几何不等式2和立体图形1
几何不等式2和立体图形1
一．选择题（共12小题）
1．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）
2．在一个棱长为4的立方体内，放入直径为1的小球，最多可以放入（）
3．一个长方体的棱长都是正整数，体积是2002，若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体，那么这样的长方体（）
5．如图，有三根长度相同横截面为正方形的直条形木块I1、I2、I3，若将它们靠紧放置在水平地面上时，直线AA1、BB1、CC1恰在同一个平面上，木块I1、I2、I3的体积分别为V1、V2、V3，则下列结论中正确的是（）
6．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）
7．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i个面（i=1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为x i，则x1，x2，x3之间的关系为（）
8．用棱长为1cm的42个正方体黏合成一个各面为矩形的立体砖，如果其底面的周长是18cm，则这个立体砖的高为（）
9．将一个10cm×10cm×10cm的立方体切为1cm×1cm×1cm的小立方体．用这些小立方体重新黏合成一个内部允许有空洞但表面无空洞的大立方体．这个空心的立方体要尽可能的大，请问最多能剩下多少个小立方体没有用到？
10．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）
11．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2009条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）
12．堆放在地面上垒成长方体形状的一堆砖，长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖，给这堆砖露出的表面普遍洒上石灰水，则没有洒上石灰水的砖的块数是（）
二．填空题（共10小题）
0个看不见；如图（2）所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图（3）所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…
（1）写出第（6）个图中看不见的小立方体有_________个；
（2）猜想并写出第（n）个图形中看不见的小立方体的个数为_________个．
14．一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5cm，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，那么，经三次切割后剩余部分的体积为_________cm3．
15．将一个正方体木块表面涂上红色，如果每面等距离地切4刀，则可以得到_________个三面红色的小正方体，_________个两面红色的小正方体，_________个一面红色的小正方体，_________个没有涂色的小正方体；如果要得到各面都没有涂色的小正方体100个，则每面至少需切_________刀．
16．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定_________、_________两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．
17．一种红砖每块长25厘米，宽15厘米，高5厘米，用这种红砖拼砌成一个正方体砖堆，这种砖堆体积最小时，表面积是_________平方厘米．
18．一个棱长为整数a的大正方体可以被分成280个小正方体，其中有279个是棱长为1的正方体，剩下的一个正方体的棱长也是整数，那么a的值是_________．
19．50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有_________块木块是一点儿漆都喷不到．
20．一个长方体的长为42cm，宽为35cm，高为31.5cm．如果要把这个长方体正好分割成若干大小相同的小正方体（没有剩余），那么这些小正方体至少有_________个，这时所得小正方体的棱长为_________cm．
21．数学课上，老师要求学生用一张纸制作一个无盖的长方体纸盒，小刚想做一个长为x厘米，宽为y厘米，高为z厘米的纸盒，则小刚所需要的纸的面积（不计接缝用纸）至少为_________平方厘米．
然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是_________立方厘米．
三．解答题（共8小题）
23．先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：
若a≥0，b≥0，则…①
若a≥0，b≥0，c≥0，则…②
不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：
若ab＞0，试证明不等式：．
证明：∵ab＞0
∴
即．
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：
（1）当ab≥0时，试证明：．
（2）当a、b为任意实数时，试证明：．
24．当a≥0，b≥0时，
（1）求证：a+b≥；
（2）当满足条件_________时，a+b=．
25．在数学的学习中，我们要学会总结，不断地归纳，思考和运用，这样才能提高我们解决问题的能力，下面这个问题大家一定似曾相识：
（1）比较大小：
①2+1_________；②3+_________2；③8+8_________2；
（2）通过上面三个计算，我们可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想a+b_________2；
（3）蓦然回首，我们发现在《梯形的中位线》一节遇到的一个问题，此时运用这个结论巧妙解决；如图有一个等腰梯形工件（厚度不计），其面积为1800cm2，现在要用细包装带如图那样包扎（四点为四边中点），则至少需要包装带的长度为_________cm．
面积的取值范围．
27．阅读理解：
对于任意正实数a，b，因为，所以，所以，只有当a=b时，等
号成立．
结论：在（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a=b时，a+b有最小值．（1）根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m=_________时，有最小值_________；
（2）探索应用：如图，有一均匀的栏杆，一端固定在A点，在离A端2米的B处垂直挂着一个质量为8千克的重物．若已知每米栏杆的质量为0.5千克，现在栏杆的另一端C用一个竖直向上的拉力F拉住栏杆，使栏杆水平平衡．试问栏杆多少长时，所用拉力F最小？是多少？
28．通过观察a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0可知：，与此类比，当a≥0，b≥0时，_________（要
求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：
（1）求证：当x＞0时，；
（2）求证：当x＞1时，；
（3）的最小值是_________．
29．2008年是我国首次举办奥运会的一年，同时也是我们八年级同学完成九年义务教育的最后一年，为迎接2008年的到来，数学刘老师在讲完重要不等式：a+≥2，a＞0后，随手出了这样一道题目：解方程（x2008+1）
（1+x2+x4+…+x2006）=2008?x2007，你能求x的值吗？
30．在n×n的正方形棋盘上，按以下法则放置棋子：如果某小格子上没有棋子，则在过这格的水平线与竖直线上的棋子总数不小于n．
求证：在棋盘上的棋子数不少于个．
几何不等式2和立体图形1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）
，公比为
的等比数列．由该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过
，公比为
×+4
，公比为
3．一个长方体的棱长都是正整数，体积是2002，若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体，那么这样的长方体（）
5．如图，有三根长度相同横截面为正方形的直条形木块I1、I2、I3，若将它们靠紧放置在水平地面上时，直线AA1、BB1、CC1恰在同一个平面上，木块I1、I2、I3的体积分别为V1、V2、V3，则下列结论中正确的是（）
，再利用
∴，
=
∴
∴
∴
此题主要考查了立体图形的有关知识，根据已知利用三角形相似得出
6．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）
==
7．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i个面（i=1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为x i，则x1，x2，x3之间的关系为（）
8．用棱长为1cm的42个正方体黏合成一个各面为矩形的立体砖，如果其底面的周长是18cm，则这个立体砖的高为（）
9．将一个10cm×10cm×10cm的立方体切为1cm×1cm×1cm的小立方体．用这些小立方体重新黏合成一个内部允许有空洞但表面无空洞的大立方体．这个空心的立方体要尽可能的大，请问最多能剩下多少个小立方体没有用到？（）
10．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）
11．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2009条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）
．
12．堆放在地面上垒成长方体形状的一堆砖，长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖，给这堆砖露出的表面普遍洒上石灰水，则没有洒上石灰水的砖的块数是（）
二．填空题（共10小题）
13．观察下列由棱长为1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图（1）所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图（2）所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图（3）所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…
（1）写出第（6）个图中看不见的小立方体有125个；
（2）猜想并写出第（n）个图形中看不见的小立方体的个数为（n﹣1）3个．
14．一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5cm，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，那么，经三次切割后剩余部分的体积为73cm3．
15．将一个正方体木块表面涂上红色，如果每面等距离地切4刀，则可以得到8个三面红色的小正方体，36个两面红色的小正方体，54个一面红色的小正方体，27个没有涂色的小正方体；如果要得到各面都没有涂色的小正方体100个，则每面至少需切6刀．
16．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定A、D两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．
17．一种红砖每块长25厘米，宽15厘米，高5厘米，用这种红砖拼砌成一个正方体砖堆，这种砖堆体积最小时，表面积是33750平方厘米．
18．一个棱长为整数a的大正方体可以被分成280个小正方体，其中有279个是棱长为1的正方体，剩下的一个正方体的棱长也是整数，那么a的值是7．
19．50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有7块木块是一点儿漆都喷不到．
20．一个长方体的长为42cm，宽为35cm，高为31.5cm．如果要把这个长方体正好分割成若干大小相同的小正方体（没有剩余），那么这些小正方体至少有1080个，这时所得小正方体的棱长为 3.5cm．
21．数学课上，老师要求学生用一张纸制作一个无盖的长方体纸盒，小刚想做一个长为x厘米，宽为y厘米，高为z厘米的纸盒，则小刚所需要的纸的面积（不计接缝用纸）至少为2xz+2yz+xy平方厘米．
22．一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是2688立方厘米．
三．解答题（共8小题）
23．先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：
若a≥0，b≥0，则…①
若a≥0，b≥0，c≥0，则…②
不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：
若ab＞0，试证明不等式：．
证明：∵ab＞0
∴
即．
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：
（1）当ab≥0时，试证明：．
（2）当a、b为任意实数时，试证明：．
）根据已知得出×=[
∴×，
×[≥
=
≥
≥
=，
≥
．
24．当a≥0，b≥0时，
（1）求证：a+b≥；
（2）当满足条件a=b时，a+b=．
，则有（﹣
﹣，把左边配成完全平方式得到（﹣
（﹣
（2（
a+b=
（2（
（﹣
∴=0
≥；也考查了完全平方公式以及二次根式
问题大家一定似曾相识：
（1）比较大小：
①2+1＞；②3+＞2；③8+8=2；
（2）通过上面三个计算，我们可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想a+b≥2；
（3）蓦然回首，我们发现在《梯形的中位线》一节遇到的一个问题，此时运用这个结论巧妙解决；如图有一个等腰梯形工件（厚度不计），其面积为1800cm2，现在要用细包装带如图那样包扎（四点为四边中点），则至少需要包装带的长度为120cm．
＞
3+2=23+＞2
8=22
2
=2=60
60
=120
（
26．如图：在矩形ABCD内部（不包括边界）有一点P，它到顶点A及边BC、CD的距离都等于1，求矩形ABCD 面积的取值范围．