题型五圆的综合题
针对演练
1. 如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于
点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝1
3，延
长OE到点F，使EF＝2OE.
(1)求证：∠BOE＝∠ACB;
(2)求⊙O的半径；
(3)求证：BF是⊙O的切线．
第1题图
2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆外一点，连接AC 、 BC ，
分别与⊙O 相交于点D 、点E ，且
AD DE ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接BD 、DE 、AE .
(1)求证：DF 是⊙O 的切线；
(2)试判断△DEC 的形状，并说明理由；
(3)若⊙O 的半径为5，AC ＝12，求sin ∠EAB 的值．
第2题图
3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC 为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．
第3题图
4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC 交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;
(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．
第4题图
5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
第5题图
6. (2015省卷24，9分)⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过 BC 的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.
(1)如图①，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
(2)如图②，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
(3)如图③，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.
第6题图
7. (2017原创)如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 和点
D ，点
E 为
DC 的中点，连接OE 交CD 于点F ，连接BE 交CD 于点
G .
(1)求证：AB ＝AG ；
(2)若DG ＝DE ，求证：GB 2＝GC ·GA ；
(3)在(2)的条件下，若tan D ＝3
4，EG ＝10，求⊙O 的半径．
第7题图
8. (2015达州)在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平分线
CD 交⊙O 于点D ，F 为 AD 上一点，且 AF BC ，连接DF ，并延长
DF 交BA 的延长线于点E .
(1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由； (2)求证：△BCD ≌△AFD ；
(3)若∠ACM ＝120°，⊙O 的半径为5，DC ＝6，求DE 的长．
第8题图
9. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为点D .
(1)求证：△ACD ∽△ABC ； (2)求证：∠PCA ＝∠ABC ；
(3)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CG 于点F ，连接BE ，若sin P ＝3
5，CF ＝5，求BE 的长．
第9题图
10. (2016大庆9分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH.
(1)求证：MH 为⊙O 的切线；
(2)若MH ＝32，tan ∠ABC ＝3
4，求⊙O 的半径；
(3)在(2)的条件下分别过点A 、B 作⊙O 的切线，两切线交于点D ，AD 与⊙O 相切于N 点，过N 点作NQ ⊥BC ，垂足为E ，且交⊙O 于Q 点，求线段NQ 的长度．
第10题图
11. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠P AC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G.
(1)判断直线P A与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：AG2＝AF·AB；
(3)若⊙O的直径为10，AC＝25，AB＝45，求△AFG的面积．
第11题图
12. (2016鄂州10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O .
(1)求证：AB 是⊙O 的切线；
(2)已知AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D ，tan D ＝12，求AE
AC 的值；
(3)在(2)的条件下，设⊙O 的半径为3，求AB 的长．
第12题图
【答案】
1．(1)证明：如解图，连接OA ，
第1题解图
∵CE ⊥AB ，
∴AD ＝BD ＝2， AE BE ，
∴∠ACE ＝∠BCE ，∠AOE ＝∠BOE ， 又∵∠AOB ＝2∠ACB ， ∴∠BOE ＝∠ACB ； (2)解：∵cos ∠ACB ＝1
3， ∴cos ∠BOD ＝1
3，
在Rt △BOD 中，设OD ＝x ，则OB ＝3x ， ∵OD 2＋BD 2＝OB 2，
∴x 2
＋22
＝(3x )2
，解得x ＝2
2，
∴OB ＝3x ＝32
2， 即⊙O 的半径为32
2； (3)证明：∵FE ＝2OE ，
∴OF ＝3OE ＝92
2， ∴OB OF ＝13， ∵OD OB ＝13， ∴OB OF ＝OD OB ， ∵∠BOF ＝∠DOB ， ∴△OBF ∽△ODB ，
∴∠OBF ＝∠ODB ＝90°，即OB ⊥BF ， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BF 是⊙O 的切线．
2．(1)证明：如解图，连接DO ，交AE 于点G ，则DO ＝BO ，
第2题解图
∴∠ABD ＝∠ODB ，
∵ AD DE ，
∴∠ABD ＝∠EBD ， ∴∠ODB ＝∠EBD ， ∴DO ∥BC ， ∴∠ODF ＝∠CFD ，
∵DF ⊥BC ， ∴∠CFD ＝90°，
∴∠ODF ＝90°，即OD ⊥DF ， 又∵OD 为⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；
(2)解：△DEC 是等腰三角形，理由如下： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°， 又∵BD ＝BD ，∠ABD ＝∠EBD ， ∴△ABD ≌△CBD (ASA)， ∴AD ＝CD .
∵ AD DE =，
∴AD ＝DE ， ∴CD ＝DE ，
∴△DEC 是等腰三角形； (3)解：由(2)可知AD ＝1
2AC ＝6，
∵ AD DE =，
∴OD ⊥AE ，∠ABD ＝∠DAE ， ∴sin ∠DAE ＝DG
AD .
在Rt △ADB 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝6
10，
∴DG 6＝610， ∴DG ＝3.6，
∴OG ＝OD －DG ＝1.4，
∴在Rt △AGO 中，sin ∠EAB ＝OG OA ＝1.45＝7
25. 3．(1)解：∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°，
∴∠CDE ＝90°；………………………………………………(2分)
第3题解图
(2)证明：如解图，连接OD ， ∵∠CDE ＝90°，F 为CE 中点， ∴DF ＝1
2CE ＝CF ， ∴∠FDC ＝∠FCD . 又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，
∴∠ODC ＋∠FDC ＝∠OCD ＋∠FCD ， ∴∠ODF ＝∠OCF ， ∵EC ⊥AC ， ∴∠OCF ＝90°，
∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；…………………………………………(5分) (3)解：在△ACD与△ECA中，
∵∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD，
∴△ACD∽△AEC，
∴AC
AE＝
AD
AC
∴AC2＝AD·AE，
又∵AC＝25DE，
∴20DE2＝(AE－DE)·AE
∴AE＝5DE，
∴AD＝4DE，
∵在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，∴CD＝2DE，
又∵在⊙O中，∠ABD＝∠ACD，
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝AD
CD＝2. …………………………(9分)
4．(1)解：直线l与⊙O相切．理由如下：如解图，连接OE、OB、OC.
第4题解图
∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE ＝∠CAE ，
∴ BE CE =，
∴∠BOE ＝∠COE ， 又∵OB ＝OC ， ∴OE ⊥BC ， ∵l ∥BC ， ∴OE ⊥l ，
又∵OE 为⊙O 的半径，
∴直线l 与⊙O 相切；…………………………………………(3分) (2)证明：∵BF 平分∠ABC ， ∴∠ABF ＝∠CBF ，
又∵∠CBE ＝∠CAE ＝∠BAE ， ∴∠CBE ＋∠CBF ＝∠BAE ＋∠ABF .
又∵∠EBF ＝∠CBE ＋∠CBF ，∠EFB ＝∠BAE ＋∠ABF ， ∴∠EBF ＝∠EFB ，
∴BE ＝EF ；……………………………………………………(6分) (3)解：∵BE ＝EF ，DE ＝4，DF ＝3， ∴BE ＝EF ＝DE ＋DF ＝7， ∵
BE CE =， ∴∠DBE ＝∠BAE ， ∵∠DEB ＝∠BEA ，
∴△BED ∽△AEB ， ∴DE BE ＝BE AE ，即47＝7AE ，
解得AE ＝49
4，…………………………………………………(9分) ∴AF ＝AE －EF ＝494－7＝21
4.………………………………(10分) 5．(1)证明：∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°， 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，
?
????AB ＝AC AD ＝AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∵AB ＝AC ， ∴AD 垂直平分BC ， ∴BE ＝CE ；
(2)解：四边形BFCD 是菱形．理由如下： ∵AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC ，BE ＝CE ， ∵CF ∥BD ， ∴∠FCE ＝∠DBE ， 在△BED 和△CEF 中，
????
?∠DBE ＝∠FCE BE ＝CE
∠BED ＝∠CEF ＝90°， ∴△BED ≌△CEF (ASA)， ∴BD ＝CF ，
∴四边形BFCD 是平行四边形， ∵∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ＝CD ，
∴四边形BFCD 是菱形；
(3)解：∵AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，BE ＝CE ， ∴∠ECD ＝∠CAE ， ∵∠AEC ＝∠DEC ＝90°， ∴Rt △CDE ∽Rt △ACE ， ∴DE CE ＝CE AE ， ∴CE 2＝DE ·AE ，
设DE ＝x ，则AE ＝AD －DE ＝10－x ， ∵BC ＝8， ∴CE ＝1
2BC ＝4，
∴42＝x (10－x )，解得x ＝2或x ＝8(舍去)， 在Rt △CED 中，
CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.