高一提高课程
“函数与方程的转换”
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本讲内容：函数的零点、函数零点与方程根的关系、函数与方程问题的相互转化
掌握目标：了解函数的零点的概念、会用二分法简单的求出函数零点的范围，掌握求函数零点的基本方法， 以及会转化成求方程根的形式。 重点与难点：学会利用函数与方程的转换来解决问题
考情分析：函数与方程的转换， 是数学里面一大重要的思想， 是高考必考的内容，直接的考察类型以填空和选择为主； 间接的考察则分布在函数和方程的各类题型中。 分值所占的比重大概在5%~10%之间。考察力度和难度都是较大的。
知识点一：函数零点与方程的关系
1. 函数零点的概念
对于函数(x)y f =，如果存在0x 使得0(x )0f =成立， 那么我们称0x 是函数(x)y f =的一个零点。
如果函数(x )y f =的图像是一条连续不断的曲线， 并且在区间[a,b]上有(a)0,(b)0f f ><或(a)0,(b)0f f <>成立，即(a )(b )0f f <成立， 那么区间[a,b]上一定存在函数的零点。
二分法求函数的零点：要找出区间[a,b]上的函数零点，不妨设(a)0,(b)0f f ><，设
2
a b
c +=
，假设(c)0f >，那么在区间[c,b]上一定有函数的零点， 反之在区间[a,c]上一定有函数的零点。再把区间分成两段，类似的进行分析， 就一定能找到函数的零点。这种方法叫做二分法。
2. 函数零点与方程根的关系
实际上， 函数零点0x 是满足方程(x)0f =的一个根；反过来， 方程(x)0f =的任意一个根i x ，都满足(x )0i f =，也就是说i x 是函数(x)y f =的零点。
因此， 函数(x)y f =的零点的个数，就是方程(x)0f =根的个数。
【试题来源】2012·天津改编
【题目】 函数f (x )＝?????
2|x －4|(x ≠4)，a (x ＝4)，若函数y ＝f (x )－2有3个零点，则实数a 的值为
________．
【试题来源】
【题目】已知函数f (x )＝a x
－x －a (a >0，a ≠1)，那么函数f (x )的零点个数是( ) 【选项】A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．至少1个
【试题来源】
【题目】已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x
＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．
【试题来源】
【题目】下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 【选项】
知识点二：函数与方程问题的相互转化
一方面， 函数转换为方程：
①函数的零点问题： 已知函数y=f(x), 如果方程f(x)=0有n 个根， 那么函数f(x)有n 个零点。
②函数的交点问题： 已知函数f(x)和g(x)， 如果方程f(x)=g(x)有n 个根， 那么函数f(x)和g(x)有n 个交点。 另一方面，方程转换为函数：
①方程根的个数问题：已经方程f(x)=0， 如果函数y=f(x)与x 轴有n 个交点（有n 个零点）， 那么方程有n 个实数根。
②方程根的范围：已知方程f(x)=0， 如果函数y=f(x)的图像是平滑的曲线， 并且有f(a)f(b)<0， 那么方程在(a,b)之间必有一根。
【试题来源】
【题目】函数f (x )＝x lg(x ＋2)－1的零点在(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k ＝________.
【试题来源】
【题目】试确定关于x 的方程0342=---k x x 的实数解的个数。
【试题来源】
【题目】方程x 2
＋2x －1＝0的解可视为函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝1x
的图象交点的横
坐标，若x 4
＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点? ??
??x i ，4x i (i ＝1,2，…，
k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是( )．
【选项】A ．R B ．?
C ．(－6,6)
D ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
【试题来源】
【题目】已知函数f (x )＝e x
－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．
【试题来源】
【题目】用二分法求方程x 2
＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
【试题来源】
【题目】二次函数f (x )＝x 2
－16x ＋q ＋3.若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取
值范围；
【试题来源】
【题目】.若a >1，设函数f (x )＝a x
＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，求
1m
＋1
n
的取值范围.
【试题来源】
【题目】(1)m 为何值时，f (x )＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f (x )＝|4x －x 2
|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．
【试题来源】
【题目】已知函数 则的零点是_____.
【试题来源】
【题目】已知函数f (x )＝x e x
－ax －1，则关于f (x )零点叙述正确的是( )． 【选项】
A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点
B ．函数f (x )必有一个零点是正数
C ．当a ＜0时，函数f (x )有两个零点
D ．当a ＞0时，函数f (x )只有一个零点
【试题来源】
．
122,
09,(),20.
x x f x x x x ?≤≤?=?+-≤
【试题来源】
【题目】函数f（x）=2x和g（x）=x3的部分图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．
（Ⅰ）请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？
（Ⅱ）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由；
（Ⅲ）结合函数图象示意图，请把f（6），g（6），f（2011）、g（2011）四个数按从小到大的顺序排列．
【试题来源】2010?丰台区一模
2021年数学小中初数学复习题练习试卷测试题教案等集合 高中数学必修四三角函数检测题 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列不等式中，正确的是（ ） A ．tan 5 13tan 4 13ππ< B ．sin )7 cos(5 π π-> C ．sin(π－1) 一、 教学目标： 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题． 二、教学重、难点： 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律： 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。 四、教学内容： 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N =log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 （5）log log a b b a ?= ； （6）log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质 注：对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 2019-2020年高一数学寒假复习一含答案 一．填空题： 1．集合A＝1，3，5，7，B＝3，4，5，6，则A∩B＝． 2．幂函数的图像过点3，，则＝． 3．命题“如果＝0或＝0，那么＝0”的逆否命题是．4．函数＝的定义域是． 5．若函数＝2＋5，则＝． 6．已知＝＋＋＋8，＝10，则＝． 7．已知：函数是R上的偶函数，当＜0时，＝－，则当＞0时，＝． 8．已知＝，＝，则＝． 9．若＝－2＋3在2，＋∞上是增函数，则实数的取值范围是． 10．＜的一个充分不必要条件是． 11．函数＝的定义域是R，则实数的取值范围是． 12．记，＝，则函数＝|＋1|，|－2|∈R的最小值是． 二．选择题： 13．集合A＝|0＜≤3，∈Z的真子集的个数是（） （A）8；（B）7；（C）6；（D）3． 14．函数＝的值域是（） （A）0，1；（B）0，1；（C）－∞，1；（D）－∞，1． 15．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） （A）＝；（B）＝；（C）＝－；（D）＝． 16．函数＝|－2＋|∈R，下列命题中正确的是（） （A）一定不是偶函数；（B）当＝时，的图像关于直线＝1对称； （C）当－≤0时，在区间，＋∞上是增函数；（D）有最小值|－|． 三．解答题： 17．若∈R，试比较与4＋5的大小． 解： 18．求下列函数的定义域： （1）＝；（2）＝． 解：解： 19．判断函数＝的奇偶性． 解： 20．求下列函数的值域： （1）＝；（2）＝－＋1－2≤≤3． 解：解： 21．设＝－|－－4|，∈－4，4的图像经过点2，4． （1）求常数的值；（2）写出函数的单调区间；（3）画出函数的图像．解： 22．设：函数＝，计算：＋＋＋┅＋＋的值． 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ） A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x + 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 姓名_______班级_________ _______________号 高一数学三角函数测试 一、选择题：(5×10=50′) 1、若 –π/2<α<0，则点)cos ,(tan αα位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若5 4cos =α，),0(πα∈则αcot 的值是（ ） A ． 3 4 B ． 4 3 C ． 3 4± D ．4 3± 3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ，的简图是（ ） 4．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π 5．满足函数x y sin =和x y cos =都是增函数的区间是（ ） A ．]22,2[π ππ+ k k , Z k ∈ B ．]2,2 2[πππ π++k k , Z k ∈ C ．]2 2,2[π πππ- -k k , Z k ∈ D ．]2,2 2[ππ πk k - Z k ∈ 6．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3? ? 的图象（ ） A ．向右平移 π6 个单位 B ．向右平移 π3 个单位 C ．向左平移π3 个单位 D ．向左平移 π6 个单位 7．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π - =x B ．4 π -=x C ．8 π = x D ．4 5π= x 8．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 D ．6 9．如果α在第三象限，则2 α 必定在第（ ）象限 A ．一、二 B ．一、三 C ．三、四 D ．二、四 10．已知函数)sin(φ?+=x A y 在同一周期内，当3 π = x 时有最大值2，当x=0时有最小值 -2，那么函数的解析式为（ ） A ．x y 23sin 2= B ．) 23sin(2π +=x y C ．)2 3sin(2π - =x y D ．x y 3sin 2 1= 二、填空题：11．终边落在y 轴上的角的集合是____________________ 12、设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是 该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： 经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(?ω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数有(填序号)________ (1)．]24,0[,6 sin 312∈+=t t y π (2)．]24,0[),6 sin(312∈++=t t y ππ (3)．]24,0[,12 sin 312∈+=t t y π (4)．]24,0[),2 12 sin( 312t t y π π + += 13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是___________________________ 14．已知a a x --= 432cos ，且x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是________ 15、函数π()3sin 23f x x ? ? =- ??? 的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 _____ ①、图象C 关 于直线11 π12x = 对称； ②、图象C 关于点2π03?? ???，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212?? - ??? ，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图角向右平移π3 个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：16题．设)4,3(t t P --是角α终边上不同于原点O 的某一点，请求出角α的正弦、余弦、和正切的三角函数之值.。 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为. 2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=. 3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是. 4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是. 5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为 的交点，则φ的值是. 6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm. 7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是. 8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是. 9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为. 10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是. 11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是. 12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则 ?的值是. 13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是. 14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是. 二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15.（14分）已知α∈（，π），sinα=. （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值. 16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC. 三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ．2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称， 那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712 f π ?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝ 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 高一数学三角函数公式大全 sinα=∠α的对边/斜边 cosα=∠α的邻边/斜边 tanα=∠α的对边/∠α的邻边 cotα=∠α的邻边/∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA2) (注：SinA2是sinA的平方sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina 三角函数辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A2+B2)’(1/2) cost=A/(A2+B2)’(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三角函数推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1- 2sin2a)sina=3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2- sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°- a)/2]cos[(60°-a)/2]=4s inasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a- (√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{- 2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=- 4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 高一数学寒假课程说明 课程目标： 经过一个学期的学习，学生已经初步感受到高中数学相对初中数学而言，内容更抽象、更注重逻辑性和理论分析、更多的是研究变量；初步体会到函数与方程的思想、数形结合的思想以及等价转换等数学思想方法在高中数学学习中的重要性.同时，由于高中数学学习内容多、难点多、灵活性大和课时不足，使得课堂容量增大，教学进度加快，学生对重难点内容没有足够的时间消化吸收，教师对各类型题也不可能讲全、讲细、讲透，从而导致高一学生适应不过来.本课程的目标是帮助学生进一步理解第一学期所学的必修①、必修④的教学内容，突破必修①、必修④中的所有难点，解答学生在第一学期中存在的疑点，为新学期的学习打下良好的基础. 同时，逐步提高学生的学习兴趣，为学好数学树立信心，通过对基础知识的归纳总结，提升学生学习数学、应用数学的能力和培养学生的数学素养. 课程特色： 本课程体现数学学科的学科思想、核心知识，提炼最优的复习方法，密切关注重点、难点问题，特别注重对那些易错易混的知识加以分析、比较，帮助学生识破“陷阱”，不重复犯同样的错误.突出数学思想方法的学习和掌握，指导学生突破思维的局限性.注重举一反三，除在每讲安排的【典型例题精讲】外，增加了【错解分析】和【技巧提示】，并列出同类型问题若干，可供课堂练习选用，每讲最后安排有一组【巩固练习】或【课后作业】，便于学生掌握. 适用区域： 所有课改区，并在高一年级第一学期学完必修①、必修④的地区. 使用说明： 教师根据不同层次的学生对例题和习题进行选配后，本课程既适用于一对一同步辅导，也可以在二次开发后制作成课件，作为同步辅导班组课程.同时，各地在使用过程中可以根据当地的具体情况适当地取舍、添加内容，也可以重新排列各讲的次序，也可以根据学生和教学学时，对课时内容进行压缩或合并. 高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1．若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2π+2k π（k ∈Z ） D ．－2π+2k π（k ∈Z ） 2．使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 3．函数y=3cos （ 52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5 π2 B ．2π5 C ．2π D ．5π 4．函数y=2sin 2x+2cosx －3的最大值是( ) A ．－1 B ．21 C ．－21 D ．－5 5．下列函数中，同时满足①在（0， 2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2x D ．y=|sinx| 6．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7．函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是（ ） A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8．函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是（ ） A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9．函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 10．函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ，所得的曲线对应的函数解析式是____ _____． 11．关于函数f(x)=4sin(2x+π3 )，(x∈R)，有下列命题： （1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); （2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; （4）y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________． 12． 已知函数y=3sin （21x －4 π）. （1）用“五点法”作函数的图象； （2）说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的最小正周期； （4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，求它的振幅、最小正周期和初 相。 对数与对数函数 【高考要求】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与 81log 43= 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =?= ②“log ”同“+”“×” “ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这 种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 （1）．对数基本性质：log 10a =，log 1a a =，log a N a N =---对数恒等式 （2）．对数运算性质：若0,1,0,0a a M N >≠>>且，则： ①log ()log log a a a MN M N =+ ②log log log a a a M M N N =- ③log log ()n a a M n M n R =∈ （3）．换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a = >≠>≠> 推论：①log log (,,0)m n a a n M M m n R m m = ∈≠ ②1log log a b b a = 点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。 （2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。 例如：真数为两负数的积，).5(log ).3(log 22--不能写成).5(log ).3(log 22--=).5(log )3(log 22-+- 【KS5U】新课标2016年高一数学寒假作业1 《数学》必修一~二 一、选择题. 1.集合A={1，2，3}，B={3，4}，则A∩B=（） A．{3} B．{1，2，4} C．{1，2，3，4} D．? 2.己知，则m等于（） A．B．C．D． 3.已知函数，则方程f(x)＝4的解集为() A．{3，－2,2} B．{－2,2} C．{3,2} D．{3，－2} 4.一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（） A．2B．C．4 D．2 5.给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的个数是（） A．4 B．3 C．2 D．1 6.已知两个球的表面积之比为1：3，则这两个球的体积之比为() A．1：9 B．1：3 C．1：3 D．13 7.已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（） A ． （） B ． （） C ． （） D ． （） 8.已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y+1）2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x ﹣y ﹣2=0对称，则圆C 2的方程为（ ） A ． （x ﹣1）2+y 2=1 B ． x 2+（y ﹣1）2=1 C ． （x+1）2+y 2=1 D ． x 2+（y+1）2 =1 9.设b 、c 表示两条不重合的直线，αβ、表示两个不同的平面，则下列命题是真命题的是 A. ////b b c c αα????? B. ////b c c b αα????? C. //c c βαβα⊥??⊥?? D. //c c αββα⊥??⊥?? 10.函数 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二．填空题. 11.计算lg +（）= ． 12.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的表面积为12π，则该正方体的体积为 ． 13.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为_________. 14.已知函数()x f x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ． 三.解答题. 15.（1）计算： ； （2）解方程：．对数函数讲义(可直接使用).
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