一、中考数学压轴题
1.对于平面内的点M 和点N ,给出如下定义:点P 为平面内的一点,若点P 使得
PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形,则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P .如图,点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点.在平面直角坐标系xOy 中,点
O 是坐标原点.
(1)已知点(2,0)A ,在点123(0,2),(1,3),(1,3)P P P -,4(2,2)P -中,是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________.
(2)已知点(3,0)A ,点C 在直线2y x b =+上,若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点,求实数b 的取值范围.
(3)点D 是x 轴上的动点,(,0),(2,0)D t E t -,点(,)F m n 是以D 为圆心,2为半径的圆上一个动点,且满足0n ≥.直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ,,若线段
HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点,请直接写出t 的取值范围.
2.如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AB=CD=AD=5,cos 4
5
B =,点O 是边B
C 上的动点,
以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ,联结AM ,作
∠CMN=∠BAM ,射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N .
(1)当点E 为边AB 的中点时,求DF 的长;
(2)分别联结AN 、MD ,当AN//MD 时,求MN 的长; (3)将
O 绕着点M 旋转180°得到'O ,如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切,求
O 的半径长.
3.综合与实践
4A 纸是我们学习工作最常用的纸张之一, 2,我们定义:长宽之比是
2的矩形纸片称为“标准纸”.
操作判断:
()1如图1所示,矩形纸片2()ABCD AD AB =
是一张“标准纸”,将纸片折叠一次,使点
B 与D 重合,再展开,折痕EF 交AD 边于点,E 交B
C 边于点F ,若1,AB =求CF 的
长,
()2如图2,在()1的基础上,连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ,连接,BE 判断四边形
BFDE 的形状,并说明理由.
探究发现:
()3如图3所示,在(1)和(2)的基础上,展开纸片后,将纸片再折叠一次,使点A 与点C 重
合,再展开,痕MN 交AD 边于点M ,BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形
ENFM 剪下,探究纸片ENFM 是否为“标准纸”,说明理由.
4.如图,在等边ABC ?中,延长AB 至点D ,延长AC 交BD 的中垂线于点E ,连接
BE ,DE .
(1)如图1,若310DE =,23BC =CE 的长;
(2)如图2,连接CD 交BE 于点M ,在CE 上取一点F ,连接DF 交BE 于点N ,且
DF CD =,求证:12
AB EF =;
(3)在(2)的条件下,若45AED ∠=?直接写出线段BD ,EF ,ED 的等量关系
5.如图①,四边形ABCD 中,//,90AB CD ADC ∠=?.
(1)动点M 从A 出发,以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止,设运动时间为a ,AMD ?的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示,求AD CD 、的长.
(2)如图③动点P 从点A 出发,以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止,同时,动点Q 从点C 出发,以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止,设运动时间为t ,当Q 点运动到AD 边上时,连接CP CQ PQ 、、,当CPQ ?的面积为8时,求t 的值.
6.如图,在菱形ABCD 中,AB a ,60ABC ∠=?,过点A 作AE BC ⊥,垂足为E ,
AF CD ⊥,垂足为F .
(1)连接EF ,用等式表示线段EF 与EC 的数量关系,并说明理由;
(2)连接BF ,过点A 作AK BF ⊥,垂足为K ,求BK 的长(用含a 的代数式表示); (3)延长线段CB 到G ,延长线段DC 到H ,且BG CH =,连接AG ,GH ,AH . ①判断AGH 的形状,并说明理由;
②若1
2,(33)2
ADH
a S
==
+,求sin GAB ∠的值.
7.如图,在ABC ?中,14AB =,45B ∠=?,4
tan 3
A =
,点D 为AB 中点.动点P 从点D 出发,沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动,点P 关于点D 对称点为点Q ,以PQ 为边向上作正方形PQMN .设点P 的运动时间为t 秒.
(1)当t =_______秒时,点N 落在AC 边上.
(2)设正方形PQMN 与ABC ?重叠部分面积为S ,当点N 在ABC ?内部时,求S 关于
t 的函数关系式.
(3)当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ?的分为面积相等的两部分时,直接写出
t 的值.
8.如图,直线y =
12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,抛物线y =ax 2﹣3
2
x+c 经过A ,B 两点,与x 轴的另一交点为C . (1)求抛物线的解析式;
(2)M 为抛物线上一点,直线AM 与x 轴交于点N ,当
3
2
MN AN =时,求点M 的坐标; (3)P 为抛物线上的动点,连接AP ,当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.
9.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A (﹣3,0)、B (2,0)两点,与y 轴交于点C (0,3). (1)求抛物线的解析式;
(2)点E (m ,2)是直线AC 上方的抛物线上一点,连接EA 、EB 、EC ,EB 与y 轴交于D .
①点F 是x 轴上一动点,连接EF ,当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时,求出线段EF 的长;
②点G 为y 轴左侧抛物线上一点,过点G 作直线CE 的垂线,垂足为H ,若∠GCH =∠EBA ,请直接写出点H 的坐标.
10.对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ,,如果满足x y a += (x ≥0,a 为常数),那么我们称这样的点叫做“特征点”. (1)当2≤a ≤3时,
①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中,满足此条件的特征点为__________________; ②⊙W 的圆心为(,0)W m ,半径为1,如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点,请画出示意图,并直接写出m 的取值范围; (2)已知函数()1
0Z x x x
=
+>,请利用特征点求出该函数的最小值.
11.综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形,
60C ?∠=
(1)把菱形OABC 先向右平移4个单位后,再向下平移()03m m <<个单位,得到菱形
''''O A B C ,在向下平移的过程中,易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形,如图2.试探究:当m 为何值时,平行四边形'AEC F 为菱形:
(2)如图,在()1的条件下,连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点,H 为
AC 上一动点,I 为''B O 上一动点,连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值,并直
接写出此时,H I 点的坐标.
12.注意:为了使同学们更好地解答本题的第(Ⅱ)问,我们提供了一种分析问题的方法,你可以依照这个方法按要求完成本题的解答,也可以选用其他方法,按照解答题的一般要求进行解答即可.
如图,将一个矩形纸片ABCD ,放置在平面直角坐标系中,()0,0A ,()4,0B ,
()0,3D ,M 是边CD 上一点,将ADM 沿直线AM 折叠,得到ANM .
(Ⅰ)当AN 平分MAB ∠时,求DAM ∠的度数和点M 的坐标; (Ⅱ)连接BN ,当1DM =时,求
ABN 的面积;
(Ⅲ)当射线BN 交线段CD 于点F 时,求DF 的最大值.(直接写出答案)
在研究第(Ⅱ)问时,师生有如下对话:
师:我们可以尝试通过加辅助线,构造出直角三角形,寻找方程的思路来解决问题. 小明:我是这样想的,延长MN 与x 轴交于P 点,于是出现了Rt NAP △. 小雨:我和你想的不一样,我过点N 作y 轴的平行线,出现了两个Rt NAP △.
13.附加题:在平面直角坐标系中,抛物线2
1y ax a
=-与y
轴交于点A ,点A 关于x 轴的对称点为点B , (1)求抛物线的对称轴;
(2)求点B 坐标(用含a 的式子表示); (3)已知点11,
P a ??
???
,(3,0)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图像,求a 的取值范围. 14.(1)探究发现
数学活动课上,小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位,你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗?”
经过一番讨论,小组成员展示了他们的解答过程:
在直线21y x =-上任取点()01A -,, 向左平移3个单位得到点()31,
'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+.
因为2y x n =+过点()31,
'--A , 所以61n -+=-, 所以5n =,
填空:所以平移后所得直线所对应函数表达式为 (2)类比运用
已知直线21y x =-,求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式; (3)拓展运用
将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°,请直接写出:旋转后所得直线所对应的函数表达式 .
15.已知:菱形 ABCD ,点 E 在线段 BC 上,连接 DE ,点 F 在线段 AB 上,连接 CF 、DF , CF 与 DE 交于点 G ,将菱形 ABCD 沿 DF 翻折,点 A 恰好落在点 G 上. (1)求证:CD=CF ;
(2)设∠CED = x ,∠DCF = y ,求 y 与 x 的函数关系式;(不要求写出自变量的取值范围)
(3)在(2)的条件下,当x=45°时,以CD 为底边作等腰△CDK,顶角顶点K 在菱形ABCD 的内部,连接GK,若GK∥CD,CD=4 时,求线段KG 的长.
16.如图,在等边△ABC中,AB=BC=AC=6cm,点P从点B出发,沿B→C方向以1.5cm/s 的速度运动到点C停止,同时点Q从点A出发,沿A→B方向以1cm/s的速度运动,当点P停止运动时,点Q也随之停止运动,连接PQ,过点P作BC的垂线,过点Q作BC的平行线,两直线相交于点M.设点P的运动时间为x(s),△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y(cm2)(规定:线段是面积为0的图形).
(1)当x= (s)时,PQ⊥BC;
(2)当点M落在AC边上时,x= (s);
(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
17.已知AM//CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系;
(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:∠ABD=∠C;
(3)如图3,在(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,
BE 平分∠ABD ,若∠FCB +∠NCF =180°,∠BFC =5∠DBE ,求∠EBC 的度数.
18.(1)如图1,A 是⊙O 上一动点,P 是⊙O 外一点,在图中作出PA 最小时的点A . (2)如图2,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6,Q 是⊙C 上一动点,在线段AB 上确定点P 的位置,使PQ 的长最小,并求出其最小值. (3)如图3,矩形ABCD 中,AB =6,BC =9,以D 为圆心,3为半径作⊙D ,E 为⊙D 上一动点,连接AE ,以AE 为直角边作Rt △AEF ,∠EAF =90°,tan ∠AEF =
1
3
,试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值,如果有,请求出最大或最小值,否则,请说明理由.
19.在菱形ABCD 中,P 为直线DA 上的点,Q 为直线CD 上的点,分别连接PC ,
PQ ,且PC PQ =.
(1)若60B ∠=?,点P 在线段DA 上,点Q 在线段CD 的延长线上,如图①,易证:
DQ PD AB +=(不需证明);
(2)如图②,若∠B =120°,点P 在线段DA 上,点Q 在线段CD 的延长线上,如图③,猜想线段DQ ,PD 和AB 之间有怎样的数量关系?请直接写出对图②,图③的猜想,并选择其中一种情况给予证明.
20.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上,两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 322m m -62=AB 与x 轴交于点,E 点
F 是边AD 上一动点,连接FB ,分别与x 轴,y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =.
(1)求m 的值;
(2)若45,APF ∠=?求证:AHF HFA ∠=∠;
(3)若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为 .(用含n 的代数式表示) 21.已知:AB 为⊙O 的直径,点C 为弧AB 的中点,点D 为⊙O 上一点,连接CD ,交AB 于点M ,AE 为∠DAM 的平分线,交CD 于点E .
(1)如图1,连接BE ,若∠ACD=22°,求∠MBE 的度数;
(2) 如图2,连接DO 并延长,交⊙O 于点F ,连接AF ,交CD 于点N . ①求证:DM 2+CN 2=CM 2;
②如图3,当AD=1,10时,请直接写出....
线段ME 的长. 22.已知抛物线2
y ax bx c =++过点(6,0)A -,(2,0)B ,(0,3)C -. (1)求此抛物线的解析式;
(2)若点H 是该抛物线第三象限的任意一点,求四边形OCHA 的最大面积; (3)若点Q 在y 轴上,点G 为该抛物线的顶点,且45GQA ∠=?,求点Q 的坐标. 23.如图所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A=90°,AB=12,BC=21,AD=16.动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 同时从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t (秒). (1)设△DPQ 的面积为S ,求S 与t 之间的关系式; (2)当t 为何值时,四边形PCDQ 是平行四边形?
(3)分别求出当t 为何值时,①PD=PQ ;②DQ=PQ .
24.如图①,在ABC ?中,90C ∠=?,10,8AB BC ==.点,D E 分别是边,AC BC 上的动点,连接DE .设CD x =(0x >),BE y =,y 与x 之间的函数关系如图②所示.
(1)求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式; (2)将DCE 沿DE 翻折,得DME .
①点M 是否可以落在ABC ?的某条角平分线上?如果可以,求出相应x 的值;如果不可以,说明理由;
②直接写出....DME 与ABC ?重叠部分面积的最大值及相应x 的值.
25.定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角
形称为“关联等腰三角形”.如图,在ABC ?与AED ?中,,BA BC EA ED == ,且
,ABC
AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为α,连接
,EB DC ,则称
DC
EB
会为“关联比". 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题: [特例感知]
()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且90α?
=时,
①在图1中,若点E 落在AB 上,则“关联比”
DC
EB
=
②在图2中,探究ABE ?与ACD ?的关系,并求出“关联比”
DC
EB
的值.
[类比探究]
()2如图3,
①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且120a ?=时,“关联比”
DC
EB
= ②猜想:当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且n α=?时,“关联比”DC
EB
= (直接写出结果,用含n 的式子表示) [迁移运用]
()3如图4, ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”.若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点
P 为AC 边上一点,且1PA =,点E 为PB 上一动点,求点E 自点B 运动至点P 时,点
D 所经过的路径长.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、中考数学压轴题 1.E
解析:(1)24P P ,;(2)353b -≤<;(3)6425t >≥-【解析】 【分析】
(1)根据等腰锐角点的定义即得;
(2)先确定极限位置:直线与圆相切于第四象限及直线过(0,3)时b 的值,进而确定范围;
(3)分类讨论:E 点和F 点位于线段HK 左侧;E 点和F 点位于线段HK 右侧;利用一线三垂直模型及相似三角形的性质确定极限位置t 的值,进而确定范围. 【详解】
(1)∵点P 是点O 关于点A 的锐角等腰点,(2,0)A ∴OA=OP=2 如下图:
当1(0,2)P 时,OP 1=2,OP 1⊥OA ,不成立; 当(2
3P 时,过P 2
作P 2
M ⊥x 轴
∴OM=1,P 23
∴在2Rt P MO 中,22222OP OM P M =+= ∵290P OA ∠ ∴点(2
3P 是点O 关于点A 的锐角等腰点;
当(
33P -时,390POA
>?∠ ∴点(
33P -不是点O 关于点A 的锐角等腰点; 当4
2,2P 时,过P 4
作P 4
N ⊥x 轴
∴2,P 42
∴在4Rt P NO 中,22
442
OP ON P N =+=,445P ON =?∠ ∴点4
2,2P 是点O 关于点A 的锐角等腰点.
∴点O 关于点A 的锐角等腰点有(23P ,4
2,2P
故答案为:24P P ,
(2)以O 为圆心,OA=3为半径作圆,当直线2y x b =+与圆O 相切与第四象限时,切点即为点O 关于点A 的锐角等腰点,如下图点C .
由题意,得:OB=-b ,OD=
2
b ∴在Rt DOB 中,225DB OD OB =+= ∵111
22
OD OB DB OC = ∴
21532b =? 解得:35b =-如上图:当直线2y x b =+过点E ()03,
时,3b =,OE ⊥OA ∴要使在直线2y x b =+上存在点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点,3b < 综上所述:353b -≤<时,直线2y x b =+上存在点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点 . (3)如下图:
当E F ,在直线左侧,4EF =时,过E 作EG HK ⊥ ∵90KOH EGH KHO GHE ==?∠=∠∠∠, ∴H EGH KO ∽ ∴
KO KH
EG EH
= ∵()()()()0420020K H D t E t -,
,,,,,, ∴KO=4,KH=5EH=4-t ∴EG=8525425
t
-=
∵要使线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点,则4EG ≤ ∴
85545
t
≤
∴425t ≥-
当E 点和F 点位于线段HK 右侧时,即:4t ≥时,如下图,过E 作EB ⊥EF ,过B 作BM ⊥x 轴,过点F 作FL ⊥x 轴
当BE EF =时,F BME EL ≌ ∴BM EL =,ME FL =
∵()F m n ,,()(),020D t E t -,,
∴ME FL n ==,2BM EL m t ==-+ ∴2OM t n =-- ∴()22B t n m t ---+,
将点()22B t n m t ---+,代入直线24y x =-+得:
()2224m t t n -+=---+
解得:62t n m =+-
∴当62t n m <+-时,线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点. ∵2m t ≥-,20n ≥≥
∴62622212t n m t t <+-≤+?-+=-,即6t <
综上所述:6425t >≥-时,线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点 【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义,全等三角形的判定及性质,切线的性质,相似三角形的判定及性质,圆的定义及一次函数,解题关键是将动点问题转化问各个状态,进而应用等量关系列出方程求解,得出极限状态的未知量的值,进而得出取值范围.
2.D
解析:(1)DF 的长为15
8;(2)MN 的长为5;(3)O 的半径长为258
. 【解析】 【分析】
(1)作EH BM ⊥于H ,根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形,从而利用
cos 4
5
B =
解直角三角形即可求算半径,再根据平行四边形的性质求FD 即可; (2)先证AMB CNM ∠=∠,再证MAD CNM ∠=∠,从而证明AFM NFD ?~?,得到
AF MF
AF DF NF MF NF DF =?=,再通过平行证明AFN DFM ?~?,从而得到AF NF
AF MF NF DF DF MF
=?=,通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =, 从而得出答案.
(3)通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=?,再利用
cos 4
5
B =
解三角函数即可得出答案. 【详解】
(1)如图,作EH BM ⊥于H :
∵E 为AB 中点,45,cos 5
AB AD DC B ====
∴52AE BE ==
∴cos 4
5
BH B BE =
= ∴2BH =
∴2
253222EH ??=-= ???
设半径为r ,在Rt OEH ?中:
()2
2
2322r r ??
=-+ ???
解得:2516
r =
∵,E O 分别为,BA BM 中点
∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠ 又∵CMN BAM ∠=∠ ∴CMN OBE ∠=∠ ∴//MF AB
∴四边形BMFA 是平行四边形
∴2528
AF BM r === ∴2515588
FD AD AF =-=-= (2)如图:连接MD AN ,
∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠ ∴AMB CNM ∠=∠ 又∵AMB MAD ∠=∠ ∴MAD CNM ∠=∠ 又∵AFM NFD ∠=∠ ∴AFM NFD ?~?
∴
AF MF
AF DF NF MF NF DF =?=① 又∵//MD AN
∴AFN DFM ?~?
∴
AF NF
AF MF NF DF DF MF =?=② 由①?②得;
22AF NF AF NF =?= ∴NF DF = ∴5MN AD == 故MN 的长为5; (3)作如图:
∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切 设圆N 半径为R ,圆O 半径为r ∴'=NO R r NO -= ∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO ∴90NMC ∠=? ∵90BAM CMN ∠=∠=? ∴A 点在圆上
∴54
cos 5AB B BM BM =
== 解得:25
4
BM =
O 的半径长为
258
【点睛】
本题是一道圆的综合题目,难度较大,掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键. 3.(1) CF 2
;(2) 四边形BFDE 是菱形,理由见解析;(3) 纸片ENFM 是“标准纸",理由见解析 【解析】 【分析】
(1)1AB =,则2AD =
ABCD 是矩形,得到
1,2CD AB BC AD ==-=FB FD =,设CF x =,则
2FB FD x ==,在Rt DCF △中,2
2
2
+=CD CF DF ,可得)
22
2
12x x +=
即
可求解.
(2)当顶点B 与点D 重合时,折痕EF 垂直平分BD ,可得OB OD =,
90BOF DOE ∠=∠=,在矩形ABCD 中,//AD BC ,得到OBF ODE ∠=∠,在
BOF 和DOE △中,,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,,可得
BOF DOE ?,OE OF =,再根据OB OD =,可得四边形BFDE 是平行四边形,最后根据EF BD ⊥,即可求证平行四边形BFDE 是菱形.
(3)由()2可知,OE OF =,同理可知,OM ON =,可得四边形ENFM 是平行四边形,根据90DOE DAB ∠=∠=?,得到DOE
DAB ,再根据2AD AB =,可得
222
OE AB OD AD ===,进而得到2
2OE OD =,22EF BD =
,同理可得,2
2
MN AC =
,根据四边形ABCD 是矩形,可得AC BD =,EF MN =,四边形ENFM 是矩形,90EMF ∠=,2MF OD
tan FEM ME OE
∠=
==,2MF ME =,即可求证纸片ENFM 是“标准纸". 【详解】 解:()
11,AB =则2,2AD AB ==
四边形ABCD 是矩形
1,2CD AB BC AD ∴==-=
由折叠得FB FD = 设CF
x =,则2FB FD x ==- 在Rt DCF △中,222+=CD CF DF
(
)
222
12x x +=-
24
x =
答:CF 长为
2 ()2四边形BFDE 是菱形.
理由:当顶点B 与点D 重合时,折痕EF 垂直平分,BD
OB OD ∴=,90BOF DOE ∠=∠=
在矩形ABCD 中,//,AD BC
OBF ODE ∴∠=∠
在BOF 和DOE △中,,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,
BOF DOE ∴?
OE OF ∴= OB OD =
∴四边形BFDE 是平行四边形
EF BD ⊥
平行四边形BFDE 是菱形.
()3纸片ENFM 是“标准纸”
理由如下:由()2可知,,OE OF =
同理可知,,OM ON =
∴四边形ENFM 是平行四边形
90DOE DAB ∠=∠=?
DOE DAB ∴
2AD =
2
22
OE AB OD AD ∴
===
2
2OE OD ∴= 2
2
EF BD ∴=
同理可得,2
2
MN AC =
四边形ABCD 是矩形,
AC BD ∴=, EF MN ∴=
∴四边形ENFM 是矩形.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
一、中考数学压轴题 1.已知:在平面直角坐标系中,抛物线2 23y ax ax a =--与x 轴交于点A ,B (点B 在 点A 的右侧),点C 为抛物线的顶点,点C 的纵坐标为-2. (1)如图1,求此抛物线的解析式; (2)如图2,点P 是第一象限抛物线上一点,连接AP ,过点C 作//CD y 轴交AP 于点 D ,设点P 的横坐标为t ,CD 的长为m ,求m 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围); (3)如图3,在(2)的条件下,点E 在DP 上,且ED AD =,点F 的横坐标大于3,连接EF ,BF ,PF ,且EP EF BF ==,过点C 作//CG PF 交DP 于点G ,若 72 8 CG AG = ,求点P 的坐标. 2.“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础,重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口,着力提升学生的核心素养.”全校师生积极响应和配合,开展各种活动丰富其课余生活.在数学兴趣小组中,同学们从书上认识了很多有趣的数.其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣.描述如下:一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x ,十位上和个位上的数字之和为y ,如果x y =,那么称这个四位数为“和平数”. 例如:1423,14x =+,23y =+,因为x y =,所以1423是“和平数”. (1)直接写出:最小的“和平数”是________,最大的“和平数”是__________; (2)求同时满足下列条件的所有“和平数”: ①个位上的数字是千位上的数字的两倍; ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数; (3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置,同时,将百位上与千位上的数字交换位置,称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”. 例如:1423于4132为“相关和平数” 求证:任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数. 3.定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”. (概念感知) (1)如图1,在ABC 中,12AC =,10BC =,30ACB ∠=?,试判断ABC 是否是“准黄金”三角形,请说明理由.
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
一、中考数学压轴题 1.如图,在等边△ABC 中,AB =BC =AC =6cm ,点P 从点B 出发,沿B →C 方向以1.5cm/s 的速度运动到点C 停止,同时点Q 从点A 出发,沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动,当点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动,连接PQ ,过点P 作BC 的垂线,过点Q 作BC 的平行线,两直线相交于点M .设点P 的运动时间为x (s ),△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y (cm 2)(规定:线段是面积为0的图形). (1)当x = (s )时,PQ ⊥BC ; (2)当点M 落在AC 边上时,x = (s ); (3)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围. 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且2n -2n -,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标; (2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由; (3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线
数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图
6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c ==
中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。