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；相似三角形的性质。
分析：延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
解答：解：延长AC交BF延长线于E点，
则∠CFE=30°作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2，EF=4cos30°=2（米），
在Rt△CED中，CE=2（米），
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴DE=4（米），
∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）
在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）．
故选：A．
点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
3．（2012?福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）
A．200米B．200米C．220米D．100（）米
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
解答：解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD===100
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=CD=100米，
∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．
故选D．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．
二、填空题
9．（2012?宁夏）在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．
9．4 3
解答：解：如图，∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC=2222
543
AB BC
-=-=，
∴tanA=
4
3 BC
AC
=．
故答案为：4
3
．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，作出图形更容易理解．10．（2012?武汉）tan60°= ．
10．3
考点：特殊角的三角函数值．
分析：根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
解答：解：tan60°的值为3．
故答案为：3．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．11．（2012?常州）若∠a=60°，则∠a的余角为，cosa的值为．
11．30°，1 2
考点：特殊角的三角函数值；余角和补角．专题：计算题．
分析：根据互为余角的两角之和为90°，可得出∠a的余角，再由cos60°=1
2
，填空即可．
解答：解：∠a的余角=90°-60°=30°，cos60°=1
2
．
故答案为：30°、1
2
．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值及余角的知识，属于基础题，掌握互为余角的两角之和为90°，熟记一些特殊角的三角函数值是关键．
12．（2012?南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
12．2.7
考点：解直角三角形的应用．
分析：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度．
解答：解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，
∴BD=OD=2cm，
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵tan37°=CE
OE
≈0.75，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
故答案为2.7．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到
CE=BD=2cm是解题的关键．
4．（2012?广西）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A 的仰角为56°，那么旗杆的高度约是12米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析：在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．
解答：解：由题意知BC=8，∠C=56°，
故AB=BC?tan56°≈8×1.483≈12米，
故答案为12．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
三、解答题
13．（2012?铜仁地区）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做
角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = AC
BC
，根据上述角的余切定义，解下
列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA=3
4
，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
13．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．
专题：新定义．
分析：（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；
第一章复习题（一） 1. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，，则点B 的 坐标为（ ）A ．(21)， B ．(12)， C ．(211)+， D ．(121)+， 2. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5 4 A cos =，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2 ABCD 15S cm =菱形． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25 B ．253 C ． 1003 3 D ．25253+ 4. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA= 5 4 ，BC ＝10 ，则 AB 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 5. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为（ ） （A ） km 3310 （B ）km 3 3 5 （C ）km 25 （D ）km 35 6. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =5 1 ，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 7. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5 8. 如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且 21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ． 4 33 C ．23 D ．43 x y O C B A B C A D l A B C D E
云南省八地市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．（3分）（2013?云南）﹣6的绝对值是（） A．﹣6 B．6C．±6 D． 2．（3分）（2013?云南）下列运算，结果正确的是（） A．m6÷m3=m2B．3mn2?m2n=3m3n3C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2 3．（3分）（2013?云南）图为某个几何体的三视图，则该几何体是（） A．B．C．D． 4．（3分）（2013?云南）2012年中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150.5亿元，150.5亿元用科学记数法表示为（） A．1.505×109元B．1.505×1010元C．0.1505×1011元D．15.05×109元5．（3分）（2013?云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（） A．S?ABCD=4S △AOB B．A C=BD C．A C⊥BD D．?ABCD是轴对称图形 6．（3分）（2013?云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是（） A．相离B．外切C．相交D．内切 7．（3分）（2013?云南）要使分式的值为0，你认为x可取得数是（） A．9B．±3 C．﹣3 D．3 8．（3分）（2013?云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（）
A． B．C．D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 9．（3分）（2013?云南）25的算术平方根是． 10．（3分）（2013?云南）分解因式：x3﹣4x=． 11．（3分）（2013?云南）在函数中，自变量x的取值范围是． 12．（3分）（2013?云南）已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为（结果保留π）． 13．（3分）（2013?云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=． 14．（3分）（2013?云南）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n 个数是． 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分） 15．（4分）（2013?云南）计算：sin30°+（﹣1）0+（）﹣2﹣． 16．（5分）（2013?云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）． （1）你添加的条件是． （2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由． 17．（6分）（2013?云南）如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上． （1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形． （2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．
2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据： Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l 。 ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线
数学试题 第1页（共4页） 2013年十堰市初中毕业生学业考试 数学试题 注意事项： 1．本卷共有4页，共有25小题，满分120分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内． 1．2-的值等于（ ） A ．2 B ．1 2- C ．12 D ．－2 2．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠DCE =18°，则∠B 等于（ A ．18° B ．36° C ．45° D ．54° 3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235a a a += B ．6 3 2a a a ? C ．426()a a = D ．235a a a = 4．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ） 5．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x －a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 6．如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知 AC =5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ） A ．7cm B ．10cm C ．12cm D ．22cm 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC 的长为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 A ． B ． C ． D ． 第6题 B 第2题 第7题 正面
2014 年中考数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分） 1、2的值等于 （ ） A 、2 B 、-2 C 、2 D 、2 2、函数31+-= x y 中，自变量x 的取值范围是 （ ） A 、1>x B 、1≥x C 、1≤x D 、1≠x 3、方程 03 12=--x x 的解为 （ ） A 、2=x B 、2-=x C 、3=x D 、3-=x 4、已知一组数据：15,13,15,16,17,16,14,15，则这组数据的极差与众数分别是 （ ） A 、4,15 B 、3,15 C 、4,16 D 、3,16 5、下列说法中正确的是 （ ） A 、两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B 、两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 C 、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 D 、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 20. 已知圆柱的底面半径为 3cm ，母线长为 5cm ，则圆柱的侧面积是 （ ） A 、30cm 2 B 、30πcm 2 C 、15cm 2 D 、15πcm 2 7、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是 （ ） A 、35° B 、140° C 、70° D 、70°或 140° 8、如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 A C 、BD 相交于 O ，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面 积比等于 （ ） A 、 21 B 、41 C 、81 D 、16 1 1、如图，平行四边形 A BCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在 A B 上，且 A E ：EB=1：2，F 是BC 的中点，过 D 分别作 D P ⊥AF 于 P ，DQ ⊥CE 于 Q ，则 D P ∶DQ 等于 （ ） A 、3:4 B 、3：52 C 、13：62 D 、32：13 10、已知点 A （0，0），B （0，4），C （3，t +4），D （3，t ）. 记 N （t ）为□ABCD 内部（不含边界） 第7题图 第8题图 第9题图
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3.（2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45?，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4?（如图② ?≈，所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89 ?≈，tan63.4 2.00 ?≈ 1.41 cos63.40.45 ≈） ≈ 1.73 4. (2019甘肃中考 7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这-课题进行了探究，过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=°):冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角 ∠BDC最小(∠BDC=°);窗户的高度AB=2m 问题解决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长. (结果精确到,参考数据:°≈，°≈, °≈
初三解直角三角形基本模型复习
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角 度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学 楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0 1.解直角三角形的定义：
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B=b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2=+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 例2（2017?海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE 的坡度i=1：1（即DB ：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC ． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
2013年广州市初中毕业生学业考试 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题： 1.（2013年广州市）比0大的数是（ ） A -1 B 1 2- C 0 D 1 分析：比0 的大的数一定是正数，结合选项即可得出答案 解：4个选项中只有D 选项大于0．故选D ． 点评：本题考查了有理数的大小比较，注意掌握大于0的数一定是正数 2.（2013年广州市）图1所示的几何体的主视图是（ ） （A ） (B) (C) (D)正面 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解：从几何体的正面看可得图形． 故选：A ． 点评：从几何体的正面看可得图形． 故选：A ．． 3.（2013年广州市）在6×6方格中，将图2—①中的图形N 平移后位置如图2—②所示，则图形N 的平移方法中，正确的是（ ） A 向下移动1格 B 向上移动1格 C 向上移动2格 D 向下移动2格 分析：根据题意，结合图形，由平移的概念求解 解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N 向下移动2格．故选D ． 点评：本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位置． 4.（2013年广州市）计算： () 2 3m n 的结果是（ ） A 6 m n B 62 m n C 52 m n D 32 m n
分析：根据幂的乘方的性质和积的乘方的性质进行计算即可 解：（m 3n ）2=m 6n 2 ．故选：B ． 点评：此题考查了幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键，是一道基础题 5、（2013年广州市）为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A ：报纸，B ：电视，C ：网络，D ：身边的人，E ：其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷，先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，根据调查的结果绘制条形图如图3，该调查的方式是（ ），图3中的a 的值是（ ） A 全面调查，26 B 全面调查，24 C 抽样调查，26 D 抽样调查，24 分析：根据关键语句“先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，”可得该调查方式是抽样调查，调查的样本容量为50，故6+10+6+a+4=50，解即可 解：该调查方式是抽样调查，a=50﹣6﹣10﹣6﹣4=24，故选：D ． 点评：此题主要考查了条形统计图，以及抽样调查，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 6.（2013年广州市）已知两数x,y 之和是10，x 比y 的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（ ） A 1032x y y x +=??=+? B 1032x y y x +=??=-? C 1032x y x y +=??=+? D 1032x y x y +=??=-? 分析：根据等量关系为：两数x ，y 之和是10；x 比y 的3倍大2，列出方程组即可 解：根据题意列方程组，得： ．故选：C ． 点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语“x 比y 的3倍大2”，找出等量关系，列出方程组是解题关键． 7.（2013年广州市）实数a 在数轴上的位置如图4所示，则 2.5 a -=（ ） A 2.5a - B 2.5a - C 2.5a + D 2.5a -- 分析：首先观察数轴，可得a ＜2.5，然后由绝对值的性质，可得|a ﹣2.5|=﹣（a ﹣2.5），则可求得答案 解：如图可得：a ＜2.5，即a ﹣2.5＜0，则|a ﹣2.5|=﹣（a ﹣2.5）=2.5﹣a ．故选B ． 点评：此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大． 8.（2013年广州市）若代数式1x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围 解：根据题意得： ，解得：x≥0且x ≠1．故选D ． 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数 9.（2013年广州市）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程2 40x x k +-=的根的情况是（ ） A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法判断 分析：根据已知不等式求出k 的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况 解：∵5k+20＜0，即k ＜﹣4，∴△=16+4k ＜0，则方程没有实数根．故选A 点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 10.（2013年广州市）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且 ,4,6,AB AC AB AD ⊥==则tan B =（ ）
2013年深圳市中考数学试卷 说明：1、答题前，请将姓名、考生号、考场、试室号和座位号用规定的笔写在答题卡指定的位 置上，将条形码粘贴好。 2、全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共 4页。考试时间90分钟，满分100分。 3、本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律 无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 4、考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 选择题 （本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1.－3的绝对值是（ ） A.3 B.-3 C.-31 D.3 1 2.下列计算正确的是（ ） A.2 2 2 )(b a b a +=+ B.2 2 )ab (ab = C.5 2 3)(a a = D.32a a a =? 3.某活动中，共募得捐款32000000元，将32000000用科学记数法表示为（ ） A.81032.0? B.6102.3? C.7102.3? D.61032? 4.如下图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） 5.某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（ ） A.最高分 B.中位数 C.极差 D.平均数 6.分式2 42+-x x 的值为0，则（ ） A.x =-2 B.x =2± C.x =2 D.x =0 7.在平面直角坐标系中，点P （－20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则b a +的值为（ ） A.33 B.-33 C.-7 D.7 8.小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他。已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度。若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. 1014401001440=--x x B. 101001440 1440++=x x C. 1010014401440+-=x x D. 1014401001440=-+x x 9.如图1，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后， 将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ） A.8或32 B.10或324+ C.10或32 D.8或324+ 10.下列命题是真命题的有（ ） ①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直 角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 A..1个 B.2个 C.3个 D.4个
中考数学复习专题7 解直角三角函数 一、知识点回顾 1、锐角∠A 的三角函数（按右图Rt △ABC 填空） ∠A 的正弦：sin A = , ∠A 的余弦：cos A = , ∠A 的正切：tan A = , ∠A 的余切：cot A = 2、锐角三角函数值，都是 实数（正、负或者0）； 3、正弦、余弦值的大小范围： ＜sin A ＜ ； ＜cos A ＜ 4、tan A ?cot A = ； tan B ?cot B = ； 5、sin A = cos （90°- ）； cos A = sin （ - ） tan A =cot （ ）； cot A = 6、填表 7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b , 1）、三边关系（勾股定理）： 2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90° 3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ； cos A = ； cos B = ； tan A = ； tan B = ； cot A = ；cot B = 8、图中角 可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（h ）和 长度（l ）的比。 记作i ,即i = ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝ l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 （1）
二、巩固练习 （1）、三角函数的定义及性质 1、在△ABC 中,,900=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为 2、在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____, cos ==A B ； 3、Rt △ABC 中,若,900=∠C 2,4==BC AC ,则tan ______=B 4、在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos 5、已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,13 5 == BC A ,则._______=AC 6、Rt △ABC 中,,900=∠C 3 5 tan ,3= =B BC ，那么.________ =AC 7、已知32sin -=m α，且a 为锐角，则m 的取值范围是 ； 8、已知：∠α是锐角，?=36cos sin α，则α的度数是 9、当角度在?0到?90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ） A ．正弦和正切 B ．余弦和余切 C ．正弦和余切 D ．余弦和正切 10、当锐角A 的2 2 cos >A 时，∠A 的值为（ ） A 小于?45 B 小于?30 C 大于?45 D 大于?60 11、在Rt ⊿ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A 的正弦址与余弦值的情况（ ） A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定 12、已知α∠为锐角，若0 30cos sin =α，αtan ＝ ；若1t an 70tan 0 =?α，则_______=∠α； 13、在△ABC 中,,900 =∠C sin 2 3 = A , 则cos B 等于( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 （2）、特殊角的三角函数值 1、在Rt △ABC 中，已知∠C ＝900，∠A=450 则A sin = 2、已知：α是锐角，22 1 cos = α，tan α=______；
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结） 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝a b ，求∠A ；∠B ＝90°－A ， c ＝ 2 2b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝a c ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝b cosA cosA 锐角，对边 （如∠A ，a ） ∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝a sinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1 x ι ，tan β＝2x ι ι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α＝ x a +ι tan β＝ x ι ι＝a ·tan α·tan β tan β－tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h ＝2 1a a ，h ＝231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h
山西省2013年中考数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共24分） 一.选择题 （本大题共12个小题，每小题2分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.计算2×（－3）的结果是（ ） A. 6 B. －6 C. －1 D. 5 答案：B 考点：实数的计算 解析：异号相乘，得负,2×（－3）=－6 2.不等式组错误！未找到引用源。的解集在数轴上表示为（ ） 答案：C 考点：解不等式、不等式组及解集在数轴上表示 解析：解（1）得：2x ≥，解（2）得：X ＜3，所以解集为23x ≤< 3.如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ） 答案：A 考点：几何体展开图 解析：长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B 、C 中两个小的与两个大的相邻，错，D 中底面不符合，只有A 符合 4.某班实行每周量化考核制学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙的平均成绩相同，方 差是甲362＝甲 s ，302＝乙s ，则两组成绩的稳定性：（ ） A.甲组比乙组的成绩稳定； B. 乙组比甲组的成绩稳定； C. 甲、乙组成绩一样稳定； D.无法确定。 答案：B 考点：数据的分析 解析：方差小的比较稳定 5.下列计算错误的是（ ） A ．3 3 3 2x x x =+ B.2 3 6 a a a =÷ C.3212= D.3311 =? ? ? ??- 答案：B 考点：整式的运算
解析：a 6 ÷a 3 ＝633a a -= 6.解分式方程 31212=-++-x x x 时，去分母后变形为（ ） A.2+(x+2)=3(x-1); B.2-x+2=3(x-1); C.2-(x+2)=3(1-x); D.2-(x+2)=3(x-1). 答案：D 考点：分式方程的化简 解析：原方程化为：22 311 x x x +-=--，去分母时，两边同乘以x －1，得：2－（x ＋2）＝3（x －1） A.27oC ，28oC ； B.28oC ，28oC ； C. 27oC ，27oC ， D. 29oC ，29oC 。 答案：B 考点：数据的分析 解析：28出现4次，最多，所以众数为28，由小到大排列为：27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31，所以，中位数为28 8.如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（ ）条。 A. 1 B. 2 C.4 D. 8. 答案：C 考点：对称轴判定 解析：这是一个正八边形，对称轴有4条 9.王先生先到银行存了一笔三年的定期存款，年利率是4.25%，如果到期后取出的本息和（本金+利息）为33825元，设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（ ） A.x+3×4.25%x=33825； B.x+4.25%x=33825； C. 3×4.25%x=33825； D.3（x+4.25%x ）=33825. 答案：A 考点：方程的应用 解析：一年后产生的利息为4.25%x ，三年后产生的利息为：3×4.25%x ，再加上本金，得到33825元 10.如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B 、C 在同一 水平面上），为了测量B 、C 两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C 地出发垂直上升100m 到达A 处，在A 处观察B 地的仰角为30o，则BC 两地间的距离为（ ）m 。 A.1003； B.502 ； C. 503； D. 3 3100 答案：A 考点：三角函数
WORD格式 解直角三角形应用篇 1．（2019 山东泰安中考）（ 4 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 C 港， C 港在 A 港北偏东 20°方向，则A， C 两港之间的距离为（）km． A． 30+30B． 30+10C． 10+30D． 30 2．（2019 山东淄博中考）如图，小明从 A 处沿北偏东40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点 C 处，则∠ ABC等于（） A． 130° B． 120° C． 110 ° D． 100 ° 3（.2019 山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点 A 处测得大楼部分楼体 CD的顶端 C 点的仰角为45，底端 D 点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20 米到达 B 处，测得顶端 C 的仰角为63.4 （如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到 1 米）（参考数据：sin63.40.89，
cos63.40.45 ，tan63.42.00，21.41， 31.73 ） 专业资料整理
WORD格式 的
专业资料整理
WORD格式4. ( 题出: 2 进1 行是 1 炎了某 9 热探方案设计 : 甘住 的究2 肃户 :阳, 中数窗据收集 : 光该 考户 ，通 7数上 与 又过 分学方 遮 能 阳篷 CD查的夹角 )课安 阳 最阅 题 某∠ BDC最装小 ( ∠ BDC=30.56° ); 窗户的高度 篷: 大 数研的决: 限C兰 学究， D度根 州 课小要 的 地据 市 题组求 夹 使上 结一 研通设 角述 冬 果年 究过计 ∠°≈ 0.51 天方 中 小调0.1m, 参考数据 :sin30.56的 A温案， 组查遮 D暖及夏 针研阳 C的数至 对究篷 最 阳据 这 兰设既 大 光， 一 州AC的遮阳篷 CD能 (射求 市天最 ∠的遮 .住大 A阳 房正限 D篷 窗午度 C C时 户夏天 =.刻 设计遮阳篷”这 - 课 7， 7太 .DA 4 4 ° ) : 冬 至 这 一 天 的正 午 时 刻 ， 太 DB与遮
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
宁夏回族自治区2013年初中毕业暨高中阶段招生考试 数 学 试 题 注意事项： 1．全卷总分120分，答题时间120分钟 2．答题前将密封线内的项目填写清楚 3．使用答题卡的考生,将所有答案全部答在答题卡相应的位置上. 一、选择题(下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的,每小题3分,共 24分) 1．计算 32)(a 的结 果 是 （ ） A ．a B. a C. a D.9 a 2. 一元二次方程x x x -=-2)2(的根是 （ ） A. 1- B. 0 C. 1和2 D. 1-和2 3.如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线， ∠ABC =120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是 （ ） A ． 253m B ．25m C. 252m D. 3 3 50m 4．如图，△ABC 中， ∠A C B ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若∠A ＝22°，则∠BDC 等于 （ ） A ．44° B. 60° C. 67° D. 77° 5. 雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人，设该企业捐助甲种帐篷x 顶、乙种帐篷y 顶，那么下面列出的方程组中正确的是 （ ） A ．???=+=+8000415004y x y x B ．???=+=+8000615004y x y x C ．?? ?=+=+8000641500y x y x D ．???=+=+8000461500y x y x 6. 函数x a y = (a ≠0)与y=)1(-x a (a ≠0)在同一坐标系中的大致图象是 （ ） 第4题 C D 第3题
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
解直角三角形 一、 复习目标 1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。 2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。 3.能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。 4.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。 二、自测导学： 1.在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin 40° B ．3sin 50° C ．3tan 40° D ．3tan 50° 2.在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为________． 3. 若ααcos ,2 3 )90sin(则= -ο=______. 4.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =500，则此时就将坝底向外拓宽多少米（结果保留到米，参考数据：sin620 ≈ ,cos620 ≈ ,tan500 ≈ ）
三、复习过程 （一）知识回顾 1.三角函数 （1）锐角三角函数的定义： B C a ① 斜边 的对边 A ∠ 叫∠A的正弦.记作sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ② 斜边 的邻边 A ∠ 叫∠A的余弦.记作cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ③ 的邻边 的对边 A A ∠ ∠叫∠A的正切.记作 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 （1）解直角三角形的定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)． （2）直角三角形的边角关系 ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2； ②两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； （3）解直角三角形的类型 3. 解直角三角形的应用 （1）仰角、俯角 如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上