建筑尾矿坝常用的方法有哪几种？
建筑尾矿坝比较常见的方法有如下几种：
一、上游筑坝法
这种筑坝方法是初期坝建筑在最下游点。子坝在基坝之上向上游一侧按一定的坡度逐次增高，尾矿经管道进入初期坝的顶部，必要时经旋流器分级，经支管均匀地排放到尾矿库内。初期坝形成的库容填满时，子坝则利用尾矿堆积子坝直至达到设计高度，子坝堆成时要经过压实，并调整尾矿排放管的位置。
山谷型尾矿库多采用上游筑坝法，我国许多选矿厂采用这种筑坝方法，这是一种经营费用较低的筑坝法。
应当指出，子坝堆积的高度有一定极限，超过这个极限高度会发生崩塌危险，造成大量尾矿外流。出现这种情况将会给下游居员和农田带来灾难，因此要经过科学试验来决定子坝的堆积高度。
另外，要严禁在尾矿坝的外层种植根深的植物，以免坝体吸吮大量的水，而使坝体的润湿程度增高从而降低坝体的稳定性。为环境保护的目的，可在坝体外层覆盖一层优质表土，种植草类植物。
尾矿粒级较细则需经水力旋流器分级，利用粗砂筑坝。
二、下游筑坝法
这种筑坝方法是利用粗粒尾矿在初期坝的基础上中心线向下游方向
移动来堆筑后期坝的方法。大型尾矿坝多采用这种方法加高后期坝和增加库容。在选矿厂投产初期利用尾矿堆坝，尾矿量满足不了要求，就需要在附近找取土点以土或采场运出的废石填方。这种筑坝方法比
较安全可靠，但筑坝费用较高，要有人长期筑坝。
三、中线筑坝法（中间加高法）
用这种方法加高尾矿坝，坝中心线与初期坝一致，利用粗粒尾矿筑坝时比下游筑坝法尾矿用量少并可在短期内形成一定的库容。
中间加高筑坝法使尾矿坝增高时，上游坝体表面（内坡面）应保持一定的坡度，才能保证后期坝的稳定性。
如果矿山开拓有废石产出，可以用来填筑尾矿坝。
尾矿库由哪几部分组成？建筑尾矿坝应注意哪些问题
尾矿库由排水设施、尾矿坝及尾故三部分组成。尾矿库的排水设施很重要，为了排除进入尾矿库的雨水或水溪水流，有山坡截洪沟或排水管路；为了排除尾矿中的渗透水及尾矿坝底的涌水有排水管路设施；还有尾矿澄清水的排水设施。
尾矿坝是尾矿设施中最重要的组成部分，它直接关系到尾矿库的安危。坝址选择应当尽量靠近选矿厂，使尾矿的输送距离最短，自流为宜，尾矿需要扬送到尾矿库时应该尽可能少扬送高度，坝址以下的土层和岩石结构要可靠，筑坝前应作工程地质评价。
尾矿库的初期坝可用土、石材料筑成，应当透水，即使用土筑坝，其外坡底部应该有透水的石料堆成透水体并铺有按一定粒级配成的砂石反滤层，以保护初期坝的稳定。
尾矿库仅靠初期坝（基坝）围成的库容是满足不了选矿厂的服务年限内堆积尾矿之用。初期坝是在选矿厂基建时建成的，设计时一般只考
虑堆存了一年左右的尾矿量。以后的尾矿库容靠选厂投产后的尾矿和附近的粘土堆坝来解决。尾矿中小于37微米的细粒不宜作为尾矿堆坝的材料，一般利用尾矿堆坝时在尾矿坝处用水力旋流器分级，其沉砂（粗粒级）留在靠坝体部位；旋流器溢流（细粒级）向尾矿池的尾部流动，并在流动过程中自然分级。稀而细的尾矿流得较远，在尾矿池的尾部有一段是澄清水区。
尾矿库内靠近坝体内坡堆存尾矿，既是新坝的基础，又是堆坝（或称子坝）的材料或部分材料。
尾矿库的型式有哪几种？尾矿库的选择应注意哪些问题？
尾矿库的型式可以分为三种类型。
尾矿物的型式及特点
山谷型在谷口一面筑坝初期坝短、工程量小、基建费用省、尾矿堆坝工作量小、管理维护简单、应优先选用。
山坡型利用山坡阶地二面或三面筑坝初期坝长、工程量大、基建费用高、尾砂堆坝工作量大、管理维护复杂、安全性差、只在无合适的山谷做尾矿库时才选用。
平地型在平地四面筑坝
尾矿库库址选择是否得当，对选矿厂投产期的效益关系甚大，选择得好，不仅工程量小、工期短、投资少、运行费用低，经济效益高而且安全可靠，环境效益亦好。因此，尾矿库的选择在很大程度上决定尾矿设施基建费和经营费的多少以及管理工作的繁简。因此，在尾矿库
的选择时应全面考虑下列问题：
（1）不占或少占耕地，不拆迁或少拆迁居民住宅；
（2）距选矿厂近，尾矿尽可能自流到尾矿库；
（3）有足够的库容，最好能满足选厂设计服务年限内储存的尾矿量。如果一个尾矿库不能满足而应分为几个时，每个尾矿库的服务年限不应少于五年；
（4）汇雨面积小，如较大时，坝址附近或库岸要有适宜开挖溢洪道的有利地形；
（5）坝址及库区工程地质条件好；
（6）处于厂区和大的居民点的下游，并最好位于下风向，不污染水源；
（7）库区附近有足够的筑坝材料；
（8）节省基本投资和经营费用。
尾矿处理方法有哪些？
根据选矿方法的不同，更主要的是尾矿性质的差异。对尾矿处理也就有着不同的方法。国内外目前对尾矿资源的综合利用可以概括为下列几种途径：
（1）首先要尽量做好尾矿资源有用组分的综合回收利用，采用先进技术和合理工艺对尾故进行再选，最大限度地回收尾矿中的有用组分，这样可以进一步减少尾矿数量。有的选矿厂向无尾矿方向发展。（2）尾矿用作矿山地下开采采空区的充填料，即水砂充填料或胶结
充填的集料。尾矿作为采空区的充填料使用，最理想的充填工艺是全尾矿充填工艺，但目前仍处于试验研究阶段。在生产上采用的都是利用尾矿中的粗粒部分作为采空区的充填料。选矿厂的尾矿排出后送尾矿制备工段进行分级，把粗砂部分送井下采空区，而细粒部分进入尾矿库堆存。这种尾矿处理方法在国内外均已得到应用。
（3）用尾矿作为建筑材料的原料：制作水泥、硅酸盐尾砂砖、瓦、加气混凝土、铸石、耐火材料、玻璃、陶粒、混凝土集料、微晶玻璃、溶渣花砖、泡沫玻璃和泡沫材料等。
（4）用尾砂修筑公路、路面材料、防滑材料、海岸造田等。
（5）在尾矿堆积场上覆土造田，种植农作物或植树造林。
6、把尾矿堆存在专门修筑的尾矿库内，这是多数选矿厂目前最广泛采用的尾矿处理方法。
金矿尾矿治理与利用
金矿尾矿粉尘遇风容易飞扬，遇水容易流失，长期堆放，不仅占用大量土地，同时尾矿粉尘对周围环境构成危害，本文就尾矿污染现状提出几种简易的治理方法。
一、金矿尾矿污染现状
招远市现有金矿尾矿库大小近百个，大多呈山谷形、山坡形和平地形，多数已被覆土造田，有的正在使用，还有一部分没有被覆土，也有的尽管压了一层薄土，易形成第二次粉尘危害，仍对周围环境造成影响。
由于金矿尾矿粒度细，并含有选矿药剂以及金属离子，一遇大风，特别是干季3—6月份，将尾矿刮得黄砂骤起、尘土飞扬，落入村庄、农田、果园，使其受到污染侵害，由此而产生的污染纠纷将直接影响社会的安定团结。
尾矿对环境污染大体通过三种途径：一种是尾矿在风化过程中逸出某些有害气体，经大气传播而进行污染；另一种是极细的尾矿砂粒受风吹的作用（甚至可形成沙暴），使周围环境受到严重危害；三是遇到汛期，尾矿连同雨水流入农田、河流，使地下水造成危害。
综上所述，尾矿污染占用土地，损害景观，破坏土壤，危害生物，淤塞河道，污染大气。
二、尾矿污染控制方法
对尾矿治理与利用最为简单可行的几种方法为：一是覆土造田。在土壤比较充足的地区可采用压10－20厘米土的方法而后进行种植，覆土造田，扩大耕地面积，这种方法适用于呈山谷形的尾矿库。多年来，这种方法已得到肯定。但也有因压的土层较薄，造成粉尘二次危害的。
二是利用有机废弃物，对金矿尾矿粉尘采取可降解性固化、封闭，选择适当种子和基质使植物迅速发芽、成长以达到植被利用目的。这种治理尾矿的方法，通过几年的实践，摸索出一些经验，尤其是在可降解固化废料选择、基质、种子选择以及种子发芽时间等做了多项实验，有些已获成功。它克服了占用大量土层、受尾矿形状所限治理不便等弊端。同时在沙漠治理等方面也大有可为。
三是利用尾矿开发建筑材料。金矿尾矿中某些硅砂、砂岩或脉石英可被利用。砖是最常见的建筑材料，用尾矿制砖也是很好的利用方法，掺加一定量的石灰制成砖坯，然后送入碳化室，通入CO2碳化成砖，不但增加砖的压强，减少取土毁地，而且经济效益也相当可观。尾矿还可以制造平板玻璃及各种保温、隔热、隔音材料。此外，从尾矿中提取有用金属技术也已被利用。
三、尾矿治理的几点建议
黄金生产过程中产生大量尾矿，因此要把握好几个问题。一是尾矿库选址必须合理，这是治理、利用尾矿库的基础。二是用完的尾矿库立即覆地造田。一般覆土厚度要在400—600毫米以上，适用种植，使尾矿不再污染。三是种植能覆盖坝面的植物，如枝叶稠密、根茎发达、繁殖容易的植物，能保土固堤，达到彻底的治理效果。四是对金矿尾矿，制定严格的管理制度，谁污染谁治理，谁开垦谁利用，奖罚兑现，保证尾矿治理的顺利实施。
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
不锈钢产品抛光方法： 目前常用的不锈钢抛光方法有以下几种： 1 机械抛光机械抛光是靠切削、材料表面塑性变形去掉被抛光后的凸部而得到平滑面的抛光方法，一般使用油石条、羊毛轮、砂纸等，以手工操作为主，特殊零件如回转体表面，可使用转台等辅助工具，表面质量要求高的可采用超精研抛的方法。超精研抛是采用特制的磨具，在含有磨料的研抛液中，紧压在工件被加工表面上，作高速旋转运动。利用该技术可以达到Ra0.008μm的表面粗糙度，是各种抛光方法中最高的。光学镜片模具常采用这种方法。 很显然本公司出售的麻轮用于此类型的抛光，主要用于不锈钢的中抛。 2 化学抛光化学抛光是让材料在化学介质中表面微观凸出的部分较凹部分优先溶解，从而得到平滑面。这种方法的主要优点是不需复杂设备，可以抛光形状复杂的工件，可以同时抛光很多工件，效率高。化学抛光的核心问题是抛光液的配制。化学抛光得到的表面粗糙度一般为数10μm。 3 电解抛光电解抛光基本原理与化学抛光相同，即靠选择性的溶解材料表面微小凸出部分，使表面光滑。与化学抛光相比，可以消除阴极反应的影响，效果较好。电化学抛光过程分为两步：（1）宏观整平溶解产物向电解液中扩散，材料表面几何粗糙下降，Ra＞1μm。（2）微光平整阳极极化，表面光亮度提高，Ra＜1μm。 4 超声波抛光将工件放入磨料悬浮液中并一起置于超声波场中，依靠超声波的振荡作用，使磨料在工件表面磨削抛光。超声波加工宏观力小，不会引起工件变形，但工装制作和安装较困难。超声波加工可以与化学或电化学方法结合。在溶液腐蚀、电解的基础上，再施加超声波振动搅拌溶液，使工件表面溶解产物脱离，表面附近的腐蚀或电解质均匀；超声波在液体中的空化作用还能够抑制腐蚀过程，利于表面光亮化。 5 流体抛光流体抛光是依靠高速流动的液体及其携带的磨粒冲刷工件表面达到抛光的目的。常用方法有：磨料喷射加工、液体喷射加工、流体动力研磨等。流体动力研磨是由液压驱动，使携带磨粒的液体介质高速往复流过工件表面。介质主要采用在较低压力下流过性好的特殊化合物（聚合物状物质）并掺上磨料制成，磨料可采用碳化硅粉末。 6 磁研磨抛光磁研磨抛光是利用磁性磨料在磁场作用下形成磨料刷，对工件磨削加工。这种方法加工效率高，质量好，加工条件容易控制，工作条件好。采用合适的磨料，表面粗糙度可以达到Ra0.1μm。
常用的抛光加工方法比较 一、常用的抛光法 古典拋光法是一种传统的玻璃冷加工方法，抛光机是采用摩擦轮传动，主轴转速较低，用平面摆动三角架施压，压力靠负荷重量调节。在工作时，负荷的压力始终是铅直向下的，加工平面时上下盘之间的垂直压力是稳定的。而在加工球面时摆动位置不同压力在球心方向的分量也不同，这样就造成上下盘的抛光压力随时变化，增加了球面表面形状不稳定性。拋光膜用松香柏油或毛毡等材料制作，由于抛光膜比较柔软，加工后的表面粗糙度小、表面缺陷小，可以加工较高精度等级的零件。在古典拋光过程中，抛光膜的表面的形状容易变化，需要随时进行修整，这就要求作业人员有较高操作技能，必须经过长期的培训才能掌握，而且生产效率低。在少量和小批量加工中，它有很大的优点，对于抛光机的精度要求低，抛光模的代用率较高，设备、工装夹具的投入费用小。 目前中等精度以下大批量生产的光学零件普遍都采用高速拋光的方法进行加工，高速拋光是以高主轴转速、大压力来提高拋光的效率。高速拋光机所使用的设备以准球心的方法设计的（另外还有一些是假准球心式拋光机，又有用平摆式拋光机用气压增加压力的方法充当高速拋光机），所谓准球心，是在拋光过程中负荷的压力始终指向被加工球面的球心位置。这种设计最大的优点就是，压力从始至终都是在拋光膜和工件接触面的正面施加的，正向压力的大小是不变的，这种方法加工的球面面形比较稳定。准球心抛光法对设备精度要求较高，抛光模必须是专用的，很少有代用的情况，设备、工装夹具的投入较大，只适合批量生产。由于抛光膜材料比较硬、耐磨性好，拋光膜修整的频率小，对作业员的技术要求较低，通过简单培训的新工人就可以上岗。 在各种文献中还常常提到范成法高速拋光机，这种拋光机的设计就象铣磨机一样，工件装在主轴上，拋光膜好象磨轮一样在辅轴上高速旋转对工件进行拋光，两条轴都不做摆动。这种拋光机的设计构思是非常好的，但是它对制造的精度要求非常高，由于受到成本的制约，目前还不能广泛的使用这种拋光机。首先说辅轴与主轴的对准精度，只要有微小的误差，加工出来的表面就不是球面了，象散差就出现了。工件表面的中心点不是高就是低，就象瓜的脐一样。如果以辅轴作为定位基准，拋光膜磨损以后基准点就产生变化，所以以辅轴为定位基准不合适。再说主轴一侧，每个工件的厚度是有区别的，以主轴为定位基准也不合适。每一个工件都有边厚差存在，每一次装后表面的位置、方向都有所变化，这个误差用拋光是无法消除的，拋光后的表面可能是一半亮一半不亮。工件装夹后要一次从铣磨或从精磨开始一直加工拋光，这样才能保证工件表面的有效加工。但是在同一个工位上同时进行不同工序的
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
塑胶模具抛光及其常用方法 模具抛光就是利用适当的抛光器具（如砂纸、抛光膏、油石、抛光机或其他机械抛光器具）对已加工了的模具型腔表面进行微量的再次加工，使该表面达到要求的尺寸、表面粗糙度要求。一般是最后一道工序（再有的话就是研磨）。 模具抛光有两个目的；一个是增加模具的光洁度，使模具出的产品的表面光洁、漂亮、美观，另一个是可以模具很容易脱模，使塑料不被粘在模具上而脱不下来。模具抛光一般是使用油石，砂纸，抛光膏等，对模具的型腔表面进行打磨，使模具的工作表面能够光亮如镜的过程，称之为模具打磨。 那么，我们在对模具进行抛光的时候，要怎么去作业才能使抛光效果最好呢？ 模具抛光不要一开始就使用最细的油石，砂纸，研磨抛光膏，那样是不能把粗的纹路抛掉的。那样打磨出来的活的表面看起来很光亮，但是侧面一照，粗的纹路就显现出来了。因此，要先从粗的油石，砂纸或者研磨抛光膏打磨，然后再换比较细的油石，砂纸或研磨抛光膏进行打磨，最后再用最细的研磨抛光膏进行抛光。这样看起来好像比较麻烦，工序多。实际上并不慢，一道接一道的工序，将前面粗的加工纹路打磨掉，再进行下面的工序，不会返工，一次走下来就可以使模具的光洁度达到要求。 下面来介绍几种抛光方法： 1、磁研磨抛光 是利用磁性磨料在磁场作用下形成磨料刷，对工件磨削加工。这种方法加工效率高，质量好，加工条件容易控制，工作条件好。采用合适的磨料，表面粗糙度可以达到Ra0.1μm。
2、机械抛光基本方法 在塑料模具加工中所说的抛光与其他行业中所要求的表面抛光有很大的不同，严格来说，模具的抛光应该称为镜面加工。它不仅对抛光本身有很高的要求并且对表面平整度、光滑度以及几何精确度也有很高的标准。表面抛光一般只要求获得光亮的表面即可。镜面加工的标准分为四级：AO=Ra0.008μm，A1=Ra0.016μm，A3=Ra0.032μm， A4=Ra0.063μm，由于电解抛光、流体抛光等方法很难精确控制零件的几何精确度，而化学抛光、超声波抛光、磁研磨抛光等方法的表面质量又达不到要求，所以精密模具的镜面加工还是以机械抛光为主。 2.1机械抛光基本程序 要想获得高质量的抛光效果，最重要的是要具备有高质量的油石、砂纸和钻石研磨膏等抛光工具和辅助品。而抛光程序的选择取决于前期加工后的表面状况，如机械加工、电火花加工，磨加工等等。机械抛光的一般过程如下： （1）粗抛 经铣、电火花、磨等工艺后的表面可以选择转速在35 000—40 000 rpm的旋转表面抛光机或超声波研磨机进行抛光。常用的方法有利用直径Φ3mm、WA # 400的轮子去除白色电火花层。然后是手工油石研磨，条状油石加煤油作为润滑剂或冷却剂。一般的使用顺序为#180 ~ #240 ~ #320 ~ #400 ~ #600 ~ #800 ~ #1000。许多模具制造商为了节约时间而选择从#400开始。 （2）半精抛 半精抛主要使用砂纸和煤油。砂纸的号数依次为：#400 ~ #600 ~ #800 ~ #1000 ~ #1200 ~ #1500。实际上#1500砂纸只用适于淬硬的模具钢（52HRC以上），而不适用于预硬钢，因为这样可能会导致预硬钢件表面烧伤。 （3）精抛 精抛主要使用钻石研磨膏。若用抛光布轮混合钻石研磨粉或
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
毕业论文 题目：求极限的方法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 毕业年限：2013 学生姓名：俞琴 学号：200971010249 指导教师：伏生茂
求极限的方法 俞 琴 （数学与应用数学 200971010249） 摘要：在数学分析中，极限思想始终贯穿于其中，求极限的方法也显得至关重 要，求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等，除了这些常用方法外，还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结，通过一些典型的实例，对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析，使方法更具针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余. 关键词：极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性 一、极限的定义及性质 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础. 极限概念是数学分析中最基本的概念，因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达，且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述，如函数)(x f y =在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分、三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限便为学习数学分析打好了基础. （一）定义 定义1 设}{n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作
模具抛光的工艺流程及技巧 抛光在模具制作过程中是很重要的一道工序，随着塑料制品的日溢广泛应用，对塑料制品的外观品质要求也越来越高，所以塑料模具型腔的表面抛光质量也要相应提高，特别是镜面和高光高亮表面的模具对模具表面粗糙度要求更高，因而对抛光的要求也更高。抛光不仅增加工件的美观，而且能够改善材料表面的耐腐蚀性、耐磨性，还可以方便于后续的注塑加工，如使塑料制品易于脱模，减少生产注塑周期等。目前常用的抛光方法有以下几种： ㈠机械抛光 机械抛光是靠切削、材料表面塑性变形去掉被抛光后的凸部而得到平滑面的抛光方法，一般使用油石条、羊毛轮、砂纸等，以手工操作为主，特殊零件如回转体表面，可使用转台等辅助工具，表面质量要求高的可采用超精研抛的方法。超精研抛是采用特制的磨具，在含有磨料的研抛液中，紧压在工件
被加工表面上，作高速旋转运动。利用该技术可以达到Ra0.008μm的表面粗糙度，是各种抛光方法中最高的。光学镜片模具常采用这种方法。 ⑴机械抛光基本程序 要想获得高质量的抛光效果，最重要的是要具备有高质量的油石、砂纸和钻石研磨膏等抛光工具和辅助品。而抛光程序的选择取决于前期加工后的表面状况，如机械加工、电火花加工，磨加工等等。机械抛光的一般过程如下： ①粗抛经铣、电火花、磨等工艺后的表面可以选择转速在35 000—40 000 rpm的旋转表面抛光机或超声波研磨机进行抛光。常用的方法有利用直径Φ3mm、WA # 400的轮子去除白色电火花层。然后是手工油石研磨，条状油石加煤油作为润滑剂或冷却剂。一般的使用顺序为#180 ~ #240 ~ #320 ~ #400 ~ #600 ~ #800 ~ #1000。油石抛光方法，这个作业是最重要的高难度作业，根据加工品的不同规格，分别约70度的角位均衡的进行交叉研磨。最理想
求极限的常用方法（精髓版） 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim
求极限的常用方法 摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限；计算方法 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
玉石常见的3种抛光方法 摘要：抛光粉的配法：钻石抛光粉一般是用食用油或水调配成膏状即抛光。其他抛光膏一般绿色的为氧化铬，橙红色的为氧化铈，震动抛光机一般适合大批量的抛光，而且一般是菱角不是很多的产品拿去抛光。一般抛光时间比较长。一般要一天一宿甚至更长时间，圆盘抛光机通常用抗压力较强的硬质材料如金属、塑料、木头等制作抛光盘。常将以金属制作的抛光盘称为硬盘，木头、塑料甚至沥青制作的抛光盘称中硬盘。玉石加工因多以弧面或曲面多见，所以更常用软质抛光工具。 奇石“是一种具有观赏价值的天然石质艺术品。”奇石的美，美在天然神奇，虽然打磨奇石破坏了奇石的自然属性，有违“求原貌”的赏石观。但不可否认，必要的打磨抛光提高了观赏性，增加了艺术性。这里讨论的是经过简单的处理使石头更具观赏性，与刻意的造假，人为的加工不是一个意思。 1、粗加工：一般使用吊磨机，算是艺术的创作。粗坯加工分局部加工和整体加工。工具精度不高，加工技术也很有限。局部加工是对原石残缺面或水洗度不够的“死面”进行粗坏打磨。一般是把残破的尖锐部分磨圆，或把“死面”的一层粗糙表皮磨掉。整体加工是一些经敲击取下的山石石块或毫无水水冲度的块状原石，则全部将石表磨掉，再磨制
成需要的形状。 2、精磨：用1000#-1200#进口磨片研磨，将粗坯上的原磨痕完全清除掉，有经验的工匠们大都采用“注水磨”的方法，可以很好的掌握磨的分寸。 3、抛光：用软磨具加抛光膏进行机械抛光，抛光后可达镜而效果。 奇石的打磨抛光是“去璞，是为美女洗去脸上的泥污，打磨出的纹理和色彩并没有改变，所不同的就是没有了污垢，少了粗糙，隐含的天然纹理更加灿烂夺目”。 抛光有很多种方法,有带砂轮的钻头,这是粗打磨,再细点砂布,砂布又分型号,粗细,基本上用人手不能感觉到沙粒的,工匠可以将砂布剪下来,粘贴在钻头上,进行打磨,当然在打磨时候是要加水的,这样更滑些.古法对玉石的加工和抛光是先用皮，后用丝绸。现在都用现代化的工具了。先把玉雕刻成你要的形状，然后再撂进震动抛光机里用钻石粉进行千次打磨。常见的3种抛光方法： 1、使用吊磨机抛光。 2、使用圆盘抛光机抛光。 3、震动抛光机一般适合大批量的抛光。
求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即
222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?
目前常用的超光滑表面加工方法，是由传统的研磨抛光加工技术改进而来的，如浴法抛光、浮法抛光等，此类方法材料去除率低，也能够达到亚纳米量级的表面粗糙度，但很难避免机械接触式抛光对工件表面带来的亚表面损伤和加工变质层。各种基于新原理的抛光方法逐渐被提出，如离子束抛光、等离子体辅助化学抛光、液体喷射抛光、磁流变抛光、化学机械抛光和弹性发射加工等。其中日本大阪大学学者发明的弹性发射加工方法利用工件材料与磨料之间发生固相反应实现原子级材料去除，被认为是获得最高表面质量的加工方法，可以达到RMS 0.1nm 的表面粗糙度，但其加工效率很低，并且设备复杂，维护成本高。纳米颗粒射流抛光是借鉴了弹性发射加工的去除原理的一种超光滑表面加工方法，结合数控技术可以实现光学零件纳米级粗糙度、无表面损伤的精确抛光，但仍然存在抛光效率不高的问题。 光学元件的加工一般都需要三大基本步骤：铣磨、精磨和抛光，其中铣磨和抛光是最主要的两道工序。抛光的目的是在去除表面破坏层的同时精修面形。现行的抛光理论认为抛光是三种作用的结果：磨料与工件之间的机械磨削、抛光液的化学作用和工件表面的热流动。这些理论对于超光滑表面加工已经不完全适用，基于新原理的超光滑表面加工方法不断涌现。 液体喷射抛光技术：液体喷射抛光技术(Fluid Jet Polishing, FJP)是近几年提出的用于加工脆性材料光学元件的新方法。液体喷射抛光技术系统如图1-4 a)所示，其思想源于磨料射流加工技术，高压泵加速混有磨料粒子的抛光液，利用磨料粒子对工件表面材料的冲击和剪切作用实现材料去除。该方法通过控制液体喷射的压力、方向及驻留时间实现对工件面形的定量修正。
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,
例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：
抛光机的选择和常用的磨料磨具抛光方法 抛光机关于许多的出产公司是十分的重要的，有十分多的工序具有了抛光机之后就会变得愈加的简略，所以抛光机的挑选天然就成为了一项十分重要的作业，挑选一款好的抛光机不管是关于公司仍是小我都是至关重要的。所以在挑选抛光机的时分仍是应该十分的稳重，在知道所有的产物的常识的基础上，能够找到最棒的抛光机然后进步出产的功率关于公司的开展也是十分的重要的，挑选抛光机其实仍是有必定的窍门的，首要就是看一下出产厂家的资质是不是够好，由于大厂家的产物在质量上才会有充沛的保证。 抛光机的操作能否简略也是一项十分重要的查核的方针，若是抛光机的操作太过于杂乱的话就会招致公司的职工不能在最短的时间内把握到新的机器的使用方法，也是十分耗费本钱的一项作业，所以有的时分简略的操作，也是十分吸引人的一个优势，所以易操作的抛光机仍是十分的受欢迎的，抛光机能够替代大家做十分多的作业，让双手的作业能够变得愈加的轻松。 挑选抛光机，大厂家固然是十分的重要，操作简略也是十分的有吸引力，可是最重要的仍是出来的作用必定要好，不然所有的一切都是没有任何的含义的，所以不管是怎么的进行挑选，归根到底就是就能够必定要切切实实的在出产线上有好的体现，能够给公司带来看得见的经济效益，这样就能够到达一个抛光机的真实的意图。怎么挑选抛光机关于许多人来说都是十分的重要的，所以把握一些实践的挑选抛光机的窍门，就能够更大几率的成功挑选到最实惠并且功能也是最棒的抛光机了。在磨料磨具的抛光中，有很多种方法是可以采用的，东莞维益机械厂，专门至力于抛光机和抛光技术方法的研究工作，公司10多年来，一直以客户的需要为出发点，以提高抛光技术和方法为要本，不断开拓创新，东莞维益机械厂我们总结一些抛光方法： 一、化学抛光：化学抛光是让材料在化学介质中表面微观凸出的部分较凹部分优先溶解，从而得到平滑面。这种方法的主要优点是不需复杂设备，可以抛光形状复杂的工件，可以同时抛光很多工件，效率高。化学抛光的核心问题是抛光液的配制。 二、机械抛光：机械抛光是靠抛光机设备来切削材料表面塑性变形去掉被抛光后的凸部而得到平滑面的抛光方法，一般使用油石条、羊毛轮、砂纸，砂带，尼龙轮等，以手工操作抛光机为主，特殊零件如回转体表面，可使用转台等辅助工具，表面质量要求高的可采用超精研抛的方法。超精研抛是采用磨料特制的磨具，在含有磨料的研抛液中，紧压在工件被加工表面上，作高速旋转运动。是各种抛光方法中最高的。光学镜片模具常采用这种方法。 三、流体抛光：流体抛光是依靠高速流动的液体及其携带的磨粒冲刷工件表面达到抛光的目的。常用方法有：磨料的金刚砂喷射加工、液体喷射加工、流体动力研磨等。流体动力研磨是由液压驱动，使携带磨粒的液体介质高速往复流过工件表面。介质主要采用在较低压力下流过性好的特殊化合物并掺上磨料制成，磨料可采用磨料磨具的碳化硅粉末。 四、电解抛光：电解抛光基本原理与化学抛光相同，即靠选择性的溶解材料表面微小凸出部分，使表面光滑。与化学抛光相比，可以消除阴极反应的影响，效果较好。电化学抛光过程分宏观整平，微观整平。 五、超声波抛光：将工件放入磨料悬浮液中并一起置于超声波场中，依靠超声波的振荡作用，使磨料在工件表面磨削抛光。超声波加工宏观力小，不会引起工件变形，但工装制作和安装较困难。超声波加工可以与化学或电化学方法结合。在溶液腐蚀、电解的基础上，再施加超声波振动搅拌溶液，使工件表面溶解产物脱离，表面附近的腐蚀或电解质均匀;超声波在液体中的空化作用还能够抑制腐蚀过程，利于表面光亮化。
求极限的几种常用方法 一、 约去零因子求极限 例如求极限 ，本例中当 时， ，表明 与1无限接近，但 ,所以 这 一因子可以约去。 二、 分子分母同除求极限 求极限 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。? 三、 分子(母)有理化求极限 例:求极限 ?? 分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 例：求极限 30sin 1tan 1lim x x x x +-+→= () x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ = 300 sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2 130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。 四、 应用两个重要极限求极限 两个重要的极限 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例：求极限 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑 ，最后凑指数部分。
五、利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例：求 因为,,所以 六、用等价无穷小量代换求极限 常见等价无穷小有： 当时,， ， 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 例： 例：求极限 ? 七、利用函数的连续性求极限 这种方法适合求复合函数的极限。如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。 也就说，极限号与可以互换顺序。 例：求 令 因为在点处连续 所以 八、用洛必达法则求极限 洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛
目前常用的抛光方法 目前常用的抛光方法有以下几种： 1.1 机械抛光 机械抛光是靠切削、材料表面塑性变形去掉被抛光后的凸部而得到平滑面的抛光方法，一般使用油石条、羊毛轮、砂纸等，以手工操作为主，特殊零件如回转体表面，可使用转台等辅助工具，表面质量要求高的可采用超精研抛的方法。超精研抛是采用特制的磨具，在含有磨料的研抛液中，紧压在工件被加工表面上，作高速旋转运动。利用该技术可以达到Ra0.008 μ m 的表面粗糙度，是各种抛光方法中最高的。光学镜片模具常采用这种方法。 1.2 化学抛光 化学抛光是让材料在化学介质中表面微观凸出的部分较凹部分优先溶解，从而得到平滑面。这种方法的主要优点是不需复杂设备，可以抛光形状复杂的工件，可以同时抛光很多工件，效率高。化学抛光的核心问题是抛光液的配制。化学抛光得到的表面粗糙度一般为数10 μ m 。 1.3 电解抛光 电解抛光基本原理与化学抛光相同，即靠选择性的溶解材料表面微小凸出部分，使表面光滑。与化学抛光相比，可以消除阴极反应的影响，效果较好。电化学抛光过程分为两步： （1 ）宏观整平溶解产物向电解液中扩散，材料表面几何粗糙下降，Ra ＞ 1 μ m 。 （2 ）微光平整阳极极化，表面光亮度提高，Ra ＜ 1 μ m 。 1.4 超声波抛光 将工件放入磨料悬浮液中并一起置于超声波场中，依靠超声波的振荡作用，使磨料在工件表面磨削抛光。超声波加工宏观力小，不会引起工件变形，但工装制作和安装较困难。超声波加工可以与化学或电化学方法结合。在溶液腐蚀、电解的基础上，再施加超声波振动搅拌溶液，使工件表面溶解产物脱离，表面附近的腐蚀或电解质均匀；超声波在液体中的空化作用还能够抑制腐蚀过程，利于表面光亮化。 1.5 流体抛光 流体抛光是依靠高速流动的液体及其携带的磨粒冲刷工件表面达到抛光的目的。常用方法有：磨料喷射加工、液体喷射加工、流体动力研磨等。流体动力研磨是由液压驱动，使携带磨粒的液体介质高速往复流过工件表面。介质主要采用在较低压力下流过性好的特殊化合物（聚合物状物质）并掺上磨料制成，磨料可采用碳化硅粉末。 1.6 磁研磨抛光 磁研磨抛光是利用磁性磨料在磁场作用下形成磨料刷，对工件磨削加工。这种方法加工效率高，