四川省遂宁市实验中学2008届高三年级一诊模拟测试
数学(文科)试题 2008.01
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．https://www.doczj.com/doc/7a3329186.html, 中国数学教育网
1、满足条件{}{}1,21,2,3M = 的所有集合M 的个数是 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2、点P ()tan 2007,cos2007??位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3、已知m ，n 为异面直线，m ?平面,n α?平面,a l ββ= ，则l A ．与m ，n 都相交 B ．与m ，n 中至少一条相交 C ．与m ，n 都不相交 D ．至多与m ，n 中有一条相交
4、函数()1
,1,1x y In
x x +=∈+∞-的反函数为 A ．()1,0,1x x
e y x e -=∈+∞+ B ．()1
,0,1x x e y x e +=∈+∞- C ．()1,,01x x
e y x e -=∈-∞+ D ．()1
,,01
x x e y x e +=∈-∞- 5、在()0,2π内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为
A ．5,,424ππππ????
? ??
???
B ．,4ππ??
???
C ．5,44ππ?? ???
D ．53,,442ππππ????
? ?????
6、若不等式2
10x ax ++≥对于一切10,2x ??∈ ???成立，则a 的最小值是
A ．0
B ．－2
C ．5
2
- D ．－3
7、在△ABC 中，2AB = ，3BC = ，4CA = ，···AB BC BC CA CA AB ++
的
值为
A ．
132 B ．132
-
C ．
292 D ．292
- 8、对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足()()10x f x '-≥则必有
A ．()()()02＜21f f f +
B ．()()()0221f f f +≤
C ．()()()0221f f f +≥
D ．()()()02＞21f f f +
9、袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为
A ．123448121610
40C C C C C B ．21344812161040C C C C C C ．2314481216
10
40
C C C C C
D ．134248121610
40
C C C C C
10、若)()1
5(*3
2
N n x
x n ∈-展开式中各项系数之和为214，则展开式中含x 2的项是
A ．第3项
B ．第5项
C ．第4项
D ．不存在
11、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则
111213a a a ++=
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
12、已知集合A ={1,2,3},B ={4,5,6}，映射f :A →B 且满足1的象是4，则A 到B 的映射个数是
A . 3个
B . 6个
C . 9个
D . 27个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，共16分，请将答案填在题中的横线上．
13、在数列｛a n ｝中，若a 1=1, a n +1=a n +3 (n≥1), 则该数列的通项a n =_______________. 14、如图，点P 1，P 2，P 3，…，P 10分别是四面体顶点或棱的中点．从点P 2，P 3，…，P 10中选出3个不同点，使它们与顶点P 1在同一个平面上，共有 种不同选法．
15、实数x ，y 满足
22
1124
x y +=，则2243x y x +-+的最大值是 ．
16、设x ，y ，z 是空间中不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，则下列结论中能保证“x ⊥z ，且y ⊥z ，则 x //y ”为真命题的是______________________(请把你认为所有正确的结论的代号都填上).
①x 为直线，y , z 为平面；②x , y , z 为平面；③x , y 为直线，z 为平面； ④x , y , z 为直线；⑤x , y 为平面，z 为直线. 三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17~21
题每小题12分，22题14分)
17. 已知向量sin ,cos 2122x x a π????=+ ? ????? ，cos ,cos 2122x x b π????
=+- ? ????
? ,,2x ππ??∈????,
函数()·f x a b = ．（1）若3
cos 5
x =-，求函数()f x 的值；
（2）将函数()f x 的图象按向量)0(),(π<<=m n m c 平移，使得平移后的图象关于原点对称，求向量c ．
18、如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （I ）求证：A 1C //平面AB 1D ；（II ）求二面角B —AB 1—D 的大小； （III ）求点C 到平面AB 1D 的距离.
19、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
1
7
．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在第一次被取出的机会是等可能的．求： （1）袋中原有白球的个数；（2）甲取到白球的概率．
20、已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数.
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.
21、已知函数32()f x ax bx c =++的图象过点(0,1)，且在1x =处的切线方程为21y x =-.
（1） 求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在[0,]m 上有最小值19
27
，求实数m 的取值范围。
22、已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >
，n b =*n ∈N ）
，且{}n b 是以q 为公比的等比数列． （I ）证明：22n n a a q +=；
（II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列； （III ）求和：1234212111111
n n
a a a a a a -++++++
．
四川省遂宁市实验中学2008届高三年级一诊模拟测试
数学(文科)试题参考答案 2008.01
一、选择题：（每小题5分，共60分） ADBBC CDCAC BC
二、填空题：（每小题4分，共16分） 13. n a =3n －2. 14、33
15、15+16. ①③⑤ 三、解答题：
17、【解】由题意，得()2sin cos cos 2122122x x x f x ππ????
=++-
? ?????
()1111sin 1cos cos 26242x x x x π??=+-+=-- ???
11111cos sin 222262x x x π???=--=--? ??????
．……4分 （1）∵,2x ππ??
∈????
，3cos 5x =-，∴4sin 5x =，
∴()117cos 4220
f x x x =--=-． ……8分 （2）由图象变换得，平移后的函数为()11sin 262
g x x m n π??
=--+- ???
，而平移后的
图象关于原点对称．
∴()00g =且102n -
=，即sin 06m π?
?+= ??
?且12n =， ∵0＜＜m π，∴56m π=，即51,62c π??
= ???
．……12分
18、【解】解法一（I ）证明：
连接A 1B ，设A 1B∩AB 1 = E ，连接DE. ∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且AA 1 = AB ， ∴四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，
∴DE ∥A 1C. ………………………… 3分 ∵DE ?平面AB 1D ，A 1C ?平面AB 1D ， ∴A 1C ∥平面AB 1D. ……………………4分
（II ）解：在面ABC 内作DF ⊥AB 于点F ，在面A 1ABB 1内作FG ⊥AB 1于点G ，连接DG.
∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ， ∴DF ⊥平面A 1ABB 1，
∴FG 是DG 在平面A 1ABB 1上的射影， ∵FG ⊥AB 1， ∴DG ⊥AB 1 ∴∠FGD 是二面角B —AB 1—D 的平面角 …………………………6分 设A 1A = AB = 1，在正△ABC 中，DF=
.4
3
在△ABE 中，8
2343=?=
BE FG ， 在Rt △DFG 中，3
6
tan ==
FG DF FGD ， 所以，二面角B —AB 1—D 的大小为.3
6
arctan
…………………………8分 （III ）解：∵平面B 1BCC 1⊥平面ABC ，且AD ⊥BC ，
∴AD ⊥平面B 1BCC 1，又AD ?平面AB 1D ，∴平面B 1BCC 1⊥平面AB 1D. 在平面B 1BCC 1内作CH ⊥B 1D 交B 1D 的延长线于点H ，
则CH 的长度就是点C 到平面AB 1D 的距离. ……………………………10分 由△CDH ∽△B 1DB ，得.5
5
11=?=
D B CD BB CH
即点C 到平面AB 1D 的距离是
.5
5
……………………………………12分
解法二：
建立空间直角坐标系D —xyz ，如图， （I ）证明：
连接A 1B ，设A 1B∩AB 1 = E ，连接DE. 设A 1A = AB = 1， 则).0,0,2
1(),21,43,41(),1,23,
0(),0,0,0(1C E A D - ),2
1
,43,41(),1,23,21(1-=--=∴A
.//,211DE C A DE C A ∴-=∴ …………………………3分 D AB C A D AB DE 111,平面平面?? ，
.//11D AB C A 平面∴ ……………………………………4分
（II ）解：)1,0,21(),0,23,
0(1-B A ， )1,0,2
1
(),0,23,0(1-==∴D B AD ， 设),,(1r q p n =是平面AB 1D 的法向量，则0,0111=?=?B n n 且， 故)1,0,2(,1.02
1
,0231===-=-
n r r p q 得取； 同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n ……………………6分 设二面角B —AB 1—D 的大小为θ，5
15
||||cos 2121=
?=
n n n n θ ， ∴二面角B —AB 1—D 的大小为.5
15
arccos
…………………………8分 （III ）解由（II ）得平面AB 1D 的法向量为)1,0,2(1=n ，
取其单位法向量).0,0,21
(),5
1
,
0,5
2(
==n 又
∴点C 到平面AB 1D 的距离.5
5
||=
?=n d ……………………12分 19、【解】（1）设袋中原有n 个白球，由题意知：
()()2
271112767762
n n n n n C C --===
??． ∴()16n n -=，解得3n =或2n =-（舍去），即袋中原有3个白球．……4分
（2）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到
白球”的事件为A ，则()()“1”“3”“5”
P A P ξξξ====或或，
()317P ξ==
，()4336376535P ξ??===??，()432131
57654335
P ξ????===????．
因为事件“1”“3”“5”ξξξ===两两互斥，所以 ()()()()36122
1357353535
P A P P P ξξξ==+=+==
++=
．……12分
20、【解】（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即1
11201()22x
x b b f x a a +--=?=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知1112
2 2.41a a a -
-=-?=++ ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211
()22221
x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上
为减函数。又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22
(2)(2)0f t t f t k -+-<
等价于222
(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得： 2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，
从而判别式1
4120.3
k k ?=+
21【解】解：∵2
()32f x ax bx '=+，∴(1)322f a b '=+=
又(0)1,(1)1f f ==， ∴1c =，1a b c ++=，∴2,2,1a b c ==-= ∴32
()221f x x x =-+ ……4分
（2）∵2
2()646()3f x x x x x '=-=-，∴当2[0,]3x ∈时，()0f x '≤，2[,)3
x ∈+∞时，
()0f x '≥，∴()f x 在2[0,]3上单调减，在2
[,)3
+∞上单调增。 ……6分
又∵3222219
()2()2()133327
f =?-?+=，所以
①当203m <<时，()f x 在[0,]m 上单调减，故min ()()f x f m =219()327f >=，故2
03
m <<
不合题意 ……9分
②当23
m ≥
时，32min 22219()()2()2()133327f x f ==?-?+=，适合题意。
综上可得，实数m 的取值范围为：2
3
m ≥ ……12分
22、【解】解法1：（I ）证：由
1
n n b q b +=
n q ==，
∴ 22()n n a a q n +=∈N*． ……4分
（II ）证：22n n a q q -= ，
22221231n n n a a q a q ---∴=== ，222222n n n a a q a q --=== ， 22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．
{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列． ……8分
（III ）由（II ）得
2221
1
11n
n q
a a --=
，222211n n q a a -=，于是 1221321242111111111n n n a a a a a a a a a -????
+++=+++++++ ? ?????
24222422121111111111n n a q q q a q q q --????
=
+++++++++ ? ?????
2122311112n q q q -??
=++++ ???
． 当1q =时，
2422122111311112n n a a a q q q -??+++=++++ ???
3
2
n =
． 当1q ≠时，
2422122111311112n n a a a q q q -??+++=++++ ???
223121n
q q --??-=
?-??
2222312(1)n n q q q -??-=??-??
． 故21222223
121111 1.(1)n
n n n q q a a a q q q -?=??+++=???3
-?≠???2-?
?? ， ，
， ……14分 解法2：（I ）同解法1（I ）．
（II ）证：
222*1212221221221222()22n n n n n
n n n n n
c a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．
（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a q q ---+=+=，
34212121221234212111n n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ， 2222
212442123322
k k k k k k k a a q q
a a q --+---+== ，12k n = ，，，． 2221221113(1)2
n k q q a a a --+∴
+++=+++ ． 下同解法1．