2012.08.28
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合
题目要求的．
1、已知复数z=
1
2
2
-+，则2
1z z
++= ( )
A、0
B、
1
22
--C、
1
22
+D、
1
22
-
2．下列命题中的假命题是( )
A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ
3、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，
现从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位
数，其中“伞数”有( )
A、105个
B、70个
C、55个
D、40个
4、执行如图所示的程序框图，输出的S的值为( )
A、6
-B15
-、
C、3
D、10
5、甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x，2x分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩
的众数，
1
s，2s分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )
A. 12
12
,
x x s s
>< B. 1212
,
x x s s
=<
C. 12
12
,
x x s s
== D. 1212
,
x x s s
<>
6、已知函数
3
()
13
x
x
f x=
+
（x R
∈），正项等比数列{}
n
a满足
50
1
a=，则
1299
(ln)(ln)(ln)
f a f a f a
+++=
( ) A．101 B．99 C．
101
2
D．
99
2
7、若函数y=f(x) (x∈R)满足f(x+2)=f(x),且
x∈(]1,1-时，2
2
1
)
(x
x
f-
=，函数2
lg
)
(-
=x
x
g，则函数
甲乙
1
2
9
65
54
1
8
3557
2
)()()(x g x f x h -=在区间[]12,6-内零点的个数为
( )
A 、18
B 、 19
C 、20
D 、17
8、如图，在平面斜坐标系XOY 中，θ=∠xoy ，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若21e y e x OP
+=（其中21,e e 分别是X 轴，
Y 轴同方向的单位向量）。则P 点的斜坐标为（x,y ）， 向量OP 的斜坐标为(x,y)。有以下结论：
①若
60=θ，P （2，-1
3=
②若P （),11y x ，Q ),(22y x ，则),(2121y y x x OQ OP ++=+ ③若=OP （),11y x ，=OQ ),(22y x ,则2121,y y x x OQ OP +=?
④若 60=θ，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为0122=-++xy y x 其中正确的结论个数为
( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
9、已知x,y ∈R 且122=+y x ，a,b ∈R 为常数，2
22
2
2
2
2
2
y
a x
b y b x a t +++=
则
( )
A 、t 有最大值也有最小值
B 、t 有最大值无最小值
C 、t 有最小值无最大值
D 、t 既无最大值也无最小值
10、椭圆E ：222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上的任一点，且21PF PF ?的最大值的
取值范围是[]2
2
3,c
c ，其中2
2
b a
c -=
，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是( )
A 、???
????1,33 B 、??????22,21 C 、???????1,22 D 、???
???1,21 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在答题卡对应题号
的位置上。答错位置，书写不清，模棱两个均不得分。 （一）必考题（11-14题）
11．已知n
n n x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ 221032)1()1()1()1(，且
126210=++++n a a a a ，那么n
x
x )13(-
的展开式中的常数项为 .
1716151413秒
12. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的 体积为_______m 3.
13
、关于式子的结果，有以下结论：
①半径为52的圆的面积的二分之一 ②半径为
52
的圆的面积的四分之一
③长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一 ④长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一 ⑤该式子的值为
258
π ⑥该式子的值为2516
π
其中正确结论的序号为 .
14、设集合M={1,2,3，…,n} (n ∈+N ),对M 的任意非空子集A ，定义f(A)为A 中的最大元素，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的f(A)的和为n S ，则：①3S = . ②n S = .
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15、（几何证明选做题）如图圆O 的直径6=AB ,P 是AB 的延长线上一点, 过点P 作圆O 的切线,切点为C,连接AC,若030CPA ∠=,则P C = . 16、（极坐标与参数方程选做题）若直线l
的极坐标方程为cos()4π
ρθ-=C ：cos sin x y θ
θ=??=?
（θ为参数）
上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分12分）已知函数cos 2()π
sin()
4
x
f x x =
-.
（Ⅰ）化简函数()f x 的解析式，并求其定义域和单调区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a,b,c,满足：
ab c
b a =-+2
2
2
，求)(C f
18.（本题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)
15,14，
……，第五组[]18,17．右图是按上述
分组方法得到的频率分布直方图.
（I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为
良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（II ）设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[][18,17)14,13,?∈n m ，求事件“1>-n m ”的
概率.
19、（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥ 底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，CE ∥AB ，BC//AD 。
（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，且CD 与平面PAD 所成的角为45°，求二面角B —PE —A 的正切值。 20、（本小题满分12分） 已知函数2
1()ln
(0).f x ax x a x
=-+>
（Ⅰ）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12()()32ln 2.f x f x +>-
21、（本小题满分13分）已知F 是椭圆222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的左焦点，A 是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的
离心率为
12
，点B 在x 轴上，AB ⊥AF ，A 、B 、F 三点确定的圆C
恰好与直线30x +
+=相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O 为椭圆的中心，过F 点作直线交椭圆于M 、N 两点，在椭圆上是否存在点T ，使得
0=++OT ON OM ，如果存在，则求点T
22、（本小题满分14分）数列{n a }满足1a =1且)1(2
1)11(2
1≥+
++
=+n a n
n a n
n n 。
（Ⅰ）用数学归纳法证明：2≥n a （)2≥n （Ⅱ）设n
n
n n a a a b -=
+1，证明数列}{n b 的前n 项和4
7<
n S
（Ⅲ）已知不等式ln （1+x ）
2e a n < （n ≥1）（其中无理数e=2.71828…）
湖北省部分重点中学2012—2013学年度高三起点考试
理科数学参考答案
一、选择题：ABCDB DACAB
二、填空题：11、540
-12、π
+
613、①④⑤14、①17 ②1
2)1
(+
-n
n
15、3
316、1
2
3+
三、解答题：17、解：（Ⅰ）
22
cos sin
()
ππ
sin cos cos sin
44
x x
f x
x x
-
=
-
,…………………………2分
π
cos)2sin()
4
2
x x x
==+=+，……………………4分
由题意
π
sin()0
4
x
-≠，∴
π
π(
4
x k k
-≠∈Z），其定义域为
π
{|π,
4
x x k k
≠+∈ Z}.…………6分函数()
f x在
3ππ
(2π,2π)
44
k k k
-+∈ Z上单调递增；
在
π5
(2π,2ππ)
44
k k k
++∈ Z上单调递减. …………………………………………8分
（Ⅱ）∵abCosC
b
a
c2
2
2
2-
+
=,由已知可得：CosC=
2
1
,∴A=
3
π
∴
2
6
2
)
cos
(sin
2
)
(
+
=
+
=A
A
C
f…………………12分
18、解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在)
[16,14内的人数为：27
38
.0
50
16
.0
50=
?
+
?（人）所以该班成绩良好的人数为27人.┉┉3分
（Ⅱ）由直方图知，成绩在[)
14
,
13的人数为3
06
.0
50=
?人，
设为x、y、z；成绩在[)
18
,
17的人数为4
08
.0
50=
?人，设为A、B、C、D.
若[)
14
,
13
,∈
n
m时，有yz
xz
xy,
,3种情况；
若[)
18
,
17
,∈
n
m时，有CD
BD
BC
AD
AC
AB,
,
,
,
,6种情况；
若n
m,分别在[)
14
,
13和[)
18
,
17内时，
19题图
共有12种情况. ┉┉9分
所以基本事件总数为21种. 记事件“1>-n m ”为事件E,则 事件E 所包含的基本事件个数有12种. ∴P （E ）=
7
421
12=.
即事件“1>-n m ”的概率为47
. ………12分
19、
∴DE=CE=AB=1，AE=2， （6分）连PE ，BE
法一：以A 为原点O ，AD 为OX 轴，AB 为OY 轴，AP 为OZ 轴建立空间直角坐标系
A （0，0,0），
B （0,1,0）E （2,0,0）
由（I ）知AB 为平面PAE 的法向量且)0,1,0(=AB 设平面PBE 的法向量为),,(z y x n = 由)1,1,0(),0,1,2(,,-=-=⊥⊥PB BE PB n BE n
得???=-=-020
y x z y 解之，得)0(2≠???
????
===k k
z k y k x 取)2,2,1(=n ………………8分
设所求二面角的平面角为θ
，则2
5tan ,3
2cos =
∴=
=
θθ……………12分
法二：作PE AH ⊥于H ，连BH ，由（I ）知⊥∴⊥PE PE BA ,平面AHB AHB BE PE ∠∴⊥∴,为所求二面角的平面角 ………………10分
在PAE rt ?中，PA AE PE AH ?=?由，得2
5tan ,5
2==
∠∴=
AH
AB AHB AH ………12分
20、解：（Ⅰ）()f x ＝－ln x －ax 2
＋x ， ()f x '＝－ 1 x －2ax ＋1＝－2ax 2
－x ＋1
x
．2分
令Δ＝1－8a 当a ≥ 1
8
时，Δ≤0，()f x '≤0，()f x 在(0，＋∞)单调递减．…4分
当0＜a ＜ 1 8
时，Δ＞0，方程2ax 2
－x ＋1＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，
不妨设x 1＜x 2，则当x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)时，()f x '＜0，当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '＞0，
这时()f x 不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 1
8
，＋∞)． …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a ∈(0， 1
8
)时，()f x 有极小值点x 1和极大值点x 2，
且x 1＋x 2＝12a ，x 1x 2＝12a ．12()()f x f x +＝－ln x 1－ax 21＋x 1－ln x 2－ax 2
2＋x 2＝－(ln x 1＋ln x 2)－ 1 2(x 1
－1)－ 1 2(x 2－1)＋(x 1＋x 2)＝－ln(x 1x 2)＋ 1 2(x 1＋x 2)＋1＝ln(2a )＋1
4a
＋1．…9分
令g (a )＝ln(2a )＋14a ＋1，a ∈(0， 1 8]，则当a ∈(0， 1 8)时，g '(a )＝ 1 a －14a 2＝4a －1
4a
2＜0，g (a )在(0，
1 8)单调递减，所以g (a )＞g ( 1
8)＝3－2ln 2，即12()()32ln 2.f x f x +>-． ……………12分 21、
（Ⅰ）11,,222
e c a b =
∴=
=
∴1(,0) , (0,
)2
2F a A a -
取
02
10()2
AF k a -∴=
=--
3
AB k ∴=-
:3
2
AB l y x ∴=-
+
令0y = 33 (
,0)2
2
x a B a ∴=∴ ∴圆心1(,0)2
a 半径r a =
∴
圆心到直线30x +
+=的距离d
132
2
a d a +== 2a ∴=
b ∴=∴椭圆方程为
2
2
14
3
x
y
+
= ………………6分
（Ⅱ）设直线MN ：ny=x+1，联立??
???=++=1341
22y
x x ny ，096)43(22=--+ny y n ， 设M ),(11y x ，N ),(22y x ,T ),(00y x ，4
39,4
362
212
21+-
=+=
+n y y n n y y
0 =++T O N O M O ，??
?--=--=∴2102
10x x x y y y
1)
43(336)
43(4642
2
2
2
2
=++
+∴
n n
n ，解得，n=0.
即MN 的斜率不存在时，T （2,0）。当MN 的斜率为0时，T 不存在。………………13分 22、证明：（Ⅰ）①当n=2 时，22=a ，不等式成立。 ②假设当n=k(k ≥2)时不等式成立，即2≥k a ， 那么22
1)11(2
1≥>+
++
=+k k
k k a a k
k
a 。即当n=k+1时不等式成立。
根据①②可知：2≥n a 对 2≥n 成立。………………4分 （Ⅱ）
n
n
n
n a n
n a a 21112
1+
++
=+，故n
n
n
n n
n
n n a n
n a a a a a b 21112
11+
+=
-=
-=
++
当n=1时，11
1
21=-=
a a a
b ，当2≥n 时，2≥n a ，1
2
2
2
11211++
+≤
+
+=
n n
n
n n
n a n
n b ，
故)2
12
12
1(
))
1(14
313
21(
11
4
3
21++
++
+++
+?+
?+≤+++=n n n n n b b b S
=1+4741211)21(141
1114
13
13
12
11=++
????
-+????
??+-
+
+-
+
-
-n n n
………………9分 （Ⅲ）当2≥n 时，由（1）的结论知：n n n
n n a n
n a n
n a )2
111(2
1)11(1
2
2
1+++
++
≤+++=
故1
21
2
12
11ln ln )2
1
1
1ln(ln ++++
++<++
++≤n n n n n n
n a a n n a ，（x x <+)1ln( ）
故121
2
1
1ln ln ++++≤-n n n n n a a （)2≥n
求和可得n
n n n a a 2
12
12
1)
1(14
313
21ln ln 4
3
2+
++
+
-+
+?+
?<
-
=4
32
12
112
12
<
-
+-n
n
而22=a ，4
32
ln
1<
∴+n a ，43
2e a n <∴ （)2≥n ，而43
121e a <=
故对任意的正整数n ，有43
2e a n <∴。………………14分