练习（二） 质点动力学
1.三个质量相等的小球由二相同轻弹簧连接如图所示，再用细绳悬于天花板上，处
于静止状态。将绳子剪断瞬间，三个小球的加速度分别为：
（A ）1a =2a =3a =g
（B ）1a =g ，2a = 3a =0
（C ）1a =2g ，2a = g ， 3a =0
（D ）1a =3g ，2a = 3a =0
2.如图所示，质量为m 的子弹以水平速度0v 射入静止的木块M ，并陷入木块内，射入过程中木块不反弹，则墙壁对木块的冲量为
（A ）0 （B ）m 0v
（C ）（M +m ）0v （D ）－m 0v
3.质点的质量为m ，置于光滑固定球面的顶点A 处。如图所示，当它由静止开始下滑到球面上B 点时，
它的加速度的大小为：
（A ）a =2g(θcos 1-) B ）a =g θsin （C ）a =g
（D ）a =
θθ2222sin )cos 1(4g g +-
4.如图所示，两木块质量为1m 和2m ，由一轻弹簧连接，并静止于光滑
水平桌面上。现使两木块靠近而将弹簧压紧，然后由静止释放。若弹簧伸长到原长时1m 的速率为1v ，则弹簧原来在压缩状态时所具有的势能是：
（A ）
2121mv （B ）211
21221v m m m m + （C ）2121)(21v m m + （D ）212211)(21v m m m m +
5.如图所示，质量为m 的物体A 用平行于斜面的细线连结置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体开始脱离斜面时，它的加速度的大小为：
A 、g θsin
B 、g θcos
C 、g θctg
D 、g θtg
6.一只质量为m 的猴，原来抓住一根用绳吊在天花板上的质量为M 的直杆，悬线
突然断开，小猴沿杆子竖直向上爬以保持它离地面的高度不变，此时直杆下落的加速度
为：
（A ）g （B ）M mg /
（C ）M m M + g （D ）g M
m M -
7.质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用。比例系数为k ，k 为正常数。该下落物体的收尾速度（即最后物体作匀速运动时的速度）将是：
（A ）k mg （B ）k g 2 （C ）gk （D ）gk
8.一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 点时，它将对容器的正压力数值为N ，则质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其作的功为：
（A ）
)3(2
1mg N R - （B ）)3(21N mg R - （C ）)(21mg N R - （D ）)2(21mg N R - 9.光滑的水平面上叠放着物体A 和B ，质量分别为m 和M ，如图所示，A 与B 之间的静摩擦系数为η，若对物体B 施以水平推力g ，欲使A 与B 一起运动，则F 应满足：
（A ）0()F m M g <
≤+ （B ）0<()g F m M μ≤+
（C ）0<()F m M g μ≤+ （D ）0<()F m M g μ≤+
10.一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确？
（A ）质点的动量改变时，质点的动能一定改变
（B ）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变
（C ）力的冲量是零，外力的功一定为零
（D ）外力的功是零，外力的冲量一定为零
11.A 、B 两木块质量分别人A m 和B m ，且B m =2A m ，两者用一根轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示，若用外力将两木块推近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动能之比kB kA E E /为：
（A ）
2
1 （B ）
2 （C ）2 （D ）2/2
12.体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住无摩擦滑轮的绳子各一端，他们由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是：
（A ）甲先到达 （B ）已先到达
（C ）同时到达 （D ）谁先到达不能确定
13.力i t F 12=（SI ）作用质量m ＝2kg 的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在3s 末的动量应为： （A ）、i 5- kg ms -1 （B ）i 54kg ms -1 （C ）i 27-kg ms -1 （D ）i 27-kg ms -1
14.一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M 的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量m ＝21M ，若人相对一绳以加速度o a 向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是：
（A ）（2o a +g ）/3 （B ）－(3g －o a )
（C ）－（2o a +g ）/3 （D ）o a
15.下列说法正确的是：
（A ）若地面为惯性系，在地面作匀速直线运动的火车是惯性系，而垂直地作匀速直线飞行的飞机不是惯性系
（B ）动量定理与动能定理的应用不一定要选择同一惯性系
（C ）保守力做功与路径无关，因此只有保守力做功与选择的惯性系无关
（D ）惯性力是非惯性系中某种真实力的反作用力
16.质量为m 的质点在外力作用下，其运动方程为：
j t B j t A r ωωsin cos +=式中A 、B 、ω都是正的常数。则力在1t =0到2t =)2/(ωπ这段时间内所作的功为：
（A ）)(2
1222B A m +ω （B ）)(222B A m +ω
（C ）
)(21222B A m -ω （D ）)(2
1222A B m -ω 17．竖直上抛一小球，其空气阻力的大小不变，则球上升到最高点所需用的时间与从最高点下降到原位置所需用的时间相比
（A ）前者长 （B ）前者短
（C ）两者相等 （D ）无法判断其长短 ( )
18．质量为m 的物体放在升降机底板上，摩擦系数为μ，当升降机以加速度a 上升时，欲拉动m 的水平力F 至少为：
（A ）a)-m(g (D) g)m(a (C) mg (B) μμμ+mg ( )
19．质量为m 的质点，以同一速率 v 沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动，质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量大小为
（A ）mv
（B ）mv 2
（C ）mv 3
（D ）mv 2 （
）
20．一质量为60kg 的人静止站在一条质量为300kg 且正以2m/s 的速率向湖岸驶近的小木船上，湖水是静止的，其阻力不计。现在人相对于船以一速率V 沿船的前进方向向河岸跳去，该人起跳后，船速减为原来的一半， V 应为 （A ）6m/s (D) 5m/s (C) 3m/s (B)
/2s m （ ） 21．如图所示，质量为m 的子弹以水平速度0V 射入静止的木块M ，并陷入木块内，射入过程中木块不反弹，则墙壁对木块的冲量为
（A ）0 （B ）0mV （C ）00mV - (D) )(V m M +
22．将一重物匀速地推上一个斜坡，因其动能不变，所以 （ ）
（A ）推力不做功； （B ）推力功与摩擦力功等值反号；
（C ）推力功与重力功等值反号； （D ）此重物所受的外力的功之和为零。
23．甲、乙、丙三个物体，质量分别为m 、2m 、3m ，动能相等，在水平面上沿同一方向运动，若作用于物体上的制动力均相同，则它们的制动距离之比为：
（A ）1∶2∶3 （B ）1∶4∶9 （C ）1∶1∶1 （D ）3∶2∶1 （ ）
24．如图，一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧的正上方高度为h 处，该物体由静止开始落向弹簧，若弹簧倔强系数为k ，不考虑空气阻力，则物体可能获得的最大动能是：
（A ）K g m mgh mgh 2 (B) 2
2- （C ）K
g m mgh K g m mgh 2
222 (D) 2++
（ ）
25．有一劲度系数为k 的轻弹簧，原长为0l 将它吊在天花板上。当它下端挂一托盘平衡时，其长度变为1l ，然后在托盘中放一重物，弹簧长度变为2l ，则由1l 伸长至2l 的过程中，弹性力所做的功为（2003级上考题）
????------020*********. . . .l l l l l l l l l l l l kxdx D kxdx C kxdx B kxdx A
26. 两木块A 、B 的质量分别为1m 和2m ，用一个质量不计、劲度系数为k 的弹簧连接起来，把弹簧压缩0x 并用线扎住，放在光滑水平面上，A 紧靠墙壁，如下左图示，然后剪断扎线。下列说法中正确的是（ ）。
A ． 弹簧由初态恢复为原长的过程中，以A 、
B 弹簧为系统动量守恒
B ． 在上述过程中，系统机械能守恒
C ． 当A 离开墙后，整个系统动量守恒，机械能不守恒
D ．A 离开墙后，整个系统的总机械能为202
1kx ，总动量为零。
27．如图所示，在光滑平面上有一运动物体P ，在P 的正前方有一连有弹簧和挡板M 的静止物体Q ，弹簧和挡板的质量均不计，P 与Q 的质量相等。物体P 与Q 碰撞后P 停止，Q 以碰撞前P 的速度运动。在此碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是
(A)P 的速度正好变为零时； (B)P 与Q 速度相等时；
(C)Q 正好开始运动时；
(D)Q 正好达到原来P 的速度时。
28．一子弹以水平速度v 0射入一静止于光滑水平面上的木块后，随木块一起运动。对于这一过程正确的分析是 [ ]
m h
P Q
(A)子弹、木块组成的系统机械能守恒；
(B)子弹、木块组成的系统水平方向的动量守恒；
(C)子弹所受的冲量等于木块所受的冲量；
(D)子弹动能的减少等于木块动能的增加。
29. 在重力场中，把物体从一点移送到另一点所做的功(2005级上考题)
（A）是速度的函数（B）依赖于这两个端点的位置，也依赖于它们之间的路径（C）只依赖于物体移动所通过的路程（D）只依赖于这两个端点的位置
1D 2D 3D 4D 5C 6C 7A 8B 9C 10C 11B 12C 13B 14A 15C 16C 17B 18C 19C 20D
21D 22D 23C 24C 25C 26B 27B 28B 29D
习题 2-1 质量为0.25kg 的质点，受力为()F ti SI =的作用，式中t 为时间。0t =时，该质点以 102v jm s -=?的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____. 解 因为 40.25 d v F t i ti dt m ===,所以()4d v t i d t =， 于是有()0 4v t v dv ti dt =? ?， 222v t i j =+；又因为 dr v dt =，所以()222dr t i j dt =+，于是有()222dr t i j dt =+??，3 223 r t i tj C = ++，而t=0时质点通过了原点，所以0C =，故该质点在任意时刻的位置矢量为3 223 r t i tj =+。 2-2 一质量为10kg 的物体在力(12040)()f t i SI =+作用下，沿x 轴运动。0t =时，其速度 106v im s -=?，则3t s =时，其速度为（ ） A. 1 10im s -? B. 1 66im s -? C. 1 72im s -? D. 1 4im s -? 解 本题正确答案为C 在x 方向，动量定理可写为()3 12040t dt mv mv +=-?，即0660mv mv -= 所以 ()10660660 67210 v v m s m -=+ =+=?。
2-3 一物体质量为10kg 。受到方向不变的力3040()F t SI =+的作用，在开始的2s 内，此力的 冲量大小等于______;若物体的初速度大小为1 10m s -? ，方向与F 同向，则在2s 末物体的 速度大小等于_______. 解 在开始的2s 内，此力的冲量大小为 ()2 3040140()I t dt N s = +=?? 由质点的动量定理得 0I mv mv =- 当物体的初速度大小为1 10m s -?，方向与F 同向时，在2s 末物体速度的大小为 101401024()10 I v v m s m -=+=+=? 2-4 一长为l 、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上。若使其长度的1/2悬于桌边下，由静 止释放，任其自由滑动，则刚好链条全部离开桌面时的速度为（） A. B. C. D. 解 本题正确答案为B 。 根据题意作图2.15.设链条的质量为m ，则单位长度的质量为m l ，若选取桌面为零势能点，则由机械能守恒定律得 21 2422m l l m l g l g mv l l ????????????-???=-???+ ? ? ? ????????????????? 其中v 为链条全部离开桌面时的速度。解之得 v = 2-5 一弹簧原长为0.5m ，劲度系数为k ，上端固定在天花板上，当下端悬挂一盘子时，其长度为0.6m ，然后在盘子中放一物体，弹簧长度变为0.8m,则盘中放入物体后，在弹簧伸长过程中
二、质点动力学习题 一、选择题 1.一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为1m 和2m ，且21m m > (滑轮质量及一切摩擦均不计)，此时系统的加速度大小为a ，今用一竖直向下的恒力g m F 1=代替1m ，系统的加速度大小为a '，则有 ( ) (A) a a ='； (B) a a >'； (C) a a <'； (D) 条件不足，无法确定。 2.如图所示，系统置于以g/2加速度上升的升降机内，A 、B 两物块质量均为m ，A 所处桌面是水平的，绳子和定滑轮质量忽略不计。 (1) 若忽略一切摩擦，则绳中张力为 （ ） (A) mg ；(B) mg /2；(C) 2mg ；(D) 3mg /4。 (2) 若A 与桌面间的摩擦系数为μ (系统仍 加速滑动)，则绳中张力为 ( ） （A ）mg μ； (B) 4/3mg μ； (C) 4/)1(3mg μ+；(D) 4/)1(3mg μ-。 3. 如图所示，一只质量为m 的猴，原来抓住一根用绳吊在天花板上的质量为M 的直杆，悬线突然断开，小猴则沿杆子竖直向上爬以保持它离地面的高度不变，此时直杆下落的加速度为 （ ） A 、 g M m ； B 、g M m M -； C 、 g M m M +； D 、g m M m M -+。 4. 一公路的水平弯道半径为R ，路面的外侧高出内侧，并与水平面夹角为θ。要使汽车通过该段路面时不引起侧向摩擦力，则汽车的速率为 （ ） A 、Rg ； B 、θtg Rg ； C 、 θ θ 2 sin cos Rg ； D 、θctg Rg 。 5. 质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为k ，k 为正值常量．该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速度)将是 （ ） (A) k mg . (B) k g 2 . (C) gk . (D) gk . 6.如图所示，质量为m 的物体A 用平行于斜面的细线连结置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体开始脱离斜面时，它的加速度的大小为 （ ） (A) g sin θ． (B) g cos θ． (C) g ctg θ． (D) g tg θ． 2 g a =
第2章 质点动力学 一、选择题 1. 如图1所示，物体在力F 作用下作直线运动, 如果力F 的量值逐渐减小, 则该物体的 (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 [ ] 2. 一物体作匀速率曲线运动, 则 (A) 其所受合外力一定总为零 (B) 其加速度一定总为零 (C) 其法向加速度一定总为零 (D) 其切向加速度一定总为零 [ ] 3. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? (A) 质点沿着力的方向运动 (B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大 (D) 质点的速度将不会发生变化 [ ] 4. 用细绳系一小球使之在竖直平面内作圆周运动, 小球在任意位置 (A) 都有切向加速度 (B) 都有法向加速度 (C) 绳子的拉力和重力是惯性离心力的反作用力 (D) 绳子的拉力和重力的合力是惯性离心力的反作用力 [ ] 5. 如图2所示，三艘质量均为0m 的小船以相同的速度v 鱼贯而行．今从中间船上同时以速率u (与速度v 在同一直线上)把两个质量均为m 的物体分别抛到前后两船上. 水和空气的阻力均不计, 则抛掷后三船速度分别为 (A) v ，v ，v (B) u +v ，v ，u -v (C) u m m m 0++ v ，v ，u m m m +-v (D) u m m m 0++ v ，v ，u m m m 0 +-v [ ] 6. 质量为m 的铁锤竖直落下, 打在木桩上并停下. 设打击时间为?t , 打击前铁锤速率为 v ，则在打击木桩的时间内, 铁锤所受平均合外力的大小为 (A) t m ?v (B) mg t m -?v (C) mg t m +?v (D) t m ?v 2 [ ] 7. 用锤压钉不易将钉压入木块, 用锤击钉则很容易将钉击入木块, 这是因为 (A) 前者遇到的阻力大, 后者遇到的阻力小 (B) 前者动量守恒, 后者动量不守恒 (C) 后者锤的动量变化大, 给钉的作用力就大 (D) 后者锤的动量变化率大, 给钉的作用力就大 [ ] 8. 质点系的内力可以改变 (A) 系统的总质量 (B) 系统的总动量 图1 图2 v
练习（二） 质点动力学 1.三个质量相等的小球由二相同轻弹簧连接如图所示，再用细绳悬于天花板上，处 于静止状态。将绳子剪断瞬间，三个小球的加速度分别为：d （A ）1a =2a =3a =g （B ）1a =g ，2a = 3a =0 （C ）1a =2g ，2a = g ， 3a =0 （D ）1a =3g ，2a = 3a =0 2.如图所示，质量为m 的子弹以水平速度0v 射入静止的木块M ，并陷入木块内，射入过程中木块不反弹，则墙壁对木块的冲量为d （A ）0 （B ）m 0v （C ）（M +m ）0v （D ）－m 0v 3.质点的质量为m ，置于光滑固定球面的顶点A 处。如图所示，当它由静止开始下滑到球面上B 点时， 它的加速度的大小为：D （A ）a =2g(θcos 1-) B ）a =g θsin （C ）a =g （D ）a = θθ2222sin )cos 1(4g g +- 4.如图所示，两木块质量为1m 和2m ，由一轻弹簧连接，并静止于光滑 水平桌面上。现使两木块靠近而将弹簧压紧，然后由静止释放。若弹簧伸长到原长时1m 的速率为1v ，则弹簧原来在压缩状态时所具有的势能是：D （A ） 2121mv （B ）211 21221v m m m m + （C ）2121)(21v m m + （D ）212211)(21v m m m m + 5.如图所示，质量为m 的物体A 用平行于斜面的细线连结置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体开始脱离斜面时，它的加速度的大小为：C A 、g θsin B 、g θcos C 、g θctg D 、g θtg 6.一只质量为m 的猴，原来抓住一根用绳吊在天花板上的质量为M 的直杆，悬线 突然断开，小猴沿杆子竖直向上爬以保持它离地面的高度不变，此时直杆下落的加速度 为：C （A ）g （B ）M mg / （C ）M m M + g （D ）g M m M - 7.质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用。比例系数为k ，k 为正常数。该下落物体的收尾速度（即最后物体作匀速运动时的速度）将是：A （A ）k mg （B ）k g 2 （C ）gk （D ）gk 8.一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 点时，它将对容器的正压力数值为N ，则质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其作的功为：
习题二 2-1 质量为m得子弹以速率水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹得重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间得变化关系; (2)子弹射入沙土得最大深度。 [解] 设任意时刻子弹得速度为v,子弹进入沙土得最大深度为s,由题意知,子弹所受得阻力f= - kv (1) 由牛顿第二定律 即 所以 对等式两边积分 得 因此 (2) 由牛顿第二定律 即 所以 对上式两边积分 得到 即 2-2 质量为m得小球,在水中受到得浮力为F,当它从静止开始沉降时,受到水得粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降得速率v与时间得关系为 [证明] 任意时刻t小球得受力如图所示,取向下为y轴得正方向,开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 整理得 对上式两边积分 得 即 2-3 跳伞运动员与装备得质量共为m,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气得阻力与速率得平方成正比,即。求跳伞员得运动速率v随时间t变化得规律与极限速率。 [解] 设运动员在任一时刻得速率为v,极限速率为,当运动员受得空气阻力等于运动员及装备得重力时,速率达到极限。 此时 即 有牛顿第二定律 整理得 对上式两边积分 得 整理得 2-4 一人造地球卫星质量m=1327kg,在离地面m得高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求:(1)卫星所受向心力f得大小;(2)卫星得速率v;(3)卫星得转动周期T。 [解] 卫星所受得向心力即就是卫星与地球之间得引力
由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 ()() s m 1096.61327 1085.11063781082.736 33e ?=?+???=+= m h R f v (3) 卫星得运转周期 ()() 2h3min50s s 1043.710 96.61085.1106378223 3 63e =?=??+?=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方得地球同步卫星距地面得高度。 [解] 设同步卫距地面高度为h ,距地心为R +h ,则 所以 代入第一式中 解得 2-6 两个质量都就是m 得星球,保持在同一圆形轨道上运行,轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ,求:(1)每个星球所受到得合力;(2)每个星球得运行周期。 [解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动,因此,她们受到得合力必须指向圆形轨道得圆心,又因星球不受其她星球得作用,因此,只有这两个星球间得万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径得两个端点上,且其运行得速度周期均相同 (1)每个星球所受得合力 (2) 设运动周期为T 联立上述三式得 所以,每个星球得运行周期 2-7 2-8 2-9 一根线密度为得均匀柔软链条,上端被人用手提住,下端恰好碰到桌面。现将手突然松开,链条下落,设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上,求链条下落距离s 时对桌面得瞬时作用力。 [解] 链条对桌面得作用力由两部分构成:一就是已下落得s 段对桌面得压力,另一部分就是正在下落得段对桌面得冲力,桌面对段得作用力为。显然 时刻,下落桌面部分长s 。设再经过,有落在桌面上。取下落得段链条为研究对象,它在时
普通物理
黄 武 英
第二章
一.牛顿第一定律
质点动力学
三.牛顿第三定律
§2.1 牛顿定律
二.牛顿第二定律
§2.2 常见的力
一.万有引力 五.四种基本力 二.重力 三.弹力 四.摩擦力
牛顿定律应用举例
§2.3 单位制和量纲 §2.4 动量定理和动量守恒定律 §2.5 动能定理和功能原理 §2.6 能量守恒定律 §2.7 角动量定理和角动量守恒定律
物理与电子信息学院
§2.4 动量定理和动量守恒定律
一、质点的动量定理 二、动量定理的应用 三、质点系的动量定理 四、质心运动定理 五、质点系的动量守恒定律 六、变质量物体的运动方程
§2.5 动能定理和功能原理
一、动能及功的定义 三、功率 五、保守力和非保守力 六、质点的功能原理 七、质点系的动能定理和功能原理 二、动能定理
四、功的计算举例
§2.6 能量守恒定律
一、机械能守恒定律 二、守恒定律(机械能与动量) 的综合应用 三、能量转化及守恒定律 四、碰撞
§2.7角动量守恒定律
一、力矩 二、角动量 三、角动量守恒定律
四、动能定理
K rb G K 2 2 1 Wab = ∫K f ? dr = 1 2 mVb ? 2 mVa
ra
本章小结 G G dp d (mv ) G 一、牛顿第二定律 = =F dt dt
二、质点系的动量定理
五、质点系的功能原理和机械能守恒定律
Ekb + E pb ? ( Eka + E pa ) = W外 + W非保守内力
则： E kb + E pb = E ka + E pa 六、角动量定理和角动量守恒定律 K K dL 角动量定理 M= G dt 若 M =0 （条件）
功能原理
若外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零（条件） 机械能守恒定律
G I =
∫
t2
t1
G G G F合外 dt = ∑ mi vi (t 2 ) ? ∑ mi vi (t1 )
i i
三、质点系的动量守恒定律 若系统不受外力作用，或所受外力的矢量和为零（条件） n K K K K 则： ∑ miVi＝m1V1 + m2V2 + " mnVn = 恒量
i =1
G
则
dL =0 dt
G L = 常矢量
角动量守恒定律
a a a 1 121 02 质点动力学 卷A 答案 班级 学号 姓名 . 一. 选择题(每题4分) 1. 如图所示，质量分别为m 1和m 2的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动.如突然撤消拉力， 则刚撤消后瞬间，二者的加速度a A 和a B 分别为 ( D ) (A) a A =0 ， a B =0. (B) a A >0 ， a B <0. (C) a A <0 ， a B >0. (D) a A <0 ， a B =0. (B 卷1)． 一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为1m 和2m ，且12m m > (滑轮质量及一切摩擦均不计)，此时系统的加速度大小为 a ，今用一竖直向下的恒力1F m g =代替1m ，系统的加速度大小为a '，则有 ( B ) (A)a a =' (B)a a >' (C)a a <' (D) 无法确定 2. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 ( B ) (A) 2 m/s (B) 4 m/s (C) 7 m/s (D) 8 m/s 3. 沙子从h = 0.8m 高处落到以3m/s 速度水平向右运动的传送带上。取g = 10m/s 2，则传送带给予沙子的作用力的方向 ( B ) (A) 与水平夹角53向下； (B) 与水平夹角53向上； (C) 与水平夹角37向上； (D) 与水平夹角37向下。 分析与解：00.8m h v =1002,v v v j v v vi ==-== ()()210I m v m v v m vi v j =?=-=+ 04tan ,533 v v θθ?= ====，向上 4. 静止在光滑水平面上的一质量为M 的车上悬挂一单摆，摆球质量为m ，摆线长为l ．开始时，摆线水平，摆球静止于A 点．突然放手，当摆球运动到摆线呈竖直位置的瞬间，摆球相对于地面的速度为 ( C ) (A) 0． (B) gl 2． (C) M m gl /12+． (D) m M gl /12+5. 如图所示，质量分别为m 1, m 2的两物体用一屈强系数为k 放在水平光滑桌面上，当两物体相距x 时，系统由静止释放，已知弹簧的自然长度为x 0则当物体相距x 0时, m 1的速度大小为 ( D ) (A) (B) (C) (D)
第二章质点动力学单元测验题 一、选择题 1.如图，物体A和B的质量分别为2kg和1kg，用跨过定滑轮的细线相连，静 止叠放在倾角为θ=30°的斜面上，各接触面的静摩擦系数均为μ=0.2，现有一沿斜面向下的力F作用在物体A上，则F至少为多大才能使两物体运动. A.3.4N; B.5.9N; C.13.4N; D.14.7N 答案：A 解：设沿斜面方向向下为正方向。A、B静止时，受力平衡。 A在平行于斜面方向：F m g sin T f f 0 A12 B在平行于斜面方向：1sin0 f m g T B 静摩擦力的极值条件：f1m g cos， B f m m g 2(B A)cos 联立可得使两物体运动的最小力F min满足： F min (m B m A)g sin (3m B m A )g cos=3.6N 2.一质量为m的汽艇在湖水中以速率v0直线运动，当关闭发动机后，受水的阻力为f=-kv，则速度随时间的变化关系为 A.v k t =v e m; B. v= -t k t v e m 0; C. v=v + k m t ; D. v=v - k m t 答案：B 解：以关闭发动机时刻汽艇所在的位置为原点和计时零点，以v0方向为正方向建立坐标系. 牛顿第二定律： dv ma m kv dt 整理： d v v k m dt
积分得：v= - v e k t m 3.质量分别为m和m（ 12m m）的两个人，分别拉住跨在定滑轮（忽略质量）21 上的轻绳两边往上爬。开始时两人至定滑轮的距离都是h.质量为m的人经过t 1 秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为 2 m m1m-m1 1; C.1(h gt2)2h gt 1 2 A.0; B.h+; D.(+) m m2m2 222 答案：D 解：如图建立坐标系，选竖直向下为正方向。设人与绳之间的静摩擦力为f，当 质量为m的人经过t秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为h'，对二者12 分别列动力学方程。 对m： 1 f m g m a m 11m1 1 dv m 1 dt 对m： 2 f m g m a m 22m2 2 dv m 2 dt 将上两式对t求积分，可得： fdt m gt m v m 11m1 1dy m 1 dt fdt m gt m v m 22m2 2dy m 2 dt 再将上两式对t求积分，可得： 1 fdt m gt 0m h 22 11 2 1 fdt m gt m h m h 22 222 2
习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正 方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 t v m ma f F mg d d ==--
即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2?? =- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-=
大学物理第2章-质点动力学习题(含解答)
2 第2章质点动力学习题解答 2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，?求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。 解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F += 2-2 如图所示，质量为10kg 物体，?所受拉力为变力21 32 +=t F （SI ），0=t 时物体静止。该物 体与地面的静摩擦系数为 20 .0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ， 取10=g m/s 2，求1=t s 时，物体的速度和加速度。 解：最大静摩擦力) (20max N mg f s ==μ max f F >，0=t 时物体开始运动。
3 ma mg F =-μ，1 .13.02 +=-=t m mg F a μ 1 =t s 时，)/(4.12 s m a = dt dv a = Θ，adt dv =，??+=t v dt t dv 0 2 1.13.0 t t v 1.11.03+= 1 =t s 时，)/(2.1s m v = 2-3 一质点质量为2.0kg ，在Oxy 平面内运动， ?其所受合力j t i t F ρ ρρ232 +=（SI ），0=t 时，速度j v ρ ρ 20 =（SI ），位矢i r ρρ 20=。求：（1）1=t s 时，质点加速 度的大小及方向；（2）1=t s 时质点的速度和位 矢。 解：j t i t m F a ρρρ ρ+==22 3 22 3t a x = ，00=x v ，2 =x ?? =t v x dt t dv x 020 2 3 ， 2 3 t v x = ?? ?==t x t x dt t dt v dx 03 2 02， 2 84 +=t x t a y =，2 0=y v ，0 =y ?? =t v y tdt dv y 2 ， 2 2 2 +=t v y
% 2015-2016（2）大学物理A （1）第二次作业 第二章 质点动力学答案 ［ A ］ 1、【基础训练1 】 一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M 的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量M m 2 1 = ．若人相对于绳以加速度a 0向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是 (A) 3/)2(0g a +． (B) )3(0a g --． (C) 3/)2(0g a +-． (D) 0a [解答]： ()()()()00000() ,/3, 2/3 Mg T Ma T mg m a a M m g M m a ma a g a a a g a -=-=+-=++=-∴+=+ 、 ［ D ］2、【基础训练3】 图示系统置于以g a 2 1 = 的加速度上升的升降机内，A 、B 两物体质量相同均为m ，A 所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦并不计空气阻力，则绳中张力为 (A) mg ． (B) mg 2 1． (C) 2mg ． (D) 3mg / 4． [解答]： 设绳的张力为T ，F 惯=ma mg ?T +ma =ma‘， T =ma’， mg +mg /2=2ma’. 》 所以 a’=3g/4, T=3mg/4 ［ B ］ 3、【基础训练5】 光滑的水平桌面上放有两块相互接触的滑块，质量分别为m 1和m 2，且m 1
第2章质点动力学 一、质点： 是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。 二、力： 是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。 1、弹性力：（为形变量） 2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。 固体间的静摩擦力：（最大值） 固体间的滑动摩擦力： 3、流体阻力：或。 4、万有引力： 特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。 式中R为地球半径，M为地球质量。 在地球上方（较大），。 在地球内部（），。 三、惯性参考系中的力学规律牛顿三定律 牛顿第一定律：时，。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了
惯性系。 牛顿第二定律： 普遍形式：； 经典形式：（为恒量） 牛顿第三定律：。 牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。 四、非惯性参考系中的力学规律 1、惯性力： 惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系 的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。 2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律： 五、求解动力学问题的主要步骤 恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出 分量式的运动方程。 变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。 第2章质点动力学 二、解题示例 【例2-1】如题图2-1a所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦
大学物理_第2章_质 点动力学_习题答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1)22mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?- 2 (2)(31) s g u ∴= - 把式（2）代入式（1）得， () 22 2 20 0.198 3u v v = + 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 2 2 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-= 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα= ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 习题2－2 A o B r D C T
90 2 n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v v r v mg mg r mg α αα ωαα α=-===+==-=-? ?得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为θ的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两者间摩擦系数为μ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。 解：如图所示 () 1212min max sin ,cos cos sin (1) sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin ) (sin cos )() (cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθ θθθθθθθθθθ θθθθθ==∴-==±==?+-=+--∴= = ++-?+=-+∴=得，得，)() (cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθ θθθθ += ---+∴≤≤+- 2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A 和B 的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得 习题2-3图
质点 动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α） 上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0=① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 由①、②式消去t ，得 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点 时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += y 分量：dt dV m KV mg =-- 即dt m KV mg dV 1-=+ mg K e KV mg K V t m K 1)(10-+=?-①
0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+=② ∵dt dy V = ∴Vdt dy = 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=????③ 0t t =时，max y y =， 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平 桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边 缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌 面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同， 沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有 图2-4 通过变量替换有 m dv xg mv l dx = 0,0x v ==，积分00 l v m xg mvdv l =?? 由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl = 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用 细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝ 12 g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和 2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示． (1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速
第9章 质点动力学基本方程 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。 ( √ ) 2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。 ( × ) 3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。 ( × ) 4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。 ( √ ) 5. 凡运动的质点一定受力的作用。 ( × ) 6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。 ( × ) 二、填空题 1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。 — 2．质点动力学的基本方程是∑= i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m 2 2 ∑= n F v m ρ 2 ∑ =b F 0。 3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。 4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b =+，其中0v 为初速度，b 为常数。则作用于质点上的力=F 20 2 0() mbv b v t - +。 5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2 (1)v P gr +。 三、选择题 1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。 (A) mg (B) )(a g m + (C) )(a g m - (D) 0 2．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。 ， (A) 0=+x m c x (B) 0)(=-+s x m c x δ 、 、
质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v ? 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①、②式消去t ，得 2 20 sin 21x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F ? ??+= a m f P ???=+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ??-=+t v v dt m KV mg dV 01 0 dt m KV mg KV mg K 1 ln 10-=++
)(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ??? ?? ????-+==-0000 1 )(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-??????-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ?-??? ?????-+=+?- )1ln(1 1)(0 22 02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-????? ? ?????? +-+= )1ln()(022 0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++= )1ln(0 220mg KV g K m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有
第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?-o 2(2) s ∴= 把式（2）代入式（1）得， 220.198 u = 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G r 和轨道对它的支持力T r .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 22 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-=r r r 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα= ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v v r v mg mg r mg α αα ωαα α=-===+==-=-? ?o r 得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为 T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两者 习题2－2图
第二章 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2 sin 2 1t g y α= 由①、②式消去t ，得 2 2 sin 21x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1- =+ ? ? - = +t v v dt m KV mg dV 10
dt m KV mg KV mg K 1ln 10 - =++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1)(10- += ?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 00 0mg KV K m mg KV mg K m t + = += ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ? ?? ?? ????-+= = -0 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02 -??????-+- =- 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02 max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K +?- ??? ?????-+= +?- )1ln(11)(0 2 2 002 mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln() (02 20 002 mg KV g K m KV mg KV KV mg K m + - ++= )1ln(02 20mg KV g K m K mV + - = 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.