非线性电路振荡周期的分岔与混沌
材物81 080960
一． 实验目的
⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；
⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解 ⒊理解“蝴蝶效应”。
二． 实验原理
⒈分岔与混沌理论 ⑴ 逻辑斯蒂映射 为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。逻辑斯蒂映射是
)1(x kx x -→
其中k 是0和4之间的常数。迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…
我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应
图1 ⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
0A B
图2逻辑斯蒂映射的分岔图。k 从2.8增大到4。
从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期3，5，7…奇数及其倍周期6，10，14…的循环，混沌产生有序，或秩序从混沌中来。
其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代，不是个别例子特有的，具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。混沌是指确定论系统（给系统建立确定论的动力学方程组）中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系统的长期行为具有不可预测性。
⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学
实验电路如图3所示。它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图3非线性电路原理图 图4非线性负阻器件R 的伏安曲线
图3电路的非线性动力学方程为：
1121
1
*)(*Vc g Vc Vc G dt
dVc C --= L i Vc Vc G dt
dVc C +-=)(*212
2
2Vc dt
di L
L
-=
图4
式中，导纳G=1/(Rv1+Rv2)，1Vc 和2Vc 分别表示加在C1和C2上的电压，L i 表示流过电感器L 的电流，g 表示非线性电阻的导纳。 ⑵有源非线性负阻元件的实现
有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个运算放大器（一个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图5所示，它的伏安特性曲线如图6所示。由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响，只要知道它主要是一个负电阻电路（元件）能输出电流，维持LC2振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。
图5 图6
图7实际非线性混沌电路图
三． NCE —1型非线性电路混沌仪的调节和使用
1． 打开机箱，把机箱右下角的铁氧体介质电感连接插孔插到实验仪面板左面对应的香
焦插头上。
2． 实验仪面板上的CH2接线柱连接示波器的Y 输入，CH1接线柱连接示波器的X 输
入，连接实验仪与示波器的接地。按下示波器的Display 按钮，Display 菜单就会出现在显示屏的右方，菜单右边的五个按钮可改变所对应的内容。选择XY 工作方式。同样可调出CH1和CH2菜单，并置X 和Y 输入为DC 耦合，可得CH1和CH2信号合成的相图。选择YT 工作方式，按CH1和CH2按钮，使显示屏上只有一种波形，调节扫描速率和电平，使波形稳定，可观察CH1和CH2的波形图。
16mH L
3．把实验仪右上角内的电源九芯插头插入实验仪面板上对应的九芯插座上，注意插头插座的方向应一致。然后插上电源，按实验仪面板右边的钮子开关，对应的 15V
指示灯点亮。
4．调节W1粗调电位器和W2细调电位器，改变（RV1+RV2）C移向器中电阻的阻值，观测相图周期的变化，观测倍周期分岔，阵发混沌，三倍周期，吸引子（混沌）和
双吸引子（混沌）现象，及相应的扫描波形。
5．按实验仪面板左边的钮子开关可开启0—19.999V直流数字电压表，数字闪烁表示输入电压超过量程。
四．实验内容
1．调节Rv1+Rv2阻值。在示波器上观测图7所示的CH1——地和CH2——地所构成的相图（李萨如图），调节电阻Rv1+Rv2值由大至小时，描绘相图周期的分岔及混沌现象。将一个环形相图的周期定为P，那么要求观测并记录2P，4P，阵发混沌，3P，单吸引子（混沌），双吸引子（混沌）共六个相图和相应的CH1——地和CH2——地两个输出波形。
2..把有源非线性电阻元件与移相器连线断开。测量非线性单元电路在电压V＜0时的
伏安特性，作I——V关系图。
五．实验结果、
（1）当一倍周期时，实验现象如下图：
（2）当二倍周期（即周期2循环）时，实验现象如下图：
（3）当四倍周期时，实验现象如下图：
（4）当八倍周期时，实验现象如下图：
（5）观察单吸引子，实验现象如下图：
（6）观察周期态，实验现象如下图：
（7）观察双吸因子，实验现象如下图：
（8）附混沌区出现的5倍6倍周期图：
六．注意事项
1．双运算放大器TL082的正负极不能接反，地线与电源接地点接触必须良好。
2．关掉电源后拆线。
2．仪器应预热10分钟开始测量数据。
七、思考题
1．非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么？
答：在电路中，加入非线性负阻元件，是为了使振动周期产生分岔和混沌等一系
列的现象。
2．通过本实验请阐述：倍周期分岔，混沌，奇怪吸引子等概念的物理含义。
答：倍周期分叉过程是一条通向混沌的典型道路，即可以认为是从周期窗口中进入混沌的一种方式。通过倍周期分叉到达混沌现象的过程中，会依次经过周期1，周期2，……周期4，混沌单吸引子和混沌双吸引子。
混沌，在确定性的非线性动态系统中出现的貌似随机的、不能预测的运动。
它对初始条件有极其强烈的敏感性。
奇怪吸引子，即是一个不稳定平衡点。
大连海事大学 《物理演示实验》课程教学大纲 Syllabus for INTRODUCTION OF PHYSICAL DEMONSTRATION EXPERIMENT 课程编号新 000000000 原13012200 学时/学分18/1 开课单位物理系考核方式考查 适用专业全校各专业执笔者牟恕德 编写日期 2008年3月 一、本课程的性质与任务 物理学是一门实验科学。所有物理定律的形成和发展都是建立在对客观自然现象的观察和研究的基础上，物理演示实验可以使学生加深对物理教学内容的理解，巩固记忆，激发兴趣，诱导思考，纠正错误观念，能使学生真实感地看到支配物理现象的规律如何起作用，通过对实验现象的观察分析，学习物理实验知识，从理论和实践的结合上加深对物理学原理的理解。 1、培养和提高学生基本的科学实验能力，其中包括： 自学能力：通过自行阅读实验教材和其它资料，能正确概括出实验内容、方法和要求，做好实验前的准备； 动手能力：借助教材《物理演示实验》和仪器说明书，正确调整和使用仪器；安排实验操作顺序，把握主要实验技能，排除实验故障；掌握常规物理实验仪器的使用，掌握科学实验的数据处理方法和科学实验报告的形成，为进一步学习和从事科学实验研究打下坚实的基础。 分析能力：运用所学物理知识，对实验现象和结果进行观察分析判断，得出结论； 表达能力：正确记录和处理实验数据，绘制曲线，正确表达实验结果，撰写合格的实验报告； 2、培养和提高学生科学实验素养：要求学生养成理论联系实际和实事求是的科学作风，严肃认真的工作态度，主动研究的探索精神和创新意识，遵守纪律、遵守操作规程、爱护公共材物、团结协作的优良品德。 物理演示实验是面向全校各年级学生的开放式实验选修课，共18学时；学生可自主安排在计划课表内任何时段来上课。 二、课程简介 《物理演示实验》将日常生活或生产实践中不易观察到的或习以为常而未引起注意的物理现象突出地显示出来，把实际较为复杂的现象，在课堂演示的条件下分解出有意义的部分，从兴趣和提高关注度出发，培养学生的探索精神，引导学生观察、思考、建立物理思想，培养学生根据物理原理分析解决实际问题的能力。演示实验片广开学生眼界，介绍现代科学技术前沿的新技术、新发明、新材料、新探索、新成果，分享现代科学技术飞跃发展的喜悦。 INTRODUCTION OF PHYSICAL DEMONSTRATION EXPERIMENT displays the physical phenomenon which is unobservable in daily life and production practice, or is accustomed and thus not given attention. It draws out the significative parts from real complex phenomenon through the demonstration in class. In view of the students' interest,physical demonstration experiement may cultivate students' exploring spirit and inducts them to observe and think so that they can found physical idea and possess the abilities to analyse and solve questions according the physical theories. Physical demonstration experiment introduces new technique, new invention, new exploration and new production in modern technology and so widen students' eyereach and make students enjoy the flying development of modern technology
篇一：大学物理演示实验报告 大学物理演示实验报告 1、锥体上滚 【实验目的】： 1．通过观察与思考双锥体沿斜面轨道上滚的现象，使学生加深了解在重力场中物体总是以降低重心，趋于稳定的运动规律。 2．说明物体具有从势能高的位置向势能低的位置运动的趋势，同时说明物体势能和动能的相互转换。 【实验仪器】：锥体上滚演示仪 【实验原理】：能量最低原理指出：物体或系统的能量总是自然趋向最低状态。本实验中在低端的两根导轨间距小，锥体停在此处重心被抬高了；相反，在高端两根导轨较为分开，锥体在此处下陷，重心实际上降低了。实验现象仍然符合能量最低原理。 【实验步骤】： 1．将双锥体置于导轨的高端，双锥体并不下滚； 2．将双锥体置于导轨的低端，松手后双锥体向高端滚去； 3．重复第2步操作，仔细观察双锥体上滚的情况。2、混沌摆 【实验目的】：通过摆的运动演示该力学系统的混沌性质。 【实验仪器】：混沌摆 【实验原理】：一个动力学系统如果描述他的运动状态的动力学方程是线性的，只要初始条件给定，就可预见以后任意时刻的运动状态。我们的动力学系统描述它的运动状态的动力学方程是非线性的，具有内在的随机性，它的运动状态对初始条件具有很强的敏感性，系统运动的外观表现是随机的，是一种貌似无规律的运动 【实验步骤】：手持轴柄给系统施一力矩，系统开始运动，运动情况复杂，前一时间难于预言后一时刻的运动状态。重新启动，由于起始冲量矩总有所不同，雇系统的运动情况差别很大、这反映了系统运动的混沌性质。 初始状态 运动中篇二：混沌摆实验讲义 混沌摆实验 【实验目的】 ⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程； ⒉通过振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解⒊理解“蝴蝶效应”。【预习思考题】 1、什么是混沌现象？ 2、何谓蝴蝶效应？ 【实验器材】 ci-6538转动传感器、me-8750机械振荡器/驱动器、me-8735大型杆支座、se-9442多用夹、se-9720直流电源、ci-6552a功率放大器 【实验原理】 ⒈分岔与混沌理论 ⑴逻辑斯蒂映射 为了认识混沌（chaos）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。 考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x表示。逻辑斯蒂映射是 x?kx(1?x)
大物演示实验报告关于辉光球的研究和利用 篇一：辉光球实验报告 辉光球 【实验目的】 1. 了解气体分子的激发、碰撞、电离、复合的物理过程。 2. 了解低压气体中伴有辉光出现的自激导电。 3. 探究低气压气体在高频强电场中产生辉光的放电现象和原理。 【实验装置】 【实验原理】 球内充有稀薄的惰性气体（如氩气等），玻璃球中央有一个黑色球状电极,球的底部有一块震荡电路板，使产生高压高频电压并加在电极上。通电后，震荡电路产生高频电压电场，由于球内稀薄气体受到高频电场的电离作用而光芒四射，产生神秘色彩。 【实验现象】装置、、 辉光球工作时，在球中央的电极周围形成一个类似于点电荷的场。当用手（人与大地相连）触及球时，人体即为另一电极,球周围的电场、电势分布也就不再均匀对称，气体在这两极间电场中电离、复合、而发生辉光。故辉光在手指的周围处变得更为明亮，产生的弧线顺着手的触摸移动而游动扭曲。 【实验步骤】
1. 实验前首先要连接好电源； 2. 闭合辉光球前面板上的开关,观察现象，调节强度旋纽，再观察现象； 3. 用手指接触球面并在球面上移动,观察球内辉光变化现象； 4. 实验完毕,断开开关并关掉电源,将仪器摆放整齐。 辉光球 【实验目的】 4. 了解气体分子的激发、碰撞、电离、复合的物理过程。 5. 了解低压气体中伴有辉光出现的自激导电。 6. 探究低气压气体在高频强电场中产生辉光的放电现象和原理。 【实验装置】 【实验原理】 球内充有稀薄的惰性气体（如氩气等），玻璃球中央有一个黑色球状电极,球的底部有一块震荡电路板，使产生高压高频电压并加在电极上。通电后，震荡电路产生高频电压电场，由于球内稀薄气体受到高频电场的电离作用而光芒四射，产生神秘色彩。 【实验现象】装置、、 辉光球工作时，在球中央的电极周围形成一个类似于点电荷的场。当用手（人与大地相连）触及球时，人体即为另一电极,球周围的电场、电势分布也就不再均匀对称，气体在这两极间电场中电离、复合、而发生辉光。故辉光在手指的周围处变得更为明亮，产生的弧线顺着手的触摸移动而游动扭曲。
混沌摆 【实验目的】：通过摆的运动演示该力学系统的混沌性质。 【实验仪器】：混沌摆 【实验原理】： 一个动力学系统如果描述他的运动状态的动力学方程是线性的，只要初始条件给定，就可预见以后任意时刻的运动状态。我们的动力学系统描述它的运动状态的动力学方程是非线性的，具有内在的随机性，它的运动状态对初始条件具有很强的敏感性，系统运动的外观表现是随机的，是一种貌似无规律的运动 【实验步骤】： 手持轴柄给系统施一力矩，系统开始运动，运动情况复杂，前一时间难于预言后一时刻的运动状态。重新启动，由于起始冲量矩总有所不同，雇系统的运动情况差别很大、这反映了系统运动的混沌性质。 【混沌摆简介】 一个运动体系（实验展品为一个主摆和三个副摆）的运动状态由起动时的初始条件（主、副摆的初始位置和起动速度）所决定。单摆的运动很容易预测，由于这个大摆有三个小摆与之相连，它的运动就更为复杂。其中每个摆都会影响其它摆的运动，因而使整个运动混沌无序，无法预测。 混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
“混沌”是近代非常引人注目的热点研究，它掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。
篇一：近代物理实验混沌通信----实验报告 近代物理实验—— 混沌电路及其在加密通信中的应用 预习报告： 蔡氏电路虽然简单，但具有丰富而复杂的混沌动力学特性，而且它的理论分析、数值模拟和实验演示三者能很好地符合，因此受到人们广泛深入的研究。 自从1990年pecora和carroll首次提出混沌同步的概念，研究混沌系统的完全同步以及广义同步、相同步、部分同步等问题成为混沌领域中非常活跃的课题，利用混沌同步进行加密通信也成为混沌理论研究的一个大有希望的应用方向。 我们可以对混沌同步进行如下描述：两个混沌动力学系统，如果除了自身随时间的烟花外，还有相互耦合作用，这种作用既可以是单向的，也可以是双向的，当满足一定条件时，在耦合的影响下，这些系统的状态输出就会逐渐趋于相近，进而完全相等，称之为混沌同步。实现混沌同步的方法很多，本实验介绍利用驱动响应方法实现混沌同步。实验电路如图1所示。图1 由图中所见，电路由驱动系统、响应系统和单向耦合电路3部分组成。其中，驱动系统和相应系统两个参数相同的蔡氏电路，单向耦合电路由运算放大器组成的隔离器和耦合电阻构成，实现单向耦合和对耦合强度的控制。当耦合电阻无穷大（即单向耦合电路断开）时，驱动系统和响应系统为独立的两个蔡氏电路，分别观察电容??1和电容??2上的电压信号组成的相图????1?????2，调节电阻r，使系统处于混沌状态。调节耦合电阻????，当混沌同步实现时，即????(1)?????(2)，两者组成的相图为一条通过原点的45°直线。 影响这两个混沌系统同步的主要因素是两个混沌电路中元件的选择和耦合电阻的大小。在实验中当两个系统的各元件参数基本相同时（相同标称值的元件也有±10%的误差），同步态实现较容易。 而在混沌同步的基础上，可以进行加密通信实验。由于混沌信号具有非周期性、类噪声、宽频带和长期不可预测等特点，所以适用于加密通信、扩频通信等领域。 （1）利用混沌掩盖的方法进行模拟信号加密通信实验混沌掩盖是较早提出的一种混沌加密通信方式，又称混沌掩盖或混沌隐藏。其基本思想是在发送端利用混沌信号作为载体来隐藏信号或遮掩所要传送的信息，使得消息消息信号难以从混合信号中提取出来，从而实现加密通信。在接收端则利用与发送端同步的混沌信号解密，恢复出发送端发送的信息。混沌信号和消息信号结合的主要方法有相乘、相加或加乘结合。实验电路如图2所示。 图2 需要指出的是，在实验中采用的是信号直接相加进行混沌掩盖，当消息信号幅度比较大，而混沌信号相对比较小时，消息信号不能被掩蔽在混沌信号中，传输信号中就能看出消息信号的波形，因此，实验中要求传送的消息信号幅值比较。 （2）利用混沌键控的方法进行数字信号加密通信实验混沌键控方法则属于混沌数字通信技术，是利用所发送的数字信号调制发送端混沌系统的参数，是其在两个值中切换，将信息编码在两个混沌吸引子中；接受端则由与发送端相同的混沌系统构成，通过检测发送与接受混沌系统的同步误差来判断所发送的消息。实验电路如图3所示。 图3 实验中所用仪器为ni pci-6221型数据采集卡和tl082双运放芯片，以及面包板和其他电路元件若干。 数据处理： 1. 测量非线性电阻的伏安特性实验中所测数据记录如下： 图4