2.3 刹车距离与二次函数
一. 刹车距离与二次函数
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗?汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关?
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式 2
100
1v s =确定;雨天行驶时，这一公式为 2
150
s v =
． 二．比较21001v s =与2
150s v =的图象 图2-4是21001v s =的图象，在同一直角坐标系中作出2150
s v =的图象(先想一想，在公式s=中，u 可以取任何值吗?为什么?)．
1.完成下表：
2.在图2—4中作出2
150
s v =的图象． 3.回答下列问题： (1) 2
100
1v s =
和2150s v =的图象有什么相同与不同? (2)如果行车速度是60km ／h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?你是怎么知道的?
总结： 相同点：
（1）它们都是抛物线的一部分；
（2）二者都位于y 轴的左侧。 （3）函数值都随y 值的增大而增大 不同点：
（1）2150s v =
的图像在2
1001v s =的图象的内侧。 （2）2150s v =的s 比2
100
1v s =中的S 增长速度快.
三．做一做
作二次函数y=2x 2的图象． (1)完成下表： Y=2x (2)作出y=2x 2的图象．
(3)二次函数y=x 2的图象是什么形状?它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
四．议一议
(1)二次函数y=2x 2+1的图象与二次函数y=2x 2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
(2)二次函数y=3x 2一l 的图象与二次函数y=3x 2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
五．课堂练习
画出函数22
1x y =与22y x =的图象，并比较它们的性质。 六．课时小结
⒈巩固了画函数图象的步骤； ⒉学习了刹车距离与二次函数的关系； ⒊比较了几类函数的图象的性质 习题2.3
1.二次函数的y=-3x 2图象与二次函数y=3x 2的图像有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，作草图看一看，二次函数212
y x =-与
2
2
1x y =
呢？ 2. 二次函数的y=-3x 2+ 2
1图象与二次函数y=-3x 2的图像有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，作草图看一看，二次函数22
1x y -=-3与21
2
y x =-呢？
刹车距离与二次函数教学设计 学习目标: 1. 经历探索二次函数y=ax2 和y=ax2+c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验. 2. 会作出y=ax2 和y=ax2+c 的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响. 3. 能说出y=ax2+c 与y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4. 体会二次函数是某些实际问题的数学模型. 学习重点: 二次函数y=ax2、y=ax2+c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的基础.我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大( 小值) 、函数的增减性几个方面记忆分析. 学习难点: 由函数图象概括出y=ax2、y=ax2+c的性质.函数图象都由(1) 列表，(2) 描点、连线三步完成. 我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置. 学习方法: 类比学习法。 学习过程: 、复习：二次函数y=x2 与y=-x2 的性质： 抛物线y=x2y=-x2
对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值 二、问题引入：你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗? 刹车距离与什么因素有关? 有研究表明: 汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h) 汽车的刹 车距离s(m) 可以由公式： 晴天时：; 雨天时：，请分别画出这两个函数的图像： 三、动手操作、探究： 1. 在同一平面内画出函数y=2x2 与y=2x2+1 的图象。 2. 在同一平面内画出函数y=3x2 与y=3x2-1 的图象。比较它们的性 质，你可以得到什么结论? 四、例题： 【例1】已知抛物线y=(m+1)x开口向下，求m的值. 【例2】k为何值时，y=(k+2)x是关于x的二次函数？ 【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=-3x2，②y=3x2,③y=x2, ④y=-x2的图象，并根据图象回答问题：(1)当x=2时，y=x2比y=3x2 大(或小)多少?(2) 当x=-2 时，y=-x2 比y=-3x2 大(或小)多少? 【例4】已知直线y=-2x+3 与抛物线y=ax2 相交于A、B 两点，
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为 ，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩： 一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1 2.3 刹车距离与二次函数 一、填空题: 1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________, 顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____. 2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的. 5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 二、解答题: 6.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2); (2)与y=12 x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4. 7.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y 万元,求y 与x 的函数关系式. 8.已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值. 9.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB 位置时,水面宽 ,水位上升3米达 到警戒线MN 位置时 ,水面宽 米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? 10.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,BC=x,AD=y,AB=1,求y 与x 间的函 B 数关系. D B C A 11.有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米,抛物线顶点处到边MN 的距 离是4分米,要在铁皮下截下一矩形ABCD,使矩形顶点B,C 落在边MN 上,A,D 落在抛物线上, 像这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?(提示:以MN 所在的直线为x 轴建立适当的直角坐标系) 12.图(1)是棱长为a 的小正方体,图(2)、图(3)这样的小正方体摆放而成,按照这 样的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层、第二层……第n 层,第n 层的小正方体的个数记为s,解答下列问题: (1)按要求填表: (2)写出n=10时,s=________. (3)根据上表中的数据,把s 作为点的纵坐标,n 作为点的横坐标,在平面直角 坐标系中描出相应的点. (4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图像上吗?如果在某一函数的图像上, 求s 与n 间的关系. N D M B C A 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案） 一、单选题 2+2t，则当t=4t（米）与时间（秒）的关系式为s=5t时，该物体所经1.在一定条件下，若物体运动的路程s过的路程为][ A．28米 B．48米 C. 68米 米．88 D2 +bx+c的图象过点(1，0)……2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax 求证这个二次函数的，题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称．][ A．过点(3，0) B．顶点是(2，-1) C．在x轴上截得的线段的长是3 3)(0，D．与y轴的交点是3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m，离地面m，则水流落地点BM垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙 A．2m B．3m C .4 m m5 D． 之间的函数关系式是，则该运与水平距离4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是 ][ A．6 m B．8m C. 10 m m．12 D 2，若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s)：4s，则此人下降的高度为坡底的时间为][ A．72 m 36 ．m BC．36 m m．18D2 +50x-500，则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元获得最大利润，销售单价为][ A．25元 B．20元 C．30元 元40D．7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入2 +bx+c所示，则下列结论正确的是网．若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a0 2.3刹车距离与二次函数练习（201 3.12.3） 1. 直线y x =与抛物线2 2y x =-的两个交点的坐标分别是（ ） Ａ．(22)，，(11)， Ｂ．(22)，，(11)--， Ｃ．(22)--，，(11)， Ｄ．(22)--，，(11)--， 2. 把函数2 3y x =-的图像沿x 轴对折，所得图像的函数式为 ． 3. 经过(01)A ，点作一直线与x 轴平行，与抛物线2 4y x =相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为 ． 4. 函数2 ()y =-的图像是一条 ，其顶点坐标为 ，对称轴为 ；图像的 开口向 ；当x = 时，函数有最 值；0x >时y 随x 的增大而 ，0x <时，y 随x 的增大而 ． 5. 把图中图像的号码，填在它的函数式后面： （1）2 3y x =的图像是 ；（2）2 13y x = （3）2y x =-的图像是 ；（4）2 34 y x =-6. 函数2 y ax =与直线1y kx =+相交于两点，其中一点的坐标为(14)，，则另一个点的坐标为 ． 7. 在同一坐标系中，其图像与2 2y x =的图像关于x 轴对称的函数为（ ） Ａ．2 12 y x = Ｂ．2 12 y x =- Ｃ．2 2y x =- Ｄ．2 y x =- 8. 若函数2 y ax =的图像与直线1y x =-有一个公共点为(21)，，则函数2 2y ax =的图像与直线1y x =-交点的个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 9. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 关于x 的函数关系式为（ ） Ａ．2 60(1)y x =- Ｂ．2 60(1)y x =- Ｃ．260y x =- Ｄ．2 60(1)y x =+ 10. 对于2 (0)y ax a =≠的图像，下列叙述正确的是（ ） Ａ．a 越大开口越大，a 越小开口越小 Ｂ．a 越大开口越小，a 越小开口越大 Ｃ．a 越大开口越小，a 越小开口越大 Ｄ．a 越大开口越大，a 越小开口越小 11. 二次函数2 4y x =的开口方向 ，对称轴为 ，顶点坐标 ． 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2- = x B. 2 = x C. 1- = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则 （） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 2.3刹车距离与二次函数 知识点一：函数)0(2≠=a ax y 的图像性质 2.函数2 2ax y c ax y =+=与的图象关系 函数2 2 ax y c ax y =+=的图像可由的图象沿Y 轴上下平移得到，当0>c 时，c ax y +=2 的图象由2 ax y =的图象向上平移C 个单位得到；当0 练习： 1.二次函数0,2 3212 >>- =x x x y 当时，则其对应的函数值21,y y 的大小关系为 2.抛物线2 2x y =的图象向上平移2个单位后 是 ，对称轴是 ，开口方向是 它的顶点坐标是 3.已知 的图象过点)23,2(-，则当2-=x ，Y 的值为（ ） A 32- B 23- C 4 D 无法确定 4.我们知道2 x 是非负数，即02 ≥=x y ，当0=x 时，Y 取最小值为0，同理0)2(2 ≥-=x y ， 当=x 时，Y 取最小值为0 5.如图抛物线经过点),3(),,1(),,2(321y C y B y A -三点，则321,,y y y 的大小关系是（ ） A 321y y y >> B 231y y y >> C 123y y y >> D 312y y y << 6.函数 的图象与a 的符号相关的是（ ） A 对称轴和顶点坐标 B 对称轴和开口方向 C 最值和开口方向 D 开口方向和顶点坐标 7.函数2 )1(x a y -=，当a 时，它有最高点，当a 时，它有最低点。 8.已知抛物线4 1 )1(2 - -+=x m x y 的对称轴为Y 轴，则=m 9.将抛物线422--=x y 的图像向上平移4个单位后得到的图像的解析式是 10.若a 是不等于0的实数，对于二次函数2x a y =的图像有如下判断：（1）开口方向向上（2）以Y 轴为对称轴（3）以原点为顶点（4）无论X 为何实数，函数Y 总是非负数，其中判断正确的个数为（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 知识点二：运用抛物线c ax y +=2的图像及性质解决有关的实际问题 方法规律：合理建立直角坐标系，结合图像，根据线段长短写出点的坐标，再由坐标求相应的线段长。 【例1】某公园草坪的护栏由50段形状相同的抛物线组成，为牢固起见，每段护栏按间距0.4m 加设不锈钢管做成立柱，如下图为了计算不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图2所示的直角坐标系进行计算：（1）求抛物线的函数表达式（2）计算钢管立柱的总长度。 2 ax y = x 2ax y = 二次函数及指对数运算 1．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()y f x =在区间[1,1]-上的值域； （3）当[1,1]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围. 2．如图，已知二次函数y=x 2 +bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，求点P 的坐标． 3．已知函数f （x ）=x 2 +2ax+2，x ∈[﹣5，5]． （1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数a 的取值范围，使y=f （x ）在区间[﹣5，5]上是单调函数． 4．计算： 23 log 2 22 8273lg 2lg 52lg2lg5log 9log 3238ππ- ??++?+?++ ??? . 5．计算：（1）()()1 22 3 02 9279.6 1.548--???? ---+ ? ????? ； （2）2 021lg 5lg 2()(21)log 83 -+--+-+ 6．已知函数()()2log 3f x x =-． （1）求()()516f f -的值； （2）求()f x 的定义域； （3）若()0f x ≤，求x 的取值集合． 7.（Ⅰ）设 ()()()()24142x f x x f x x ?+ 22.1.1 二次函数 一、教学目标 1．知识与技能目标: （1）．使学生理解并掌握二次函数的概念 （2）．能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式 （3）．能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想 2．过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”，采用探究、讨论等方法进行。 3．情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 （1）．什么是变量，常量？ （2）．函数的定义是什么，有什么表现形式？ （3） 函数的图象怎么构成，如何作函数的图象？ 2、合作学习，探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果 每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数 称：a 为二次项系数，ax 2叫做二次项;b 为一次项系数，bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例：y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当，是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: （1）正方形边长为x （cm ），它的面积y （cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x 厘米，宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时，函数为二次函数。当解得，22 =∴=m m 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 刹车距离与车速的关系 摘要 汽车司机在行驶中发现前方出现突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到完全停止这段时间内汽车行驶的距离称为刹车距离。刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成。车速越快，刹车距离越长。在反应时间内，车做匀速运动，对反应距离与车速进行分析，确立其比例关系。对于制动距离，刹车时使用最大制动力做的功等于汽车动能的改变，根据动能定理，可以分析出制动距离与初速度之间的关系。而反应距离与制动距离之和为刹车距离，这样就初步建立了刹车距离与车速之间的数学模型，进一步运用matlab进行系数求解和曲线模拟。 一、问题的重述 汽车司机在行驶中发现前方出现突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到完全停止这段时间内汽车行驶的距离称为刹车距离。刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用这段时间内汽车所行驶的距离，反应距离由反映时间和车速决定（对固定汽车和同一类型司机，反应时间可视为常数）。 二、模型的基本假设 （1）刹车时使用最大制动力F基本不变。 （2）F做的功等于汽车动能的改变。 （3）F与车的质量m成正比。 （4）汽车牌子固定，在不变的道路、气候等条件下，由同一司 机驾驶。 （5）人的反应时间为一个常数。 （6）在反应时间内车速不变。 （7）汽车的刹车距离等于反应距离和制动距离之和。 （8）反映距离与车速成正比，比例系数为反应时间。 三、符号说明 F：刹车最大制动力； m:车的质量； S1：反应距离; t：反应时间； S2：制动距离; S：刹车距离; v：汽车的初速度; k1：反应距离与初速度的比例系数; k2：制动距离与初速度的比例系数。 四、问题的分析 在反应时间内，车做匀速运动，对反应距离与初速度成正比关系。对于制动距离，由于刹车时使用最大制动力做的功等于汽车动能的改变，根据动能定理，可以分析出制动距离为初速度的二次函数。而反应距离与制动距离之和为刹车距离，由于反应距离与初速度成正比关系, 制动距离为初速度的二次函数，这样就初步确定刹车距离是初速度的二次函数。刹车距离与二次函数
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