灰色模型GM(1,1)在物价指数预测中的应用
摘要：本文介绍了灰色预测模型GM(1,1)的理论和方法。依据原始数据，应用GM(1,1)模型对
我国2011年商品零售价格指数进行了预测。预测结果与实际情况吻合程度较好，表明该方法具有一定的实际意义。
关键词：灰色模型；物价指数；预测
物价指数预测对于发展市场经济、促进商品流通、保证人民生活需求、刺激生产发展具有重要作用。影响物价指数的因素很多，如经济增长速度、成本推动、通胀预期等，且部分因素的信息明确，部分因素的信息不明确。从系统的观点来看，物价指数的变动实际上是一个灰色系统，因此，我们预测物价指数需要建立灰色预测模型，即应用序列算子对原始数据进行生成、处理，挖掘系统演化规律，建立灰色系统模型，对系统的未来状态做出科学的定量预测。本文通过收集近十年我国商品零售价格指数的数据，建立GM(1,1)模型来预测我国2011年的商品零售价格指数。
1 GM(1,1)模型
灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，我们称灰色序列生成。灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，数据离乱，但总有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。灰色系统理论的GM(1,1)模型预测称为灰色预测，可分为5类：数据预测、灾变预测、季节灾变预测、拓扑预测、系统预测。数列预测是对系统变量的未来行为进行预测，GM(1,1)是较为常用的数列预测模型[1]。GM(1,1)模型是基于随机的原始时间数列，经过按时间累加后所形成的新的时间数列，其呈现的规律可以用一阶线性微分方程的解来逼近。可以证明这时的原始数列呈指数变化规律。故当原始时间数列隐含着指数变化规律时，GM(1,1)预测将是非常好的预测[2]。 1.1 GM(1,1)模型的基本形式
定义1 设为非负序列
))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x X =
)1(X 为)0(X 的1-AGO 序列
))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x X =
其中，
n k i x k x k
i ,,2,1,)()(1)0()
1( ==∑=
)1(Z 为)1(X 的紧邻均值生成序列
))(,),2(),1(()1()1()1()1(n z z z Z =
其中，
n k k x k x k z ,,3,2)),1()((2
1)()1()
1()1( =-+=
称
b k az k x =+)()()1()0(
为GM(1,1)模型的基本形式。
定理1 设)1()1()0(,,Z X X 如定义1所述，若[]T
b a a
,?=为参数列且 (0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2)
1(3)(3)1,1()()1x z x z Y B x n z n ????
-????-?
???==????????-????
则GM(1,1)模型b k az k x =+)()()1()0(的最小二乘估计参数列满足
[]Y B B B b a a
T T T 1)(,?-== 定义2 设)0(X 为非负序列，)1(X 为)0(X 的1-AGO 序列，)1(Z 为)1(X 的紧邻均值生成序列，[]Y B B B b a T T T
1)(,-=则称
b ax dt
dx =+)1()
1( 为GM(1,1)模型
b k az k x =+)()()1()0(
的白化方程。
定理2 设a Y B
,,如定理1所述，则
（1）白化方程
b ax dt
dx =+)1()
1( 的解也称时间响应函数为
a
b
e a b x t x at +-=-))1(()()1()1(
（2）GM(1,1)模型b k az k x =+)()()1()0(的时间响应序列为 n k a b
e a b x k x
ak ,,2,1,))1(()1(?)0()1( =+-=+- （3）还原值
n k e a
b
x e k x k x k x
ak a ,,2,1,))1()(1()(?)1(?)1(?)0()1()1()0( =--=-+=+- 定义3 称GM(1,1)模型中的参数a -为发展系数，b 为灰色作用量。
a -反映了及的发展态势。GM(1,1)模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来
的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰的[3]。 1.2 GM(1,1)模型的适用范围
根据灰色理论，有下列结论：
（1）当3.0≤-a 时，，1步预测精度为98%，2步和5步在97%以上，GM(1,1)可用于中长期预测；
（2）当5.03.0≤- （3）当8.05.0≤--a 时，不宜采用GM(1,1)模型[4]。 1.3 GM(1,1)模型的精度检验 定义4 设原始序列为 ))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x X = 相应的预测模型模拟序列为 ))(?,),2(?),1(?(?)0()0()0()0(n x x x X = 残差序列为 ))(?)(,),2(?)2(),1(?)1(())(,),2(),1(()0()0()0()0()0()0()0(n x n x x x x x n ---== εεεε 相对误差序列为 n k n x n x x 1) 0() 0() 0(}{)) () (, ,) 2() 2(, )1() 1(( ?==?εεε （1）对于n k ≤，称 ) () () 0(k x k k ε= ? 为k 点模拟相对误差，称 2 11n k k n =?=?-∑ 为平均相对误差； （2）称?-1为平均相对精度，k ?-1为k 点的模拟精度，n k ,,2,1 =； （3）给定α，当α 表1 精度检验等级参照表 相对误差α（指标临界值） 0.01 0.05 0.10 0.20 精度等级 一级 二级 三级 四级 1.4 GM(1,1)模型的建模步骤 设原始非负序列为 ))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x X = 第一步 对原始序列作1-AGO 生成 ))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x X = 第二步 对)1(X 作紧邻均值生成 ))(,),2(),1(()1()1()1()1(n z z z Z = 第三步 确定矩阵Y B , (0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2)1(3)(3)1,1()() 1x z x z Y B x n z n ???? -????-? ???==????????-???? 第四步 求参数列[]T b a , Y B B B a T T 1)(-= 第五步 确定模型 b ax dt dx =+)1() 1( 及时间响应式 n k a b e a b x k x k a ,,2,1,))1(()(?)1()0()1( =+-=-- 第六步 求出)0(x 的模拟值 )1(?)(?)()1()1()0(--=k x k x k x 第七步 精度检验 2 GM(1,1)模型在物价指数预测中的应用 为了预测我国2011年商品零售价格指数，在《中国统计年鉴2010》中收集 2001—2009年我国商品零售价格环比指数数据及在国家统计局数据库查询2010年我国商品零售价格环比指数数据，现整理如下表2。 表2 我国近十年商品零售价格环比指数（上年=100[6] 年份 环比指数 年份 环比指数 2001 99.2 2006 101.0 2002 98.7 2007 103.8 2003 99.9 2008 105.9 2004 102.8 2009 98.8 2005 100.8 2010 103.1 以上表2是我国近十年商品零售价格环比指数数据，选择以2000年物价指数为基数，处理数据见表3. 表3 我国近十年商品零售价格定基指数（2000年为100） 年份 环比指数 年份 环比指数 2001 99.2 2006 102.4 2002 97.9 2007 106.3 2003 97.8 2008 112.5 2004 100.6 2009 111.2 2005 101.4 2010 114.6 2.1 模型应用 分别以环比指数、定基指数的数据作为原始数据，应用GM （1,1）模型预测我国今年的零售物价环比指数和定基指数[11]。 环比指数预测 原始序列为 )1.103,8.98,9.105,8.103,0.101,8.100,8.102,9.99,7.98,2.99()0(=X 第一步 对原始序列作1-AGO 生成 )0.1014,9.910,1.812,2.706,4.602,4.501,6.400,8.297,9.197,2.99()1(=X 第二步 对1-AGO 序列作紧邻均值生成 )5.962,5.861,2.759,3.654,9.551,0.451,2.349,9.247,6.148()1(=Z 第三步 确定矩阵Y B , 148.6 198.7247.9199.9349.21102.8451.01100.8,551.9 1101.0654.31103.8759.21105.9861.5198.8962.51103.1B Y -???? ????-? ???????-? ???-????????==-? ???-???? ????-? ???-???? ????-? ??? 第四步 求参数列[]T b a ,得 ?? ? ???-==-5245.990038.0)(?1Y B B B a T T 第五步 确定模型 5245.990038.0)1() 1(=-x dt dx 第六步 求出)0(x 的模拟值 )2.103,8.102,4.102,0.102,6.101,3.101,9.100,5.100,1.100,2.99(?)0(=x 第七步 精度检验 由表4可算出残差平方和 0014.38==εεT s 平均相对误差为 %5672.19110 2 =?=?∑=K K 由误差计算结果及表1可知，该模型精度较高[12]。 表4 误差检验表 序号 原始数据 模拟数据 残差 相对误差（%） 2 98.7 100.0955 -1.3955 1.41% 3 99.9 100．4793 -0.5793 0.58% 4 102.8 100.864 5 1.9355 1.88% 5 100.8 101.2512 -0.4512 0.45% 6 101.0 101.6394 -0.6394 0.63% 7 103. 8 102.0291 1.770 9 1.70% 8 105.9 102.4203 3.4797 3.26% 9 98.8 102.8130 -4.0130 4.06% 10 103.1 103.2072 -0.1072 0.10% 定基指数预测 原始序列为 )6.114,2.111,5.112,3.106,4.102,4.101,6.100,8.97,9.97,2.99()0(=X 第一步 对原始序列作1-AGO 生成 )9.1043,3.929,1.818,6.705,3.599,9.496,5.395,9.294,1.197,2.99()1(=X 第二步 对1-AGO 序列作紧邻均值生成 )6.986,7.873,9.761,5.652,1.548,2.446,2.345,0.246,2.148()1(=Z 第三步 确定矩阵Y B , 148.2197.9246.0197.8345.21100.6446.21101.4,548.1 1102.4652.51106.3761.91112.5873.71111.2986.61114.6B Y -???? ????-? ???????-? ???-????????==-? ???-???? ????-? ???-???? ????-? ??? 第四步 求参数列[]T b a ,得 ? ? ? ???-==-9026.920217.0)(?1 Y B B B a T T 第五步 确定模型 9026.920217.0)1() 1(=-x dt dx 第六步 求出)0(X 的模拟值 )3.114,8.111,4.109,1.107,8.104,5.102,3.100,2.98,1.96,2.99(?)0(=X 第七步 精度检验 由表5可算出残差平方和 0495.21==εεT s 平均相对误差为 %1469.19110 2 =?=?∑=K K 由误差计算结果及表1可知,该模型精度等级接近一级。 2.2 预测 经检验，应用GM(1,1)模型预测我国2011年零售价格环比指数、定基指数时，模拟精度都较高，可用于预测。通过计算，我国2011年商品零售价格环比指数预测值为103.6029，定基指数预测值为116.7941，转换成环比指数为101.9146. 2.3 结果分析 国家统计局数据库的数据显示，我国2011年第一季度零售物价指数比2010年第一季度上涨4.2%，这虽不代表全年的物价指数，但能说明今年物价上涨幅度较大。比较环比指数预测与定基指数预测结果，环比指数预测数据与实际数据较吻合，但并不表明应用GM （1,1）模型预测物价指数时，原始数据用环比物价指数比用定基物价指数预测结果更具有实际意义。GM （1,1）建模的基础都是假定原始数 据序列服从近似齐次指数增长规律，在物价指数运行相对平稳的情况下，定基物价指数比环比物价指数更具指数增长规律[7]。如果选择定基指数中2004-2010年的数据作为原始数据建立GM（1,1）模型，预测结果转换成环比指数为103.2.GM（1,1）模型在物价指数预测的应用中，在不断补充新信息的同时，及时的去掉老信息，建模序列更能反映系统在目前的特征[8]。 表5 误差检验表 序号原始数据模拟数据残差相对误差（%） 2 97.9 96.0910 1.8090 1.85% 3 97.8 98.1970 -0.3970 0.41% 4 100.6 100.3491 0.2509 0.25% 5 101.4 102.5484 -1.1484 1.13% 6 102.4 104.7959 -2.3959 2.34% 7 106.3 107.0926 -0.7926 0.75% 8 112.5 109.4397 3.0603 2.72% 9 111.2 111.8382 -0.6382 0.57% 10 114.6 114.2893 0.3107 0.27% 3 模型的优缺点 GM（1,1）模型用于物价指数预测，通常情况下，符合系统的灰色特性，实用性好，预测结果与实际较吻合。模型所用数据较少，原理简单，计算量适中，结果精度较高等诸多优点。当GM(1,1)模型的预测结果精度不能满足要求时，可采用残差模型予以修正[9] [10]。随着时间的推移，灰色预测模型将要吸收新的信息，不断进行修正，以提高预测的精度。但GM(1,1)模型适用于具有明显指数规律的序列，只能描述单调的变化过程。总之，GM(1,1)作为一种有效的预测方法已经在各行各业得到广泛的应用。 结束语 在物价指数运行相对平稳的情况下，GM（1,1）模型预测具有一定的实际意义，当物价指数起伏较大时，GM(1,1)模型预测精度不高，对于一个具体问题，应以充分的定性分析结论为依据，模型的选择不是一成不变的，一个模型要经过多种检验才能判断其是否合理，是否有效。通过检验，可以进行预测。 [参考文献] [1] 刘思峰，党耀国，方志耕等.灰色系统理论及其应用[M].第五版.北京：科学出版社，2010. [2] 吴传绪.灰色模型GM（1,1）在物价指数预测中的应用[J].陕西工学院学报.1998,14(3):42-45. [3] 刘思峰，党耀国，方志耕等.灰色系统理论及其应用[M].第五版.北京：科学出版社，2010. [4] 王庚，王敏生.现代数学建模方法[M].北京：科学出版社，2008. [5] 刘思峰，党耀国，方志耕等.灰色系统理论及其应用[M].第五版.北京：科学出版社，2010. [6] 中华人民共和国国家统计局.中国统计年鉴2010[M].北京：中国统计出版社，2010. [7] 冉茂盛，严太华，袁隽.用灰色模型方法预测我国物价变动趋势[J].管理工程学报.1997,11（3）184-188. [8] 吉红梅.灰色模型在社会经济预测中的应用[J].黑龙江交通科技.2010(7):232-233. [9] 王威，李积源，黎放.利用灰色理论与时间序列探讨我国物价指数的发展变化[J].海军工程学院学报.1995(7):61-68. [10] 程浩然.关于物价指数模型的改进及应用[J].黄冈师范学院学报.2009,29(6):16-20. Application of grem model of GM(1,1) in forecast of the price index Gao Jianwei (Department of Mathematics,Xi’an University of Arts and Science,Xi’an 710065,China) Abstract: The theory and method of grem forecast model of GM(1,1) are discussed. 2011 price index are forecasted by the original data..Results of prediction are quite in agreement with the practical condition, which shows this method have some practical value. Keywords: Grey model; price index; forecast
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