中点三角形之一（medial triangle ）
【准备工作】
定理1：直角三角形斜边上的中线等与斜边的一半。或者 斜边：斜边上的中线=2:1。如图1/2
图1 图2
定理2：直角三角形外接圆圆心就是斜边的中点。如图3
定理3：圆的直径所对的圆周角都是直角（π/2）。如图4
图3
图4
四点共圆的几种情形
1. 当AB ⊥BC ，AD ⊥DC 时，A 、B 、C 、D 四点共圆，参见图5-1。
2. 当四边形ABCD 有一组对角互补，则A 、B 、C 、D 四点共圆，参见图5-2。
3. 当∠ADC=∠ACB ，则A 、B 、C 、D 四点共圆，参见图5-3。
4.
等腰梯形的四点共圆，参见图5-4。
图5-1
图5-2
图5-3
图5-4
【重要概念及定理】 中点三角形定义与性质
1. 如图8，中点三角形△DEF ，满足
S △DEF =S △AEF =S △BDF =S △CDE =(1/4)S △ABC
2. 四边形AFDE ，FEDB ，FECD 都是平行四边形。
E
A
D
B
3. 中点三角形△DEF 与原三角形△ABC 共重心G （centroid ）。
图8 图9
【延伸】中点四边形，如图9，自己画图并证明中点四边形是平行四边形。当ABCD 为特殊四边形（如平行四边形，矩形，梯形，正方形，筝形，菱形，……）时，它的中点四边形又会是怎样？可以分别讨论。
定理4 任意三角形的重心G 、外心O ，垂心H ，共线，这条线叫欧拉线，且G 分HO 的比例为2:1，即HG ：GO=2:1。如图10
Theorem 4. The orthocentre, centroid and circumcentre of any triangle are collinear. The centroid divides the distance from the orthocentre to the circumcentre in the ratio 2 : 1.
从D 、F 作对边垂线，交点为O ，则点O 就是△ABC 的外心（circumcentre ），
即△DEF 的垂心（orthocentre ）与△ABC 的外心共点。
设△ABC 的垂心为H ，则G 在HO 上，GHO 三点共线，称为
欧拉线。
因为AH ⊥BC ，OD ⊥BC ，∴AH ∥OD ，?△AGH ～△DGO 因为G 是△ABC 的重心，所以G 在中线AD 的三等分点上，
且满足AG=2GD ，所以 AH=2OD ，GH=2OG ，G 也在HO 的三等分点上。
定理5 △ABC 的垂足（feet of altitudes ）都落在中点三角形DEF 的外接圆上。
Theorem 5. The feet of the altitudes of a triangle ABC lie on the circumcircle of the medial triangle DEF. 如图11
在Rt △AA[2]C 中，A[2]E=(1/2)AC ，DF ∥AC ，DF=(1/2)AC ，所
以 四边形FEA[2]D 是等腰梯形 （isoceles trapezoid ） 等腰梯形有一个圆内接四边形 （cyclic quadrilateral ），（一组对角互补）
说明A[2]落在△DEF 的外接圆（circumcircle ）上。同理 B[2]，C[2]都落在△DEF 的外接圆上。
定理6 连接三角形顶点到垂心的线段的中点在中点三角形的外接圆上。如图12 Theorem 3 The 3 midpoints of the line segments joining the
orthocentre of a triangle to its vertices all lie on the circumcircle of
the medial triangle.
连接 AH ，取其中点A[3]，A[3]也在中点△DEF 的外接圆上。 因为 DF ∥AC ，FA[3]∥BH ，BH ⊥AC ，
B
2B
A 2
D B 图10
图11
同理 EA[3]⊥DE ，
∴四点 DEA[3]F 共圆。（四边形一组对角互补）
同理 B[3]，C[3]也与中点三角形DEF 共圆。
定理7 △ABC 的九点圆：△ABC 的中点△DEF 的三个顶点D 、E 、F ，△ABC 的三个垂足A 2，B 2，C 2，顶点到垂心H 的连线的中点A 3，B 3，C 3，这9个点共圆。如图13
因为A[3]F ⊥DF ，所以 9点圆的圆心就是DA[3]的中点。 同理也是EB[3]的中点，FC[3]的中点。记为外接圆圆心N （Circumcenter ） 设点H 关于D 的对称点为A[4], 则A[4]在△ABC 的外接圆上。
如图14，不难得到四边形BHCA[4]是平行四边形。 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）
因为BH ⊥AC ，A[4]C ∥BH ，∴A[4]C ⊥AC ， 同理 A[4]B ⊥AB ，∠ABA[4]+∠ACA[4]=180°， 故 A[4]在△ABC 的外接圆上，
同理 B[4]，C[4]也在△ABC 的外接圆上。
定理8：九点圆的圆心在欧拉线HO 上，且是HO 的中点N 。如图15 考查△AHA[4]，A[3]、D 、O 分别是线段AH 、HA[4]、AA[4]的中点， ∴HDOA[3]是平行四边形。故 HO 与A[3]D 互相平分。 我们已经知道9点圆的圆心就是A[3]D 的中点（定理7）， 所以HO 的中点也是9点圆的圆心N 。
图14 图15 图16 图17
定理9：九点圆的半径是△ABC 的外接圆半径的一半。如图16 不难发现 A 3D ∥AA 4，AA 3=(1/2)AA 4。
定理10 垂心关于垂足的对称点都在原三角形的外接圆上。如图17 如图H 关于A[2]的对称点为A[5]，H 关于B[2]的对称点为B[5]，H 关于C[2]的对称点为C[5]，
∠BHC=∠C[2]HB[2], ∠C[2]HB[2]+∠BAC=180°,△BHC ?△BA[5]C ? ∠BA[5]C=∠BHC ， ∴∠BA[5]C+∠BAC=180°,A,B,C,A[5]四点共圆。 同理 B[5]，C[5]也在△ABC 的外接圆上。
小结：欧拉线上的点分布。Euler Line: (HN/NO)=1, (HG/GO)=2，四点共线HONG
C
4
4
4
B
4
B
C 5
5
H
O
B 图12 图13
定理11 任意三角形的垂足H、重心G和外接圆圆心O三点共线。如图18
Theorem 11. The orthocentre H , centroid G and circumcentre O of a triangle are collinear points
证明：由前面知道，
设G'是△HAA'的重心，则
(HG'/G'O)=(AG'/G'D)=(2/1)（重心的性质），
另外，AD是△ABC的中线，故
△ABC的重心G也在AD上，且
(AG/GD)=(2/1)，
故G和G'共点，满足
(HG/GO)=2
【总结】欧拉线是四点共线，HONG（垂心，外心，九点圆心，重心）
中点三角形之二
【定理12】圆内接四边形ABCD，连接对角线，构成4个三角形，设H A,H B,H C,H D分别△BCD，△ACD，△A BD，△A BC的垂心，则
H A、H B、H C、H D四点共圆，且与原始四边形ABCD是全等形。
【Theorem12】Let ABCD be a cyclic quadrilateral and let H A, H B, H C and H D denote the orthocentres of the diagonal triangles BCD; CDA; DAB and ABC respectively. Then the quadrilateral H A H B H C H D is cyclic. It is also congruent to the quadrilateral ABCD.
【证明】4个对角三角形的外心与原四边形的外接圆的圆心一致。
取CD的中点M，作H[A]，H[B]关于M的对称点A'，B'。有
（1）ABB'A'是矩形，
（2）H[A]H[B]=A'B'，H[A]H[B]∥A'B'，
参见图14的结论，可得AB'=BA'为直径。
从而AB=A'B'，AB∥A'B'。
再由△A'MB'?△H[A]MH[B]，可得（2）式。
同理可证其它边也是相等的。
【实例12】如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。
证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q
连结AH，BD，QC，QH
∵AB为直径∴∠ADB＝∠BDQ＝900
∴BQ为⊙O2的直径
于是CQ⊥BC，BH⊥HQ
∵点H为△ABC的垂心∴AH⊥BC，BH⊥AC
∴AH∥CQ，AC∥HQ，故四边形ACHQ为平行四边形
则点P为CH的中点。
【2011年全国初中数学竞赛试题第12题】
【定理13】求证：圆内接四边形面积公式（四点共圆的凸四边形面积公式）
1
()
2
ABCD
S p a b c d
==+++，当d=0时，就是三角形的面积公
D
A'
D
A
式之一的海伦-秦九韶公式
1
),
()2
ABC S p a b c ?=
=++。 证明：利用海伦-秦九韶公式证明四点共圆的凸四边形面积公式。 如果ABCD 是平行四边形，显然成立。
如果ABCD 不是平行四边形，不妨设DA 与CB 相交于点E 。设ED=e ，EC=f ，且AB=a,BC=b,CD=c,AD=d, a ≠c,由海伦公式得到
ECD S ?= （1）
因为 ∠1=∠3=180°-∠2，∴△EAB ～△ECD ，
∴2
2ECD EAB S c S a ??=，利用分比定理，得到 22
2ABCD ECD S c a S c ?-=
（2） 由相似还可得
,,e d a f b
f c e
e d
f f b e
a c a c
--==?--==
所以
()e f e f b d c
e f b d c a c a ++--=?+=+- 同理，()e f e f b d c
e f b d c a c a --+-=-?-=-++ ∴ c+e+f=c c a - (-a+b+c+d), c+e-f=c
c a + (a-b+c+d)
c-e+f=c c a + (a+b+c-d), -c+e+f=c
c a
- (a+b-c+d)
代入（1）式化简即可得到：令p=(1/2)(a+b+c+d)
ECD
S
= (3) 代入（2）式，得到
1
()2
ABCD S p a b c d ==
+++
【定理14】任意四边形的面积公式：
121
sin 2
ABCD S d d ?=
p=(1/2)(a+b+c+d), θ=(1/2)(∠A+∠C) 或(1/2)(∠B+∠D)
【命题1】圆内接四边形ABCD ，圆O[1]，O[2]，O[3]，O[4]分别过点对(A, B), (B,C), (C,D), (D,A)，两两依次相交于点A[1], B[1], C[1], D[1], 则A[1], B[1], C[1], D[1] 这四点共圆。 【Proposition 1】Let ABCD be a cyclic quadrilateral and let C1; C2; C3and C4 be circles through the pair of points (A ，B)；(B ，C)；(C ，D)；(D ，A) and which intersect at points A 1, B 1, C 1 and D 1. Then A 1B 1C 1D 1 is cyclic.
【证明】四点共圆的判别条件有：一个外角等于它的内对角。
设CB 延长线上一点E ，有∠EBA=∠ADC ，
内接四边形 C[1]CDD[1]中， ∠C[2]C[1]D[1] = ∠CDD[1]
∠D[2]D[1]C[1] = ∠C[1]CD
内接四边形 BCC[1]B[1]中，
∠C[2]C[1]B[1] =∠CBB[1] ∠B[2]B[1]C[1] = ∠C[1]CB 内接四边形 BB[1]A[1]A 中， ∠B[2]B[1]A[1] = ∠BAA[1] ∠A[2]A[1]B[1] = ∠ABB[1] 内接四边形 AA[1]D[1]D 中，
∠A[2]A[1]D[1] = ∠ADD[1] ∠D[2]D[1]A 1 = ∠DAA[1]
相加得到
∠C[1]D[1]A[1] + ∠C[1]B[1]A[1]
= ∠C[1]D[1]D[2] +∠D[2]D[1]A[1] +∠C[1]B[1]B[2] +∠B[2]B[1]A[1] = ∠C[1]CD + ∠A[1]AD + ∠C[1]CB + ∠BAA[1] = (∠C[1]CD+∠C[1]CB)+(∠A[1]AD+∠BAA[1]) = ∠BCD + ∠BAD = 180° 同样可得
∠B[1]A[1]D[1] + ∠B[1]C[1]D[1] = 180° 故 A[1]、B[1]、C[1]、D[1] 四点共圆。
再次证明定理12 圆内接四边形ABCD ，连接对角线，构成4个三角形， 设H[A],H[B],H[C],H[D]分别△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的垂心， 则H[A] H[B] H[C] H[D] 四点共圆。 【证明】：△BCD 中，∠CA'D=180°-∠CBD ， △CDA 中, ∠CB'D=180°-∠DAC ， 而 ABCD 共圆，所以 ∠CBD=∠DAC
故 ∠CA'D=∠CB'D ，∠CH[A]D=∠CH[B]D
即有 C 、D 、H[B]、H[A] 四点共圆。 同理可得 H[B]、D 、A 、H[C] ; H[C]、A 、B 、H[D]
和H[D]、B 、C 、H[A] 都是共圆的。
利用命题1 可得 H[A]、H[B]、H[C]、H[D]四点共圆。
H D
H C
B D
【命题2】 I 为三角形ABC 的内心，则有 ∠BIC = (1/2)(∠RIP+∠PIQ)=(1/2)(360°-∠RIQ) =(1/2)(360°-180°+∠A)=90°+(1/2)∠A
【定理13】 圆内接四边形ABCD ，
I A ，I B ，I C ，I D 分别是对角线△BCD ，△CDA ，△DAB 和△ABC 的三个内心，则这四个内心共圆。
【Theorem 13】 If ABCD is a cyclic quadrilateral and if IA; IB; IC; ID are the incentres of the diagonal triangles BCD; CDA; DAB and ABC , respectively, then the points IA; IB; IC and ID form a cyclic quadrilateral.
【证明】：由命题2，可得
∠BI[D]C=90°+(1/2)∠BAC ∠BI[A]C=90°+(1/2)∠BDC
∵ ∠BAC=∠BDC
∴ ∠BI[D]C=∠BI[A]C ∴ BCI[A]I[D]共圆。 同理 可得 CDI[A]I[B]，ADI[C]I[B]，ABI[C]I[D]共圆
由命题2 ，可知 四个内心共圆。
【定理14】 圆内接四边形ABCD ，G A ，G B ，G C ，G D 分别对应四个对角三角形BCD ，CDA ，DAB 和ABC 的重心，则四边形G A ，G B ，G C ，G D 与原四边形ABCD 相似，且相似比为1:3 【Theorem 14】 If ABCD is a cyclic quadrilateral and G A , G B , G C and G D are the centroids of the diagonal triangles BCD; CDA; DAB and ABC , respectively, then the quadrilateral
G A G B G C G D is similar to ABCD. Furthermore, the ratio of the lengths of their corresponding circles is 1/3. 【证明】 1. 四边形ABCD 与△BCD ，△CDA ，△DAB ，△ABC 共同一个外接圆圆心O 。 2. 连接OH[A]，OH[B],OH[C], OH[D], 则重心G[A]，G[B]，G[C]，G[D]分别在这些线段上。
3. 由于HO 是欧拉线，故有
13
C A B
D A B C D OG OG OG OG OH OH OH OH ==== 4. 从而 G[A]G[B]G[C]G[D]与H[A]H[B]H[C]H[D]相似，且相似比为1/3.
【定理15】 圆内接四边形ABCD ， A 、C 到对角线BD 的垂足分别为A[1]、C[1]， B 、D 到对角线AC 的垂足分别为B[1]、D[1]， 则有 A[1]、B[1]、C[1]、D[1]共圆。 【证明】
1. BCC[1]B[1] 共圆（BC 为直径）
2. CDC[1]D[1] 共圆（CD 为直径）
3. DAA[1]D[1] 共圆（DA 为直径）
由命题1可知
A[1]B[1]C[1]D[1] 四点共圆。
作图题1：已知两圆，作第三个圆，与已知两圆外切。
【步骤】
1. 已知圆A和圆B，以A为圆心，适当长为
半径作新圆A'，
设圆A与圆A'半径相差△r，
2. 在圆B上任取一点C，以C为圆心，△r为
半径画圆C；
3. 以B为圆心，BC+△r为半径画圆B'；
4. 圆A'与圆B'相交的点就是所求圆D的圆心。
作图题2：已知三点为圆心，作两两外切之三圆。
【步骤】
1. 已知三点A、B、C，构造三角形；
2. 先作△ABC的内心I，
3. 过I作△ABC的三条垂线，
4. 三个垂足就是切点。
【命题3】弦切角计算公式
∠BAD=(1/2)∠AOB=∠ACB
【定理16】四圆定理（四个外切的圆）
如图外切的四个圆的四个切点共圆。
G
五年级平行四边形和三角形练习专题 一、填空题 1、一个平行四边形的底是14厘米，高是9厘米，它的面积是（）；与它等底等高的三角形面积是（）。 2、一个三角形比与它等底等高的平行四边的面积少30平方厘米，则这个三角形的面积是 （）。 3、一个三角形的面积是4.5平方分米，底是5分米，高是（）分米。 4、在推导平行四边形面积计算公式时，可把平行四边形通过割补平移转化为( )形去推导，推导三角形面积计算公式时，可把两个完全一样的三角形拼成一个( )形去推导，推导梯形面积计算公式时，可把两个完全一样的梯形拼成一个( )形进行推导。 5、两个一样的三角形通过（）、（）可以拼成平行四边形，平行四边形的面积（）两个三角形面积的和。 6、同底同高的平行四边形的面积是三角形面积的（）倍。 7、一个三角形底5dm，高6dm，面积是（），与它等底等高的平行四边形面积是（）8、直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，这个直角三角形面积是( )平方厘米。 9、一个三角形的面积是25平方厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是()平方厘米。 10、一个平行四边形的底是6厘米，高是14厘米，它的面积是（）平方厘米，与它等底等高的三角形面积是（）平方厘米。 11、一块平行四边形田地，底是25米，高是17米，这块田地的面积是( )平方米。 12、一个直角三角形的面积是48平方米，一条直角边6米，另一条直角边( )米。 二、判断题 1.三角形面积是平行四边形面积的一半。( ) 2.平行四边形可以由两个完全相同的三角形拼成。( ) 3.周长相等的平行四边形面积也相等。( ) 4.面积相等的三角形一定等底等高。( ) 5.等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。（） 三、求下面图形的面积。 四、应用题 10cm 9cm 12dm 8dm
第七单元三角形、平行四边形和梯形 课题：认识三角形第 1 课时总第课时 教学目标： 1.通过动手操作和观察比较，认识三角形的特点，理解和掌握三角形的定义。 2.结合具体情境认识三角形的底和高，理解并掌握三角形高和底的含义，能在三角形内画出对应边上的高。 3.在学习活动中培养学生的空间思维能力，感受数学知识与生活的密切联系。 教学重点：认识三角形的基本特征。 教学难点：画三角形指定边上的高。 教学准备：课件 教学过程： 一、情境引入 1.课件出示教材第75页例题1情境图。 师：同学们，我们以前认识过三角形，仔细观察情境图，你能在图上找出三角形吗？ 学生先说说哪里有三角形，再让学生在图上描出来。 提问：生活中哪些物体上也有三角形呢？ 师生交流后说一说。 2.导入新课。 三角形在我们的生活中有着广泛的应用，它有什么特点呢？这节课我们就来深入探究三角形的相关知识。（板书课题） 二、交流共享 （一）认识三角形的定义 1.画三角形。 师：大家找了这么多三角形，能想办法画一个三角形吗？ 学生用三角板在练习本上画出一个三角形。 2.观察三角形的特点。 （1）请同学们在小组内观察画出的三角形，想一想：三角形有什么特点？把你的想法在小组内交流。 （2）组织全班交流。 通过交流，引导学生得出三角形的以下特点： ①三角形有3条边，3个角。
②三角形的3条边都是线段。 ③这3条线段要首尾相接地围起来。 3.认识三角形的定义。 教师指出：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。 教师在黑板上画出一个三角形，引导学生观察这个三角形，说一说：三角形有几个顶点？分别指出三角形的3个顶点、3条边和3个角。 教师结合学生的汇报，在三角形上标出“顶点”“角”“边”。 4.完成教材第75页“试一试”。 （1）出示题目，学生读题，说说各自对题目的理解。 （2）学生独立在教材的方格纸上画一画后，教师展示学生的画法。 （3）观察比较。 提问：观察图形，你有什么发现？ 引导学生发现：不在同一条直线上的三个点都能画出一个三角形。 （二）认识三角形的高和底 1.课件出示教材第76页例题2人字梁图。 学生独立观察图。师提问：你能量出右图中人字梁的高度吗？ 学生动手在教材上的人字梁图上量一量。 2.组织交流。 提问：你量的是哪条线段？它有什么特点？ 指名学生结合投影图说一说。 明确：人字梁的高度是上面的顶点到它对边的距离；量的线段与人字梁的底边互相垂直；图中人字梁的高度是2厘米。 3.介绍三角形的高和底。 教师结合图进行介绍：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 强调：高要用虚线表示，并标上垂直符号。 在黑板上先画一个三角形，教师边示范边说：以这条边为底，现在要找它的高。 教师用三角板的直角边和它重合，（不断移动）说说它的垂线有多少条？（无数条）其中只有一条很特殊，你能说说是哪一条吗？（从对面的顶点画下来的这条垂线）用虚线画一画。 三、反馈完善 1.完成教材第76页“试一试”。 先让学生在教材的三角形上画出底边上的高，然后和同学交流画法。
初三几何教学设计 武汉二中广雅中学 李鸿运 课 题：圆的内接四边形 【教学目标】： 教学目标：1、知道圆内接多边形和多边形的外接圆的定义 2、理解并会阐述圆内接四边形的性质定理 3、会运用圆内接四边形性质定理证明有关几何问题 4、培养学生的识图能力、发散思维能力、构造能力以及应用所学知识分析问题和解决问题的实践能力 重 难 点： （1）圆内接四边形的性质定理的证明及其应用 （2）构造圆内接四边形 教 程： 一、引导 1、（学生自己动手）画⊙O ，在⊙O 任取A 、B 、C 三点，连AB ，BC ，CA ，则△ABC 叫⊙O 的 三角形；⊙O 叫△ABC 的 圆。 2、（学生自己动手）画⊙O ，在⊙O 任取A 、B 、C 、D 四点，并顺次连接AB ，BC ， CD ，DA ，观察四边形ABCD 与⊙O 的特殊位置关系（学生用类比的方法得到）。 说明多边型的外接圆，圆内接多边形。 二、探索 圆内接四边形的四个内角之间有什么关系？试证明你的结论。 （1）引导学生猜想四个内角之间的关系，若学生回答∠A+∠B+∠C+∠D= 360，予以肯定（多边形内角和定理）。 （2）继续引导学生探索：∠A+∠C 是多少度？ （这是本节课要突破的重点，关键点）这里放手让学生交流、讨论，教师根据现场的情况可适当点拨圆心角定理、圆周角定理的应用，必须由学生们共同得出结论： 圆内接四边形对角互补，即在圆内接四边形ABCD 中，∠A+∠C= 180，∠B+ ∠
D= 180。 （3）若E 是BC 延长线上一点，∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，你能发现∠DCE 与四边形ABCD 内角之间的关系吗？ 引导学生根据圆内接四边形对角互补得出： 圆内接四边形的一个外角都等它的内对角。 定理：圆内接四边形对角互补，并且每一个外交都等于它的内对角。 三、巩固 1、如图，⊙O 与⊙Q 都经过M ，N 两点，根据定理写出图中四对相等的角。 （1） （2） （3） （4） 2、如图，⊙O 与⊙Q 都经过A 、B ，图中有两组相等的角，各组有三只角相等，请 写出来： 四、例题解析： 例：如下图，⊙O 、⊙Q 都经过A 、B 两点，经过A 点的直线CD 与⊙O 交于C ，与⊙Q 交于D ，经过B 点的直线EF 与⊙O 交于点E ，与⊙Q 交于点F ，求证：CE ∥DF 。 引导分析：（1）怎样证明两条线的平行？ （2）由图形可联想到怎样的四边形？ （3）构造圆接四边形（圆和圆相交，常作公共弦）。 证明：由学生自主完成。 五、变式
平行四边形和三角形的面积 一、填空（每空2分，总分40分） 1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来的平行四边形（）。这个长方形的长与平形四边形的底（），宽与平行四边形的高（）。平行四边形的面积等于（），用字母表示是（）。 2、两个完全一样的三角形能拼（），所以三角形的面积等于（）。用字母表示是（）。 3、0.85公顷=（）平方米 9.28平方米=（）平方分米 4、（1）已知一个平行四边形底为7cm，高为 5.2cm，则面积为（）平方厘米 （2）平行四边形的底为9.8分米，面积为117.6平方分米，则高是（）分米 （3）若平行四边形面积是505平方米，高为20.2米，则它的底为（）米 5、一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是（）。 6、一个三角形的面积是 4.8平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（）。 7、一个三角形与一个平行四边形面积相等，高相等，已知平行四边的底是16cm，三角形的底是（）cm。 8、一个平行四边形，底扩大2倍，高也扩大2倍，这个平行四边形的面积（）。 9、一个直角三角形的两条直角边长分别为10厘米和5厘米，它的面积是（）。用这样的两个直角三角形可以拼成一个（）形。 10、一个三角形的底是一个平行四边形的2倍，它们的高相等，它们的面积是（）。 三、判断题(每题2分，总分10分) （1）两个形状相同的三角形可以拼成一个平行四边形。（） （2）三角形面积等于平行四边形面积的一半。（） （3）三角形的底越长，面积就越大。（） （4）三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，面积就扩大6倍。（） （5）等底等高的两个三角形，面积一定相等。（） 三、选择：（每题2分）
姓名分数 一、填空。 1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来的平行四边形（）。这个长方形的长与平形四边形的底（），宽与平行四边形的高（）。平行四边形的面积等于（），用字母表示是（）。 2、两个完全一样的三角形可以拼成一个( ).每个三角形的面积等于所拼图形面积的( )，所以三角形的面积=( )，如果用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，h表示三角形的高，那么三角形的面积公式可以写成( ) 3、一个等边三角形的周长是12厘米，高是3厘米，它的面积是( ). 4、一个等腰三角形的周长是18分米，腰是7分米，底边上的高是3分米，它的面积是( ). 5、三角形一条边长是4分米，这条边上的高是6分米；另一条边长是3分米，则这条边上的高是( ). 6、一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是（）平方分米。 7、一个平行四边形的底是12厘米，面积是156平方厘米，高是（）厘米。 8、等底等高的平行四边形面积都（）。一个平行四边形的周长为46厘米，一边的长为14厘米，另外三边的长分是（）、（）、（）。 9、一个直角三角形的面积是16平方厘米，一个直角边长是4厘米，另一个直角边长是( )厘米. 10、平行四边形的面积是和它等高等底三角形面积的( )倍. 二、判断题。 1、平行四边形的面积等于长方形面积。（） 2、一个三角形的底和高都是6厘米，它的面积就是36平方厘米。( ) 3、一个三角形的底扩大5倍，高不变，面积也扩大了5倍。( ) 4、一个平行四边形的底是5分米，高是20厘米，面积是100平方分米。（） 5、等底等高的两个平行四边形面积也相等。（） 三、选择题。 1、平行四边形的底扩大6倍，高缩小3倍，它的面积（）。 ①不变②扩大6倍③缩小3倍④扩大2倍 2、两个完全一样的三角形，可以拼成一个（）
梳理知识（知识要点如下）： 1、单位进率 （1）长度单位换算： 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1米=100厘米 （2）面积单位换算： 1平方米=100平方分米1公顷=10000平方米 1平方千米=100公顷 1平方分米=100平方厘米1平方米=10000平方厘米 （3）重量单位换算： 1吨=1000千克 1千克=1000克 2、平行四边形面积公式推导过程：先画出平行四边形的底和高，沿平行四边形 的高剪下，通过移拼，可以拼成一个长方形。拼成长方形的长与平形四边形的底相等，长方形的宽与平形四边形的高相等，拼成长方形的面积与平形四边形面积相等，因为长方形面积等于长乘以宽，所以平行四边形等于底乘以高。S =ah s=ah (平行四边形的面积=底×高) a=s÷h (平行四边形的底=面积÷高) h=s÷a (平行四边形的高=面积÷底) 等底等高的平行四边形，面积也相等 3、三角形面积公式推导过程：把两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边 形，拼成平行四边形的底与三角形的底相等，平行四边形的高与三角形的高相等，每个三角形的面积是拼成平形四边形面积的一半，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍。因为平形四边形的面积等于底乘以高，所以其中一个三角形面积等于底乘以高除以2。S =ah÷2。 S=ah÷2 （三角形的面积=底×高÷2） a=s×2÷h (三角形的底=面积×2÷底) h=s×2÷a(三角形的底=面积×2÷高) 等底等高的三角形，面积也相等 4、计算多边形面积时，底和高要对应，单位名称要统一。 达标测试: 1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来平行四边形的面 积( )，这个长方形的长等于原平行四边形的( )，这个长方形的 宽等于原平行四边形的( )。长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边 形的面积等于( )乘( )，用字母表示的公式为 ( )。 2、两个完全一样的三角形能拼（），所以三角形的面积等于（）。用字母表示是（）。 3、一个平行四边形的底为15分米，高为18分米，面积为( )平方分
平行四边形与三角形面积练习题 姓名家长签字 一、填空 1.利用割补法，可以把一个平行四边形转化成一个（），它的面积与平行四边形的面积（），它的（）与平行四边形的底相等，它的（）与平行四边形的高相等。因为它的面积等于（），所以平行四边形边的面积等于（）。 2．平行四边形的面积公式用字母表示可以写作（），也可以写作（）。还可以写作（）。 3．两个完全一样的三角形能拼（）所以三角形的面积等于（）。用字母表示是（）。 4. 0.85公顷=（）平方米 0.56平方千米=（）公顷 86000平方米=（）公顷 9.28平方米=（）平方分米=（）平方厘米 5. 平行四边形的底是2分米5厘米，高是底的1.2倍，它的面积是（）平方厘米。 6.一个三角形的底是4分米，高是30厘米，面
积是（）平方分米。 7.一个三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四边形的面积是（）平方分米。 8.一个三角形面积是4.8平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（） 9．一个平行四边形的面积是280平方厘米，与它的等底等高的三角形的面积是（）平方厘米。 10．一个三角形的面积是280平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是（）平方厘米。 二、判断题 （1）平行四边形的面积大于梯形面积。（）（2）两个形状相同的三角形可以拼成一个平行四边形。（） （3）三角形面积等于平行四边形面积的一半。（） （4）三角形的底越长，面积就越大。（）（5）三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，面积就扩大6倍。（） （6）等底等高的两个三角形，面积一定相等。（）
三、选择 1.下面的长方形和平行四边形面积（） a．相等b．不相等 2.用木条钉成的长方形拉成一个平行四边形，它的高和面积（） a．都比原来大b．都比原来小c．都与原来相等 3.平行四边形的底扩大3倍，高缩小3倍，面积（） a．扩大3倍b．缩小3倍c．不变d．不好判断 四、计算下面各个图形的面积。 平行四边形： （1）底=2.5cm，高=3.2cm。（2）底=6.4dm，高=7.5dm。
英萃教育1对1辅导讲义 学员姓名：年级：四年级课时数：1.5 辅导科目：数学学科教师：课次：1 授课 类型 同步：三角形、平行四边形和梯形提高： 授课日 期时段 教学内容 批改作业并讲解错题。 （一）三角形 1、由三条线段围成的图形叫三角形。有3条边、3个角和3个顶点。 2、围成三角形的条件：任意两条边的长度和一定大于第三条边。如三角形周长为１２厘米，最长边必须小于６厘米。判断三条线段能不能围成三角形，可以将最短的两条线段相加，与最长边比较，如果比最长边大，则可以围成三角形，如果等于或于小最长边，则不可围成三角形。 3、从三角形的一个顶点到对边所画的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。通常用三角板来画三角形的高。 （１）把三角板的直角边与底边重合； （２）平移三角板，使直角边到达底边相对的顶点； （３）沿顶点画一条线到底边，这就是三角形的高； （４）最后标上直角符号。每个三角形都有三条高。 (锐角三角形的三条高都在三角形内;直角三角形有两条高落在两条直角边上;钝角三角形有两条高在三角形外) 4、三角形具有稳定性(也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不 知识讲解 复习巩固
会改变) ，生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。 5、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 (两个内角的和大于第三个内角。) 6、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 (两个内角的和等于第三个内角。两个锐角的和是90 度。两条直角边互为底和高。 ) 7、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 (两个内角的和小于第三个内角。 ) 8、任意一个三角形至少有两个锐角，三角形的内角和都是 180 度。把一个三角形分成两个三角形，每个三角形的内角和仍然是１８０度。 9、把一个三角形分成两个直角三角形就是画它的高。 10、两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角也相等，是轴对称图形，有一条对称轴(跟底边高正好重合。 )三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是 60°有三条对称轴。 ) 11、有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于 45°，顶角等于90°。 12、求三角形的一个角=180°—另外两角的和 13、等腰三角形的顶角=180°—底角×2=180°—底角—底角 14、等腰三角形的底角=(180°－顶角)÷2 15、一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 16、多边形的内角和=180°×(n-2){n 为边数} （二）平行四边形和梯形 1、两组对边互相平行的四边形叫平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶点向对边可以作两种不同的高。底和高是相互依存的。一个平行四边形有无数条高。连接平行四边形的对边的高必定比另外两条边的长度要短，依据是平行线之间，垂直线段长度最短。 2、用两块完全一样的三角尺可以拼成一个三角形、平行四边形、长方形（正方形）。 3、平行四边形容易变形(不稳定性)。生活中许多物体都利用了这样的特性。如： (电动伸缩门、铁拉门、升降机)。把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。一般平行四边形不是轴对称图形。等底等高的长方形和平行四边形面积相等，平行四边形的周长长。 4、只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边较短的叫做梯形的上底，较长的叫做梯形的下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，两条平行线之间的距离叫做梯形的高 (无数条) 。 5、两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。直角梯形有且只有两个直角。 6、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，拼成平行四边形的高等于梯形的高。 7、正方形、长方形属于特殊的平行四边形。 强化练习
认识三角形和平行四边形 ［教学内容］教科书第43～44页的例题，第44～45页“想想做做”的习题。［教材简析］这节课教学三角形和平行四边形的认识，为以后学习这两种图形的特征打基础。虽然学生在生活中能看到一些有三角形面或平行四边形面的物体，但不太多，所以教材没采用观察物体的面再抽象出图形的方式引入。教材通过折正方形纸教学三角形，通过拼两个一样的三角形教学平行四边形。这样让学生在操作活动中自己“制造”出要认识的图形，可以激发学习热情，感知图形之间的变换和联系。在认识一种图形后，介绍它在生活中的应用，可以更具体更全面地感知这些图形的形状。“想想做做”前两题分别在钉子板上围、在方格纸上画三角形和平行四边形，帮助学生进一步直观认识这两种图形。后三题是折图形、拼图形，可以培养学生的动手操作能力，发展空间想像能力。后三题都有较大的开放程度，对发展学生的思维、激发学习兴趣和培养个性都十分有利。［教学目标］1．通过把长方形或正方形折、剪、拼等活动，直观认识三角形和平行四边形。2．知道三角形、平行四边形的名称，并能识别这些图形，初步知道这些图形在日常生活中的应用。3．在折图形、剪图形、拼图形等活动中，使学生体会图形的变换，发展对图形的空间想像能力。4．在学习活动中积累对数学的兴趣，增强与同学的交往、合作的意识。［教学过程］一、创设情境，激趣导入谈话：小朋友，你们玩过走迷宫吗？喜不喜欢玩？今天老师也带来了一张迷宫图（投影显示迷宫图），让大家一起来玩一玩。题目要求是把这只小白兔安全送回几何城堡，不
过在送回的路上还要过蔬菜老师一关和茄子老师一关，你们有没有信心闯过去？现在就让我们出发。（出示兔子舞的音乐）学生跟着音乐做动作。二、认识三角形1．谈话：走着走着，从几何城堡中飘出了一张正方形的纸。你能用正方形的纸对折成一样的两部分吗？（学生操作，教师巡视。）2．谈话：哪一个小朋友愿意上来说说你是怎样折的？（1）指名上来演示折出的两个长方形，同时电脑演示。让这样折的小朋友举手。（2）指名上来演示折出的两个三角形。谈话：其他小朋友们也愿意这样来折一折吗？试试看。这次我们把这张正方形纸折成两个完成一样的……（电脑演示并板书：三角形）3．谈话：小朋友已经认识了三角形，那谁能说一说，在生活中，你还见到过哪些三角形？4．谈话：小朋友们知道的可真多呀!其实在我们生活中，像红领巾、三角形小旗、三角板、马路上的路标（电脑演示），它们也都是三角形，三角形有这样的（指着锐角三角形），还有这样的（指着直角三角形），还有这样的（指着钝角三角形），这些都可以叫它三角形。（电脑演示：从实物到图形）5．谈话：小朋友们刚才自信、响亮的回答把我们的老朋友钉子板给叫醒了。钉子板说：小朋友你能在我的身上围出一个三角形来吗？试着用橡皮筋围围看。（学生操作）6．谈话：谁愿意把你围的三角形给大家来看一看。（指着几个学生围的不同形状的三角形）小朋友们看，他们围的是三角形吗？再围一个和你刚才围的不一样的三角形。（围完以后，可以给你小组内的小朋友看一看，让小朋友自己来评一评。）7．谈话：小朋友们用灵巧的小手在钉子板上围出了各种各样的三角形，还能用彩笔在格子纸上
第2章对称图形——圆 2.4第3课时圆的内接四边形 知识点圆内接四边形的性质 1．如图2－4－30所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BCD＝110°，则∠BAD 的度数为() A．140°B．110°C．90°D．70° 图2－4－30 图2－4－31 2．如图2－4－31，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE的大小是() A．115°B．105°C．100°D．95° 3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D的度数是() A．60°B．90°C．120°D．30° 4．如图2－4－32，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC 的大小为() A．45°B．50°C．60°D．75° 图2－4－32 图2－4－33 .如图2－4－33，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且∠D＝130°，则∠BAC ＝________°. 6．如图2－4－34，四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD＝130°，则∠DCE＝________°.
图2－4－34 7．如图2－4－35，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P ＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝________°. 图2－4－35 图2－4－36 8．如图2－4－36，△ABC为⊙O的内接等边三角形，D为⊙O上一点，则∠ADB＝________°. 9．如图2－4－37，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC ＝BE.求证：△ADE是等腰三角形． 图2－4－37 10．已知：如图2－4－38，四边形ABCD是圆的内接四边形，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.求证：AB＝AC. 图2－4－38
九年级数学：圆内接四边形练习（含答案） 1．圆内接四边形的对角________． 2．圆内接四边形的外角等于内对角． A组基础训练 1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( ) A．120° B．100° C．80° D．90° 第1题图 2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( ) 第2题图 A．100° B．120° C．140° D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( ) A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( ) A．120° B．90° C．60° D．30° 第4题图 5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．
6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________． 7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________． 8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________． 第8题图 9．如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D. (1)求证：DB ＝DC ； (2)若过D 作DP⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP≌△BDQ. 第9题图 10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵ 于点D. (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)连结CD ，设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．
三角形、平行四边形和梯形知识整理 1.三条线段首尾相接围成的图形叫作 三角形。 2.三角形有三条边，三个角，三个顶点， 三条高。 3.从三角形的一个顶点到对边的垂直 线段是三角形的高，这条对边是三角 形的底。 4.三角形任意两边长度的和大于第三 边。 5.三角形的角和等于180°。 6.三角形具有稳定性。 7.按角分，三角形可以分为锐角三角形、 直角三角形和钝角三角形。 8.3个角都是锐角的三角形是锐角三角 形。 9.有1个角是直角的三角形是直角三 角形。 10.有1个角是钝角的三角形是钝角三 角形。 11.两条边相等的三角形是等腰三角形。 12.等腰三角形有两个底角，大小相等；
有1个顶角。 13.等腰三角形有两条腰，长度相等；有 一条底。 14.等腰三角形是轴对称图形，有1条对 称轴。 15.3条边都相等的三角形是等边三角形， 也叫作正三角形。 16.等边三角形3个角相等，都是60°， 17.等边三角形是轴对称图形，有3条对 称轴。 18.等腰三角形的底角=（180°-顶角） ÷2 19.等腰三角形的顶角=180°-底角×2 20.两组对边分别平行的四边形叫作平 行四边形。 21.平行四边形有4条边，4个角，角和 是360°。 22.平行四边形有2组对边互相平行，而 且长度相等。 23.从平行四边形一条边上的一点到它 对边的垂直线段是平行四边形的高， 这条对边是平行四边形的底。
24.只有一组对边平行的四边形叫作梯 形。 25.梯形有4条边，4个角，一组组对边 平行，另一组对边不平行。 26.互相平行的一组对边分别是梯形的 上底和下底，不平行的一组对边是梯 形的腰。 27.从梯形一条底边上的一点到它对边 的垂直线段叫作梯形的高。 28.两腰相等的梯形叫作等腰梯形，等腰 梯形是轴对称图形，有1条对称轴。 29.有两个角是直角的梯形叫作直角梯 形。 30.梯形的角和是360°。 31.（）条线段（）围成的图形叫 作三角形。 32.三角形有（）条边，（）个角， （）个顶点，（）条高。 33.从三角形的（）到对边的（） 是三角形的高，这条对边是三角形的
平行四边形和三角形 学生姓名年级学科 授课教师日期时段 核心内容平行四边形面积、三角形面积。课型一对一 教学目标理解平行四边形和三角形面积公式的推导，明确等底等高的三角形与平行四边形面积的关系；能熟练地运用面积公式计算平行四边形和三角形的面积。 重、难点平行四边形、三角形面积公式的推导和应用； 求组合图形的面积。 课首沟通 提问： 1、我们学过了哪些平面图形？ 2、回顾长方形和正方形的周长、面积公式。 3、回顾平行四边形和三角形的面积公式。 知识导图 课首小测 1.有一块平行四边形的玻璃，底是28分米，高是24分米。这块玻璃的面积是多少？ 2.一块平行四边形钢板，面积40平方厘米，高是5厘米，它的底是多少？ 3.一个三角形的底是4分米，高是30厘米，面积是（）平方分米。
4.一个三角形的面积是0.24 m2，高是6dm，底是多少dm？
5.[单选题] 一个三角形的底扩大2倍，高也扩大3倍，这个三角形的面积( )。 A、扩大2倍 B、扩大6倍 C、扩大3倍 D、无法确定 6. [单选题] 一个平行四边形的底扩大4倍，高缩小2倍，它的面积（）。 A、扩大4倍 B、扩大2倍 C、缩小2倍 D、扩大8倍 7. 有两块面积相同的平行四边形地，一块地的底是3.2米，高是2.8米，另一块地的底是2.5米，高是多少米？ 导学一 知识点讲解 1：平行四边形面积公式的推导和应用 利用割补法，可将平行四边形转化成已学过的长方形，再根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式。 从上图可以看出，平行四边形的底、高分别等于长方形的长、宽，平行四边形的面积等于长方形的面积。所以： 平行四边形面积用字母表示：S = a ×h 知识点讲解2：等底等高的两个四边形面积关系。 下面每个图中的两个四边形的面积有什么关系？ 等底等高的两个平行四边形面积。 等底等高的平行四边形和正方形面积。 等底等高的平行四边形和长方形面积。 规律：等底等高的两个四边形面积。 知识点讲解 3：把一个长方形拉成一个平行四边形，它们的面积和周长会有变化吗？ 3：把一个长方形拉成一个平行四边形，它们的面积和周长会有变化吗？
圆内接四边形 1. 知识结构 2. 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； （3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； （2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理． 难点：定理的灵活运用． 三、教学过程设计 （一）基本概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆． （二）创设研究情境 问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？ 研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 教师组织、引导学生研究． 1、边的性质： （1）矩形：对边相等，对边平行． （2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等． （3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行． 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质． 2、角的关系 猜想：圆内接四边形的对角互补． （三）证明猜想 教师引导学生证明．（参看思路） 思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD 的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢? ∠A=，∠C= ∴∠A+∠C= 思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢? 这时有2(α+β+γ+δ)=360° 所以α+β+γ+δ=180° 而β+γ=∠A，α+δ=∠C， ∴∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补． （四）性质及应用 定理：的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． （对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆） 例已知：如图，⊙O 1与⊙O 2 相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O 1 交于点C， 与⊙O 2交于点D．过B的直线与⊙O 1 交于点E，与⊙O 2 交于点F． 求证：CE∥DF． （分析与证明学生自主完成）
认识三角形和平行四边形 【教学内容】一年级下册第19-21页例题及“想想做做”第1－5题。 【教材简析】这部分内容主要是引导学生通过折、剪、拼等操作活动，直观认识三角形和平行四边形。教材通过折正方形纸，让学生直观认识三角形，再通过对两个完全一样的三角形进行拼搭、组合形成平行四边形。这样安排，既符合低年级学生的认知特点，也有利于他们主动形象地认识平面图形。教材只要求学生直观认识三角形、平行四边形，没有深入研究它们的特征。但是教材安排了许多折、剪、拼的活动，比较多地将一种图形变换成另一种图形。这些操作活动，能使学生感受图形之间的联系，有利于培养学生空间观念和解决问题的能力，有利于发展学生的数学思维。教材设计了一些开放性问题，如在钉子板上围三角形、平行四边形，围成的这些图形可以有大有小，有不同的位置；用一个长方形剪成两个完全一样的三角形拼一拼，可以拼成多种图形；用小棒摆三角形和平行四边形。这些题能激起学生独立探索的精神，相互合作的愿望，有利于改善教学方式，培养学生的创新意识。 【教学目标】 1. 通过把长方形或正方形折、剪、拼等活动，直观认识三角形和平行四边形，知道这两个图形的名称；并能识别三角形和平行四边形，初步知道它们在日常生活中的应用。 2．在折图形、剪图形、拼图形等活动中，体会图形的变换，发展对图形的空间想象能力。 3. 在学习活动中积累对数学的兴趣，增强与同学交往、合作的意识，培养学生的创新意识。 【教学重点】直观认识三角形和平行四边形，知道它们的名称，并能识别这些图形，知道它们在日常生活中的应用。 【教学难点】让学生动手在钉子板上围、用小棒拼平行四边形。 【教学过程】 一、复习铺垫 小朋友们，今天，我们的老朋友要来看大家，看看大家是不是上课表现最好的小朋友,他还带来了礼物,想送给那些听讲认真,积极回答问题的小朋友。你们看出示长方形问“小朋友们，谁愿意来介绍一下这位老朋友？他介绍得对吗？”接着出示第二个图形（正方形），问：“这个老朋友又是谁呢？”再出示圆：“它叫什么名字？这是我们已经认识的长方形、正方形和圆三位老朋友，介绍完老朋友，老师来变个魔术给小朋友们看看，看哪个小朋友的眼睛比较厉害，能看出老师是怎么看出来的。
沪科版九年级数学下册教学设计 圆内接四边形 1. 知识结构 2. 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； （3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； （2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理． 难点：定理的灵活运用． 三、教学过程设计 （一）基本概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆． （二）创设研究情境 问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？ 研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 教师组织、引导学生研究． 1、边的性质： （1）矩形：对边相等，对边平行． （2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等． （3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行． 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质． 2、角的关系 猜想：圆内接四边形的对角互补． （三）证明猜想 教师引导学生证明．（参看思路） 思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD 的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢? ∠A=，∠C= ∴∠A+∠C= 思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢? 这时有2(α+β+γ+δ)=360° 所以α+β+γ+δ=180° 而β+γ=∠A，α+δ=∠C， ∴∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补． （四）性质及应用 定理：的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． （对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆） 例已知：如图，⊙O 1与⊙O 2 相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O 1 交于点C， 与⊙O 2交于点D．过B的直线与⊙O 1 交于点E，与⊙O 2 交于点F． 求证：CE∥DF． （分析与证明学生自主完成）
五年级平行四边形和三角形练习专题 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
五年级平行四边形和三角形练习专题 一、填空题 1、一个平行四边形的底是14厘米，高是9厘米，它的面积是（）；与它等底等高的三角形面积是（）。 2、一个三角形比与它等底等高的平行四边的面积少30平方厘米，则这个三角形的面积是（）。 3、一个三角形的面积是4.5平方分米，底是5分米，高是（）分米。 4、在推导平行四边形面积计算公式时，可把平行四边形通过割补平移转化为()形去推导，推导三角形面积计算公式时，可把两个完全一样的三角形拼成一个()形去推导，推导梯形面积计算公式时，可把两个完全一样的梯形拼成一个()形进行推导。 5、两个一样的三角形通过（）、（）可以拼成平行四边形，平行四边形的面积（）两个三角形面积的和。 6、同底同高的平行四边形的面积是三角形面积的（）倍。 7、一个三角形底5dm，高6dm，面积是（），与它等底等高的平行四边形面积是（）8、直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，这个直角三角形面积是()平方厘米。 9、一个三角形的面积是25平方厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是(????)平方厘米。 10、一个平行四边形的底是6厘米，高是14厘米，它的面积是（????）平方厘米，与它等底等高的三角形面积是（????）平方厘米。 11、一块平行四边形田地，底是25米，高是17米，这块田地的面积是( )平方米。 12、一个直角三角形的面积是48平方米，一条直角边6米，另一条直角边( )米。 二、判断题 1.三角形面积是平行四边形面积的一半。( ) 2.平行四边形可以由两个完全相同的三角形拼成。( ) 3.周长相等的平行四边形面积也相等。( ) 4.面积相等的三角形一定等底等高。( ) 5.等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。（） 三、求下面图形的面积。 10cm 8dm 9cm12dm
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
圆的内接四边形(参考教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 1. 知识结构 2. 重点、难点分析 重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法． 难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的 外角和它的内对角的相互对应位置． 3. 教法建议 本节内容需要一个课时． （1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究； （2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，
引导学生发现与证明的思想方法． 一、教学目标： （一）知识目标 （1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； （2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理； （3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明． （二）能力目标 （1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； （2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维； （3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力． （三）情感目标 （1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情； （2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 二、教学重点和难点: 重点：圆内接四边形的性质定理．