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2010年考研数学强化线性代数讲义(一至四讲)讲义[1].do

第一讲基本概念

一. 关于矩阵和向量的几个问题。

1．行向量和列向量

问题:(3,-2,1)和 -2 是不是一样?

2. 下列矩阵都是什么矩阵?

① 1 0 0 ② c 0 0 ③ 2 -1 1 ④ 0 0 1 ⑤ 0 0 0

0 0 0 0 c 0 0 1 7 0 2 0 0 0 0

0 0 2 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0

⑥ 2 2 2 ⑦ 2 -1 0 1

2 2 0 0 1 2 7

2 0 0 0 0 2 0

对角矩阵: ①②⑤ .

上三角矩阵: ①②③⑤ .

下三角矩阵: ①②⑤ .

对称矩阵: ①②⑤④⑥ .

3. 3 -1 4

例:求矩阵A= 50 7 的列向量组的系数为2,-1,3的线性组合.

0 8 -6

3 -1

4 6 1 12 17

解:2 5- 0 +3 7 = 10 - 0 + 21= 31 .

0 8 -6 0 8 -18 -26

二．线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,

a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,

…………

a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=

b m,

对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况:无解,唯一解,无穷多解.

(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.

齐次线性方程组:b1=b2=…=b m=0的线性方程组.

n维(0,0,…,0)T总是齐次线性方程组的解,称为零解.

因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

称矩阵

a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1

A= a21 a22… a2n 和(A|)= a21 a22… a2n b2

…………………

a m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mn

b m

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而对于齐次方程组,它的全部信息都体现在系数矩阵中.

三. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵

1.初等变换

矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.

初等行变换:

①交换两行的位置.

②用一个非0的常数乘某一行的各元素.

③把某一行的倍数加到另一行上.(倍加变换,消元变换)

2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:

①如果它有零行, 也有非零行,则零行都在下,非零行在上.

②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.

1 -3

2 6 5 1

0 0 2 4 -6 3

0 0 0 -3 9 4

0 0 0 0 0

0 -3 2 6 5 2

0 0 2 4 -6 3

0 0 0 -3 9 4

0 0 0 0 0

1 -3

2 6 5 1

0 0 0 4 -6 4

0 0 0 -3 9 4

0 0 0 0 0

问题1.设A是n阶矩阵, 下列命题中哪个正确?

(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A是上三角矩阵.

(2) 如果A是上三角矩阵,则A是阶梯形矩阵.

(3) 如果A是阶梯形矩阵,则A的最下面的行向量为零向量.

(4) 如果A是阶梯形矩阵,并且它的(n,n)位元素不为0,则A的对角线上的元素都不为0.

问题2.设A是阶梯形矩阵.下列断言哪几个正确?

(1) A去掉任意一行仍然是阶梯形矩阵.

(2) A去掉任意一列仍然是阶梯形矩阵.

(3) A去掉右边的若干列仍然是阶梯形矩阵.

3.简单阶梯形矩阵

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.

简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.

每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.

用初等行变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.

(1) 2 -1 0 1 1 (2) 1 1 1 1

1 1 1 0

2 0 1 -1 2

2 5 4 -2 9 2

3 1 6

3 3 3 -1 8 , 3 a 1 7 .

解：

1 1 1 0

2 1 1 1 0 2 1 1 1 0 2

(1) → 2 -1 0 1 1 → 0 -3 -2 1 -3 → 0 -3 -2 1 -3 →

2 5 4 -2 9 0 6 4 -

3 8 0 0 0 -1 2

3 3 3 -1 8 0 0 0 -1 2 0 0 0 -1 2

1 1 1 0

2 1 1 1 0 2 1 0 1/

3 0 5/3

0 -3 -2 1 -3 0 -3 -2 0 -3 0 1 2/3 0 1/3

0 0 0 -1 2 → 0 0 0 -1 2 → 0 0 0 1 -2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(2) 0 1 -1 2 0 1 -1 2 0 1 -1 2

2 3 1 6 → 0 1 -1 4 → 0 0 0 2

3 a 1 7 0 a-3 -2

4 0 0 a-

5 10-2a

1 1 1 1 1 1 1 1

若a≠5 0 1 -1 2 0 1 -1 2

→ 0 0 a-5 10-2a → 0 0 1 -2

0 0 0 2 0 0 0 2

1 1 1 1 1 0

2 0

若a=5 0 1 -1 2 0 1 -1 0

→0 0 0 2 → 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0

请注意:

①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.

②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.

③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.

四. 线性方程组的矩阵消元法

消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.

线性方程组的同解变换有三种:

①交换两个方程的上下位置.

②用一个非0的常数乘某个方程.

③把某个方程的倍数加到另一个方程上.

反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.

例:

1 5 1 1 1

0 3 -2 -1 -2

(A|β)→ 0 0 3 1 4

0 0 0 -2 4

0 0 0 0 0

x1+5x2+x3+x4=1,

3x2-2x3-x4=-2,

3x3+x4=4,

-2x4=4,

1 5 1 1 1

(A|β)→ 0 0 3 1 4

0 0 0 -2 4

0 0 0 0 0

x1+5x2+x3+x4=1,

3x3+x4=4,

-2x4=4,

1 5 1 1 1

0 3 -2 -1 -2

(A|β)→ 0 0 3 1 4

0 0 0 0 4

0 0 0 0 0

x1+5x2+x3+x4=1,

3x2-2x3+x4=-2,

3x3+x4=4,

0=4,

矩阵消元法步骤如下:

(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B |γ).

(2)用(B |γ)判别解的情况:

如果最下面的非零行为(0,0, ?,0 | d),则无解,否则有解.

有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r

(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B |γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0 |γ0 ),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E |η),则η就是解.

b11 * * … * 1 0 0 … 0 c1 x1=c1

(B0|γ0)= 0 b22 * … * γ0 → 0 1 0 … 0 c2 x2=c2

……………………… ,

0 0 0 …b nn 0 0 0 … 1 c n x n=c n

(c1, c2, …,c n)T就是解.

(A|β)→ (B |γ)

↓

(B0 |γ0 ) →(E |η),η就是解.

1 5 1 1 1 1 5 1 0 3 1 0 0 0 1

0 3 -2 -1 -2 0 3 -2 0 -4 0 3 0 0 0

(B0 |γ0 )→ 0 0 3 1 4 → 0 0 3 0 6 → 0 0 1 0 2

0 0 0 -2 4 0 0 0 1 -2 0 0 0 1 -2

解为(1,0,2,-2)T.

对齐次线性方程组:

(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r

推论:当齐次方程组方程的个数m

问题η1=(1,1,1)T,η2=(1,2,4)T,η3=(1,3,9)T,α=(1,1,3)T,将α写为η1，η2，η3的线性组合.

解：假设 x1η1+x2η2+x3η3=α ,

x1+x2+x3=1,

x1+2x2+3x3=1,

x 1+4x 2+9x 3=3.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(A |β) = 1 2 3 1 → 0 1 2 0 → 0 1 2 0 1 4 9 3 0 3 8 2 0 0 2 2

1 0 0 2

→ 0 1 0 -2 .

0 0 1 1 2η1-2η2+η3=α.

第二讲行列式

a 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

… … … (简记为|a ij |) a n1 a n2 … a nn

每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.

意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.

一. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式:

a 11 a 12

a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13 a 11 a 12

a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

一般地,一个n 阶行列式

|a ij |= .)

1(21212121)

(n n n

nj j j j j j j j j a a a τ-∑

① 是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.)

② 每一项n nj j j a a a 2121,都是n 个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.

即列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.

∑

j j j 21表示对所有n 元排列求和.

③ 规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数.

称1,2…n 为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,就说它们构成一个逆序. 全排列j1j2…jn 的逆序数就是其中出现的逆序的个数.

逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数. 例如求8元排列62874513的逆序数:

022451531547826,(62874513)=5+1+5+4+2+2+0+0=19.

对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积. 求下三角行列式

a 11 0 0 … 0 0

a 21 a 22 0 … 0 0 … … … …

a n-11 a n-12 … a n-1n-1 0 a n1 a n2 … a nn-1 a nn

12()

1(n τ-a 11a 11…a nn =a 11a 11…a nn

例1 求

x-3 a -1 4

f(x)= 5 x-8 0 2 的x 4和x 3的系数.

0 b x+1 1 2 2 1 x

解：多项式f(x)的最高次项是4次项.

由于从完全展开式看出,24项中除了对角线乘积这一项,其余项的次数不超过2.于是, x 4, x 3的系数可从(x-3) (x-8) (x+1)x 这一项中求得： (x-3) (x-8) (x+1)x= x 4+(-3-8+1) x 3+… =x 4-10 x 3+… 所以,系数分别为1和-10.

例2 设3阶矩阵

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23 , 设|x E-A|的3个根为x1,x2.x3.证明x1+x2+x3= a11+a 22+a 33 .

a31 a32 a33

证: x-a11 -a12 -a13

|x E-A|= -a21 x-a22 -a23 =(x- x1) (x- x2) (x- x3)

-a31 -a32 x-a33

看两边x2项的系数：

右边=-(x1+x2+x3),

左边看(x- a11) (x- a22) (x- a33)这一项,系数为-( a11+ a22+ a33),

右边=左边, 得结论.

二. 化零降阶法

1.余子式和代数余子式

元素a ij的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作M ij.

a ij的代数余子式为A ij=(-1)i+j M ij.

2.定理

(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.

n=4, |a ij|=a21A21+a22A22+a23A23+a24A24

例 3 1 a1 0 0

0 1 a2 0

求 0 0 1 a3… 0 的值等于0的条件 .

…………a n-1

a n 0 0 … 0 1

解:对第一列展开,得

值= A11+a n A n1=1+(-1)n+1M n1.

a1 0 0

M n1= 1 a2…… 0 = a1 a2…a n-1,

…………

0 0 … 1 a n-1

代入得到值=1+(-1)n+1 a1 a2…a n,

则，当a1 a2…a n=(-1)n时，值为0.

3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.

4. 化零降阶法

用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

例4 求行列式 3 0 4 0

2 2 2 2

0 -7 0 0

5 3 -2 2

的第四行各元素的余子式的和.(01)

解：所求为 M41+ M42+ M43+ M44=-A41+A42-A43+A44

3 0

4 0 3 4 0 3 4 0

= 2 2 2 2 = -7 A32=7 2 2 2 =7 0 0 4

0 -7 0 0 -1 -1 1 -1 -1 1

-1 1 -1 1

3 4

=-28 -1 -1 =-28

例5 4阶行列式

2 4 5 -2

-3 7 8 4 的第3列元素的代数余子式记作 A13，A23，A33，A43，

5 –9 -5 7

2 –5 2 2

求①-A13-A23+2A33+A43. ②2A13-3A23+5A33+2A43.

解：① 2 4 -1 -2

-A13-A23+2A33+A43 = -3 7 -1 4

5 –9 2 7

2 –5 1 2

2 4 -1 -2 -5

3 6

= -5 3 0 6 = (-1) A13= - 9 -1 3

9 -1 0 3 4 -1 0

4 -1 0 0

7 3 6 7 6

= - 5 -1 3 = - 5 3 = 9.

0 -1 0

②

2 4 2 -2

2A13-3A23+5A33+2A43= -3 7 -3 4 = 0

5 9 5 7

2 5 2 2

5. 性质

某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.

例6

a b c d

已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.

1 -z x+3 y

y-2 x+1 0 z+3

解：理由上述性质，A11,A12,A13,A14与第2，3，4各行元素乘积之和等于0，得方程组：

-9x-3+y+3z+3=0 -9x+y+3z=0

-9-3z-x-3+3y=0 -x+3y-3z=12

-9y+18+3x+3z+9=0 3x-9y+3z=-27

-9 1 3 0

-1 3 -3 12

3 -9 3 -27

-1 3 -3 12

0 0 -6 6

0 -26 12 -9

-1 -3 0 -9

0 -26 0 -78

0 0 1 -1

1 0 0 0

0 1 0 3

0 0 1 -1

解得x=0,y=3,z=-1.

三.其它性质

3．把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .

4．作第一类初等变换, 行列式的值变号.

5．作第二类初等变换, 行列式的值乘c.

问题： |c A|=?

c|A|;|c||A|; c n|A|;|c|n|A|;

6．对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ所得到的行列式.例如

|α，β1+β2，γ|=|α，β1，γ|+|α，β2，γ|.

问题：|A+B |=|A|+|B |?

解：设A，B都是4阶矩阵，

A=(α1，α2，α3，α4)，B =(β1，β2，β3，β4)，

则A+B =(α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4)

|A+B|=|α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|

=|α1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|

+|β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|

=…=…

|A+B|可分解为16个行列式之和，它们的各列都有两个可能：αi 或βi .

例7 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 , γ3),B =(β,γ1, γ2 , γ3),|A| =2, |B |=3 ,求|A+B | .

解：A+B=(α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3),

|A+B |=|α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3|=8|α+β, γ1, γ2 , γ3|

=8|α, γ1, γ2 , γ3|+8|β, γ1,γ2 ,γ3|=40.

7．如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.

拉普拉斯公式的一个特殊情形：如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B

范德蒙行列式：形如

1 1 1 … 1 a 1 a

2 a

3 … a n

a 12 a 22 a 32 … a n 2

… … … …

a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i

的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于

).(i j j

i a a -∏<

因此范德蒙行列式不等于0? a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.

四.克莱姆法则

克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A 为n 阶矩阵)时.

|A |≠0?方程组有唯一解.

此解为 (D 1/|A |, D 2/|A |,?,D n /|A |)T ,

D i 是把|A |的第i 个列向量换成常数列向量β所得到的行列式.

1. |A |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件.

(A |β)→(B |γ ) 问题:|A |=|B |？ |A |≠0?|B |≠0.

于是只用说明|B |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件.

b11 * * … *

(B |γ)= 0 b22 * … * γ

…………

0 0 0 …b nn

2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|β)作初等行变换,使A变为单位矩阵:

(A|β)→(E |η), η就是解.

用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|≠0.

例 7设有方程组

x1+x2+x3=a+b+c,

ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,

bcx1+acx2+abx3=3abc.

(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.

(2)在此情况求解.

1 1 1 a+b+c 1 1 1 a+b+c

(A|β)= a b c a2+b2+c2→ 0 b-a c-a b(b-a)+c(c-a)

bc ac ab 3abc 0 c(a-b) b(a-c) 2abc-b2c-b2c

1 1 1 a+b+c 1 1 0 a+b

→ 0 b-a c-a b(b-a)+c(c-a) → 0 b-a 0 b(b-a)

0 0 (c-a)(c-b) c(c-a)(c-b) 0 0 1 c

1 0 0 a

→ 0 1 0 b

0 0 1 c

例8 O A =( ).其中 A是k阶矩阵, B是h阶矩阵。

B *

(A)|A||B|.

(B)-|A||B|.

(C)(-1)kh|A||B|.

(D) (-1)k+h|A||B|.

例9 求

① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1

a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2

a a 2 a a 1 1 1+x 1 3 3 3+a 3

a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+a

a a a a 2

④对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n阶行列式.

解：①

4a+2 a a a a

4a+2 2 a a a

D = 4a+2 a 2 a a

4a+2 a a 2 a

4a+2 a a a 2

4a+2 a a a a

0 2-a a a a

= 0 0 2-a a a = (4a+2)( 2-a)4

0 0 0 2-a a

0 0 0 0 2-a

当a=2或

时，D=0.

例10 1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2 .

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

解：

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2 =

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

15 2 3 4 5

15 3 4 5 1

15 4 5 1 2 =

15 5 1 2 3

15 1 2 3 4

15 2 3 4 5

0 1 1 1 -4

0 1 1 -4 1 =

0 1 -4 1 1

0 -4 1 1 1

1 1 1 -4

15 1 1 -4 1 =

1 -4 1 1

-4 1 1 1

-1 1 1 -4

15 -1 1 -4 1 =

-1 -4 1 1

-1 1 1 1

-1 0 0 -5

15 -1 0 -5 0 =15x53 x（-1）τ（4321）=15x53=1875.

-1 -5 0 0

-1 0 0 0

例11 1-a a 0 0 0

-1 1-a a 0 0

0 -1 1-a a 0 .

0 0 -1 1-a a

0 0 0 -1 1-a

解：方法一：对第一列展开得

a 0 0 0

-1 1-a a 0

D5=(1-a)D4+ 0 -1 1-a a = (1-a)D4+aD3

0 0 -1 1-a

D4=(1-a)D3+aD2 , D3=(1-a)D2+aD1 ,

D2= 1-a a =1-a+a2 D1=1-a,

-1 1-a

D3=(1-a) (1-a+a2)+a(1-a)= (1-a) (1 +a2)= 1-a+a2- a3 D4=(1-a) (1-a+a2- a3) +a(1-a+a2)= 1-a+a2- a3+a4

D5=(1-a) (1-a+a2- a3+a4) +a(1-a+a2- a3)= 1-a+a2- a3+a4- a5

方法二：把第一行拆成（1 a 0 0 0）+（-a 0 0 0 0）

1 a 0 0 0

-1 1-a a 0 0

则D5= 0 -1 1-a a 0 +

0 0 -1 1-a a

0 0 0 -1 1-a

-a 0 0 0 0

-1 1-a a 0 0

0 -1 1-a a 0 =1-aD4

0 0 -1 1-a a

0 0 0 -1 1-a

D4=1-aD3 , D3=1-aD2 , D2=1-a+a2

D3=1-a+a2-a3 ,D4= 1-a+a2- a3+a4

D5=1-a+a2- a3+a4- a5

方法三：

1 a 0 0 0

0 1-a a 0 0

则D5= 0 -1 1-a a 0

0 0 -1 1-a a

-a 0 0 0 0

= A 11+(-a) A 51= D 4+(-a) (-1)6 M 51= D 4- a 5

D 4=D 3+a 4, D 3= D 2-a 3, D 2=1-a+a 2

D 5=1-a+a 2- a 3+a 4- a 5

例11求 1+x 1 1 1 1 1 1+ x 2 1 1 . 1 1 1+x 3 1

1 1 1 1+x 4

解：

方法一：如果x 1x 2x 3x 4≠0，则

1+x 1 1 1 1

1 1+ x

2 1 1 = 1 1 1+x

3 1

1 1 1 1+x 4

11x +1 11x 11x 1

x x 1x 2x 3x 4

21x 21x + 1 21x 21

x =

31x 31x 31x +1 3

1x 41x 41x 41x 4

x +1 4

1i i x =∑

+1 411i i x =∑+1 4

i i

x =∑+1 4

i i

x =∑

+1 x 1x 2x 3x 4

21x 21x + 1 21x 21

x =

31x 31x 31x +1 3

41x 41x 41x 4

x +1 1 1 1 1

x 1x 2x 3x 4（

11x +21x +31x +4

x +1） 0 1 0 0 = 0 0 1 0

0 0 0 1

x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3+x 1x 2x 3x 4

如果有一个x i =0,例如x 2=0,则各列减第2列，得

x 1 1 0 0

0 1 0 0 = x 1x 3x 4 0 1 x 3 0

0 1 0 x 4 方法二：对各行作分解:

（1+x 1 1 1 1）=（1 1 1 1）+（x 1 0 0 0）（1 1+x 2 1 1）=（1 1 1 1）+（0 x 2 0 0） ? ?

于是，原行列式可分为16个行列式之和，这16个行列式的各行或为（1 1 1 1）或为另一向量.如果有两行为（1 1 1 1），则值为0，因此，要计算的只有5个：

各行都不为（1 1 1 1）的一个

x 1 0 0 0

0 x 2 0 0 = x 1x 2x 3x 4 0 0 x 3 0

0 0 0 x 4

各行中只有一行为（1 1 1 1）的共4个，

1 1 1 1

0 x 2 0 0 0 0 x 3 0

0 0 0 x4 ，

x1 0 0 0

1 1 1 1

0 0 x3 0

0 0 0 x4 ，

x1 0 0 0

0 x2 0 0

1 1 1 1

0 0 0 x4 ，

x1 0 0 0

0 x2 0 0

0 0 x3 0

1 1 1 1，

计算出它们的值依次为 x2x3x4，x1x3x4，x1x2x4，x1x2x3 .

例13 证明

a+b b 0 ? 0

a a+

b b ? 0

D n = ???? =

n n

n i i

a b

∑(当a≠b时).

0 0 ? a+b b

0 0 ? a a+b

证:一般做法：对第一行展开，得

D n=(a+b)A11+ bA12=(a+b)M11-bM12

M11=D n-1,

a b 0 ? 0

0 a+b b ? 0

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

收集自网络，不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学，下载学习。线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

线性代数公式大全最全最完美

线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

线性代数讲义

线性代数讲义线性代数攻略线性代数由两部分组成: 第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策 1. 计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题. 一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则: l 典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积) 例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式： . 解先算|B|=xn;再算|A|：故|C|= |A|(-1)(1+?+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1| =(-1)(1+2n)n(n+x)/x. 例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ]. 分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.) 例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a| =2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ]. 解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了: A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1. 故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵! 例2(上海交大2002) 计算行列式其中,. 本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B10,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn10. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK 例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|. 很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以, |2A2+3E|=3′5′35=525. 例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA￠=I,|A|<0,求|A+I|. 解首先, 1=|AA￠|=|A|2,所以|A|=-1. 其次, |A+I|=|A+AA￠|=|A||I+A￠|=|A||I+A|=-|I+A|, 故|A+I|=0. (涉及的知识点: |A|=|A￠|, (A+B)￠=A￠+B￠.) 例5(1999)设A是m′n矩阵,B是n′m矩阵,则

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

考研线性代数知识点全面总结资料

《线性代数》复习提纲第一章、行列式 1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ?行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D ）（，t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。 3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。

2020考研数学复习指导

2020考研数学复习指导教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业数学一是报考理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，考试的内容是最多的。数学二是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的数学三是报考经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计。高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别数学一最大，数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多，给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少，试题的灵活性也

相对较大。但总的来说，数一数二和数三区别不大，在都考的部分，要求是差不多的，考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题高频的考题其实就是命题的重点，一般的情况下，这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限，是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义，像中值定理来进行极限的计算，这样的内容虽然它未必是高频的考题，但也要重视。 (3)一元函数的微分学，求导运算它是微积分的基础，也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中，数一、数二由参数方程所确定的函数的导数，分段函数的可导性，都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导，它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用，每年是必考的内容，研究函数的性态，函数单调性、极值、最值和凹凸性，极值和最值的问题，就是绝对高频的考点，几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题，也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式，要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学，高频内容就是积分上限函数。要重点掌握

考研数学1——线性代数

第一章行列式（正方形） ............................................................................................................. 2 第二章矩阵（长方形、正方形） ...............................................................................................3 第三章向量组（长方形、正方形） ..............................................................................................6 第四章向量空间R N ...................................................................................................................... 7 第五章齐次方程组和非齐次方程组（长方形、正方形） .............................................................. 8 第六章关于秩的等式和不等式的总结 r(A) . (9) 第七章特征值（正方形） 1 1 1 A ()||n n n i ij i i i i tr A a A ξλξλ λ====?? →==??→=∑∑∏ (9) 第八章相似（正方形） ?方阵相似特征值完全相同 .................................................... 10 第九章二次型化标准型、规范型（正方形） ........................................................................... 11 第十章正定（正方形）T D A D D =存在可逆矩阵，使 (12)

自考04184线性代数(经管类)讲义

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。 1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：解得0

2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式，n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。

考研数学三必背知识点：线性代数

线性代数必考知识点一、行列式 1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。 (4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式 33211232231131221332211331231233221133 32 3123222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置 (1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A

线性代数讲义-01行列式

第一章行列式第一节行列式的定义. 一排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列. 按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列. 定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数. 在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n . 定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列). 例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列. 定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换. 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性. 证如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变. 考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性. 如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数. 例1.1 求排列32514的逆序数. 解按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++. 例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 证将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等. 二行列式定义以前学过二阶与三阶行列式: 2112221122 21 1211a a a a a a a a -=;

2018考研数学线性代数六大考点

跨考考研线性代数在考研数学中占比22%，因此，学好线代很关键。一般，线性代数常考计算题和证明题，因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点，大家注意复习。一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371

历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习

2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习来源：智阅网高等数学在数一中的考点分布相对数二、数三而言比较广，并且出题的角度和方向也比较琐屑，但是也并非无迹可寻。只要我们认真的剖析和剖析考研真题，还是可以发现一些对我们非常有价值的信息。数学在考研中的考试题型不外乎是定义题、计算题、证明题。下面具体为大家剖析高等数学中极限这个大的内容，有哪些考点。极限在数一中还是占着很大的比重，考试的只要考查方式就是求极限，还有就是一些单调有界定理的使用。我们要充分掌握求不定式极限的种种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容；其次就是极限的应用，主要表现为连续，导数等等，对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点，这要求我们直接从定义切入，充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。而线性代数的复习，首先要做到基础过关。线代概念很多，重要的有代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵、正交变换与正交矩阵、秩(矩阵、向量组、二次型)、等价(矩阵、向量组)、线性组合与线性表出、线性相关与线性无关、极大线性无关组、基础解系与通解、解的结构与解空间、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型的标准形与规范形、正定、合同变换与合同矩阵。而运算法则也有很多必须掌握：行列式(数字型、字母型)的计算、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组的秩与极大线性无关组、线性相关的判定或求参数、求基础解系、求非齐次线性方程组的通解、求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)、判断与求相似对角矩阵、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。其次，加强抽象及推理能力。

考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲第一章、行列式（值，不是矩阵） 1．行列式的定义：用2 n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ? 行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑2 1t 211-D ）（，t 为n q q q ?2 1的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解 D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0. ：若齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则其没有非零解。：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。 6. 1 1 2 n r r r n r r r r ==∏O ， () 1 1 (1)2 2 1n r n n r r n r r r r -==-∏N ()n a b a b ad bc c d c d =-O N N O , 12322221231 1 11112 3 1111() n n i j n i j n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ≥>≥----=-∏L L L M M M M L ，（两式要会计算）题型：Page21（例13）第二章、矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；范德蒙德行列

考研数学历年真题线性代数的考点总结

考研数学历年真题线性代数的考点总结考研数学历年真题线性代数的考点总结 ?线性代数章节总结第一章行列式主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进行变形、利用相似关系。06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的则是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题则用到了矩阵的秩的相关性质。 14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。第三章向量

本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。复习的时候要注意结构和从不同角度理解。做题重心要放在问题转换上面。出题方式主要以选择与大题为主。这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是向量组的线性表出就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题，13年考查的则是向量组的等价，14年的选择题则考查了向量组的线性无关性。 15年数一第20题结合向量空间的基问题考查了向量组等价的问题。16年数数一、数三第21题与数二23题考的同样的题，第二问考向量组的线性表示的问题。第四章线性方程组主要考点有两个：一是解的判定与解的结构、二是求解方程。考察的方式还是比较固定，直接给方程讨论解的情况、解方程或者通过其他的关系转化为线性方程组、矩阵方程的形式来考。 06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题，13年考查的第一道大题考查的形式不是很明显，但也是线性方程组求解的.问题。14年的第一道大题就是线性方程组的问题，15年选择题考查了解的判定，数二、数三同一个大题里面考查了矩阵方程的问题。 16年数一第20题矩阵方程解的判断和求解，数三第20题与数二第22题直接考线性方程解的判断和求解，数一第21题第二问解矩阵方程。16年数一、数三第21题与数二第23题第二问直接考矩阵方程解求解，基本都不需要大家做转换。今年数一、数三第20题、数二第22题第二问题都考了抽象的线性方程的求解问题。第五章矩阵矩阵的特征值与特征向量，每年大题都会涉及这章的内容。考大题的时候较多。重点考查三个方面，一是特征值与特征向量的定义、性质以及求法;二是矩阵的相似对角化问题，三是实对称矩阵的性质

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